Đang tải... (xem toàn văn)
Toán hình 9 hay bao gồm các vấn đề cơ bản ôn tập thi vào lớp 10, các bài toán hình và lời giải chi tiết thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10
VẤN ĐỀ 1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Nêu khái niệm đường tròn tâm O bán kính R. Cho đường tròn ; O R và điểm M. Xét vị trí tương đối của điểm M với ; . O R Nếu BC là đường kính của ; O R , A là điểm thuộc đường tròn thì ABC vuông tại A. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn , O điểm B nằm bên trong đường tròn . O Hãy so sánh OAB và . OBA Đs: . OAB OBA Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD có 12 , 16 . AD cm CD cm Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Đs: 10 . R cm Ví dụ 3: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm O đường kính BC, cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E. a) Chứng minh rằng , . CD AB BE AC b) Gọi . K BE CD Chứng minh rằng . AK BC C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1. Cho tam giác ABC. Hãy vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. a) Cho đường tròn , O A là một điểm bất kỳ nằm trên . O Gọi ' A là điểm đối xứng với A qua . O Chứng minh rằng ' A cũng nằm trên . O b) Từ kết quả câu a, kết luận về tâm đối xứng của đường tròn. 3. a) Cho đường tròn , O AB là một đường kính bất kỳ và C là một điểm nằm trên . O Gọi ' C là điểm đối xứng với C qua AB. Chứng minh rằng ' C cũng nằm trên . O b) Từ kết quả câu a, kết luận về trục đối xứng của đường tròn. 4. Chứng minh các định lý sau: a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền. b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngọai tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm sau đối với đường tròn ;2 : O 1; 1 , 2; 2 , 1;2 . M N P Đs: 2, 2, 5. OM ON OP 6. Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc Oy. Dựng đường tròn tâm M đi qua D, E sao cho M nằm trên tia Ox. 7. Cho hình vuông ABCD, O là giao của hai đường chéo, 2 . OA cm Xét vị trí tương đối của năm điểm , , , , A B C D O với đường tròn ; 2 . A cm 8. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC cạnh a. Đs: 3 . 3 a 9. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn . O Đường cao AH cắt đường tròn ở D. a) Vì sao AD là đường kính của . O b) Tính số đo góc . ACD c) Cho 24 , 20 . BC cm AC cm Tính AH và bán kính đường tròn . O d) Cho 12 , 4 . BC cm AH cm Tính bán kính đường tròn . O VẤN ĐỀ 2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chứng minh định lý 1: Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. a) Chứng minh định lý 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. b) Chứng minh định lý 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với một dây đó. Tứ giác ABCD gọi là tứ giác nội tiếp nếu có một đường tròn đi qua bốn đỉnh của nó. c) Như vậy, trong một đường tròn Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và ngược lại. B. CÁC VÍ DỤ MẪU Dạng 1: Dây cung với đường tròn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. a) Chứng minh rằng tứ giác BCHK nội tiếp. b) So sánh HK và BC. Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, các dây AC, AD. Gọi M là điểm bất kỳ trên (O), H, K lần lượt là hình chiếu của M trên AC, AD. Chứng minh rằng . HK AB Luyện tập 1. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và dây MN không cắt đường kính. a) Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A, B đến MN. Chứng minh rằng . HM KN b) Các đường vuông góc với MN kẻ từ M, N đến AB cắt AB lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng . AC BD Dạng 2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Ví dụ 3: Cho AB và CD là hai dây khác đường kính của đường tròn ; . O R Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng 2 2 2 2 . OH HB OK KD Luyện tập 2. * Cho đường tròn ; O R và điểm M cách O một khoảng . r r R Tính độ dài dây ngắn nhất và dài nhất qua M. 3. Cho đường tròn (O) và hai dây MN, PQ dài bằng nhau cắt nhau tại A. a) Chứng minh rằng OA là phân giác của hai góc tạo bởi MN và PQ. b) Chứng minh rằng . AN AQ C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 4. Cho tứ giác ABCD có 0 90 . A C a) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp. b) So sánh hai đường chéo AC và . BD Tứ giác ABCD là hình gì nếu . AC BD 5. Cho đường tròn (O) bán kính 11 . OA cm Điểm I nằm trên OA và 7 . OI cm Qua I kẻ dây MN dài 18 . cm Tìm độ dài IM, IN. 6. 7. Cho đường tròn (O), đường kính 2 . AD R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C. a) Tứ giác OBDC là hình gì? b) Tính , , . CBD CBO OBA c) Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 8. Cho đường tròn ;25 . O cm Hai dây AB, CD song song với nhau và có độ dài lần lượt bằng 40 ,48 . cm cm Tính khoảng cách giữa hai dây đó. 9. * Cho đường tròn , O hai dây AB và CD cắt nhau tại M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng , MH MK biết rằng . AB CD 10. * Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD. Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, B đến CD. a) Chứng minh rằng . AHKB ACB ADB S S S b) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết 30 , 18 . AB cm CD cm VẤN ĐỀ 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: Cho đường thẳng d và đường tròn ; . O R Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d. Khi đó ta có Số giao điểm của d và ; O R Vị trí tương đối giữa đường thẳng d và ; O R Quan hệ giữa khoảng cách OH và bán kính R 0 Không giao nhau OH R 1 Tiếp xúc nhau OH R 2 Cắt nhau OH R B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn , O ta làm như sau: Cách 1: Chứng tỏ rằng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính của đường tròn O . 1. Cho hình thang vuông ABCD có 0 90 , 12 , 13 , 9 . A D AD cm BC cm CD cm Chứng minh rằng đường thẳng ÀD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. Cách 2: Chứng tỏ rằng đường thẳng d đi qua một điểm của đường tròn O và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm B bán kính BA và đường tròn tâm C bán kính CA, chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm B bán kính BA. d O d d O O H H H 3. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng: a) Điểm E nằm trên đường tròn b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Dạng 2. Sử dụng kiến thức về tiếp tuyến để giải các bài toán khác Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính của đường tròn đi qua tiếp điểm. 4. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. a) So sánh CE và CF. b) Chứng minh rằng AC là tia phân giác góc . BAE c) Chứng minh rằng 2 . . CH AE BF 5. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d. 6. Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA. a) Tứ giác OCAD là hình gì? vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA = R. C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 7. Cho tam giác ABC vuông tại , A AB AC đường cao AH. Gọi E là điểm đối xứng với B qua H. Đường tròn đường kính EC cắt AC tại K. Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn. 8. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH. Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). 9. Cho đoạn thẳng AB và các đường thẳng 1 2 , d d lần lượt vuông góc với AB tại A, B. Gọi O là trung điểm của AB và qua O dựng một góc vuông cắt 1 2 , d d lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. 10. Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng kẻ qua I vuông góc với BD cắt AD tại E. a) So sánh các đoạn thẳng AE, EI, ID; b) Xác định trí tương đối của BD với đường tròn (E; EA). 10\1. Cho đường tròn (O; 15cm), AB là dây cung của đường tròn. Tìm tập hợp trung điểm I của AB khi AB thay đổi trong đường tròn (O), biết rằng AB = 24cm. ĐÁP SỐ VẤN ĐỀ 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN 1. Hướng dẫn: Sử dụng cách 1. Tìm được 13 . BC cm Gọi O là trung điểm của BC Đường tròn tâm O đường kính BC có bán kính 6,5 . R cm Kẻ . OH AD Phải chứng minh . OH R Thật vậy, do OH là đường trung bình của hình thang nên 1 6,5 . 2 OH AB CD cm R 2. Hướng dẫn: Sử dụng cách 2. Ta có 0 . . 90 . ABC DBC c c c A D Đường thẳng CD đi qua điểm D của đường tròn tâm B bán kính BA và vuông góc với bán kính BD nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đó. 3. a) Vì d là tiếp tuyến nên . OC d Ta có OC AE BF và O là trung điểm của AB nên OC là đường trung bình của hình thang ABFE. Do đó . CE CF b) Ta có EAC ACO (so le trong). Mặt khác ACO CAO (vì tam giác OAC cân tại O). Do đó EAC OAC Đpcm. c) Theo câu b) ta có . AE AH Tương tự . BF BH Ta có 2 . . . CH AH BH AE BF 4. Hướng dẫn: Sử dụng cách 2. Phải chứng minh 0 90 . HKO Gọi O là trung điểm của 1 . EC OKC OCK Ta có 0 90 . EKC Gọi M là trung điểm của AK HM là đường trung bình của hình thang ABEK HM AK HAK cân 2 . HAK AKH Từ (1) và (2) suy ra 0 0 90 90 . HKA OKC HAK OCK HKO 5. Hướng dẫn: Sử dụng cách 2. Ta có E thuộc đường tròn (O). Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O), chỉ cần phải chứng minh . DE OE Thật vậy ta có 0 90 . DEO DEB BEO DBH OHE DBH BHD 6. Vấn đề 4: TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU I. Tóm tắt lý thuyết Từ điểm M bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn thì chúng ta có các kết quả sau: - MA = MB - MO AB tại trung điểm H của AB. - OM là tia phân giác của góc AMB - , . OA MA OB MB Nếu từ M bên ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MCD thì ta có: MA 2 = MC.MD. II. Các ví dụ minh hoạ Bài 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là tiếp điểm). a) Chứng minh AO MN ; b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO; c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm. Bài 2: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB, AC kẻ từ A tới đường tròn vuông góc với nhau tại A (B, C là tiếp điểm). a) Tứ giác ABOC là hình gì? Tại sao? b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE. c) Tính số đo góc DOE. III. Luyện tập Trên lớp: Bài 3: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MD, ME với đường tròn (D, E là các tiếp điểm). Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MD và ME theo thứ tự tại P và Q. Biết MD =4cm, tính chu vi tam giác MPQ. Bài 4: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A thoả mãn OA = 5cm. Kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn. Gọi H là giao điểm của AO với BC. a) Tính OH. b) Qua điểm M bất kì thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE. [...]... Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết rằng AB = 4cm Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB và AC tại D và E a) Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao? b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết rằng AB = 3cm, AC = 4cm... giác OCAD là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I Tính CI biết OA = R Bài 11: Cho hình thang ABCD có A = B = 90 0, AB = BC = 1cm, AD = 2cm Cmr đường thẳng AC tiếp xúc đường tròn (D; 2 cm) Bài 12: Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA Đường thẳng kẻ từ I vuông góc với BD cắt AD tại E a) so sánh các đoạn thẳng AE,... giác của AOB b) OC vuông góc với AB Bài 9: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Cho biết AB > CD, cmr MH > MK Dạng 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Bài 10: Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường... OM, O’M’ thay đổi b) Tính SO và SO’ biết bán kính của hai đường tròn (O), (O’) lần lượt là 5cm và 3cm c) Tam giác AMM’ là tam giác gì? Vì sao? Bài 8: Cho hai đường tròn (O1, 5cm), (O2, 2cm) nằm ngoài nhau Một tiếp tuyến chung ngoài AB của hai đường tròn ( A (O1 ), B (O2 ) ) và một tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn C (O1 ), D (O2 ) ) Tính độ dài đoạn O1O2 biết AB=1,5CD Bài 9: Cho hai... là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết rằng AB = 4cm Dạng 6: Vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 15: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Dây AC của... nối tâm OO’ cắt hai đường tròn (O), (O’) lần lượt ở B và C DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (D (O), E (O' ) ) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD, CE Chứng minh: a) EMD 90 0 b) MA là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) c) MB.MD = ME MC Bài 5: Cho hai đường tròn (O; 2cm) và (O’; 3cm), OO’ = 6cm a) Hai đường tròn trên có vị trí tương đối như thế nào với nhau? b) Vẽ đường tròn... nhau, tiếp xúc trong, tiếp xúc ngoài Khái niệm tiếp tuyến chung của hai đường tròn và tính chất II Các ví dụ minh họa Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) và ( O’; R’) cắt nhau tại A và B Biết góc OAO' 90 0 , R = 6cm, R’=4,5cm a) Tính OO’, AB b) Gọi P là trung điểm của OO’, qua A kẻ cát tuyến vuông góc với AP cắt (O) và (O’) lần lượt tại C và D So sánh AC, AD, AB Bài 2: Cho hai đường tròn (O1) và (O2)... Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn , điểm B nằm bên ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I Hãy cho biết tứ giác ACBD là hình gì? Vì sao? Dạng 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Bài 7: Cho đường tròn (O) bán kính băng 25cm Hai dây cung AB và CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự 40cm, 48cm Tính khoảng... hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với M thuộc (O) và N thuộc (O’) Gọi P là điểm đối xứng với M qua OO’, Q là điểm đối xứng với N qua OO’ Cmr: a) MNQP là hình thang cân; b) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MN + PQ = MP + NQ . từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính của đường tròn O . 1. Cho hình thang vuông ABCD có 0 90 , 12 , 13 , 9 . A D AD cm BC cm CD cm Chứng minh rằng đường thẳng ÀD tiếp. 2. Phải chứng minh 0 90 . HKO Gọi O là trung điểm của 1 . EC OKC OCK Ta có 0 90 . EKC Gọi M là trung điểm của AK HM là đường trung bình của hình thang ABEK HM AK. AB. b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất. c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết rằng AB = 4cm. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A.