một số mở rộng của định lý giới hạn martingale của doob

cho: limsup X n ( )  b  n Với   A lim inf X ( )  a n  n  Trước tiên ta có: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ ln tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Vi n1   , n2  n1 cho với D  n , P ( D)  P ( A) với n  n2 tồn E  n mà P ( E )   , E  D  Ø thỏa mãn:  X n dP  E Thật vậy, ta giả thiết   (b  a ) P( A) 12 P ( A) Trước hết tìm k  n1 Al  k , cho:  P( A  Al )  Giả sử k đủ lớn để với n  k , ta có:   b  a   P   sup E p  X n   X p     k  pn  (1) Lập dãy  pi  : k  p1  p2   pl cho i  l Bi   X pi      b  Al \  X p  b j j i ta có:  P  Bi   il P ( A) ; Bi   p , i Đặt B   Bi Vì B  Al nên P  B \ A  il i l  Vì liminf X n  a tập A nên ta tìm dãy pl  q1  q2   qm cho n  j  m C j   X q  a  Bi \  X q  a  j i i j   Thì ta có:        PCj   P B  jm Đặt n2  qm Lấy n  n2 D  n với P  D   P  A Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Cho i l , đặt: b  a  p Hi   E i  Xn   X p   i      P  A P   Hi     i l  Từ (1) suy ra: Nếu đặt: Bil  Bi \  H i  D  ta có: Bil   p i  P  Bi   il l P  A l l l Đặt: B  Bi với Bi   p , i  l i i l ba  q K j   E j  Xn   Xq   j   Cho j  m đặt:    P  K j    j m    Theo (1), ta thấy   Đặt C lj  Bl  C j  K j Vậy C lj  q Cố định i  l , E  pi j  Xn   X p i   P  C j   P  Bl    j m l b  a 2b  a  tập Bil nên ta có: 3  pi l X dP  l E  Xn  dP   2b  a  P  Bil  n Bi Bi (2) Cho j  m đặt Li, j  Bil  C lj đặt M i  Bil \  Li , j j m Vì Li , j  q j Li , j ta có: E nên  q j Li , j  Xn   Xqj  X n dP   Li , j E q j b  a b  2a  3  X n  dP   b  2a  P  Li , j  Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Tng tt với j  m ta X n dP    b  2a  P  Bil \ M i   b  2a  P  Bil   Bil \ M i (3) Cùng với (2) suy ra: X n dP    Mi  X n dP M i  Bil X dP  n Bi1 X n dP    b  a  P  Bil  Bil \ Mi (4) Đặt E  M i Vì M i  qi ta có E  q  n tất nhiên E  D  ø l i l Hơn ta có:  P  E   P  Bl \  l   Cj    j m  Cuối cùng, tổng (4) với tất i  l ta có:  X n dP  E b  a  P  A 12   Theo định lí xây dựng dãy tăng chặt n p với tính chất sau: Khi D  n p , P  D   P  A n  n p 1 tồn E  n với tính chất: p 1 P  E   2 p P  A  , E  D  ø  X n dP   b  a  P  A E 12 Lấy n  n p , cho i  p Ta có tập hợp rời nhau: Di  ni , Dl  ø, P  Di   i P  A   D i X n dP  b  a  P  A  12 Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương p  1 p  a  P  A  Suy E Xn  Vậy lim E X n   12 Định lí hồn tồn chứng minh III.3 Trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian III.3.1 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên (Xn) tương thích với họ khơng giảm  - đại số  n , n   trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian, với   , tồn p  để với nm p , ta có: P  E  Xn / m   X m       II.3.2 Ví dụ Ví dụ1 Nếu (Xn) martingale L1 - tiệm cận (X n) trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian Thật vậy: Theo bất đẳng thức Trebưsep, với   , ta có: P  E  X n / m   X m      E E  X n / m   X m   Mặt khác, (Xn) martingale L1 - tiệm cận, nên với   , tồn p để với n  m  p , thỏa mãn: E  X n / m   X m   Do với n  m  p , ta có: P  E  X n / m   X m     E  X n / m   X m  2     Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương Vớ dụ2 Nếu (Xn) martingale tới hạn (Xn) trị chơi cơng dần theo thời gian Thật Theo định nghĩa, ta có với   , tồn p để với p  q  n thì:   P   sup E X n / q  X q          p  q n   Mặt khác ta có:     E X n / q  X     sup E X n / q  X q    q  p q  n      Suy     P E X n / q  X q    P  sup E X n /   X q      q  p q n      Vậy (Xn) trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian Ví dụ Ta có trị chơi khơng phải martingale tới hạn, khơng phải martingale L1 - tiệm cận Lấy (Ω, ,P) không gian xác suất Lebesgue đoạn (0,1] Với n   , n  , ta ký hiệu Qn phân hoạch đoạn (mở - đóng) (0,1] thành 2n đoạn (mở - đóng) Đặt : I n , 1 i i   2n có độ dài a0  , a1 = 1, n 1 an   2i n >1 i 1 Ta thành lập dãy  X k  , nh sau: Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng Với k  1, k  tồn n cho: an1  k  an Lúc ta định nghĩa: 2n1   n   I 2i1 n 2n1   I 2i Xk   trường hợp khác (Với i  k  an 1 tức  i  2n1 ) Ta thấy k   E X k    Lấy k    X i , i  k , k   Nếu m  k E  X m / k   Do đó: E  X m / k   X k Nếu chọn    X k với p  , tìm n cho an1  p  an Sau lấy Rõ ràng  an  k  an1    an 1  m  E  X m / k   X k  X k   Vậy  X k , k   martingale L1 - tiệm cận   Mặt khác P    sup  a  k a n   n1 Nên chọn        X k  2n1    1 với q  tìm n cho : an 1  q  an        qk  p   Sau lấy p  an1 , lúc : P   sup X k  2n      Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P   sup X k        qk  p 2   Cũng có nghĩa Như vậy: (X n) khơng phải martingale tới hạn   Ta có m  k E X m /   k   Mặt khác: P X k   2n1 với an1  k  an nên an1  k  an m  k , suy P  E  X m / k   Xk    2 n1 Dẫn đến với   , tồn p để với m  k  p thì: P  E  X m / k   Xk     Vậy  X k  trò chơi III.3.3 Định lý S tập đồng vĩ  , dãy  Xs, sS   X n , n  martingale L1 - tiệm cận Lúc (Xn) trị chơi (X n) phân tích : X n  M n  Pn , đó: (+)  M n , n  (+)  Pn , n  (+) Dãy martingale hội tụ đến theo xác suất  Ps , s  S   Pn , n   hội tụ đến L1 Điều kiện cần  Xs, sS  martingale L1 - tiệm cận, nên theo III.1.3 ta có: X n  M n  Pn , đó:  M n , n  martingale  Ps , s  S  hội tụ đến L1 Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com l Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P Ta phải chứng minh: Pn  Do (X n) trò chơi, nên với   cho trước, p0  , cho nếu: q , s  S với s  q  p0 , ta có:     P   E Xs / q  X q     (5)      L Mặt khác Ps  , nên tồn p  p0 cho : với s  S , với E  Ps   s  p , ta có: 2 (6) Kết hợp với (5) suy ra: n   , n  p ,ta có: P  Pn     P  X n  M n           P   E  X s / n   X n     P   E  X s /  n   M n           E  Xs / n   M n   E  Xs  M s     2   E  Ps          Vậy  Pn , n  hội tụ đến theo xác suất Điều kiện đủ Ngược lại, giả sử (Xn) có biểu diễn cho định L1 lý Lấy   cho trước, Ps  , tồn p  , cho với s  S , với s  p0 : E  Ps  2 P Mặt khác, Pn  , nên tồn p  , với p  p0 , cho với q  p có: Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Ta Kho¸ ln tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương P Pq      2  Điều với (6) chứng tỏ với mọi: q , s  S , s  q  p , ta có: P  E  X /    X s q q         P Xq  M q    2    E X s / q  M q   2    E  Xs  M s    E  Ps     2           P   E  X /    M  s  q q  Theo định nghĩa, (Xn) trị chơi ngẫu nhiên cơng dần theo thời gian Vậy định lý chứng minh III.3.4 Bổ đề: Nếu  X n , n trị chơi chứa dãy martingale tới hạn  Định lý III.3.3 bổ đề III.3.4 nhằm chứng minh cho định lý III.3.5 Tuy nhiên định lý III.3.5 giới thiệu kết mà không chứng minh III.3.5 Định lý Cho (X n) trị chơi cơng theo thời gian, thoả mãn điều kiện Doob, nghĩa là: sup E  X n    n Lúc (Xn) hội tụ theo xác suất đến b.n.n X khả tích Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ ln tốt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương KT LUN Tuy mi thức trở thành học thuyết tốn học (từ 1950) martingale nhanh chóng nhiều nhà tốn học hàng đầu Doob, Neveu, Chacon, Edgar, Sucheston, Shirayev, Talagrand… quan tâm nhiều Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com Kho¸ luËn tèt nghiệp Đỗ Thị Lan Hương ng dng to ln ca Vì mà việc nghiên cứu martingale số mơ hình martingale mở rộng cần thiết ln thời Do khố luận dừng việc giới thiệu số kết Doob, Neveu, Talagrand Đinh Quang Lưu Vì vậy, em rât mong có giúp đỡ, góp ý thầy để phát triển khoá luận theo hướng khác Một lần em xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Hắc Hải thầy cô giáo trường giúp đỡ em hồn thành khố luận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến_Vũ Viết Yên Lý thuyết xác suất (2001) [2] Doob J.L Stochastic processes, Willey and Sons, New York (1953) Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng [3] Luu.D.Q Convergence and lattice propertjes of a class of martingale like sequence Acta Math Hungary (1992) [4] Luu.D.Q On convergence in probability of martingale_like sequence, Studia Sci.Math, Hungary (1999) [5] Talagrand.M Some structure results for martingale in the limit and pramarts, Ann Probab (1985) [6] Doãn Đăng Thanh Luận văn thạc sĩ: Một số mơ hình martingale mở rộng (2000) Nguồn: http://baigiangtoanhoc.com ... có (*)  Định lý chứng minh Ngun: http://baigiangtoanhoc.com Khoá luận tốt nghiệp Đỗ Thị Lan H­¬ng CHƯƠNG III MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ DOOB III.1 Martingale L1 - tiệm cận III.1.1 Định nghĩa:... nhằm chứng minh cho định lý III.3.5 Tuy nhiên định lý III.3.5 giới thiệu kết mà không chứng minh III.3.5 Định lý Cho (X n) trị chơi cơng theo thời gian, thoả mãn điều kiện Doob, nghĩa là: sup... Hương ng dng to ln ca nú Vỡ mà việc nghiên cứu martingale số mơ hình martingale mở rộng cần thiết ln thời Do khố luận dừng việc giới thiệu số kết Doob, Neveu, Talagrand Đinh Quang Lưu Vì vậy,