PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 4 Chng 2: B TÚC CÁC THUT TOÁN V MA TRN & H PHNG TRÌNH. Trong k thut ít khi ta tìm đc nghim chính xác ca các bài toàn di dng mt biu thc gii tích.  gii quyt khó khn này, phng pháp tính (PP tính, hay toán hc tính toán) cho ta các PP gn đúng, tìm nghim ca phng trình, h phng trình đi s, ca phng trình, h phng trình vi phân; cách tính gn đúng các đo hàm, vi phân, xp x các hàm phc tp hay hàm cho di dng bng s bng các hàm đn gin 1. Khái nim v các dng ma trn: 1.1. Khái nim: Trong vòng na th k nay, lý thuyt ma trn đã đc ng dng vào các ngành khoa hc nh toán, lý, c hc v.v Dng ma trn có u đim là giúp cho vic trình bày thut toán đc ngn gn, đn gin. ng thi, do mi quan h cht ch gia các đi lng liên quan, cung cp đc nhng thông tin đy đ v nhng điu cn bit trong lp lun tính toán và thc hành thit k. Mt khác, lý thuyt ma trn rt thun tin cho vic lp trình đ thc hin quá trình t đng tính toán, thit k trên máy tính đin t. Ma trn đc s dng rng rãi trong PP s vì: 1.Kí hiu ma trn là 1 trong nhng kí hiu cô đng và rõ ràng trong din toán. 2.Cho phép t chc 1 cách có h thng các s liu, rt phù hp vi tính toán trên MTT. 3.Có th nhn dng, vn dng, điu khin và phân tích nhng mng s liu bng nhng h thc toán hc cht ch và chính xác. Trong thc t ta thng gp 1 h n phng trinh đi s tuyn tính vi n n s, ví d: 20 32 24 12 123 23 xx xxx xx −= −+ − = −+ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ; Nu gp các h s, các n s và các s hng t do vào các mng, ta có th vit li di dng ma trn sau: 210 13 1 012 − −− − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ x x x 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ = 0 2 4 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ; Hoc cô đng hn: [A] {x} = {b} hay A x ⎯→⎯ = b ⎯→⎯ ; Tng quát: ax ax ax b ax ax ax b ax ax ax b nn nn mm mnnm 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 +++= +++= +++= ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⇒ [A] {x} = {b}; Trong c hc kt cu, ta đã bit rng gia các thành phn ni lc và các thành phn chuyn v ca mt phn t thanh trong h phng có mi quan h nh sau: PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 5 ;. . i i ii i u L AE N = ;. . . . . .12 2 2 1 23 i i ii i i ii i i ii i L IE L IE v L IE Q θθ −−= ;. .2 . .4 . .6 21 2 1 i i ii i i ii i i ii i L IE L IE v L IE M θθ ++−= ;. .4 . .2 . .6 21 2 2 i i ii i i ii i i ii i L IE L IE v L IE M θθ ++−= Trong đó: N i - lc dc trong phn t i; Q i - lc ct trong phn t i; M 1i - mô men un ti đu 1 ca phn t; M 2i - mô men un ti đu 2; u i - bin dng dc trc ca phn t i; v i - chuyn v thng tng đi (theo phng vuông góc vi trc thanh) gia 2 đu ca phn t; θ 1i - góc xoay ti đu 1 ca phn t; θ 2i - góc xoay ti đu 2; t ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = i i i i i M M Q N S 2 1 gi là vec t ni lc ca phn t; ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = i i i i i v u U 2 1 θ θ gi là vec t chuyn v ca phn t; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i ii i L IE L IE L IE L IE L IE L IE L IE L IE L IE L AE k .4.2.6 .2.4.6 0 .6.6.12 0 000 . 2 2 223 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = iii iii iii i efd fed ddb a 0 0 000 gi là ma trn đ cng ca phn t; Các h thc trên có th vit li di dng ma trn: S i = k i .U i ; Mt s bài toán có th đa v đi s ma trn: -Phân tích trng thái ng sut-bin dng trong kt cu, vt th; -Phân b dòng chy trong h thng thy lc phc tp; -Xác đnh biên đ dao đng trong các h c hc; -Phân b dòng đin trong mng phc tp; -Các bài toán trng (nhit, thm ); -Các bài toán v sóng và chuyn đng sóng; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 6 -Các bài toán không dng khác; -Các bài toán v ti u hóa; -Các bài toán phân tích thng kê v kinh t, xã hi 1.2. nh ngha: Ma trn là mt mng các s hoc ký hiu đc sp xp th t theo m hàng và n ct. Ta có các kí hiu khác nhau: A ≡ [A] ≡ [a ij ] ≡ aa a a aa a a aa a a aa a a jn jn i i ij in mm mj mn 11 12 1 1 21 22 2 1 12 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ; Phn t a ij nm trên hàng th i và ct th j. Tng quát, MT có m hàng và n ct (mng ch nht). Kích thc (c) ca MT là mxn. 1.3. Các loi Ma trn c bn: 1.3.1. Ma trn hàng: Ma trn ch có 1 hàng, c 1xn (m=1) Kí hiu: B ≡ [B] ≡ [b 1j ] ≡ [b 1 b 2 b n ]. Còn gi là vect hàng. 1.3.2. Ma trn ct: Ma trn ch có 1 ct, c mx1 (n=1) Kí hiu: c ⎯→⎯ ≡ [c] ≡ [c i1 ] T ≡ [c 1 c 2 c m ] T ≡ c c c m 1 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ; Còn gi là vect ct hay vect. 1.3.3. Ma trn vuông: Ma trn có s hàng và s ct bng nhau (m=n). Cp ca ma trn vuông là s hàng (ct) Tính toán đnh thc và nghch đo ch tin hành đc trên ma trn vuông. 1.3.4. Ma trn đng chéo: Ma trn vuông có các s hng bng 0 tr các s hng trên đng chéo chính. PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 7 Kí hiu: ⎡D⎦ ≡ ⎡d 11 d 22 d nn ⎦ ≡ ⎡d ii ⎦  tit kim ô nh, khi lu tr trong MTT ta dùng mng 1 chiu D(I) = d ii 1.3.5. Ma trn vô hng: Ma trn chéo nhng các s hng khác 0 đu bng nhau Kí hiu: ⎡ a ⎦ ≡ ⎡ a a a ⎦ vi a ij = akhii j khi i j = ⎧ ⎨ ⎩ 0# S vô hng là mt ma trn cp 1 (ch có 1 phn t). 1.3.6. Ma trn đn v: Ma trn chéo có mi s hng trên đng chéo chính bng 1. Kí hiu: [ I ] n ≡ ⎡ 1 1 1 ⎦ vi i ij = 1 0 khi i j khi i j = ⎧ ⎨ ⎩ # C ca ma trn đn v thng không cn bit. 1.3.7. Ma trn rng: Ma trn có mi s hng đu bng 0. Kí hiu: [ 0 ] n Tng t ta có vect không {0}. 1.3.8. Ma trn đi xng: Ma trn mà các s hng đi xng nhau qua đng chéo chính có giá tr bng nhau. a ij = a ji Ma trn đi xng rt hay gp trong các bài toán k thut.  tit kim ô nh thng ch cn lu tr mt na ma trn theo đng chéo chính. 1.3.9. Ma trn phn xng: Ma trn mà các s hng đi xng nhau qua đng chéo chính có giá tr đi nhau. a ij = - a ji Tt nhiên, các s hng trên đng chéo chính đu bng 0. 1.3.10. Ma trn tam giác: Có 2 loi: Ma trn tam giác trên (phi): Các s hng bên di (trái) đng chéo chính đu bng 0, Kí hiu: U (upper) Ma trn tam giác di (trái): Các s hng bên trên (phi) đng chéo chính đu bng 0, Kí hiu: L (lower) PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 8 i xng =0 Na dãi n 0 phn t 1.3.11. Ma trn vt (bng, dãi): Vi k đng chéo, các phn t không nm trên đng chéo chính và mt s đng chéo đu bng 0, tr các phn t khác nm trên bng (có trc là đng chéo chính) có b rng là k. Trong các bài toán c hc ta thng gp các loi ma trn bng đi xng. Khi đó ta có điu kin: a ij = 0 vi j > i + n 0 . Trong đó chiu rng ca bng s là k=2n 0 +1 (n 0 là s đng chéo có phn t ≠ 0  mt bên đng chéo chính. Khi n 0 = 0 ⇒ ma trn chéo) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x xx xx xxx xxx xxx xxx xxx ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ x xx xx xxx xxxx xxxx xxxx xxxx  tit kim b nh trên máy tính, các phn t ca ma trn đc lu tr trong mt ma trn ch nht: s hàng bng s hàng ca ma trn gc, s ct là n 0 +1. Cùng mt phn t nm trong 2 ma trn s có chung ch s hàng, còn ch s ct có quan h nh sau: j’ = j - i + 1; Trong đó: j’ là ch s ct trong ma trn ch nht, j là ch s ct trong ma trn vuông. 2. Các phép tính vi ma trn: 2.1. Phép chuyn trí: [A]T [A] T là ma trn chuyn trí ca [A] nu hàng ca [A] T là ct ca [A] và ngc li. Ta có a T ij = a ji Ví d: Cho [A] = abc def ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ s có [A] T = ad be cf ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; Nu [A] có c mxn thì [A] T có c là nxm; MT chuyn trí ca MT đi xng là chính nó: A T = A; o li nu có A T = A thì A là MT đi xng. Chuyn trí ca MT phn xng là MT đi: A T = -A; Chuyn trí ca MT chia khi là MT chuyn trí ca các MT con đã chuyn trí: [A] = AAA AAA 11 12 13 21 22 23 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⇒ [A] T = AA AA AA TT TT TT 11 21 12 22 13 23 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; 0 n 0 phn t PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 9 [A T ] T = A; 2.2. Phép cng, tr: [A] ± [B] iu kin: Các ma trn phi có cùng kích thc (m x n) Tng (hiu) ca ma trn [A] và [B] là ma trn [C] có các s hng: c ij = a ij + b ij Ví d: 231 012− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ± 112 240 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = ++ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ − −− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 34 3 232 12 1 252 () () tong hieu Phép cng và tr có tính cht giao hoán và kt hp: [A] ± [B] = ± [B] + [A]. [A] + [B] ± [C] = ([A] + [B]) ± [C]. ([A] ± [B]) T = [A] T ± [B] T . Cng (tr) hai ma trn c (m x n) nói chung phi thc hin m x n phép tính. Nu là ma trn đc bit (đi xng, bng) s phép tính có th gim. 2.3. Phép phân tích ma trn tha s: Mi [A] đu có th phân tích đc thành tng ca, hoc: +Hai ma trn: mt ma trn đi xng, mt ma trn phn xng. Cho ma trn [A], nu ký hiu: B 1 = 1 2 (A + A T ) (ma trn đi xng) B 2 = 1 2 (A - A T ) (ma trn phn xng) S có A = B 1 + B 2 ; Ví d: 15 27 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 135 35 7 . . ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ + 015 15 0 . . − ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ; +Ba ma trn: mt ma trn đng chéo, hai ma trn tam giác (trên và di). A = D + L + U Nu A đi xng thì L T = U, ta có A = D + L + L T 2.4. Phép nhân ma trn vi 1 vô hng λ : Tích ca [A] vi vô hng λ là 1 ma trn [C] vi các phn t đã đc nhân vi λ: c ij = λa ij . Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ Khi nhân vi (-1) ta đc ma trn đi du so vi ma trn xut phát: (-1)[A] = [-A]. Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân phi và tính kt hp: λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); (α + β)A = αA + βA; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 10 2.5. Phép nhân hai ma trn: [A].[B] iu kin: Hai ma trn phi tng thích, ngha là s ct ca ma trn đng tróc phi bng s hàng ca ma trn đng sau. Kí hiu:[C] mxp = [A] mxn .[B] nxp Qui tc: mun có s hng tng quát c ij phi nhân ln lt các s hng ca hàng th i ca [A] vi các s hng thuc ct th j ca [B] ri cng li: c ij = ab ir rj r n . = ∑ 1 (i= 1÷ m; j= 1÷ p) Ví d: 123 456 789 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ax by cz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = abcx yz abc x y z abcxy z ++ ++ ++ ++ ++ ++ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 23 23 456456 789789 ; S phép tính là m x n x p, tuy nhiên có th rút bt nu không thc hin vi các s hng rng, ví d vi ma trn bng đi xng: 2100 210 21 1 − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 4 1 2 3 ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ = ()() ( )() ( )() ()() ( )() ( )() ()() ( )() ()()()() 24 11 14 21 12 11 2 2 13 12 13 +− −+ +− −+ +− −+ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ = 7 4 0 1 − ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ;  đây ch thc hin 10 phép tính thay cho 4x4x1 phép tính. Tính cht ca phép nhân: 2.5.1. Phép nhân không có tính giao hoán: Nói chung A B # B A Vì: -A có th tng thích vi B, nhng B có th không tng thích vi A. -Nu c A và B ln B và A đu tng thích nhng kích thc 2 tích có th khác nhau, ví d: 1 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ [] 34 = 34 68 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ # [ ] 34 1 2 ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = 11; -Nu c 2 tích cùng kích thc cng có th khác nhau, ví d: 01 10 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ A 11 01 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ B = 01 11 1 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ C # 11 01 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ B 01 10 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ A = 11 10 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ C ; Vy bn cn phân bit th t các ma trn trong phép nhân. Trng hp hoán v đc khi: +Nhân MT vô hng vi MT vuông cùng cp: ⎡ λ ⎦ [A] = [A] ⎡ λ ⎦ = [λA] ≡ λλ λ λλ λ aa a aa a n nn nn nxn 11 12 1 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 11 +c bit vi MT đn v và MT rng: [ I ] [ A ] = [ A ] [ I ] = [ A ] ; [ 0 ] [ A ] = [ A ] [ 0 ] = [ 0 ] +Nhân 2 MT chéo cùng cp: ⎡ a ii ⎦ ⎡ b ii ⎦ = ⎡ a ii b ii ⎦ = ab ab ab nn nn 11 11 22 22 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ b ii ⎦ ⎡ a ii ⎦ ; 2.5.2. Tính kt hp và tính phân phi: Có th áp dng cho phép nhân nhng phi chú ý th t MT. -Kt hp: A B C = (A B) C = (A) (B C). -Phân phi: A (B + C) = A B + A C (A + B) C = A C + B C. (tn b nh hn v 1) α(A B) = α(A) B = A (αB). 2.5.3. Tính cht ca MT tích chuyn trí: (A B) T = B T A T ; (A B C) T = C T B T A T ; (A B C P Q) T = Q T P T C T B T A T ; (A A T ) T = (A T ) T (A T ) = A A T . (Vy A A T luôn đi xng) Nu A đi xng: (B T A B) T = B T A T B = B T A B. (Vy B T A B cng đi xng) Chú ý: Trong phép nhân MT tích có th bng 0, nhng cha chc 2 MT thành phn là MT rng [0]. Nhng ngc li, nu 1 trong 2 MT thành phn (A hoc B) là rng thì chc chn MT tích (AB hoc BA) là rng. Nói chung, không th gim c MT mt cách đn gin nh các s thng vì không có phép chia MT (AB = CB nhng cha chc A = C, ngc li thì đúng!). 2.6. Phép nghch đo ma trn: [A]-1 iu kin: 1. Ma trn vuông; 2. Không suy bin (det A # 0) nh ngha: Nghch đo ca MT vuông [A] là MT [A] -1 cùng kích thc vi [A] và tha mãn đng thc: [A] [A] -1 = [A] -1 [A] = [ I ]. Tính cht: 1. Nu A kh nghch thì A -1 tn ti duy nht; Thc vy, nu X là mt ma trn mà: X.A = I ⇒ X.A.A -1 = I.A -1 = A -1 ⇒ X.I = A -1 Tc là X = A -1 . 2. (A B) -1 = B -1 A -1 ; (A B M N) -1 = N -1 M -1 B -1 A -1 ; PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 12 Gi s X = A B ⇒ X -1 X = X -1 A B ⇒ I = X -1 A B ⇒ I B -1 = X -1 A B B -1 ⇒ B -1 = X -1 A. ⇒ B -1 A -1 = X -1 A A -1 ⇒ B -1 A -1 = X -1 . Vy B -1 A -1 = (A B) -1 . Vi k là 1 vô hng thì: (kA) -1 = A k − 1 ; 3. (A -1 ) -1 = A; D thy: A -1 (A -1 ) -1 = I ⇒ A A -1 (A -1 ) -1 = A I ⇒ I (A -1 ) -1 = A ⇒ (A -1 ) -1 = A. 4. (A T ) -1 = (A -1 ) T ; Ta có: (A -1 ) T A T = (A A -1 ) T = I T = I; Vy (A -1 ) T là nghch đo ca A T hay (A T ) -1 = (A -1 ) T ; 5. Nu A đi xng, A -1 cng đi xng. Ta có: (A T ) -1 = (A -1 ) T . Nu A là ma trn đi xng thì A -1 = (A T ) -1 = (A -1 ) T . Vy A -1 là ma trn đi xng. 6. Vi MT chéo gi: ⎡A 11 A 22 . . .A nn ⎦ -1 = ⎡A -1 11 A -1 22 . . . A -1 nn ⎦ . Các phng pháp nghch đo 1 MT vuông: 1. Gii h n phng trình n n s: [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A] -1 2. Gii bng MT liên hp A ~ vi phn ph S A ij . 3. Phng pháp Gauss (PP kh dn h s) 4. Phng pháp Jordan (Joocđng) 5. Phng pháp Cholesky (Khaletxki) (phân tích thành MT tam giác) 6. Phng pháp vin quanh (đo MT tam giác) 7. Phng pháp lp khác Thut toán và chng trình xác đnh MT đo theo PP kh Gauss: Bc 1: Cho MT A, lp MT đn v E (ta có A A -1 = E) Bc 2: Tin hành quá trình kh Gauss đi vi MT A, đng thi thc hin các thao tác tng t vi MT E. Kt qu nhn đc MT đo A -1 t MT E. (Thut toán kh Gauss xem phn gii h phng trình đi s tuyn tính) PHNG PHÁP S - Chng 2 Khoa XD DD&CN-BKN 13 2.7. Ma trn bin đi to đ: Trong các bài toán c hc, ta thng có nhu cu xác đnh các đc trng c hc ca các phn t hoc ca h kt cu (ni lc, ti trng, chuyn v ) trong các h to đ khác nhau cng nh bin đi to đ ca chúng t h to đ này sang mt h to đ khác. Gi s có vect A và 2 h to đ 3 chiu: h to đ chun (chung, toàn cc) X G ,Y G ,Z G và h to đ cc b (riêng) x L ,y L ,z L . To đ ca vect A trên h X G ,Y G ,Z G là A xG , A yG , A zG , và trên h x L ,y L ,z L là A xL , A yL , A zL . nh ngha côsin đnh hng gia 2 h to nh sau: () () ( ) () () () () () () )1.23( ;,cos;,cos;,cos ;,cos;,cos;,cos ;,cos;,cos;,cos 333231 232221 131211 − === === = == GLGLGL GLGLGL GLGLGL ZZYZXZ ZYYYXY ZXYXXX λλλ λλλ λ λ λ Ta có công thc chuyn trc to đ nh sau: )2.23( ; ; ; 333231 232221 131211 − ++= ++= ++= zGyGxGzL zGyGxGyL zGyGxGxL AAAA AAAA AAAA λλλ λλλ λ λ λ Hay h thc ma trn gia A xL , A yL , A zL và A xG , A yG , A zG nh sau: )3.23(;. 333231 232221 131211 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zG yG xG zL yL xL A A A A A A λλλ λλλ λλλ hay A L = T.A G ; (3-2.3a) Tng t ta có h thc ma trn gia A xG , A yG , A zG và A xL , A yL , A zL : )4.23(;. 332313 322212 312111 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ zL yL xL zG yG xG A A A A A A λλλ λλλ λλλ hay A G = T T .A L ; (3-2.4a) Ma trn T gi là ma trn bin đi to đ gia 2 h to đ x L ,y L ,z L và X G ,Y G ,Z G . Th (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: A G = T T . T.A G ; ⇒ T T . T = I ; Ngha là T T là nghch đo ca T. Hay T T = T -1 ; Ta gi T là ma trn trc giao. A X G Y G Z G A xG A yG A zG x L y L z L A yL A zL A xL [...]... DD&CN-BK N 31 PH 3 Gi i g n úng ph ng trình vi phân th b ng PP sai phân h u h n: 3.1 Gi i g n úng ph 3.1.1 M ng, ph ng trình vi phân th NG PHÁP S - Ch ng trình ng 3 o hàm riêng ng: u: R t nhi u các bài toán trong k thu t d n n vi c gi i các ph ng trình vi phân Tuy nhiên ch có m t s ph ng trình vi phân có l i gi i chính xác Vì v y, các ph ng pháp gi i g n úng ph ng trình vi phân có ý ngh a trong vi c... ng trình vi phân o hàm riêng v i bài toán không gian: a Sáu ph ng trình bi u th s liên h gi a bi n d ng và chuy n v , b Sáu ph ng trình bi u th s liên h gi a ng su t và bi n d ng, c Ba ph ng trình cân b ng ho c chuy n th s liên h gi a ng su t và t i tr ng, Tám ph ng trình ng (tu theo bài toán t nh hay ng) bi u i v i bài toán ph ng: a Ba ph ng trình liên h gi a bi n d ng và chuy n v b Ba ph ng trình. .. Gi i h ph a11x1 a 21x1 a n1x1 ng trình a12 x 2 a 22 x 2 a n2 x 2 NG PHÁP S - Ch ng 2 i s tuy n tính: a1n x n a 2n x n b1 b2 a nn x n bn [A] {x} = {b}; Trong th c t ma tr n h s A có th là: +Ma tr n y , không i x ng +Ma tr n b ng +Ma tr n 3.1 Ph i x ng ng pháp kh Gauss (kh n liên ti p): Th c ch t c a ph ng pháp Gauss là kh d n các ph c m t ma tr n tam giác trên Quá trình th c hi n b t u v i hàng th... phân và xây d ng l ng trình ng trình ng trình ó là nghi m g n úng c a sai phân sao cho: i s có nghi m duy nh t Khoa XD DD&CN-BK N 34 PH NG PHÁP S - Ch - Nghi m g n úng c a bài toán h i t nhanh v nghi m chính xác (khi l dày), hay nói cách khác là l c sai phân ph i n nh - Kh i l ng 3 i sai phân càng ng tính toán ít Sau ây ta s áp d ng PP trên th ng g p sau: gi i m t s bài toán ph ng trình sai phân o hàm... 1 A A’ ng trình tìm nghi m: T p h p t t c các ph ng trình (3-6.11), (3-6.12) c a các i m l i l p thành m t h PT STT Gi i HPT này ta s tìm c giá tr c a hàm u(x,y) t i các i m l i N u mi n D là hình ch nh t và h = k thì h ph d ng: ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 - 4ui,j = h2.fij Khoa XD DD&CN-BK N ng trình này n gi n nh t Khi ó (3-6.11) có 37 PH Ch ng 4: NG PHÁP S - Ch ng 4 NG D NG PH NG PHÁP S GI... ch y u sau: 1 Ph ng pháp sai phân h u h n; 2 Ph ng pháp sai-bi n phân; 3 Ph ng pháp ph n t h u h n; 4 Ph ng ng pháp ph n t biên; 5 Lý thuy t t ng ng n ng l ng; Các PP k trên c phân bi t theo b n ch t c a cách r i r c hóa k t c u liên t c Ch ng h n: PP sai phân h u h n d a trên s r i r c toán h c, trong ó các sai phân h u h n Khoa XD DD&CN-BK N o hàm c thay th b ng các 38 PH NG PHÁP S - Ch ng 4 PP... t ii ; (i n) 18 PH Ch ng trình gi i h ph ng trình NG PHÁP S - Ch ng 2 i s tuy n tính theo PP c i ti n Jordan Gauss: Gi i HPT STT b ng PP kh Gauss Ch ng trình con gi i HPT có ma tr n h s là MT tam giác START START Nh p n, A(aij), B(bi) (i, j = 1, 2, , n) Nh p n, A(aij), B(bi) (i = 1, 2, , n), i j n i = 1, 2, , n ann 0 sai úng aii 0 (N u aii=0 ph i và th t ph i v trí n s ng trình) xn = bn/ann i = n-1,... c sin x i 2 ; i 1 Các tham s a, b, c c xác a.n b Hay: a cos xi b a sin xi b nh t h ph cos xi c ng trình: sin xi cos 2 xi c sin xi cos xi sin xi cos xi c sin 2 xi Khoa XD DD&CN-BK N S a 0; S b 0; S c 0; yi ; yi cos xi ; yi sin xi ; 28 PH 2 Gi i ph ng trình i s và siêu vi t b ng ph NG PHÁP S - Ch ng 3 ng pháp g n úng: 2.1 Gi i thi u: xác nh t t c các nghi m có th có c a PT f(x) =0 trên o n [a,b] ta th... dùng vì PT siêu vi t th ng có tính ch t bi n thiên ph c t p 2 V th c a hàm y=f(x) trên o n [a,b] b ng m t ch ng trình (vi t b ng NN l p trình nào ó, ví d Pascal), sau ó xác nh các o n con có ch a nghi m d a vào th N u th c a hàm y=f(x) khó v thì có th thay ph ng trình f(x) = 0 b ng ph ng trình t ng ng h(x) = g(x), r i v th c a các hàm y = h(x) và y=g(x) Hoành c a giao c a hai th là nghi m c n tìm PP... v i h ph ng trình còn l i Vi c chia cho ph n t chính làm cho giá tr tuy t c sai s tính toán 3.3 Ph i c a phép chia là bé nh t vì v y gi m ng pháp c i ti n Jordan Gauss: N u trong ph ng pháp chia cho ph n t chính m i b c ta không b i dòng ch a ph n t chính và nh ng dòng ã ch a ph n t chính các b c tr c không tham gia vào vi c ch n ph n t chính trong các b c ti p theo thì ta s a h ph ng trình ã cho v