Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 1 Mobile: 0976 266 202 I. Tóm tắt lý thuyết Phương trình dạng chính tắc của Elip là   2 2 2 2 : 1 x y E a b   , trong đó 0 a b   . Elip có tâm đối xứng là gốc tọa độ   0,0 O . Điểm     , M x y E  thì các điểm       , , , , , M x y M x y M x y     cũng thuộc   E . Elip   E có độ dài trục lớn bằng 2 a , độ dài trục nhỏ bằng 2 b . Tọa độ bốn đỉnh của Elip là         1 2 1 2 ,0 , ,0 , 0, , 0, A a A a B b B b   . Tọa độ bốn đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của   E là         , , , , , , , A a b B a b C a b D a b     . Chu vi hình chữ nhật cơ sở của   E bằng   4 a b  . Elip có hai tiêu điểm   1 ,0 F c  là tiêu điểm trái và   2 ,0 F c là tiêu điểm phải. Elip có tâm sai 2 2 ,0 1 c a b e c a a      . Elip có hai đường chuẩn 2 : a a x e c      . Một điểm     0 0 , M x y E  ta có tính chất 1 0 MF a ex   và 2 0 MF a ex   , được gọi là bán kính qua tiêu điểm. Có thể lượng giác hóa phương trình elip theo cách đặt   cos , sin , 0,2 x a t y b t t     . II. Các dạng bài toán Dạng 1(Các bài toán này hay gặp trong đề thi TSĐH) Viết phương trình chính tắc của Elip   E dựa vào các điều kiện cho trước. Tư duy. Giả sử elip có dạng chính tắc   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 2 Mobile: 0976 266 202 Dựa vào điều kiện bài toán cho, thiết lập hệ hai phương trình để tìm ra a và b từ đó tìm được phương trình của Elip   E . Dạng 2. Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước Tư duy. Giả sử điểm cần tìm là   0 0 , M x y thuộc Elip ta có phương trình 2 2 0 0 2 2 1 x y a b   . Dựa vào giả thiết bài toán cho để thiết lập một phương trình thứ hai, giải hệ ta suy ra được   0 0 , x y . Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng cắt Elip tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước. Tư duy. Ta có thể viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc k , sau đó xét hệ phương trình tạo bởi   E và đường thẳng. Một đường thẳng đi qua một điểm   0 0 , M x y và có hệ số góc k có phương trình   0 0 y k x x y    . Phương pháp gọi điểm. Ta có thể giả sử tọa độ giao điểm là   0 0 , A x y , biểu diễn tọa độ giao điểm còn lại theo   0 0 , x y và giải hệ tìm ra   0 0 , x y , từ đó viết được phương trình đường thẳng cần tìm. Dạng 4. Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip. Tư duy. Nếu Elip cắt đường tròn hoặc cắt một elip khách thì chúng sẽ giao nhau tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự , , , A B C D và ABCD là hĩnh nhữ nhật. Để bốn điểm đó là bốn đỉnh của một hình vuông khi và chỉ khi tọa độ của bốn điểm thỏa mãn điều kiện 2 2 x y  . Dạng 5. Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Tư duy. Với dạng bài toán này bạn đọc chú ý sử dụng bất đẳng thức Cơ bản       2 2 2 2 2 m n p q mp nq     . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi mq np  . Hoặc có thể đưa Elip về dạng lượng giác hóa. Dạng 6. Tính chất hình học của Elip Tôi sẽ trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất hình học của Elip, bạn đọc chỉ nên đọc để tham khảo vì trong đề thi sẽ không đề cập đến dạng bài toán này. Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 3 Mobile: 0976 266 202 Dưới đây là một số bài tập mẫu tôi sưu tầm từ một số đề thi thử năm 2013 của các trường và diễn đàn toán học trên cả nước cũng như sáng tác, mời bạn đọc cùng theo dõi. Mong đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các sỹ tử trong kỳ thi đại học sắp tới. III. Bài tập mẫu Dạng 1. Viết phương trình chính tắc của Elip Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn   2 2 : 9 C x y   . Viết phương trình chính tắc của Elip   E có tâm sai bằng 1 3 , biết rằng   E cắt   C tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự , , , A B C D và 3 AB BC  , AB song song với trục hoành. Giải. Giả sử Elip     2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Tâm sai 2 2 1 3 c a b e a a     . Tọa độ bốn điểm , , , A B C D là nghiệm của hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 9 1 x y x y a b          . Dễ thấy ABCD là hĩnh chữ nhật và điểm   , A x y thì   , D x y  . Để 2 2 3 3 9 AB BC x y x y      . Suy ra 2 2 9 81 , 10 10 y x   . Ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 729 1 80 3 81 81 9 1 10 10 10 a b a a b a b                      . Vậy phương trình của elip cần tìm là Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 4 Mobile: 0976 266 202   2 2 : 1 729 81 80 10 x y E   . Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm   2 3,2 M . Viết phương trình chính tắc của Elip   E đi qua điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Giải. Giả sử   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Điểm     2 3,2 M E  nên 2 2 12 4 1 a b   . Ta có tọa độ hai tiêu điểm   1 ,0 F c  và   2 ,0 F c nên     1 2 2 3, 2 , 2 3, 2 MF c MF c          . Tam giác 1 2 FMF vuông tại M nên   2 2 2 2 1 2 . 0 4 12 0 16 MF MF c c a b            . Vậy ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 16 24 12 4 1 8 a b a b a b                  . Vậy phương trình cần tìm của Elip là   2 2 : 1 24 8 x y E   . Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm   2,1 M và đường tròn   2 2 : 21 C x y   . Viết phương trình chính tắc của Elip   E biết hình chữ nhật cơ sở của   E nội tiếp trong   C và điểm M nhìn hai tiêu điểm của   E dưới một góc 0 60 . Giải. Giả sử   E có phương trình chính tắc:   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Đường tròn   C có tâm là gốc tọa độ   0,0 O và bán kính 21 R  . Hình chữ nhật cơ sở của   E nội tiếp trong   C nên 2 2 2 21 a b R    . Hai tiêu điểm của   E là   1 ,0 F c  và   2 ,0 F c . Điểm  0 1 2 60 F MF  nên theo định lý hàm số côsin ta có 2 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2 . . os60 F F MF MF MF MF c   . Suy ra Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 5 Mobile: 0976 266 202             2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 1 1 2 . 1 2 1 2 . 1 2 10 2 c c c c c c c c                   . 2 2 2 4 2 2 2 2 3 3 34 75 0 25 3 c a b c c c a b                 . Với 2 3 c  ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 21 12 3 9 a b a a b b                  . Suy ra Elip   2 2 : 1 12 9 x y E   . Với 2 25 3 c  ta có hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 44 21 3 25 19 3 3 a a b a b b                    . Suy ra elip   2 2 : 1 44 19 3 3 x y E   . Vậy có hai elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là   2 2 : 1 12 9 x y E   và   2 2 : 1 44 19 3 3 x y E   . Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho biết Elip   E có chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng   16 2 3  , đồng thời một đỉnh của   E tạo với hai tiêu điểm một tam giác đều. Viết phương trình đường tròn   T có tâm là gốc tọa độ và cắt   E tại bốn điểm là bốn đỉnh của một hình vuông. Giải. Giả sử elip   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Chu vi hình chữ nhật cở sở của   E là       4 16 2 3 4 2 3 a b a b       . Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 6 Mobile: 0976 266 202 Xét đỉnh   0, M b của   E , tam giác 1 2 MFF đều nên 0 1 1 3 3 sin60 2 2 c MO MF MF b    . Lại có 2 2 2 c a b   , suy ra 3 2 a b  . Từ đây suy ra 8, 4 3 a b  . Vậy phương trình của Elip   2 2 : 1 64 48 x y E   . Giả sử đường tròn   T có phương trình   2 2 2 : , 0 T x y R R    . Xét hệ tạo bởi   E và   T . 2 2 2 2 2 1 64 48 x y x y R          . Khi đó nếu   E cắt   T tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự là , , , A B C D thì ABCD là hình chữ nhật. Nếu điểm   , A x y thì điểm   , D x y  và điểm   , B x y  . Để ABCD là hình vuông khi và chỉ khi 2 2 2 2 2 2 2 x y R x y x y       . Suy ra 2 2 1 1 384 . 1 2 64 48 7 R R           . Vậy phương trình đường tròn cần tìm là   2 2 384 : 7 T x y  . Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm   1,3 M  . Viết phương trình chính tắc của elip   E , biết   E đi qua M và khoảng cách giữa hai đường chuẩn của   E bằng 4 10 . Giải. Giả sử elip   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Điểm     1,3 M E   , ta có phương trình 2 2 1 9 1 a b   . Khoảng cách giữa hai đường chuẩn của Elip   E là 2 4 2 2 2 2 4 10 40 a a c a b c      . Vậy ta có hệ phương trình Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 7 Mobile: 0976 266 202 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 1 9 1 41 400 0 25 16 1 9 75 48 1 8 5 40 a a a a a b a b b a b a b                                       . Vậy có hai phương trình của Elip thỏa mãn yêu cầu bài toán là   2 2 : 1 75 25 8 x y E   và   2 2 : 1 48 16 5 x y E   . Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip   E đi qua điểm   3,4 A , biết rằng 1 F và 2 F lần lượt là tiêu điểm trái và tiêu điểm phải của   E thỏa mãn 1 2 2 AF AF  . Giải. Giả sử elip   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Do   A E  nên ta có phương trình 2 2 9 16 1 a b   . Tọa độ hai tiêu điểm   1 ,0 F c  và   2 ,0 F c . Bán kính qua tiêu điểm 1 .3 c AF a a   và 2 .3 c AF a a   Vậy 4 2 2 2 1 2 2 .3 2 .3 81 c c a AF AF a a c a b a a                . Ta có hệ phương trình 2 2 2 4 2 2 2 9 16 1 45 20 81 a a b a b a b                   . Vậy elip cần tìm có phương trình là   2 2 : 1 45 20 x y E   . Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip   E biết đường tròn nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh là bốn đỉnh của   E có bán kính bằng 12 5 và chu vi hình chữ nhật cơ sở của   E bằng 28 . Giải. Giả sử   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Chu vi hình chữ nhật cơ sở của   E bằng   4 28 a b   . Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 8 Mobile: 0976 266 202 Bốn đỉnh của   E lần lượt là         ,0 , 0, , ,0 , 0, A a B b C a D b   là bốn đỉnh của một hình thoi. Gọi H là hình chiếu của O xuống cạnh CD . Đường tròn tâm O , bán kính OH tiếp xúc với tất cả các cạnh hình thoi ABCD . Ta có 2 2 2 12 5 OCD S ab OH R CD a b      . Vậy ta có hệ phương trình 2 2 7 4 12 3 5 a b a ab b a b                . Vậy phương trình elip cần tìm là   2 2 : 1 16 9 x y E   . Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip   E biết rằng   E có độ dài trục lớn bằng 4 2 , các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm của   E cùng nằm trên một đường tròn. Giải. Giả sử elip   2 2 2 2 : 1, 0 x y E a b a b     . Độ dài trục lớn bằng 2 4 2 2 2 a a   . Các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn nên chúng cách đều gốc tọa độ, suy ra 2 2 2 2 2 a b c a b b       . Vậy elip cần tìm có phương trình   2 2 : 1 8 4 x y E   . Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 9 Mobile: 0976 266 202 Dạng 2. Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho Elip   2 2 : 1 9 4 x y E   , biết   1 5,0 F  và   2 5,0 F là hai tiêu điểm của   E . Tìm điểm M nằm trên   E sao cho 1 2 3 MF MF  . Giải. Giả sử điểm     0 0 , M x y E  ta có phương trình 2 2 0 0 1 9 4 x y   . Ta có 1 0 5 3 3 MF x   và 2 0 5 3 3 MF x   . Vậy 1 2 0 0 0 5 5 9 5 3 3 3 3 3 3 10 MF MF x x x                . Từ đó suy ra 0 55 5 y   . Vậy có hai điểm cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 9 5 55 , 10 5 M          và 2 9 5 55 , 10 5 M         . Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip   2 2 : 1 4 1 x y E   và điểm   2,0 A . Tìm hai điểm A và B trên   E sao cho tam giác ABC đều. Giải. Điểm   2,0 A là một đỉnh nằm trên trục lớn của   E nên tam giác ABC đều thì B và C đối xứng với nhau qua trục hoành. Gọi     0 0 0 , , 2 B x y E x   , ta có phương trình 2 2 0 0 1 4 1 x y   . Điểm   0 0 , C x y  , ta có   3 , 2 BC d A BC  . Suy ra   2 0 0 2 0 0 2 3 2 2 2 3 y x x y      . Từ đây ta có phương trình   2 2 0 0 0 0 2 2 1 2 4 3 7 x x x x            . Chỉ nhận nghiệm 0 0 2 4 3 7 7 x y    . Vậy có hai cặp điểm cần tìm là 2 4 3 2 4 3 , ; , 7 7 7 7 B C                  hoặc 2 4 3 2 4 3 , ; , 7 7 7 7 B C                  . Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Email: dangnamneu@gmail.com 10 Mobile: 0976 266 202 Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip   2 2 : 1 9 4 x y E   . Tìm tọa độ điểm M thuộc   E , biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của   E dưới một góc 0 90 . Giải. Gọi     0 0 , M x y E  , ta có phương trình 2 2 0 0 1 9 4 x y   . Tam giác vuông 1 2 MFF , có   1 0 0 5 , MF x y      và   2 0 0 5 , MF x y     . Vậy   2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 . 5 0 5 MF MF y x x y          . Ta có hệ phương trình 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 3 5 1 5 9 4 4 5 5 5 x y x x y y                      . Vậy có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 2 3 4 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 3 5 4 5 , ; , ; , ; , 5 5 5 5 5 5 5 5 M M M M                                     . Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip   2 2 : 1 4 3 x y E   có hai tiêu điểm   1 1,0 F  và   2 1,0 F . Tìm tọa độ điểm M thuộc   E sao cho 2 2 1 2 4 MF MF  đạt giá trị nhỏ nhất. Giải. Gọi điểm     0 0 , M x y E  , ta có phương trình 2 2 0 0 1 4 3 x y   và   0 2,2 x   . Bán kính qua tiêu điểm 1 0 1 2 2 MF x   và 2 0 1 2 2 MF x   . Vậy 2 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 1 1 5 4 2 4 2 6 20 2 2 4 MF MF x x x x                     . Xét hàm số 2 5 ( ) 6 20 4 f x x x    trên đoạn   2,2  ta tìm được giá trị nhỏ nhất của ( ) f x bằng (2) 13 f  . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0 2 x  , suy ra 0 0 y  . Vậy 2 2 1 2 4 MF MF  đạt giá trị nhỏ nhất khi   2,0 M . [...]... Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013  : x  2y  2  0 8 3 Với B  ,  đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và B có phương trình là 5 5  : 5 x  70 y  50  0 Vậy có hai đường thẳng cần tìm là  : x  2 y  2  0 và  : 5 x  70 y  50  0 Email: dangnamneu@gmail.com 13 Mobile: 0976 266 202 Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Dạng 4 Giao điểm của Elip. ..  và  E2  có phương trình là C  : x2  y 2  Email: dangnamneu@gmail.com 14 92 11 Mobile: 0976 266 202 Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 IV Các bài toán đã thi Câu 1(TSĐH Khối A 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , hãy viết phương trình chính tắc của elip  E  biết rằng  E  có tâm sai bằng Đáp số  E  : 5 và hình chữ nhật cơ sở của  E  có chu vi bằng 20 3 x2... 266 202 Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013  3 x0  2  2 4  3 y0  2   2 1  1 Vậy ta có hệ phương trình 2 2  x0 y0 2 2 1  x0 y0 2    1 1 4   52 y0  104 y0  133  0 4  1  2 2 3 x0  12 y0  13  0    3 x0  2   3 y0  2  3x  12 y  13  0  1  0 0   4 1 Hệ trên vô nghiệm, do vậy không tồn tại đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán 2 2 Câu...Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Dạng 3 Viết phương trình đường thẳng giao với Elip thỏa mãn điều kiện cho trước x2 y2   1 và điểm M  2,1 Viết phương 9 4 trình đường thẳng  cắt  E  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung điểm của AB Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip  E  : Giải Gọi A  x0 , y0   ... Oxy , cho elip  E  :     2 2 2 2 Đáp số A  2,  và B  2,   hoặc A  2,   và B  2,      2  2  2  2          Câu 3(TSĐH Khối A và A1 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  : x2  y 2  8 Viết phương trình chính tắc của elip  E  , biết rằng  E  có độ dài trục lớn bằng 8 và  E  cắt  C  tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông Đáp... bài toán 2 2 Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M  ,  và cắt 3 3 x2 y2 elip  E  :   1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho MA  2 MB 4 1 2 2 2 2       4 3 3 Giải Vì       1    0 nên điểm M nằm trong elip  E  Nên ta có MA  2 MB 4 1 9 Gọi điểm B  x0 , y0    E  , ta có phương trình 2 2   x0 y0   1 Gọi... 70 y  50  0 Email: dangnamneu@gmail.com 13 Mobile: 0976 266 202 Luyện thi đại học Môn Toán Tổng hợp bài toán Elip năm 2013 Dạng 4 Giao điểm của Elip với đường tròn hoặc Elip Câu 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho 2 elip  E1  : x2 x2 y2  y 2  1 và  E2  :   1 Viết 16 9 4 phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của  E1  và  E2  Giải Tọa độ giao điểm của  E1  và  E2... đường thẳng 8 x  9 y  25  0 , nên phương trình đường thẳng cần tìm là  :8 x  9 y  25  0 Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  1,1 đồng thời cắt elip  E  : Giải Vì  1 4 2  x2 y2   1 tại hai điểm phân biệt A và B sao cho MA  3MB 4 1   12 1  1   0 nên điểm M  1,1 nằm ngoài  E  Suy ra MA  3MB 1 4 Gọi điểm B  x0 , y0 ... 4(TSĐH Khối B 2012) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có AC  2 BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x 2  y 2  4 Viết phương trình chính tắc của elip  E  đi qua các đỉnh A, B, C , D của hình thoi Biết A thuộc Ox x2 y 2 Đáp số  E  :  1 20 5 Email: dangnamneu@gmail.com 15 Mobile: 0976 266 202