DÃy số có qui luật I > Phơng pháp dự đoán quy nạp : Trong số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách ta biết đợc kết (dự đoán , toán chứng minh đà cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp hầu nh chứng minh đợc Ví dụ : TÝnh tæng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n2 Với n = 1;2;3 ta thấy kết giả sử với n= k ( k ≥ 1) ta cã Sk = k (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tức Sk+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 Tơng tự ta chứng minh kết sau phơng pháp quy nạp toán học 1, + 2+3 + + n = n(n + 1) 2, 12 + 2 + + n = n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)  3, +2 + + n =      3 4, 15 + 25 + + n5 = n (n + 1) ( 2n2 + 2n ) 12 II > Phơng pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta cã thĨ biĨu diƠn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dÃy số khác , xác , gi¶ sư : a1 = b1 - b2 a2 = b2 - b3 an = bn – bn+ ®ã ta cã : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) VÝ dơ : tÝnh tỉng : Ta cã : 1 = − 10.11 10 11 Do ®ã : S = Sn = 1 = − 11.12 11 12 , 1 = − 99.100 99 100 , 1 Sn = 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) ( n > ) 1 = 1- n = n +1 n +1 Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1 1 + + + + 10.11 11.12 12.13 99.100 S= 1 1 1 1 − + − + + − = − = 10 11 11 12 99 100 10 100 100 ã Dạng tổng quát Ta có Sn = = b1 – bn +  1 1  1 1  1 1 − −  +   + +   n(n + 1) − (n + 1)(n + 2)    1.2 2.3   2.3 3.4  2   1 1 1 1   1.2 − 2.3 + 2.3 − 3.4 + + n( n + 1) − (n + 1)(n + 2)   2   1 1 n(n + 3)   1.2 − ( n + 1)(n + 2)  = 4(n + 1)(n + 2)  2  VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 2n + VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = (1.2) + (2.3) + + [ n(n + 1)] Ta cã : Do ®ã 2i + [ i(i + 1)] = 1 − ; i (i + 1) Sn = ( 1- i = ; ; 3; ; n 1 1  1 1  ) +  −  + +  − n (n + 1)  2    n( n + 2) = 1- (n + 1) = (n + 1) III > Phơng pháp giải phơng trình với ẩn tỉng cÇn tÝnh: VÝ dơ : TÝnh tỉng ta viÕt l¹i S nh sau : S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101 ( 5) VËy S = 2101-1 Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p ≠ 1) VÝ dơ : tÝnh tỉng Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) =>Sn = 1+p ( Sn –pn )  Sn = +p.Sn –p P n +1 − -1 =>Sn = p −1 =>Sn ( p -1 ) = p n+1 n+1 VÝ dô : TÝnh tæng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p ≠ 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1 p.Sn=Sn- P n +1 − + (n + 1) P n +1 ( theo VD ) P −1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)p (n + 1) P n +1 p n +1 − p n +1 − − =>Sn = p −1 ( P − 1) P n+1 IV > Phơng pháp tính qua tổng đà biết ã Các kí hiệu : n ∑a i =1 i = a1 + a + a3 + + a n n ∑ (a • C¸c tÝnh chÊt : 1, i =1 n i n n + bi ) = ∑ + ∑ bi ; i =1 2, i =1 ∑ a.a i =1 n i = a ∑ i =1 VÝ dơ : TÝnh tỉng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 2 Ta cã : Sn = ∑ i(i + 1) = ∑ (i + i ) = ∑ i + ∑ i n V× : ∑ i = + + + + n = i =1 n( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) ∑i = i =1 n (Theo I ) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) + = cho nªn : Sn = VÝ dơ 10 : TÝnh tỉng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta cã : Sn = n n i =1 i =1 ∑ i(3i − 1) = ∑ (3i Theo (I) ta cã : Sn = − i) n n i =1 i ==1 = 3∑ i − ∑ i 3n(n + 1)(2n + 1) n( n + 1) − = n (n + 1) VÝ dơ 11 TÝnh tỉng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) Sn = (2n + 1) (2n + 2) 8n (n + 1) − 4 ( theo (I) – )=( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ VËn dông trùc tiÕp công thức tính tổng số hạng dÃy số cách ( Học sinh lớp ) ã Cơ sở lý thuyết : + để đếm số hạng dÃy số mà số hạng liên tiếp dÃy cách số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối số đầu 0) : ( khoảng cách ) + + Để tính tổng số hạng dÃy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu số cuối ) ( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dơ 12 : TÝnh tæng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè số hạng A : ( 132 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 VÝ dơ 13 : TÝnh tỉng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 sè sè h¹ng cđa B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm toán Ví dụ 14 : Chøng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tỉng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [ (k + 2) − (k − 1)] = k (k+1) C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) = 3k(k+1) (k + 2) − ( k − 1) = k (k + 1)(k + 2) k (k + 1)(k − 1) − 3 *  3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2 = 1.2.3 0.1.2 − 3 2.3.4 1.2.3 − 3 n( n + 1)( n + 2) ( n − 1) n( n + 1) n(n + 1) = − 3 2.3 = S= −1.2.0 (n + 2)n(n + 1) ( n + 1)n(n + 2) + = 3 VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng : k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tæng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [ (k + 3) − (k − 1)] = k( k+1) ( k +2 ) Rót : k(k+1) (k+2) = k (k + 1)(k + 2)(k + 3) (k − 1)k (k + 1)(k + 2) − 4 ¸p dơng : 1.2.3 = 1.2.3.4 0.1.2.3 − 4 2.3.4 = 2.3.4.5 1.2.3.4 − 4 n(n+1) (n+2) = Céng vế với vế ta đợc S = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n − 1)n(n + 1)(n + 2) − 4 n (n + 1)(n + 2)(n + 3) * Bài tập đề nghị : Tính c¸c tỉng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , 5, S = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 99.100 6, S = 4 + + + 5.7 7.9 59.61 7, A = n = 1,2,3 , 5 5 + + + + 11.16 16.21 21.26 61.66 8, M = 1 1 + + + + 2005 3 3 1 9, Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) 10, Sn = 2 + + + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 11, Sn = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =? Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi , đà kết hợp dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 1 1989 c, + + + 10 + + x( x + 1) = 1991 Hay toán chứng minh chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ l thõa cđa b, B =2 + 22 + + + 60  ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991  13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 Chuyên đề 1: dÃy số nguyên – ph©n sè viÕt theo quy luËt (1) D·y 1: Sử dụng công thức tổng quát n 1 = − a.(a + n) a a + n - - - Chøng minh - - - n ( a + n) − a a+n a 1 = = − = − a.(a + n) a.( a + n) a.(a + n) a.(a + n) a a + n  ∗ Bµi 1.1: TÝnh 3 3 + + + + 5.8 8.11 11.14 2006.2009 10 10 10 10 + + + + c) C = 7.12 12.17 17.22 502.507 a) A = ∗ Bµi 1.2: TÝnh: 1 1 + + + + 6.10 10.14 14.18 402.406 4 4 + + + + d) D = 8.13 13.18 18.23 253.258 b) B = 1 1 1 1 + + + + + + + + b) B = 2.9 9.7 7.19 252.509 10.9 18.13 26.17 802.405 3 − + − + + − c) C = 4.7 5.9 7.10 9.13 301.304 401.405 a) A = ∗ Bµi 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn: x 1 1 − − − − − = 2008 10 15 21 120 1 1 15 + + + + = c) 3.5 5.7 7.9 (2 x + 1)(2 x + 3) 93 a) b) 4 4 29 + + + + + = x 5.9 9.13 13.17 41.45 45 ∗ Bµi 1.4: Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiên n khác ta có: 1 1 n + + + + = 2.5 5.8 8.11 (3n − 1)(3n + 2) 6n + 5 5 5n + + + + = b) 3.7 7.11 11.15 (4n − 1)(4n + 3) 4n + a) ∗ Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n ∈ N ; n ≥ ta cã: 3 3 + + + + < 9.14 14.19 19.24 (5n − 1)(5n + 4) 15 ∗ Bµi 1.6: Cho A = ∗ Bµi 1.7: 4 16 16 + + + chøng minh: < A < 15.19 19.23 399.403 81 80 Cho d·y sè : 2 ; ; ; 4.11 11.18 18.25 a) Tìm số hạng tổng quát dÃy b) Gọi S tổng 100 số hạng dÃy Tính S Bài 1.8: Cho A = 1 1 + + + + Chøng minh < A < 9 ∗ Bµi 1.9: Cho A = 2 2 1003 + + + + A< 2 Chøng minh: 2008 2007 ∗ Bµi 1.10: Cho B = 1 1 334 + + + + B< 2 Chøng minh: 2007 2006 ∗ Bµi 1.11: Cho S = 1 1 + + + S< 2 Chøng minh: 12 409 ∗ Bµi 1.12: Cho A = 9 9 + + + + A< 2 Chøng minh: 11 17 305 ∗ Bµi 1.13: Cho B = + ∗ Bµi 1.14: Cho A = 24 48 200.202 + + + Chøng minh: B > 99,75 25 49 2012 11 18 27 1766 20 20 + + + + Chøng minh: 40 < A < 40 16 25 1764 43 21 ∗ Bµi 1.15: Cho B = 2 32 52 99 + + + + + Tìm phần nguyªn cđa B 1.3 2.4 3.5 4.6 98.100 ∗ Bµi 1.16: Cho C = + + 15 2499 + + Chøng minh C > 48 16 2500 ∗ Bµi 1.17: Cho M = 1 + + + Chøng minh M < 1+ + 1+ + + + + + + 59 ∗ Bµi1.18: 1.4 2.5 3.6 98.101 + + + + Chøng minh 97 < N < 98 2.3 3.4 4.5 99.100 Cho N = • Më réng víi tÝch nhiỊu thõa sè: 2n 1 = − a ( a + n)(a + 2n) a ( a + n) ( a + n)(a + 2n) Chøng minh: 2n ( a + 2n) − a a + 2n a 1 = = − = − a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n)(a + 2n) a (a + n) (a + n)(a + 2n) 3n 1 = − a (a + n)(a + 2n)(a + 3n) a ( a + n)(a + 2n) ( a + n)(a + 2n)(a + 3n) ∗ Bµi 1.19: TÝnh S = 2 + + + 1.2.3 2.3.4 37.38.39 ∗ Bµi 1.20: Cho A = 1 1 + + + Chøng minh A < 1.2.3 2.3.4 18.19.20 ∗ Bµi 1.21: Cho B = 36 36 36 + + + Chøng minh B < 1.3.5 3.5.7 25.27.29 ∗ Bµi 1.22: Cho C = 5 + + + Chøng minh C < 5.8.11 8.11.14 302.305.308 48 ∗ Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n ∈ N; n > ta cã: A= ∗ Bµi 1.24: 1 1 + + + + < 4 n TÝnh M = 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 27.28.29.30 1 + + + 51 52 100 ∗ Bµi 1.25: TÝnh P = 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 Bµi 1.26: TÝnh: Q = 1.3 2.4 3.5 (n − 1)(n + 1) 1002.1004 + + + + + + 3.5 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) 2005.2007 Bµi 27: TÝnh: R = 2 32 42 2006 + + + + 1.3 2.4 3.5 2005.2007 22 23 n +1 2006 + + + + + + n 2005 2005 + 2005 + 2005 + 2005 + 2005 + Bµi 1.28: Cho S = So s¸nh S víi 1002  Hướng dẫn: m m mk + m − mk + m 2m m m 2m − = = ⇒ = − k −1 k +1 (k − 1)(k + 1) k2 −1 k + k −1 k2 −1 Áp dụng vào toán với m ∈ {2; , …., } k ∈ { 2005, 2005 , … 2005 2006 } ta có: 2 22 = − 2005 + 2005 − 20052 − 22 20052 + 22 = 20052 − − 23 20052 − ……………… (2) D·y 2: D·y luü thõa Bµi 2.1: TÝnh : A = + 1  n  víi n tù nhiªn a  1 + + + 100 2 2 1 1 + − + + 99 − 100 2 2 2 1 + + + 99 2 2 1 1 + − 10 + − 58 2 2 Bµi 2.2: TÝnh: B = − Bµi 2.3: TÝnh: C = + Bµi 2.4: TÝnh: D = − Bµi 2.5: Cho A = + + 26 3n − + + n Chøng minh A > n − 27 10 28 398 + Bµi 2.6: Cho B = + + + + 98 Chøng minh B < 100 27 Bµi 2.7: Cho C = + Bµi 2.8: Cho D = 5 5 + + + 99 Chøng minh: C < 4 19 + 2 + 2 + + 2 Chøng minh: D < 2 3 10 Bµi 2.9: Cho E = + 100 + + + 100 Chøng minh: E < 3 10 3n + 11 + + + n víi n ∈ N* Chøng minh: F < 3 11 302 + + + 100 Chøng minh: < G < 3 13 19 601 + + + 100 Chøng minh: < H < 3 Bµi 2.10: Cho F = + Bµi 2.11: Cho G = + Bµi 2.12: Cho H = + 11 17 23 605 + + + + 100 Chøng minh: I < 3 3 Bµi 2.13: Cho I = 13 22 904 17 + + + 101 Chøng minh: K < 3 11 15 403 + + + 100 Chøng minh: L < 4,5 3 Bµi 2.14: Cho K = + Bµi 2.15: Cho L = + (3) D·y 3: D·y dạng tích phân số viết theo quy luật: 15 24 2499 16 25 2500 Bµi 3.1: TÝnh: A = Bµi 3.2: Cho d·y sè: ,1 ,1 1 1 ,1 ,1 , 15 24 35 a) T×m số hạng tổng quát dÃy b) Tính tích 98 số hạng dÃy       Bµi 3.3: TÝnh: B = 1 − 1 − 1 − 1 −  1 −    10  15   780  199 Chøng minh: C < 200 201 99 1 Chøng minh: < D < 100 15 10 Bµi 3.4: Cho C = Bµi 3.5: Cho D =      Bµi 3.6: TÝnh: E =  + 1 + 1 + 1  2    + 1   99        − 1 Bµi 3.7: TÝnh: F =  − 1 − 1 − 1  2 Bµi 3.8: TÝnh: G =     100  15 899 2 30 10 30 31 10 62 64 Bµi 3.9: TÝnh: H = Bµi 3.10: TÝnh: I = 101.10001.100000001 100 0001    n −1c / s −1       Bµi 3.11: Cho K =  − 1 − 1 − 1  − 1 So s¸nh K víi 2     100      Bài 3.12: So sánh L = 1 − 1 −  1 −  víi    4  20  21 1   11     với Bài 3.13: So sánh M = − 1 −  1 −    16   100  19 2 32 50 1.3 2.4 3.5 49.51 Bµi 3.14: TÝnh: N =      10  Bµi 3.15: TÝnh P = 1 − 1 − 1 −  1 −     7  7        Bµi 3.16: TÝnh: Q = 1 − 1 − 1 −  1 −    7  2007   1  1  1   1  Bµi 3.17: TÝnh: T =  −  −  −   −  2  Bµi 3.18: So sánh: U = Bài 3.19: Cho V = +   7 2 99  1.3.5.7 39 vµ V = 20 21.22.23 40 −1      1 + 1 +  1 +  Chøng minh V < 1.3  2.4  3.5   99.101  Bµi 3.20: Cho S = 200 Chøng minh: 201 < S < 400 199 10 208 Chøng minh: A < 12 210 25 Bµi 3.21: Cho A = Bµi 3.22: TÝnh: B = 12 2 100 1.2 2.3 3.4 100.101  1999  1999  1999   1999  1 + 1 + 1 +  1 +      1000   Bµi 3.23: TÝnh: C =  1000  1000  1000   1000  1 + 1 + 1 +  1 +      1999         Bµi 3.24: TÝnh: D = 1 − 1 − 1 −  1 −  (2n − 1)  , víi n ∈ N, n ≥     25    11  Bµi 3.25: Cho E = 1 −  vµ F =  1    1 −  1 −  +  + +   + + + + n  n+2 E víi n ∈ N* TÝnh n F         1 + 1024  vµ H = 2047 TÝnh: G + H Bµi 3.26: Cho G = 1 + 1 + 1 + 1 +    16  256    n n 1.3 + 3.5 + 15.17 + 255.257 + (2 − 1)(2 + 1) + Bµi 3.27: Cho I = víi n ∈ N n 16 256 65536 22 Chøng minh: I < 1 1 ;1 ;1 ;1 16 ; 3 3 Bµi 3.28: Cho dÃy số: ;1 a) Tìm số hạng tổng quát dÃy b) Gọi A tích 11 số hạng dÃy Chứng minh c) Tìm chữ số tận B = n 13 97 32 + 2 Bµi 3.29: Cho A = n 6 62 a) Chøng minh : M = lµ sè tù nhiªn − 2A 3 − 2A n vµ B = n +1 −1 víi n N A số tự nhiên ; b) Tìm n để M số nguyên tố B n 37 1297 62 + Bµi 3.30: Cho A = 2n 3 3   1     B = 1 + 1 + 1 + .1 +  1 + n  víi n ∈ N         a) Chøng minh : 5A 2B số tự nhiên b) Chứng minh với số tự nhiên n khác th× 5A – 2B chia hÕt cho 45 n n 13 97 + 2 Bµi 3.31: Cho A = .( víi n ∈ N ) Chøng minh: A < n 3 32 (4) Tính hợp lí biểu thức có nội dung phức tạp: Bài 4.1: Tính: A = + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 98) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 12 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 Bµi 4.2: TÝnh: B = Bµi 4.3: 1 1 + + + + 101.400 TÝnh: C = 1.300 2.301 3.302 1 1 + + + + 1.102 2.103 3.104 299.400 Bµi 4.4:   1 100 − 1 + + + +  100   TÝnh: D = 99 + + + + 100 Bµi 4.5: 1 1 + + + + 100 TÝnh: E = 51 52 53 1 1 + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 Bµi 4.6: 5 15 15 + − 15 − + 27 : 11 121 TÝnh F = 8 16 16 8− + − 16 − + 27 11 121 Bµi 4.7:  1  1 1,2 : 1  3 +  :  15  −  4 TÝnh G =  43  0,32 + 5 −  : 25  56  Bµi 4.8: 98 99 92 + + + + + 92 − − − − − : 10 11 100 TÝnh H = 99 198 97 1 1 1 + + + + + + + + 100 45 50 55 500 Bµi 4.9: 2 4 + − 4− + − 19 43 1943 : 29 41 2941 TÝnh I = 3 5 3− + − 5− + − 19 43 1943 29 41 2941 Bµi 4.10: 12 12 12 3 − − 3+ + + 289 85 : 13 169 91 TÝnh K = 4 7 4− − − 7+ + + 289 85 13 169 91 Bµi 4.11: TÝnh L = 5− 2− 12 − 1.2 + 2.4 + 3.6 + 4.8 + 5.10 3.4 + 6.8 + 9.12 + 12.16 + 15.20 13 Bµi 4.12:     1,6 : 1 1,25  1,08 −  : 25   +  + 0,6.0,5 : TÝnh M = 1  0,64 −  − .2 25  17  Bµi 4.13: 1 94 38  11 −6 :8 TÝnh N = 11 Bµi 4.14:  TÝnh P = 10101. Bµi 4.15: 1 1 + + + + 99 TÝnh Q = 1 1 + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 Bµi 4.16: 1 1 + + + + 200 TÝnh R = 22 34 198 199 + + + + + 199 198 197 5 1591 1517  43 5  + −   111111 222222 3.7.11.13.37  1+ 14 ... hạng dÃy số mà số hạng liên tiếp dÃy cách số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối số đầu 0) : ( khoảng cách ) + + Để tính tổng số hạng dÃy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị ,... C = + 33 +35 + + 31991  13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 Chuyên đề 1: dÃy số nguyên phân số viết theo quy luật (1) DÃy 1: Sử dụng công thức tổng quát n 1 = − a.(a + n) a a + n - - -... (3) DÃy 3: DÃy dạng tích phân số viết theo quy luËt: 15 24 2499 16 25 2500 Bµi 3.1: TÝnh: A = Bµi 3.2: Cho d·y sè: ,1 ,1 1 1 ,1 ,1 , 15 24 35 a) Tìm số hạng tổng quát dÃy b) Tính tích 98 số