Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực có từ lâu có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Lenhard Eurler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Đồ thị sử dụng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, đồ thị sử dụng để xác định mạch vịng vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta phân biệt hợp chất hóa học hữu khác với công thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị Chúng ta xác định hai máy tính mạng trao đổi thơng tin với hay khơng nhờ mơ hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải tốn như: Tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thơng Chúng ta cịn sử dụng đồ thị để giải tốn lập lịch, thời khóa biểu, phân bố tần số cho trạm phát truyền hình Hưng Yên, tháng năm 2012 Bộ môn Công nghệ phần mềm Khoa Công nghệ thông tin Trường đại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Mục lục Mở đầu Mục lục Danh mục hình vẽ Bài Các khái niệm Lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.2 Đường - chu trình - Đồ thị liên thông 1.3 Phân loại đồ thị 12 1.3.1 Đồ thị vô hướng liên thông 12 1.3.2 Đồ thị có hướng liên thông 13 1.4 Một số loại đồ thị đặc biệt 14 Bài Biểu di n đồ thị máy tính 18 2.1 Một số phương pháp biểu di n đồ thị máy tính 18 2.2.1 Ma trận kề - Ma trận trọng số 18 2.2.2 Danh sách cạnh (cung) 20 2.2.3 Danh sách kề 20 Bài Đồ thị Euler 22 3.1 Định nghĩa 22 3.2 Các ví dụ 22 3.3 Định lý Euler thuật toán Flor 23 Bài Đồ thị Hamilton 26 4.1 Định nghĩa 27 Bài Thảo luận cài đặt đồ thị, thuật toán liệt kê chu trình Euler Hamilton 31 5.1 Cài đặt biểu di n đồ thị máy tính 31 5.2 Cài đặt thuật tốn liệt kê chu trình Euler 31 5.3 Cài đặt thuật tốn liệt kê chu trình Hamilton 32 5.4 Thảo luận tập giáo trình tập 33 Bài Thuật tốn tìm kiếm đồ thị ứng dụng 34 6.1 Duyệt đồ thị theo chiều rộng (BFS) 34 6.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu (DFS) 37 6.3 Thảo luận 40 Bài Cây khung 42 7.1 Cây khung 42 7.1.1 Cây 42 7.1.2 Cây khung đồ thị 43 7.2 Bài toán khung nhỏ 45 7.4 Thuật toán Prim 48 7.5 Thuật toán Kruskal 50 Bài Thảo luận cài đặt thuật tốn tìm khung nhỏ đồ thị 53 8.1 Cài đặt xây dựng tập chu trình đồ thị 53 8.2 Cài đặt thuật toán Prim 55 8.3 Cài đặt thuật toán Kruskal 56 8.4 Một số thuật toán xây dựng khung(*) 57 Bài 10 Bài tốn tìm đường ngắn 60 10.1 Các khái niệm mở đầu 60 10.2 Đường ngắn xuất phát từ đỉnh Thuật toán ford-Bellman 61 10.3 Trường hợp ma trận trọng số khơng âm Thuật tốn Dijkstra 63 Bài 11 Bài tốn tìm đường ngắn (tiếp) 66 11.1 Đường đồ thị khơng có chu trình 66 11.2 Đường ngắn tất cặp đỉnh 70 Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 11.3 Cài đặt thuật toán Dijkstra 71 Bài 12 Bài toán luồng cực đại mạng 72 12.1 Mạng - Luồng mạng 72 12.2 Bài toán luồng cực đại 73 12.3 Lát cắt đường tăng luồng Định lý ford_fulkerson 73 12.4 Thuật tốn tìm luồng cực đại 76 Bài 13 Lý thuyết đồ thị ứng dụng 87 13.1 Các toán liên quan tới đồ thị 87 13.1.1 Các toán liên quan tới bậc đồ thị 87 13.1.2 Các toán liên quan đến tính liên thơng đồ thị 88 13.1.3 Các toán liên quan tới chu trình 90 13.1.4 Các tốn có liên quan đến đường chu trình Hamilton 91 13.1.5 Các toán liên quan đến đồ thị tô màu 95 13.1.6 Bài toán 104 13.1.7 Bài toán ghép cặp 105 13.1.8 Đồ thị Euler 106 13.1.9 Các tốn có tính tổng hợp 106 13.2 Sự liên hệ tập đặc biệt đồ thị với toán bàn cờ 109 13.3 Duyệt rộng mảng hai chiều 112 Bài 14 Một số ứng dụng đồ thị 115 14.1 Bài toán đám cưới vùng quê 115 14.2 Bài toán hệ thống đại diện chung 116 14.3 Bài toán tối ưu rời rạc 116 14.4 Một số toán liên quan đến việc tổ chức mạng vận chuyển bưu 118 Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Danh mục hình vẽ Hình 1.1 Sơ đồ mạng máy tính Hình 1.2 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Hình 1.3 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo Hình 1.4 Mạng máy tính với kênh thoại chiều Hình 1.5 Đường đồ thị Hình 1.6 Đồ thị G H 10 Hình 1.7 Đồ thị liên thông mạnh G đồ thị liên thông yếu H 11 Hình 1.8 Đồ thị vô hướng 12 Hình 1.9 Đồ thị có hướng 13 Hình 1.10 Đồ thị đầy đủ 14 Hình 1.11 Đồ thị vịng C3, C4, C5, C6 15 Hình 1.12 Đồ thị bánh xe W3, W4, W5, W6 15 Hình 1.13 Đồ thị lập phương Q1, Q2, Q3 15 Hình 1.14 Đồ thị hai phía 16 Hình 1.15 Đồ thị K4 đồ thị phẳng 16 Hình 1.16 Các miền tương ứng với biểu di n phẳng đồ thị 17 Hình 2.1 Đồ thị vơ hướng G Đồ thị có hướng G1 18 Hình 3.1 Mơ hình cầu Konigsberg 22 Hình 3.2 Đồ thị G1, G2, G3 23 Hình 3.3 Đồ thị H1, H2, H3 23 Hình 3.4 Minh hoạ cho chứng minh Định lý 3.1 24 Hình 4.1 Du lịch 20 thành phố 26 Hình 4.2 Đồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2 , G1 27 Hình 4.3 Đồ thị đấu loại D5, đấu loại liên thông mạnh D6 28 Hình 4.4 Đồ thị liệt kê chu trình Hamilton theo thuật tốn quay lui 30 Hình 5.1 Đồ thị liệt kê chu trình Hamilton theo thuật tốn quay lui 33 Hình 6.1 Đồ thị vơ hướng 35 Hình 6.2 Đồ thị vơ hướng 41 Hình 7.1 Cây rừng 42 Hình 7.2 Đồ thị khung 44 Hình 7.3 Đồ thị khung nhỏ 49 Hình 8.1 Hệ chu trình độc lập cho đồ thị vơ hướng G 53 Hình 8.2 Hệ chu trình độc lập cho đồ thị có hướng G1 53 Hình 8.3 Minh họa bước thuật tốn Prim tìm khung nhỏ 55 Hình 8.4 Minh họa bước thuật tốn Kruskal tìm khung nhỏ 57 Hình 11.1 Đồ thị khơng có chu trình 66 Hình 11.2 Đồ thị minh hoạ PERT 70 Hình 12.1 Mạng G luồng f Đồ thị có trọng số Gf tương ứng 75 Hình 12.2 Mạng G minh họa bước thuật toán ford-Fullkerson 82 Hình 12.3 Mạng G với luồng cực đại lát cắt hẹp 83 Hình 12.4 Ví dụ tồi tệ thuật toán ford_Fulkerson 84 Hình 12.5 Tăng luồng dọc theo đường tăng 85 Hình 13.1 Kết thi đấu đội bóng chuyền A, B, C, B, E 92 Hình 13.2 Sơ đồ nhà học sinh 92 Hình 13.3 10 thành phố 93 Hình 13.4 bố trí lịch thi cho học sinh THPT với môn thi ngày 94 Hình 13.5 Vị trí nhà đường nối nhà học sinh 95 Hình 13.6 Bản đồ có miền 96 Hình 13.7 Lập lịch thi môn 98 Hình 13.8 Tô màu cho đồ thị lịch thi 99 Hình 13.9 Phân chia kênh truyền hình 101 Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Hình 13.10 Tơ màu cho đồ thị phân chia kênh truyền hình 101 Hình 13.11 Thanh ghi số CPU 103 Hình 13.12 Tơ màu cho thị ghi số 104 Hình 13.13 Kết xếp hạng đội 105 Hình 13.14 Tuyển chọn biên dịch viên 108 Hình 13.15 Quy tắc quân mã 109 Hình 13.16 Quy tắc quân mã bàn cờ × 110 Hình 13.17 Quy tắc quân tượng bàn cờ × 110 Hình 13.18 Quy tắc quân xe bàn cờ × 111 Hình 13.19 Quy tắc quân hậu bàn cờ × 111 Hình 13.20 Hướng di chuyển robot 113 Hình 14.1 Mạng tương ứng với toán đám cưới vùng quê 115 Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bài Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Để hình dung lại cần đến loại đồ thị khác nhau, nêu ví dụ sử dụng chúng để mơ tả mạng máy tính Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoại (gọi tắt kênh thoại) nối máy tính Chúng ta biểu di n vị trí đặt náy tính điểm kênh thoại nối chúng đoạn nối, xem hình 1.1 Hình 1.1 Sơ đồ mạng máy tính Nhận thấy mạng hình 1.1, hai máy có nhiều kênh thoại nối chúng, kênh thoại naỳ cho phép liên lạc hai chiều khơng có máy tính lại nối với Sơ đồ mạng máy cho hình gọi đơn đồ thị vơ hướng Ta đến định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Trong trường hợp hai máy tính thường xun phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai máy nàu nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy cho hình 1.2 Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Hình 1.2 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa 1.2 Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 gọi cạnh lặp chúng tương ứng với cặp đỉnh Hình 1.3 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thông báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối cặp đỉnh Trong mạng máy tính có kênh thoại nối náy với (chẳng hạn vời mục đính thơng báo) Mạng cho hình Khi đa đồ thị khơng thể mơ tả mạng vậy, có khun (cạnh nối đỉnh với nó) Trong trường hợp nàychúng ta cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp khơng có thứ tự gồm hai phần tử (khơng thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e gọi khuyên có dạng e = (u, u) Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012 Hình 1.4 Mạng máy tính với kênh thoại chiều Các kênh thoại mạng máy tính cho phép truyền tin theo chiều Chẳng hạn, hình 1.4 máy chủ Hà Nội nhận tin từ máy địa phương, có số máy gửi tin đi, cịn kênh thoại cho phép truyền tin theo hai chiều thay hai cạnh có hướng ngược chiều Ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4 Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Nếu mạng có đa kênh thoại chiều, ta phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng: Định nghĩa 1.5 Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e1, e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp Trong phần chủ yếu làm việc với đơn đồ thị vơ hướng đơn đồ thị có hướng Vì vậy, ngắn gọn, ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng 1.2 Đường - chu trình - Đồ thị liên thơng Định nghĩa 1.6 Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G = (V, E) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0 , v = xn , (xi , xi+1) E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói cịn biểu diễn dạng dãy cạnh: Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cạnh bị lặp lại Ví dụ 1.1 Trên đồ thị vơ hướng cho Hình 1.5: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài là đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Hình 1.5 Đường đồ thị Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vơ hướng, khác ta có ý đến hướng cung Định nghĩa 1.7 Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, đó, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, A) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0, v = xn, (xi, xi+1) E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói cịn biểu diễn dạng dãy cung: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn khơng có cạnh bị lặp lại Ví dụ 1.2 Trên đồ thị có hướng cho Hình 1.5: a, d, c, f, e đường đơn độ dài Còn d, e, c, a không đường đi, (c,e) cạnh đồ thị Dãy b, c, f, e, b chu trình độ dài Đường a, b, e, d, a, b có độ dài khơng phải đường đơn, cạnh (a, b) có mặt lần Xét mạng máy tính Một câu hỏi đặt hai máy tính mạng trao đổi thơng tin với trực tiếp qua kênh nối chúng thơng qua vài máy tính trung gian mạng? Nếu sử dụng đồ thị để biểu di n mạng Trang Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 máy tính (trong đỉnh đồ thị tương ứng với máy tính, cịn cạnh tương ứng với kênh nối) câu hỏi phát biểu ngôn ngữ đồ thị sau: Tồn hay không đường cặp đỉnh đồ thị Định nghĩa 1.8 Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi liên thơng ln tìm đường hai đỉnh Như hai máy tính mạng trao đổi thông tin với đồ thị tương ứng với mạng đồ thị liên thơng Ví dụ 1.3 Trong Hình 1.6: Đồ thị G liên thơng, cịn đồ thị H khơng liên thơng Hình 1.6 Đồ thị G H Định nghĩa 1.9 Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), W  V F  E Trong trường hợp đồ thị khơng liên thơng, rã thành số đồ thị liên thơng đơi khơng có đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thơng đồ thị Ví dụ 1.4 Đồ thị H hình gồm thành phần liên thơng H1, H2, H3 Trong mạng máy tính có máy (Những kênh nối) mà hỏng hóc ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm tương ứng với tình đưa định nghĩa sau Định nghĩa 1.10 Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Ví dụ 1.5 Trong đồ thị G hình2, đỉnh d e đỉnh rẽ nhánh, cạnh (d, g) (e, f) cầu Trang 10 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 13.2 Sự liên hệ tập đặc biệt đồ thị với toán bàn cờ Để xét quan hệ đỉnh ta xét dạng đặc biệt - Tập ổn định trong(OĐT): A  V dgl tập OĐT i, j  A i j ko kề nhau(tức ko có cạnh(cung) nối chúng) -Tập ổn định ngồi(OĐN): B  V dgl tập OĐN i V \ B ln tồn j  B để i kề j (tức có cạnh (i,j) cung(i,j) nối từ i tới j) Bài toán 24 Bài toán hậu: Có cách đặt hậu bàn cờ × để chúng khơng ăn lẫn Xét bàn cờ n × n (n ≥ 2) Bài tốn 25 Có thể đặt đặt tối đa cách đặt Mã (tượng, xe, hậu) bàn cờ để chúng không ăn lẫn nhau? Bài toán 26 Cần đặt tối thiểu Mã (xe, tượng, hậu) để khống chế bàn cờ? Bài toán 27 Cần đặt tối thiểu Mã (xe, tượng, hậu) để chúng không ăn lẫn khống chế cịn lại? Phương pháp: Giải toán 1+2+3 phương pháp đồ thị gồm bước: Xây dựng đồ thị tương ứng, đồ thị hóa (đưa tốn thành đồ thị) Sử dụng kết lý thuyết đồ thị Đưa n2 thường *Bước 1: Ta dùng cách kí hiệu phần tử mặt trận để kí hiệu bàn cờ n × n : aij (i,j =1 đến n) - Đỉnh: Lấy đỉnh mặt phẳng ( ) tương ứng với ô bàn cờ Sử dụng kí hiệu bàn cờ để ghi đỉnh tương ứng - Cạnh: Qui tắc quân cờ 1) Con Mã có qui tắc đầu mút đường chéo thuộc hình chữ nhật : 3x2 + 2x3 + + Hình 13.15 Quy tắc qn mã Trang 109 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012 Khi đỉnh tương ứng với ô đâù mút đường chéo hình chữ nhật × 3.(3 × 2) nối cạnh Ta kí hiệu GM đồ thị nhận GM mơ tả tồn nước Mã bàn cờ n × n Ví dụ: Xác định GM cho bàn cờ × 4: a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 Hình 13.16 Quy tắc quân mã bàn cờ × 2) Qui tắc Tượng : GT Nước Tượng la đầu mút đường chéo hình vng tùy ý Nên đỉnh tương ứng với đầu mút đường chéo hình vng tùy ý nối cạnh Đồ thị nhận kí hiệu GT GT mơ tả tồn nước tượng Ví dụ: Hãy xác định đồ thị xây dựng mô tả nước Tượng bàn cờ × 4? a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 Hình 13.17 Quy tắc quân tượng bàn cờ × 3) Qui tắc Xe : GX Con Xe có nước hàng ngang – (dọc) => Nên đỉnh tương ứng vớ ô bàn cờ nằm băng hàng ngang theo chiều dọc nối cạnh Kí hiệu đồ thịn nhận GX GX mơ tả toàn nước Xe Trang 110 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Ví dụ: Hãy xác định đồ thị mô tả nước Xe bàn cờ × 4? a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 Hình 13.18 Quy tắc quân xe bàn cờ × 4) Qui tắc Hậu GH Con hậu có nước bao gồm nước Xe Tượng Bởi đỉnh tương ứng với cặp ô đầu mút hình vng tùy ý nằm theo hàng dọc ( nằm hang ngang) nối cạnh Kí hiệu đồ thị nhận GH mơ tả toàn nước Hậu bàn cờ Ví dụ: Xây dựng đồ thị mơ tả nước Hậu bàn cờ × 3? a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Hình 13.19 Quy tắc quân hậu bàn cờ × *Bước : Sử dụng kết lý thuyết đồ thị để suy đáp án Bài toán 25 Do cách xây dưng cạnh đồ thị GM (GT , GX , GH) Mã không ăn lẫn (2 Tượng, Xe, Hậu)  chúng đứng ô tương ứng với đỉnh không kề nhau, vậy: Số Mã ( Tượng , Xe , Hậu) không ăn lẫn chúng đứng ô thuộc tập OĐT =>Số Mã (Tượng, Xe, Hậu) tối đa đặt bàn cờ n x n số OĐT đồ thị GM (GT , GX , GH ) Số cách đặt số tập OĐT có l2 max GM (GT , GX , GH ) Trang 111 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Bài tốn 26 Theo tính chất tập OĐN Nếu A tập OĐN x thuộc A – A tồn y thuộc A để (x,y) có cạnh nối =>bất kỳ ô tương ứng với đỉnh nằm tập A ln ln tồn ứng với đỉnh nằm A để ô nằm nước quân cờ Do : Nếu ta đặt tất quân cờ nằm tương ứng với tập QĐN khống chế tất cịn lại bàn cờ  Bởi số Mã (Tượng, Xe, Hậu) tối thiểu cần đặt bàn cờ GM (GT – GX – GH ) = số OĐN đồ thị GM ( GT GT GH) Số cách đặt số tập OĐT có l2 số OĐN đồ thị GM (GT – GX – GH) Bài toán 27 Để số quân cờ ta đặt khống chế tất cịn lại bàn cờ tương ứng với tập OĐN đồ thị để đáp ứng nhu cầu qn cờ khơng ăn lẫn chúng phải đặt ô tương ứng với đỉnh thuộc tập OĐT =>Bởi vậy: Để quân cờ không ăn lẫn khống chế tất cịn lại bàn cờ chúng phải đặt tương ứng với tập nhân đồ thị  Do số Mã (Tượng, Xe, Hậu) tối thiểu cần đặt bàn cờ để chúng không ăn lẫn nhâu khống chế toàn bàn cờ l2 nhân có phần tử đồ thị GM (GT - GX – GH) Số cách đặt số nhân có l2 bé đồ thị GM (GT - GX – GH) NX: Nếu ta thay tính chất T cho quy tắc chơi cờ xây dựng đồ thị GT mô tả tồn tính chất T tập M đồ thị nhận cho ta cách phân loại tập gồm phần tử đồng thời có tính chất T Ví dụ: M= {a1 , a2 , ….,an} a1 thuộc N (i thuộc đến n) T: Là tính chất có ước chung (hoặc ngun tố nhau) Khi : Ta phân loại tập tập M theo tính chất có ước chung(nguyên tố nhau) 13.3 Duyệt rộng mảng hai chiều Trong số trường hợp, đơn cử tốn robot xén cỏ, lưới vng, hay tốn bàn cờ, đưa toán đồ thị(như phần 13.2) ta thấy số đỉnh đồ thị tăng lên q nhanh theo số cỏ-hoa hay tăng theo kích thước bàn cờ Một cách giải khác, ta duyệt mảng chiều Khi tên đỉnh (i,j) tương ứng với chiều Thậm chí, số trường hợp, ta duyệt mảng chiều, với tên đỉnh đồ thị (i,j,k) tương ứng với chiều(bài toán dế) Trang 112 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012 Bây ta xét toán duyệt mảng chiều sau: Bài tốn 28 Cho lưới vng số có đặt vật cản Các ô lại trống Từ ô lưới robot đến khác theo quy tắc cho sẵn theo toán đặt (có thể đến chung cạnh, đến ô nằm đường chéo theo kiểu mã…) Yêu cầu tìm đường ngắn cho robot từ ô (xp1, xp2) đến ô (kt1; kt2) Phân tích tốn Để trình bày toán đơn giản ta giả sử quan hệ kề lưới có chung cạnh Thuật tốn hồn tồn giống với thuật tốn duyệt chiều rộng đồ thị bình thường Ta coi ô (i,j) lưới đỉnh Tuy nhiên có khác biệt lớn duyệt đỉnh kề với ô (i.j) biểu di n quan hệ kề cách khó khăn Và để giảm bớt thời gian tính tốn người ta đưa cách biểu di n liệu qua hai mảng dh, dc Từ ô đến ô kề với ta xác định hướng Ví dụ: Theo quan hệ kề xác định từ ô (i,j) lưới đến ô: (i,j + 1); (i,j - 1); (i + 1; j); (i - 1; j ) Như ta quy ước hướng từ ô i, j đến khác hình vẽ: (i - 1; j ) hướng (i,j - 1) hướng (i,j + 1) (i,j) hướng (i + 1; j) hướng Hình 13.20 Hướng di chuyển robot Như ta quy định hướng biểu h, h = 1,2,3,4 - đh [h] độ tăng giảm số hàng ô kề với ô (i,j) - dc [h] độ tăng giảm số cột ô kề với (i,j); Đối với tốn cụ thể mảng dh dc cố định khơng thể thay đổi Khi duyệt đỉnh kề ô (i,j) ta cần duyệt tất hướng để tới Trong trường hợp mảng dh dc khai báo sau: Trang 113 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 int [] dh = {0,-1,0,1}; int[] dc = {1,0,-1,0}; Một thay đổi mảng trước mảng hai chiều Giá trị truoc[i,j] đánh dấu hướng để từ phía trước tới (i,j) Do lật ngược lại ta phải thay đổi hướng góc 1800 Vì phải coi đỉnh ô nên hàng đợi q duong phải thay đổi phần cài đặt Chú ý không bên ngồi lưới ta coi bên ngồi lưới đặt vật cản => Biểu di n ma trận a[i,j] a[i,j] = khơng có vật cản; a[i,j] = có vật cản Trang 114 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012 Bài 14 Một số ứng dụng đồ thị Bài toán luồng cực đại có nhiều ứng dụng việc giải tốn tổ hợp Khó khăn phải xây dựng mạng tương ứng cho việc tìm luồng cực đại tương đương với việc giải toán tổ hợp đặt Mục giới thiệu số toán 14.1 ài tốn đám cưới vùng q Có m chàng trai vùng quê Đối với chàng trai ta biết cô gái mà vừa ý Hỏi tổ chức đám cưới chàng trai sánh duyên với gái mà vừa ý Ta xây dựng đồ thị với đỉnh biểu thị chàng trai gái, cịn cung biểu thị vừa ý chàng trai với gái Khi ta thu đồ thị hai phía Ví dụ 14.1 Có chàng trai { T1, T2, T3,T4} cô gái { G1, G2, G3,G4, G5} Sự vừa ý cho bảng sau Chàng trai Các cô gái mà chàng trai ưng ý T1 G , G4 , G5 T2 G2 T3 G2, G3,G4 T4 G2 , G4 Đồ thị tương ứng cho hình 14.1 Hình 14.1 Mạng tương ứng với toán đám cưới vùng quê Trang 115 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Đưa vào điểm phát s điểm thu t Nối s với tất đỉnh biểu thị chàng trai, nối t với tất đỉnh biểu thị cô gái Tất cung đồ thị có khả thơng qua Bắt đầu từ luồng 0, ta tìm luồng cực đại mạng xây dựng theo thuật toán ford-Fulkerson Từ định lý tính nguyên, luồng cung số Rõ ràng luồng cực đại đồ thị có giá trị Vmax = m, tốn có lời giải, cung với luồng cách tổ chức đám cưới thoả mãn điều kiện đặt Ngược lại, tốn có lời giải Vmax = m Bài toán đám cưới vùng quê trường hợp riêng toán cặp ghép đồ thị hai phía mà để giải xây dựng thuật toán hiệu 14.2 ài toán hệ thống đại diện chung Cho tập m phần tử X={ z1, z2, ,zm} Giả sử hai dãy tập X Dãy gồm n phần tử khác X: gọi hệ thống đại diện chung hai dãy cho tìm hốn vị s tập {1, 2, .,n} cho < a1, a2, ,an> hệ thống đại diện phân biệt hai dãy , tức điều kiện sau thoả mãn:  Ai  Bs (i), i = 1, 2, ,n Xây dựng mạng G = (V, E) với tập đỉnh V = { s, t}  { x1, x2, ,xn}  {u1, u2, ,un}  { v1, v2, ,vn}  { y1, y2, ,yn} đỉnh xi tương ứng với tập Ai, đỉnh yi tương ứng với tập Bi, phần tử uj, yj tương ứng với phần tử zj Tập cung mạng G xác định sau E = { (s, xi): 1≤i≤n}  { (xi,uj): với zj  Ai, 1≤i≤n, 1≤j≤m}  { (uj,vj):1≤j≤m}  {(vj, yi): với zj  Bi, 1≤i≤n, 1≤j≤m}  { (yi, t): 1≤i≤n} Khả thông qua tất cung đặt D dàng thấy hệ thống đại diện chung hai dãy tồn mạng G=(V,E) tìm luồng với giá trị n Để xét tồn luồng sử dụng thuật tốn tìm luồng cực đại từ s đến t mạng G=(V, E) 14.3 ài toán tối ưu rời rạc Trong mục ta trình bày thuật tốn xây dựng dựa thuật tốn tìm luồng cực giải toán tối ưu rời rạc mơ hình tốn học cho số toán tối ưu tổ hợp Xét toán tối ưu rời rạc: (1) f(x1,x2, ,xn) = với điều kiện Trang 116 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 (2) (3) aij  { 0,1} , i = 1, 2, , m; j=1, 2, n, pi –nguyên dương, i = 1, 2, ,m Bài tốn (1)-(3) mơ hình tốn học cho nhiều toán tối ưu tổ hợp thực tế Dưới ta dẫn vài ví dụ điển hình ài tốn phân nhóm sinh hoạt Có m sinh viên n nhóm sinh hoạt chuyên đề Với sinh viên i, biết + aij =1, sinh viên i có nguyện vọng tham gia vào nhóm j, + aij =0, ngược lại, + pij số lượng nhóm chuyên đề mà sinh viên i phải tham dự, i = 1, 2, ,m; j=1, 2, ,n Trong số cách phân sinh viên vào nhóm chuyên đề mà họ có nguyện vọng tham gia đảm bảo sinh viên i phải tham gia pi nhóm, tìm cách phân phối với số người nhóm có nhiều sinh viên tham gia nhỏ Đưa vào biến số xij = 1, sinh viên i tham gia vào nhóm j, xij = 0, ngược lại, i = 1, 2, ,m, j=1, 2, .,n, d thấy mơ hình tốn học cho tốn đặt tốn (1)-(3) ài tốn lập lịch cho hội nghị Một hội nghị có m tiểu ban, tiểu ban cần sinh hoạt ngày phịng họp phù hợp với Có n phòng họp dành cho việc sinh hoạt tiểu ban Biết aij = 1, phòng họp i thích hợp với tiểu ban j, aij=0, ngược lại, i = 1, 2, ,m, j =1, 2, .,n Hãy bố trí phịng họp cho tiểu ban cho hội nghị kết thúc sau ngày làm việc Đưa vào biến số xij = 1, bố trí tiểu ban i làm việc phòng j, xij =0, ngược lại, Trang 117 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 i =1, 2, ,m, j =1, 2, .,n, d thấy mơ hình tốn học cho tốn đặt tốn (1)-(3), pi=1, i =1, 2, ,m 14.4 Một số toán liên quan đến việc tổ chức mạng vận chuy n bưu Các toán tối ưu mạng, phần lý thuyết đồ thị hữu hạn lý thuyết toán học ứng dụng rộng rãi kinh tế, quân Người đặt móng cho lý thuyết đồ thị nhà toán học Euler, với “bài toán bảy cầu” tiếng vào năm 1736 Trong trình khai thác khía cạnh khác tốn, nhà toán học đặt sở lý luận cho lý thuyết toán học đời, lý thuyết đồ thị hữu hạn (lý thuyết Graph) Đến lý thuyết đồ thị hữu hạn nghiên cứu ứng dụng hầu hết lĩnh vực hoạt động kinh tế xã hội, cơng cụ tốn học sắc bén nghiên cứu hệ thống kỹ thuật -công nghệ, hệ thống kinh tế -xã hội, hệ thống quân sự, hệ thống bưu vi n thông v.v Trong năm gần nhờ hỗ trợ công nghệ thông tin máy tính điện tử, lý thuyết graph trở thành công cụ hiệu quả, động giải nhiều tốn liên quan đến nghiên cứu phân tích hệ thống Mơ hình định tuyến mạng đường thư cấp Mạng đường thư cấp thực chất đồ thị có đỉnh nút trung tâm Bưu Bưu điện trung tâm Vận chuyển nút mạng qua đường trực tiếp qua nút trung gian Do xuất toán lựa chọn tuyến đường vận chuyển Tức phải cách vận chuyển từ nút tới nút khác cần phải qua nút trung gian Giữa đỉnh có cung liên kết chúng có đường vận chuyển trực tiếp với Để giải toán xác định đường vận chuyển bưu cần có khái niệm sau: Lưu lượng (luồng) vận chuyển bưu gửi: Số lượng bưu gửi xuất nút mạng cần phải chuyển tới nút mạng khác Đại lượng tính đơn vị thời gian (giờ, ngày, tuần, tháng), gọi tải trọng Do đặc điểm không đồng tải trọng theo ngày tuần tháng năm nên ta xét tải trọng trung bình ngày để lập kế hoạch vận chuyển (thống kê tháng tiêu biểu chia trung bình cho ngày) Trong mơ hình, tải trọng nút mạng biểu di n dạng ma trận mà phần tử (ij) hiểu tải trọng ngày từ nút mạng i tới nút mạng j Trang 118 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Khả lưu thoát nút mạng số lượng bưu gửi khai thác nút mạng ngày Khả lưu phụ thuộc vào nhiều yếu tố diện tích mặt bằng, mức độ giới hoá, tự động hoá, tổ chức sản xuất, mức độ không đồng tải trọng, tần số thời gian khởi hành phương tiện vận chuyển Giá trị cung (chiều dài cung) giá thành vận chuyển đơn vị sản phẩm theo cung liên kết, thời gian vận chuyển nút mạng Đơn vị sản phẩm túi thư, container bưu kiện tuỳ vào toán cụ thể Giá thành vận chuyển đơn vị sản phẩm biểu di n qua chiều dài cung thời gian vận chuyển nút mạng ài toán lập kế hoạch vận chuy n bưu gửi Trước tiên, xét hai nút mạng cần trao đổi bưu gửi, nút mạng nguồn ws, nút đích wt, luồng tải trọng từ nguồn tới đích là: (x1 , ,xj , ,xn) cung dj với xj > tạo thành tuyến vận chuyển tải trọng xj từ nguồn ws tới đích wt , tuyến vận chuyển xác định tập hợp nút mạng (hay tập hợp cung) tham gia vào tuyến vận chuyển Như vậy, toán định tuyến mạng vận chuyển bưu gửi cần xác định luồng bưu gửi từ nút mạng tới nút mạng khác cần phải qua nút trung gian để tối thiểu hố chi phí vận chuyển tồn mạng, đồng thời việc lựa chọn tuyến đường cần thoả mãn điều kiện ràng buộc thời gian tồn trình khả lưu thoát nút mạng Trong mạng vận chuyển bưu chính, mạng đồng thời thực nhiều luồng trao đổi, luồng có nút khởi đầu nút kết thúc Do vậy, cần đưa vào ký hiệu luồng véc tơ xq: xq =(xq1, , xqj, ,xqn) Xq cần thoả mãn điều kiện không âm điều kiện bảo toàn luồng nghĩa là: AXq =Vq Xq ≥ Trong đó: Vq: véctơ tất phần tử 0, ngoại trừ hai phần tử tương ứng với nút mạng khởi đầu nút kết thúc có giá trị -vq Vq (vR lưu lượng cần vận chuyển luồng); A: Ma trận liên kết cung nút chứa m dòng n cột m số nút mạng n số cung Ma trận A mơ hình định tuyến mạng vận chuyển luồng cần xác định Trang 119 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ môn Công nghệ phần mềm - 2012 Ma trận liên kết cung nút graph G = (W,D), ký hiệu A=[aij] có kích thước m x n với phần tử xác định sau: 1, wi đỉnh đầu cung dj aij = −1, wi đỉnh cuối cung dj 0, wi khơng đỉnh đầu cuối cung dj Ngồi luồng Xq phải thoả mãn điều kiện ràng buộc không vượt khả khai thác nút mạng wi Xét véc tơ Pi (Pi1, Pi2, Pin) Pi = l dj hướng tới đỉnh wi Pi = ngược lại Véc tơ Pi dịng i ma trận liên kết cung nút A mà tất phần tử -l thay Như vậy, điều kiện ràng buộc khả lưu thoát nút mạng là: Trong đó: hi : Khả Lưu nút mạng W r: Số đơi nút mạng mạng có trao đổi bưu gửi Tiêu chí tối ưu toán vận chuyển bưu gửi sau: Giả sử C (C1,C2, Cn) Véctơ chi phí vận chuyển Cj cước vận chuyển l đơn vị sản phẩm qua cung dj (chiều dài cung dj) Khi chi phí vận chuyển là: Z = CX1 + + CXq + + CXr = C(X1 + + Xq + + Xr ) → Vậy mơ hình vận chuyển tối ưu là: min[Z = C(X1 + + Xq + + Xr)] P1(X1 + + Xq + + Xr) ≤ h1 Pm(X1 + + Xq + + Xr) ≤ hm AX1 = V1 AXq = Vq AXr = Vr Trang 120 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Công nghệ phần mềm - 2012 Trong trường hợp điều kiện hạn chế khả lưu nút mạng, toán định tuyến mạng bưu đơn giản tốn tìm đường ngắn đơi nút mạng Bài tốn tìm đường ngắn giải thuật toán dán nhãn Dijkstra Mơ hình mạng đường thư thành phố Mạng đường thư thành phố đồ thị đỉnh bưu cục Hai đỉnh đồ thị nối kết với cung liên kết chúng có tuyến đường Trong thành phố bưu cục có đường thư, nên đồ thị kết nối theo kiểu điểm nối điểm Đồ thị mạng đường thư thành phố đồ thị có hướng khoảng cách i tới j j tới i không trùng (đường chiều) Giá trị cung biểu di n khoảng cách thời gian vận chuyển nút mạng chi phí vận chuyển nút mạng Ta có chi phí vận chuyển nút mạng là: cịj = krij rij : Khoảng cách nút i nút j (cần xác định theo khoảng cách thực tế phải lựa chọn rij đường ngắn nhất, tức phải thoả mãn điều kiện rij ≤ rik + rkj cạnh tam giác nhỏ tổng cạnh cịn lại) k: Chi phí vận chuyển l km ô tô Thời gian vận chuyển cung ij Vij : Vận tốc vận chuyển ô tô từ nút i tới nút j t0j : Thời gian trao đổi nút mạng j Khi tổ chức mạng đường thư sử dụng phương thức đường thẳng, đường vòng hỗn hợp Mạng đường vịng có ưu điểm sử dụng phương tiện vận chuyển hiệu Do thành phố thường sử dụng đường vòng tính kinh tế Bài tốn Bài tốn tổ chức mạng đường thư thành phố xác định hành trình tơ phải qua nút mạng nào, theo trình tự để đảm bảo chi phí vận chuyển tồn mạng nhỏ (hoặc tổng quãng đường hay tổng thời gian vận chuyển nhỏ nhất) đồng thời thoả mãn ràng buộc thời gian vận chuyển ô tô dung lượng vận chuyển tơ Trang 121 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 Trong hệ thống khai thác tập trung tồn Bưu điện trung tâm Nếu chia nút mạng làm hai loại nguồn đích, nút mạng trung tâm nguồn, nút mạng cịn lại đích ngược lại Trong mơ hình vận chuyển bưu gửi thành phố, đỉnh đồ thị đặc trưng số lượng bưu gửi mà cần nhận từ qi ngược lại cần gửi ri Trong đó: 0: nút nguồn i = l ÷ N : đích Trong hệ thống khai thác phân tán đồ thị chia thành đồ thị con, đồ thị có nút mạng nguồn việc giải toán thực tế giải toán Nếu mạng vận chuyển thành phố chủ yếu ô tô, ta giả sử: M: số ô tô toàn mạng Qj - dung lượng j ô tô, phụ thuộc vào loại ô tô T - thời gian vận chuyển tối đa cho phép đường thư T xác định dựa định mức (T = giờ) Qj = (Pj / b, Vj / d) Trong Pj : tải trọng tơ; Vj : thể tích vận chuyển tơ; b: Khối lượng trung bình túi thư; d: thể tích trung bình túi thư Mơ hình tốn học Giả sử gọi xijk ẩn cần tìm, xijk = tuyên vòng k, đỉnh j tới sau đỉnh i, Xijk = trường hợp ngược lại, mơ hình tốn học toán mạng đường thư thành phố là: Biến Xijk cần thoả mãn ràng buộc sau: Trang 122 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn Cơng nghệ phần mềm - 2012 j=0÷N (1) k = ÷ M, p = ÷ N (2) k=1÷M (3) k=1÷M (4) Trong t0i : thời gian trao đổi nút mạng i (l): Do đỉnh đồ thị thuộc tuyến đường vòng; (2): Đối với đỉnh, số lượng cung vào phải đỉnh; (3): Ràng buộc dung lượng ô tô; (4): Ràng buộc thời hạn vận chuyển tơ Đây tốn tổng quát mạng vận chuyển thư thành phố Bài tốn tìm hành trình bưu tá qua n điểm trường hợp riêng có tuyến đường vịng qua n điểm (M=1), cịn tốn cần xác định M tuyến đường cho M ô tô cần thoả mãn hạn chế (ràng buộc) tiêu thời gian dung lượng vận chuyển ô tô TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Ngơ Đắc Tân, Viện Tốn Học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 [2] Toán rời rạc, Nguy n Đức Nghĩa, Nguy n Tô Thành, NXB Giáo dục, Hà nội 1997 [3] Lý thuyết đồ thị, Đặng Huy Ruận, NXB ĐHQG, 1997 [4] Discrete Mathematics && Its Applications, 6th Edition, Kenneth H Rosen, McGraw Hill, 2007 [5] H&&book of Discrete && Combinatorial Mathematics, Kenneth H.Rosen (chief of editor), CRC Press, 2000 Trang 123 ... =T5 =1; PT2 P=TPT; Do nên ta có TP2 T= PTP; TP2 T= P2 ; 1=P5 = P2 P3 =( TP3 T) P3 =( TP3 )2 =[T(TP3 T)P] =[ T3 P3TPTP ]2 = =TTTPPPTPTPTTTPPPTPTP Trang 26 PT2 T= T2 ; Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bộ mơn... chưa xét dấu xét 2 1 ,2, 3,4,5, 6 2, 1, 4, 3, 5 2, 1, 4, 6, 3 1 ,2, 3,4,5, 4 1 ,2, 3,4,5, 1 ,2, 3,4,5, 6 1 ,2, 3,4,5, Trang 41 Giáo trình TỐN RỜI RẠC Bài Bộ môn Công nghệ phần mềm - 20 12 Cây khung 7.1 Cây... 22 3.1 Định nghĩa 22 3 .2 Các ví dụ 22 3.3 Định lý Euler thuật toán Flor 23 Bài Đồ thị Hamilton 26 4.1 Định nghĩa 27