Một số bài hình học phẳng hay, và khó đã sưu tầm và giải. Bùi Đình Hiếu NTH 52vlpt.vn-Mạo Hỡi k2pi.net Bài 1:(Trích đề HSG số 10 diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014) Cho hình thang ABCD vuông ở A và B thảo mãn 11 23 AD AB BC . Gọi hình chiếu vuông góc các trung điểm của AB và CD xuống đường thẳng AC là H và N.Biết 6 13 HN  C(2; 4). Đỉnh A thuộc đường thẳng 5x+4y-4=0, đường thẳng 8x-5y- 11=0 đi qua đỉnh B. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, D. Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Đây là một bài toán hay, mới,vì mình lấy ý tưởng từ bài toán hình học vec-tơ của lớp 10. Đặt AD=a. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD. Hình chiếu vuông góc của D xuống BC là E. Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 . 3 . ( ) . 11 .13 6 . 22 . 2 ABBD ABBA a BCBD BC BE a ACBD AB BC BD ABBD ABBD a AC BD ACIJ AC a a a                   Mặt khác: 6 13 . 13 a ACIJ ACHN a HN HN    Theo bài ra ta có a=1. Từ đó: 22 3; 13.BC AC AB BC    Chú ý bài cho C(2; 4). Đỉnh A thuộc đường thẳng 5 4 4 0;8 5 11 0x y x y      đi qua đỉnh B. Bài toán đưa về tương giao đường thẳng và đường tròn. Tìm ra 56 111 (0;1); ; 41 41 AA     C(2; 1)hoặc 418 473 ; 89 89 C    Bài 2:(Đề thi HSG k2pi.net lần 6 2013-2014) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x-y+1=0, và đường tròn: 22 ( ): 2 4 4 0C x y x y     Tìm điểm M thuộc (d) sao cho qua M kẻ được các tiếp tuyến MA, MB, đồng thời khoảng cách từ 1 0; 2 N    đến đường thẳng đi qua A, B là lớn nhất. Lời giải: (Nguyễn Hữu Tú) Tâm I(1;-2) Ta có điểm M thuộc d nên M(a;a+1) Gọi K trung điểm của MI thì K 11 ; 22 aa    Đường tròn (C') tâm K,đường kính MI có phương trình 22 2 22 1 1 2 5 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 0 a a a a xx x y a x a y a                              Dễ thấy AB là giao điểm của (C) và (C') AB là trục đẳng phương của hai đường tròn nên có phương trình (1 ) ( 3) 2 0a x a y a      Khoảng cách từ N đến AB là / 22 7 () 2 (1 ) ( 3) Nd a d f a aa      Khảo sát hàm số f(a) ta được () 34 3 42 fa max a    Do đó 31 ; 22 M     Bài 3:(Trích đề thi HSG số 8 diễn đàn k2pi.net, năm học 2013-2014)Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB ngoại tiếp đường tròn bán kính r và nội tiếp đường tròn bán kính R mà 2 7 3 R r  . Biết phương trình đường thẳng AB là 2x- 4y+5=0. Biết đường thẳng AD qua N(8; 5). Xác định toạ độ điểm A? Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Gọi E và F là trung điểm của DC,AB, và I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang. Nên ta có I là trung điểm của EF. Đặt BAD   thì ta có: 2 . sin r AD BC   Đặt AB=x, CD=y thì: 4 cot .x y r   4 ;( ). sin r x y AB CD AD BC       1 cos 1 cos 2 . ; 2 . sin sin x r y r       2 2 2 2 2 2 2 22 1 cos 4 1 cos 2 . .cos 4 8 cos . sin sin sin r BD AB AD AB AD BAD r r                 2 22 2 2 2 2 cos 1 1 4 4 1 2 2 . 1 . sin sin sin r r BD r r                Do 2 1 2 .sin 2 1 sin BD R r      Nên theo giả thiết 2 7 3 R r  42 2 21 7sin 1 28sin 9sin 9 0. 3 sin            Giải ra ta có : 3 sin ( sin 0). 2 do   Vậy 60 . o BAD   Phương trình đường thẳng AD có dạng: ( 8) ( 5) 0 8 5 0.A x B y Ax By A B         Ta có , 60 o AD AB  22 22 | 2 4 | 1 3 8 3 0. 2 20 AB A AB B AB         22 16 11 0 8 5 3. A A AB B B         Tọa độ điểm A thỏa mãn: (1)2 4 5 0 ( 8 5 3) 40 3 59 0 (2) xy xy               Hoặc: (3)2 4 5 0 ( 8 5 3) 40 3 59 0 (4) xy xy               Bài 4:(Dạng toán chung với các bài liên quan tới Đường tròn 9 điểm Ơ-le) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC trọng tâm   1;2G . Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB,AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC là     22 3 2 25xy    Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: (Thục) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Ta thấy trọng tâm G của tam giác ABC cũng chính là trọng tâm của tam giác MNP, phép vị tự tâm G tỉ số k = - 2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua phép vị tự này. Gọi I ; R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC và I' ; R' là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác MNP. Suy ra I'(3;-2) ; R' = 5 Sử dụng công thức 2GI GI   và R = 2R' để tìm ra tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đây chính là đường tròn Euler, đường tròn này đi qua trung điểm ba cạnh tam giác, ba chân đường cao kẻ từ ba đình và trung điểm của mỗi đỉnh với trực tâm tam giác Bài 5: (Sưu tầm-nhiều đề thi) Cho tam giác ABC cân tại A , có D là trung điểm AB .Biết 11 5 13 5 , ; , 3 3 3 3 IJ             lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trọng tâm tam giác ADC . Biết   3, 1M  và   3,0N lần lượt thuộc CD ,AB .Tìm A,B,C biết tung độ của điểm A dương. Hướng giải: Trần Trung Hiếu Gọi G là trọng tâm ABC ta chứng minh được I là trực tâm DJG .Khi đó viết được pt(DC) suy ra toạ độ D tiếp đó viết pt(AG) suy ra toạ độ A sau đó là B.Viết pt ngoại tiếp ABC suy ra C Bài 6: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc Hứa)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có 135 o BAC  , phương trình đường cao kẻ từ B là 3x + y + 10 = 0, trung điểm cạnh BC là 13 ( ; ) 22 M  và trực tâm của tam giác ABC là H(0; -10). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC Lời giải: Nguyễn Tấn Sang: Ta có BH có 1 vtpt là (3;1) BH n  ( ; 10 3 ) ( )B BH B t t t R      Do B có tung độ âm nên 10 (1) 3 t  Vì trung điểm của BC : 13 ( ; ) (1 ; 7 3 ) 22 M C t t     ( 1; 17 3 )CH t t      Giả sử AB có 1 vtpt là 22 ( ; ) ( 0) AB n a b a b   Vì 135 45 oo BAC ABH |cos( ; )| cos45 o AB BH nn 2 2 2 2 3 1 2 (3 1 )( ) ab ab    2 2 2 (3 ) 5( )a b a b    (2 )( 2 ) 0a b a b    Vì 22 0ab nên từ đây ta suy ra (1; 2) ( 2;1) AB AB n n       TH1: Nếu ( 2;1) AB n  Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CH và AB vuông góc nhau, do đó ta có: . 0 1( 1 ) 2(3 17) 0 7CH AB t t t         (loại vì không thỏa (1)) TH2: (1;2) AB n  Tương tự TH1 ta cũng suy ra được t=3 (thỏa (1)). Suy ra ( 3; 1); (4; 2)BC   Đường thẳng AB đi qua B(-3; -1) và có vtpt là (1;2) AB n  nên ptts của AB là 32 () 1 xs sR ys           ( 3 2 ; 1 )A AB A s s      ( 7 2 ;1 )CA s s     Vì H là trực tâm tam giác ABC nên CA và BH vuông góc nhau, dó đó ta có . 0 1( 7 2 ) 3(1 ) 0 2 (1; 3)CABH s s s A             Thử lại: ta có ( 4; 2) (3;1)AB AC   12 2 1 cos( ; ) cos135 16 2. 9 1 2 o AB BC         (thỏa mãn). Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 3) ( 3) ( 1) 2 ( 1) ( 3) ( 4) ( 2) x IA IB x y x y y IA IC x y x y                            Và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 22 ( 1) ( 3) 5IA x y     Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1; 2) và đi qua A(1; -3)nên suy ra phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 22 ( 1) ( 3) 25xy    Vậy tọa độ các điểm: (1; 3), ( 3; 1), (4; 2)A B C    Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 22 ( 1) ( 3) 25.xy    Bài 7(Sưu tầm)Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H(-3;2) . Gọi D,E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng (d) : x-3y- 3=0 và điểm F thuộc đt DE . F(-2;3) và HD=2. Tìm tọa độ A. Lời giải: Gọi (AH): y=k(x+3)+2 thì: (DE): ky+x+2-3k=0 (Do DE đi qua F(-2;3) và DE vuông góc với AH ) Gọi AH cắt DE tại K thì: ;( ) 2 1 1 H DE k HK d k    Theo tính chất hệ thức lượng của tam giác vuông ADH thì: 22 41 (*) 1 HD k AH HK k    Mặt khác: A là giao của (d) : x-3y-3=0 và (AH) nên: 2 9 9 6 2 12 1 ; (1) (**) 1 3 1 3 1 3 k k k A AH k k k           Từ (*) và (**) thì: 2 1 3 3 1 9 k k k       Thay vào (1) ta được: 21 2 ; 55 A    Bài 8(Trích đề thi thử đại học diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014-đề số 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho hình bình hành ABCD với A(- 3;6). Biết tam giác ABC có . 60 2AB AC  và nội tiếp trong đường tròn có tâm I(1;3) và bán kính R=5 . Hình chiếu của điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d :x+2y-3=0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh B,C,D biết hoành độ hình chiếu của A lớn hớn 1 và hoành độ của điểm B bé hơn hoành độ điểm C Lời giải (thai dong) 1 1 . .sin . . .sin . 6 2. 2 2 2 ABC AB AC A AB AC S AB AC A BC AH AH BC R       Do Hd nên   3 2 ;H h h , với h<1. Ta có     22 6 2 6 2 6 72 0AH h h h        hoặc 36 5 h  (loại). Do đó H( 3;0 ) Suy ra phương trình đường thẳng BC là x-y-3=0. Mà phương trình đường tròn (ABC) là     22 1 3 25xy    . 22 3 6 30 ( 1) ( 1) 25 2 1 y x xy xy y x                            Do đó tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ phương trình Vì BC xx nên     1; 2 ; 6;3BC Ta có ABCD là hình bình hành       4; 8 6 ;3 2;11 . DD AB DC x y D        Bài 9:(Trích đề HSG k2pi.net-đề số 1/2013-2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho đường tròn 22 ( ):( 2) ( 3) 4C x y    và hai điểm A(2;-1), B(2;-5). Một đường kính MN thay đổi sao cho các đường thẳng AM,AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ biết điểm H nằm trên đường thẳng d : x+y +3=0. Lời giải: gsxoan Từ giả thiết ta thấy hai điểm A,B thuộc (C) và AB là đường kính của hình tròn Gọi H' là hình chiếu của H lên PQ và K là hình chiếu của P lên MQ Xét tam giác PHQ có hai đường cao là HH' và QK nên M là trực tâm của tam giác PHQ Mặt khác: Do MN là đường kính nên PA vuông góc với AQ Từ đó suy ra A thuộc HQ Xét tam giác NHM có AI song song MN và I là trung điểm của MN nên HM=AB=2AI. Suy ra BA MH Do ()MC nên H thuộc đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo BA Công việc của ta là xác định (C') 22 (0; 4); (2; 7); 2;( ):( 2) ( 7) 4BA I R R C x y             Từ đó suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: 22 30 ( 2) ( 7) 4 xy xy           H(2; -5);H(4; -7) Bài 10 (Trích đề thi thử đại học số 14/2012-2013 của k2pi.net) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy;cho tam giác ABC có 31 ( : ) 2 16 I và E(1;0) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Đường tròn (T) tiếp xúc với cạnh BC và các cạnh AB,AC kéo dài có tâm là F(2;-8) .Tìm tọa độ các điểm A,B và C biết A có tung độ âm. Lời giải:Trần Trung Hiếu Câu này gần giống câu trong đề thi HSG Nghệ An thì phải Gọi J là giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi đó có BJ=EJ và tam giác BEF vuông tại B suy ra J là trung điểm EF Ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là       2 2 2 2 2 2 3 1 65 : 2 16 16 3 65 :4 24 I x y J x y                         Suy ra (BC)có phương trình :y=-2 do đó     5, 2 , 2, 2BC   Bài 11(Trích đề thi thử ĐH của k2pi.net-đề số 12/2012-2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2 0d x y và hai đường tròn có phương trình lần lượt là 2 2 2 2 12 ( ):( 1) ( 1) 1 ;( ):( 3) ( 4) 4C x y C x y        . Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến MA,MB ( với A,B là tiếp điểm) đến đường tròn 1 ()C và đường tròn 2 ()C đồng thời đường thẳng d là đường phân giác trong của góc AMB. Hướng giải: Lê Tuấn Anh Ý tưởng của bài này khá đơn giản: 12 (1;1); ( 3;4)II Lấy đối xứng của MA qua 1 OI thì dễ thấy rằng nó tiếp xúc với 1 ()C tại C. Lại do tính chất đối xứng thì ( ; ) ( ; )CM d BM d do đó: MB tiếp xúc với 1 ()C tại C và 2 ()C tại B. Chứng minh tương tự cho MA. Từ chứng minh trên ta rút ra kết luận rằng: M chính là tâm phép vị tự biến 12 ( ) ( )CC [...]...  Bài 12 (Sưu tầm )Hình thang ABCD vuông tại A và D với CD =2 AB, có đỉnh B (1;2) .Hình chiếu vuông góc của D trên AC là H(-1;0) N là trung điểm của HC Phương trình đường thẳng DN là x -2y -2 = 0.Tìm tọa độ các điểm A, C, D Hướng giải theo Trần Trung Hiếu: Gọi K là trung điểm của DH.Khi đó ta có ABNK là hình bình hành và K là trực tâm ADN suy ra BN  DN Do đó tính được toạ độ N  C , A, D Bài 12: (Sưu tầm) Cho... đối xứng của B qua AH, không khó thấy rằng C   ;   8  3 11   3 Bài 16:(Trích đề thi HSG k2pi.net năm học 2013-2014 đề số 5) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) :  x 1   y 1  25 và các điểm A 7;9  ; B 0;8  Tìm 2 2 tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho biểu thức P  2MB  MA đạt giá trị lớn nhất Lời giải: Nguyễn Hữu Tú Bài này được chế từ một bài hình học tương tự:Tìm giá trị nhỏ nhất...  25 Bài 15:(Trích đề thi số 4 HSG k2pi năm học 2013-2014)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A đỉnh B thuộc đường thẳng d có ph ương trình x4y-2=0 cạnh AC song song với đường thẳng d Đường cao kẻ từ A có phương trình x+y+3=0 Điểm M(1;1) trên đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác? Bài giải: *Do tam giác ABC cân tại A, nên khi dựng hình bình hành AMEM' thì AMEM' là hình thoi và tâm... 3 3 Từ đây suy ra phương trình ngoại tiếp tam giác ABC là x2  y2 16x  2 y  0 Bài 18:( Trích đề thi HSG k2pi năm học 2013-2014 đề số 2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy; cho 2 đường thẳng d1:x-y-1=0 và d2:x-4y-4=0 cắt nhau tại I và điểm A(3;1).Tìm M thuộc d1 ;N thuộc d2 sao cho IM=2IN và P=AM+2AN đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải: Lê Tuấn Anh Áp dụng BDT Ptoleme: IM AN  IN AM  AI MN  IN (2 AN  AM ) ...  3 5 Bài 22 (Sưu tầm) Cho hình thoi ABCD có A(2;5), C (2;1),cos BAD  Xác định tọa độ các điểm B, C, D biết xB  0 Lời giải (?) Gọi I là tâm hình thoi thì I (0;3) BD  AC; AC (4; 4)  ( BD) : x  y  3  0 B(a; b)  b  a  3; a  0 I là trung điểm của BD D(a;3  a) AB(a  2; a  2); AD(2  a;  a  2) 3 | AB AC | 3 cos BAD     a  1  a  1(a  0) 5 | AB | | AC | 5  B(1;4); D(1;2) Bài 23:(Trích... D(6  3;1) Bài 24 (Trích đề thi thử đại học số 9, k2pi)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh bên Trên tia đối của tia CA lấy điểm E Phân giác trong góc BAC cắt BE tại D Đường thẳng d đi qua D song song với AB cắt BC tại F Tìm tọa độ giao điểm M của AF và BE biết phương trình đường thẳng AF: 2x+y-5=0 và I(-1;-3) là trung điểm của DF Lời giải: (Hoàng...  2b  0 b  5  a  6 thay vào (1) được: b2  6b  5  0     2b  a  4 b  1  a  2  M  2;1 Bài 26: (Trích đề thi thử đại học số 2 năm 2013-2014 , k2pi) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AO Gọi (C) là đường tròn tâm A , đường kính OD Tiếp tuyến của (C) tại D cắt CA tại E(-8;8) Đường thẳng vuông góc với ED tại E và đường thẳng đi qua A, vuông... 2BK Đẳng thức xảy ra khi B,K,M thẳng hàng Khi đó M(5;-2) hoặc M(1;6) Bài 17:(Trích đề thi HSG k2pi năm học 2013-2014 đề số 7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(2; 0); C(7; 5) Về phía nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng đi qua 2 đỉnh A, C, không chứa B, vẽ tam giác vuông ACE(vuông ở E) Biết diện tích tứ giác ABCE bằng 15, và đường thẳng đi qua 2 đỉnh B,E có phương trình 5x+y-8=0 Biết điểm E... D(1;2) Bài 23:(Trích đề thi thử đại học lần 3/2012-2013 của diễn đàn k2pi.net) Trong mặt ˆ phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình thoi ABCD có A  600 Trên các cạnh AB,BC lấy các điểm M,N sao cho MB  NB  AB Biết P( 3;1) thuộc đường thẳng DN và đường phân giác trong của góc MDN có phương trình là d : x  y 3  6  0 Tìm toạ độ đỉnh D của hình thoi ABCD Lời giải: Nguyễn Hữu Phương ˆ Từ giả thiết... 0;-1)  AI  13  2 AN  AM  65  260 34 Bài 19: (Sưu tầm )Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đường cao bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy Biết rằng điểm A(5; 5); trung điểm của cạnh bên BC là , đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình Tìm tọa độ các đỉnh B,C, D? Lời giải: (Bùi Đình Hiếu) Từ B kẻ BH vuông góc với CD Lấy E trên tia DC sao cho CE=AB thì ABEC là hình bình hành, do vậy BE=AC=BD, từ đó tam