BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ KIỀU NGA MỘT SỐ QUỸ TÍCH CỦA MÔĐUN HỮU HẠN SINH TRÊN VÀNH ĐỊA PHƯƠNG NOETHER Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Nghệ An - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Thị Kiều Nga Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi - PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã tận tình dìu dắt tôi từ những bước chập chững đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học. Với tất cả niềm say mê khoa học và tâm huyết của người thầy, cô không chỉ dạy tôi về tri thức toán học mà còn dạy tôi phương pháp nghiên cứu, cách phát hiện và giải quyết vấn đề. Hơn nữa, cô còn luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi những lúc tôi gặp khó khăn trong cuộc sống. Tôi thấy mình thật may mắn khi được làm khoa học dưới sự hướng dẫn của cô. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn thứ hai của tôi - TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Cô đã luôn quan tâm, nhắc nhở và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập, nghiên cứu. Có những lúc khó khăn trong cuộc sống đã làm tôi nản chí, lúc đó cô như người chị kịp thời động viên, khích lệ giúp tôi vượt qua mọi khó khăn. Tôi xin trân trọng cám ơn GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy là người đầu tiên đưa tôi đến với Đại số giao hoán và tận tình dạy dỗ tôi từ khi tôi còn là học viên cao học. Như một người cha, thầy vẫn luôn quan tâm và giúp đỡ tôi trong học tập và trong cuộc sống. Tôi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán- Trường Đại học Vinh đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập. Tôi xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo và đồng nghiệp trong Tổ Đại số - Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm nghiên cứu sinh. Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôi những tình cảm trìu mến. Tôi xin cám ơn các anh chị em trong nhóm xêmina Đại số trường Đại học Thái Nguyên về những trao đổi khoa học và chia sẻ trong cuộc sống. Xin cám ơn em Trần Đỗ Minh Châu và em Trần Nguyên An đã dành cho tôi những tình cảm quý báu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình. Những người luôn động viên chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công. Tôi xin cám ơn Chồng và hai Con trai yêu quí, những người đã chấp nhận mọi khó khăn, gánh vác toàn bộ công việc cho tôi để tôi yên tâm học tập. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này. Nguyễn Thị Kiều Nga 5 Mục lục Mở đầu 7 1 Kiến thức chuẩn bị 21 1.1 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . 24 1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . 27 1.4 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay 33 2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Liên hệ với tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 41 2.3 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay . . . . . . . . 47 3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 54 3.1 Giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . 60 4 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 73 4.1 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen- Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2 Liên hệ với môđun chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Kết luận và kiến nghị 92 Các công trình liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 93 6 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Cho (R , m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Ta luôn có depth M  dim M. Nếu depth M = dim M thì ta nói M là môđun Cohen-Macaulay. Lớp vành và môđun Cohen- Macaulay đóng vai trò trung tâm trong Đại số giao hoán và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều, Tổ hợp và Hình học đại số. Nhiều mở rộng của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay đã được giới thiệu và quan tâm nghiên cứu. Hai mở rộng đầu tiên là lớp vành (môđun) Buchsbaum và lớp vành (môđun) Cohen-Macaulay suy rộng. Với mọi hệ tham số x của M, đặt I(x; M) = (M/xM) − e(x; M), trong đó e(x; M) là số bội của M ứng với hệ tham số x. Ta luôn có I(x; M)  0 với mọi hệ tham số x của M và M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I(x; M) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M. Vì thế, năm 1965, D. A. Buchsbaum [7] đã đưa ra giả thuyết rằng I(x; M) là một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M. Năm 1973, W. Vogel và J. St¨uckrad [54] đã xây dựng hàng loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết của D. A. Buchsbaum là không đúng, đồng thời họ nghiên cứu lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện trong giả thuyết của D. A. Buchsbaum. Các môđun này được gọi là môđun Buchsbaum. Sau đó N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [50] đã giới thiệu và nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M) < ∞, trong đó cận trên lấy theo mọi hệ tham số x của M, và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suy 7 rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán. Hai mở rộng tiếp theo dựa vào tính chất không trộn lẫn của môđun Cohen-Macaulay. Ta biết rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì dim R/p = d với mọi p ∈ Ass R M. Khi nghiên cứu cho trường hợp môđun trộn lẫn, R. P. Stanley [47] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen- Macaulay dãy cho các môđun phân bậc, sau đó được P. Schenzel [45], N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] định nghĩa cho môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương. Mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng cho trường hợp môđun trộn lẫn, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã giới thiệu khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Hai mở rộng khác của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay là lớp vành (môđun) giả Cohen-Macaulay và lớp vành (môđun) giả Cohen- Macaulay suy rộng. Cho x = (x 1 , . . . , x d ) là hệ tham số của M. Đặt Q M (x) =  t>0 ((x t+1 1 , . . . , x t+1 d )M : M x t 1 . . . x t d ). Khi đó Q M (x) là môđun con của M và xM ⊆ Q M (x). R. Hartshorne [27] đã chỉ ra rằng, nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì xM = Q M (x) với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M, tức là J(x; M) = e(x; M) −   M/Q M (x)  = 0. Hơn nữa, nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì sup J(x; M) < ∞, trong đó cận trên lấy theo các hệ tham số x của M (xem [16]). Vì thế, năm 2003, N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] đã nghiên cứu lớp môđun M thỏa mãn điều kiện J(x; M) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x của M. Họ gọi lớp môđun này là môđun giả Cohen-Macaulay. Đồng thời N. T. Cường và L. T. Nhàn [19] cũng nghiên cứu lớp môđun M với tính chất sup J(x; M) < ∞ trong đó cận trên lấy theo tập tất cả các hệ tham số x của M và họ gọi chúng là môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng. 8 Tóm lại, cùng với lớp môđun Cohen-Macaulay, các lớp môđun Buchsbaum, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay và môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng đã trở thành những lớp môđun được quan tâm trong Đại số giao hoán và cấu trúc của chúng đã được biết đến thông qua các công trình [12], [13], [19], [24], [25], [45], [46], [47], [48], [49],[50], [53] Tuy nhiên, nghiên cứu các quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay là một hướng nghiên cứu thời sự cần được quan tâm của Đại số giao hoán. Các nghiên cứu trước đây về quỹ tích không Cohen-Macaulay chỉ tập trung chủ yếu về tính chất đóng theo tôpô Zariski (xem R. Hartshorne [28], P. Schenzel [53]) hoặc về chiều của quỹ tích (xem [10], [11]) khi vành cơ sở R "tốt”, chẳng hạn khi R là thương của một vành Gorenstein địa phương. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay với vành cơ sở tùy ý, đồng thời nghiên cứu tính chất của quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn của vành, các điều kiện Serre của môđun và tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức. Chúng tôi cũng đặt vấn đề nghiên cứu một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương Noether ". 9 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận án là mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay và quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng. Đồng thời chứng minh một số kết quả mới về các quỹ tích này trong mối quan hệ với tính catenary, tính catenary phổ dụng, các điều kiện Serre, tính Cohen-Macaulay của các thớ hình thức, chiều của các môđun đối đồng điều địa phương và kiểu đa thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là một số quỹ tích của môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether liên quan đến tính Cohen-Macaulay. 4. Phạm vi nghiên cứu Lĩnh vực nghiên cứu của luận án là Đại số giao hoán. Luận án tập trung nghiên cứu về môđun hữu hạn sinh trên vành giao hoán địa phương Noether. 5. Phương pháp nghiên cứu Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng các tập giả giá giới thiệu bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [5], đồng thời đưa ra khái niệm giá suy rộng để mô tả các quỹ tích. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng một số lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán để nghiên cứu như lý thuyết đối đồng điều địa phương, lý thuyết phân tích nguyên sơ, lý thuyết biểu diễn thứ cấp, kiểu đa thức 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Các kết quả của luận án làm phong phú hướng nghiên cứu về các quỹ tích của môđun hữu hạn sinh, đồng thời làm rõ thêm cấu 10 [...]... nay việc nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay chỉ tập trung vào tính đóng hoặc tính toán chiều của nó mà chưa quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích này Một số quỹ tích khác của môđun hữu hạn sinh liên quan đến tính Cohen-Macaulay còn chưa được nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến vấn đề mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay... với một số điều kiện về chiều của các iđêan nguyên tố liên kết của M, quỹ tích giả Cohen-Macaulay (quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng) của M chính là phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M/UM (0) (phần bù của quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M/UM (0)), với UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d Trong trường hợp tổng quát, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa quỹ tích giả... bày về quỹ tích không Cohen-Macaulay dựa theo bài báo [20] và một phần bài báo [39] Mục 2.1 mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua các tập giả giá và đưa ra một số kết quả về tính đóng của quỹ tích không Cohen-Macaulay (Định lý 2.1.5) Mục 2.2 đưa ra mối quan hệ của quỹ tích không Cohen-Macaulay với tính catenary của vành R/ AnnR M , điều kiện Serre của M và tính không trộn lẫn của các vành địa phương. .. gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của N với giá I Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận án Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không phụ thuộc vào vành cơ sở (xem [4, Định lý 4.2.1]) Chú ý rằng, nếu f : R → R là một đồng cấu vành và N là R -môđun thì N có cấu trúc R -môđun cảm sinh. .. Vì vành thương của vành catenary là vành catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa thức hữu hạn biến trên R là catenary Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng Trước hết, chúng ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộn lẫn theo thuật ngữ của M Nagata [36] 23 Định nghĩa 1.1.6 Vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu vành đầy đủ m-adic R của. .. iđêan nguyên tố p của R ta có ht p + dim R/p = dim R Một loại đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.5 (Xem [33]) Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng nếu mỗi R-đại số hữu hạn sinh là catenary Giả sử S là R-đại số hữu hạn sinh Khi đó tồn tại a1 , , at ∈ S sao cho S = R[a1 , , at ] Do đó S đẳng cấu với một vành thương của vành đa thức R[x1... Cohen-Macaulay và môđun M đẳng chiều thì nGCM(M ) đóng khi và chỉ khi p(M ) 1 (Mệnh đề 3.2.4) Kết quả thứ ba của luận án là mô tả một số quỹ tích khác như quỹ tích không Cohen-Macaulay dãy, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng dãy, quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc Công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu các quỹ tích này là...trúc một số lớp môđun đang được quan tâm trong Đại số giao hoán như môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay, môđun giả Cohen-Macaulay suy rộng 7 Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Cho (R, m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại duy nhất m Cho M là R -môđun hữu hạn sinh. .. triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương tại cấp cao nhất với giá tùy ý (xem [4, Định lý 8.2.1]) 26 Nhìn chung môđun đối đồng điều địa phương không là môđun hữu hạn sinh và cũng không là môđun Artin Định lý sau (xem [4, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6]) chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin Định lý 1.2.7 Giả sử rằng (R, m) là vành địa phương và... tổng quát (khi R là vành địa phương Noether tùy ý), đồng thời nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay trong mối quan hệ với tính catenary, tính không trộn lẫn của vành, điều kiện Serre đối với môđun Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay Nội dung của chương được trình 33 bày dựa theo bài báo [20] và một phần của bài báo [39] 2.1 Quỹ tích không Cohen-Macaulay . TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Nghệ An - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Cho (R , m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđ an cực đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều d. Với I là iđ an của. quan tâm động viên và và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi làm nghiên cứu sinh. Tôi vô cùng biết ơn cô Tạ Thị Phương Hòa đã luôn giành cho tôi những tình cảm trìu mến. Tôi xin cám ơn các anh