Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu Tấm và Vỏ rất cần thiết cho anh chị nghiên cứu học cao học, chuyên ngành Tấm và Vỏ cần thiết cho các anh chị học về kỹ thuật xây dựng.
Phần thứ nhất LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM Chương 1 LÝ THUYẾT TÍNH TẤM ĐÀN HỒI Tấm là vật thể hình khối được giới hạn bằng hai mặt phẳng, có chiều cao h (chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thước còn lại h<<a,b, hình 1-1. Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng cách đều mặt trên và mặt dưới của tấm. Tấm chịu uốn được phân loại thành tấm mỏng và tấm dầy. Tấm được gọi là tấm mỏng khi [12,17]: min 1 10 h l ≤ và max 1 1 5 10 w h ≤ ÷ (w max là chuyển vị pháp lớn nhất). Tấm được gọi là tấm dày khi: min 1 10 h l > . Tấm mỏng được tính theo giả thiết Kirchhoff , bỏ qua biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến; còn tấm dày có kể đến biến dạng cắt trong mặt phẳng pháp tuyến. 1.1. TÍNH TẤM MỎNG CHỊU UỐN 1.1.1. Các giả thiết tính toán Tính toán tấm mỏng dựa trên 03 giả thiết Kirchhoff: 1. Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm, nên 0 z σ = . 2. Khi tấm chịu uốn, chuyển vị thẳng trên mặt phẳng trung bình bằng không, ( ) ( ) , ,0 , ,0 0u x y v x y= = . 3. Phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng vẫn thẳng, vẫn vuông góc với mặt phẳng trung bình và không thay đổi độ dài. Từ đó, rút ra: 0 z xz yz ε = γ = γ = . Từ các giả thiết của Kirchhoff, đối với tấm mỏng, chuyển vị ( ) , ,u x y z , 13 Hình 1-1. ( ) , ,v x y z , biến dạng, ứng suất và nội lực được xác định qua chuyển vị ( ) ,w x y và bài toán 03 chiều trở thành bài toán 02 chiều. 1.1.2. Các phương trình cơ bản Nói chung, bài toán cơ học được giải trên cơ sở 03 nhóm phương trình cơ bản: hình học, vật lý, cân bằng kết hợp với điều kiện biên. - Nhóm phương trình hình học biểu thị quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị. - Nhóm phương trình vật lý biểu thị quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. - Nhóm phương trình cân bằng biểu thị điều kiện cân bằng của phân tố hoặc toàn hệ. 1. Phương trình hình học Xét tấm mỏng có chiều dày h const = , vật liệu đàn hồi tuyến tính. Tách từ tấm một phân tố VCB có các cạnh ,dx dy , hình 1-2. Theo lý thuyết đàn hồi và giả thiết 3, ( ) , , 0 z w x y z z ∂ ε = = ∂ nên theo chiều dầy tấm: ( ) ( ) , , ,w x y z w x y const= = (1.1) Từ giả thiết 2 và 3, chuyển vị ( ) , ,u x y z , ( ) , ,v x y z tại điểm k bất kỳ cách mặt trung bình khoảng cách z được biểu diễn qua chuyển vị ( ) ,w x y , hình 1- 3, có dạng: ( ) ( ) , , , . y w x y u x y z z z x ∂ = − = − θ ∂ (1.2) ( ) ( ) , , , . x w x y v x y z z z y ∂ = − = − θ ∂ (1.3) Từ lý thuyết đàn hồi, các thành phần biến dạng của tấm được xác định theo công thức: ( ) ( ) 2 2 , , , . x x u x y z w x y z zk x x ∂ ∂ ε = = − = ∂ ∂ (1.4) 14 Hình 1-2. Biến dạng của phân tố tấm. Hình 1-3. Xác định chuyển vị ngang qua chuyển vị pháp tuyến. ( ) ( ) 2 2 , , , . y y v x y z w x y z zk y y ∂ ∂ ε = = − = ∂ ∂ (1.5) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 , , , , , 2 . xy xy u x y z v x y z w x y z zk y x x y ∂ ∂ ∂ γ =β +β = + = − = ∂ ∂ ∂ ∂ (1.6) trong đó: x k , y k và xy k là độ cong uốn và độ cong xoắn. ( ) 2 2 , x w x y k x ∂ = − ∂ ( ) 2 2 , y w x y k y ∂ = − ∂ ( ) 2 , 2 xy w x y k x y ∂ = − ∂ ∂ (1.7) 2. Phương trình vật lý Các thành phần ứng suất của tấm được xác định theo lý thuyết đàn hồi với các thành phần biến dạng xác định theo (1.4) ÷ (1.6), hình 1-4: Hình 1-4 và 1-5. Các thành phần ứng suất và mô men của tấm. ( ) 2 2 2 2 2 2 . 1 1 x x y E E z w w x y ∂ ∂ σ = ε +µε = − +µ ÷ −µ −µ ∂ ∂ (1.8) ( ) 2 2 2 2 2 2 . 1 1 y y x E E z w w y x ∂ ∂ σ = ε +µε = − +µ ÷ −µ −µ ∂ ∂ (1.9) ( ) 2 1 xy yx xy Ez w G x y ∂ τ = τ = γ = − + µ ∂ ∂ (1.10) trong đó: E , µ - mô đun đàn hồi và hệ số Poisson của vật liệu; G - mô đun trượt của vật liệu: ( ) 2 1 E G = +µ (1.11) 15 Trong tính toán kết cấu công trình thường xác định nội lực thay cho xác định ứng suất. Nội lực kết cấu tấm bao gồm: mô men uốn x M , y M , mô men xoắn xy M , lực cắt x Q , y Q , hình 1-5. Nội lực phân bố trên một đơn vị chiều dài, được xác định qua ứng suất bằng các công thức: /2 2 2 2 2 /2 . h x x p h w w M z dz D x y − ∂ ∂ = σ = − + µ ÷ ∂ ∂ ∫ (1.12) / 2 2 2 2 2 / 2 . h y y p h w w M z dz D y x − ∂ ∂ = σ = − +µ ÷ ∂ ∂ ∫ (1.13) ( ) / 2 2 / 2 . 1 h xy yx xy p h w M M z dz D x y − ∂ = = τ = − −µ ∂ ∂ ∫ (1.14) trong đó, p D là độ cứng trụ: ( ) 3 2 12 1 p Eh D = −µ ( h là chiều dày tấm) (1.15) Biểu diễn mô men uốn và mô men xoắn (1.12) ÷ (1.14) dưới dạng ma trận qua độ cong uốn và độ cong xoắn: { } [ ] { } m c M C k= (1.16) trong đó: { } { } T x y xy M M M M= (1.17) { } { } T c x y xy k k k k= (1.18) [ ] ( ) 3 2 1 0 1 0 1 0 1 0 12 1 1 1 0 0 0 0 2 2 m p Eh C D µ µ = µ = µ −µ −µ −µ (1.19) Lực cắt x Q , y Q là hợp lực của ứng suất zx τ , zy τ được xác định từ điều kiện cân bằng. Các thành phần nội lực của tấm được biểu diễn trên hình 1-6. 3. Phương trình cân bằng Xét cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của các thành phần nội lực và ngoại lực phân bố ( ) ,q x y , hình 1-6. Chiếu các lực lên trục OZ và giản ước cho dxdy : ( ) , 0 y x Q Q q x y x y ∂ ∂ + + = ∂ ∂ (1.20) 16 Lấy tổng mô men đối với trục x, y và bỏ qua các đại lượng VCB bậc cao, giản ước cho dxdy : 0 xy x x M M Q x y ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ (1.21) 0 y xy y M M Q y x ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ (1.22) Hình 1-6. Các thành phần nội lực của tấm Từ (1.21) ÷ (1.22) và kết hợp với mô men uốn và mô men xoắn biểu diễn qua chuyển vị ( ) ,w x y theo (1.12) ÷ (1.14), lực cắt x Q , y Q được xác định bằng công thức: ( ) 2 , x p Q D w x y x ∂ = − ∇ ∂ (1.23) ( ) 2 , y p Q D w x y y ∂ = − ∇ ∂ (1.24) với 2 ∇ là toán tử Laplat: 2 2 2 2 2 x y ∂ ∂ ∇ = + ∂ ∂ (1.25) Thay (1.23), (1.24) vào (1.20) và chú ý đến (1.12) ÷ (1.14), phương trình cân bằng của tấm có dạng: ( ) 4 4 4 4 2 2 4 , 2 p q x y w w w x x y y D ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ ∂ (1.26) Phương trình này gọi là phương trình Sophi-Giecman. 1.2. TÍNH TẤM DÀY CHỊU UỐN THEO GIẢ THIẾT MINDLIN 1.2.1. Góc xoay có kể đến biến dạng cắt Khi tính tấm chịu uốn theo giả thiết Kirchhoff đã bỏ qua biến dạng cắt: 17 0 zx zy γ = γ = . Khi tính tấm dầy hoặc tấm nhiều lớp, cần phải kể đến biến dạng cắt này. Giả thiết của Mindlin khác với giả thiết Kirchhoff là: “phần tử thẳng m-n vuông góc với mặt phẳng trung bình trước biến dạng thì sau biến dạng không nhất thiết phải vuông góc với mặt phẳng trung bình” và góc xoay x θ , y θ được bổ sung một lượng bằng góc xoay của pháp tuyến quanh các trục x và y là x φ và y φ do lực cắt gây ra, hình 1-7. y y w x ∂ θ = − + φ ∂ x x w y ∂ −θ = − + φ ∂ (1.27) Từ (1.27), góc xoay của câc pháp tuyến: y y w x ∂ φ = θ + ∂ x x w y ∂ φ = −θ + ∂ (1.28) Hình 1-7. Góc xoay pháp tuyến. 1- Đường thẳng đứng; 2. Đường pháp tuyến sau biến dạng; 3. Đường thẳng nghiêng kể đến biến dạng cắt; 4. Tiếp tuyến với mặt trung bình; 5. Mặt trung bình. 1.2.2. Công thức xác định nội lực Ứng suất tiếp zx τ và zy τ gây ra do biến dạng cắt x φ , y φ , đối với tấm đẳng hướng xác định bằng công thức: ( ) 1 0 0 1 2 1 xz y yz x E τ φ = τ φ + µ (1.29) Lực cắt x Q , y Q được xác định bằng công thức: / 2 / 2 h x xz h Q dz − = τ ∫ / 2 / 2 h y yz h Q dz − = τ ∫ (1.30) dưới dạng ma trận: 18 { } ( ) [ ] { } 1 0 0 1 2 1 x y s y x Q Eh Q C Q φ = = = φ φ +µ (1.31) trong đó: [ ] ( ) 1 0 0 1 2 1 s Eh C = +µ (1.32) Nội lực mô men uốn x M , y M , mô men xoắn xy M và lực cắt x Q , y Q được biểu diễn dưới dạng tổ hợp: { } [ ] { } p p p Cσ = ε (1.33) trong đó: { } { } T x y xy x y p M M M Q Qσ = (1.34) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 m p s C C C = (1.35) { } { } T x y xy y x p k k kε = φ φ (1.36) Biểu diễn { } p ε qua w , x θ , y θ : { } T y y x x y x p w w x y y x x y ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ε = − − θ + −θ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.37) 1.3. ĐIỀU KIỆN BIÊN 1.3.1. Biên ngàm cứng Điều kiện biên là chuyển vị và góc xoay bằng không. - tại 0x = và x a= : 0w = và 0 w x ∂ = ∂ (1.38a) - tại 0y = và y b= : 0w = và 0 w y ∂ = ∂ (1.38b) 1.3.2. Biên tựa khớp Điều kiện biên là chuyển vị và mô men uốn bằng không. - tại 0x = và x a= : 0w = và 2 2 2 2 2 2 0 x p w w w M D x y x ∂ ∂ ∂ = − + ν = = ÷ ∂ ∂ ∂ (1.39a) - tại 0y = và y b= : 0w = và 2 2 2 2 2 2 0 y p w w w M D y x y ∂ ∂ ∂ = − + µ = = ÷ ∂ ∂ ∂ (1.39b) 1.3.3. Biên tự do Thí dụ tại y b= là biên tự do, hình 1-8, nên mô men uốn y M , mô men xoắn 19 xy M , lực cắt y Q bằng không: ( ) ( ) ( ) 0 y xy y y b y b y b M M Q = = = = = = . Song, phương trình vi phân mặt uốn của tấm (1.26) là phương trình vi phân cấp 4 nên chỉ cần 02 điều kiện biên trên mỗi cạnh là đủ xác định nghiệm. Kirchhoff đã gộp hai điều kiện biên xy M và y Q thành một điều kiện. Trên biên tự do y b= lấy 03 điểm , ,a b c với khoảng cách bằng dx . Tại D1 mô men xoắn là xy M , tại D2 mô men xoắn là xy xy M M dx x ∂ + ∂ (D1 và D2 là điểm giữa của các đoạn ab và ac ). Các mô men này có thể biểu diễn dưới dạng ngẫu lực với các lực tập trung ngược chiều nhau. Giá trị của các lực tập trung tại đầu các đoạn ab và bc là 1 xy T M= và 2 xy xy M T M dx x ∂ = + ∂ . Hình 1-8. Điều kiện biên tự do. Chiếu các lực tập trung tại điểm b lên phương OZ: 2 1 xy y M Q T T dx x ∂ ∆ = − = ∂ , vì y Q∆ là lực tập trung nên sau khi chia cho dx được lực phân bố xy y M Q x ∂ ∆ = ∂ . Điều kiện biên tự do khi kết hợp y Q và xy M : y y y Q Q Q= + ∆ , tương tự x x x Q Q Q= + ∆ , có dạng: - tại biên 0x = và x a= : 2 2 2 2 0 x w w M x y ∂ ∂ = +µ = ∂ ∂ và ( ) 3 3 3 2 2 0 x w w Q x x y ∂ ∂ = + −µ = ∂ ∂ ∂ (1.40a) - tại biên 0y = và y b= : 20 2 2 2 2 0 y w w M y x ∂ ∂ = + µ = ∂ ∂ và ( ) 3 3 3 2 2 0 y w w Q y y x ∂ ∂ = + −µ = ∂ ∂ ∂ (1.40b) 1.3.4. Biên tựa đàn hồi Ví dụ dầm tại x a= đóng vai trò là biên tựa đàn hồi, hình 1-9. Điều kiện biên tương thích giữa dầm và tấm có dạng: 1. Điều kiện biên thứ nhất Độ võng của dầm bằng độ võng của tấm. Độ võng của dầm gây ra do tải trọng phân bố là lực cắt tương đương x Q của tấm. Do vậy: ( ) 4 3 3 4 3 2 2 x a p x a w w w EJ D y x x y = = ∂ ∂ ∂ = + −µ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.41a) 2. Điều kiện biên thứ hai Mô men xoắn của dầm bằng mô men uốn x M của tấm. 2 2 2 2 2 p p x a x a w w w GJ D y x y x y = = ∂ ∂ ∂ ∂ − = +µ ÷ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.41b) Nếu dầm không chịu xoắn: 2 2 2 2 0 x p x a w w M D x y = ∂ ∂ = + µ = ÷ ∂ ∂ (1.41c) 1.4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN CỦA TẤM Thế năng toàn phần Π của tấm bằng tổng thế năng biến dạng của nội lực U và thế năng ngoại lực khi hệ chuyển từ trạng thái ban đầu không biến dạng sang trạng thái biến dạng. . .U q w dxdyΠ = − ∫∫ (1.42) Thế năng của ngoại lực được đo bằng công của ngoại lực. Công của ngoại lực luôn âm (có xu hướng ngăn cản biến dạng, đưa hệ về trạng thái cân bằng) bằng tích của ngoại lực với chuyển vị của các điểm đặt lực tương ứng. Thế năng biến dạng của nội lực U được đo bằng công của nội lực. Công nội lực luôn luôn dương, bằng nửa tích của nội lực (ứng suất) trên chuyển vị (biến dạng) tương ứng. Khi kể đến biến dạng cắt: b s U U U= + (1.43) 21 Hình 1-9. Biên tựa đàn hồi trong đó: b U - năng lượng do biến dạng uốn. s U - năng lượng do biến dạng cắt. Năng lượng s U của tấm đẳng hướng do biến dạng cắt được xác định theo công thức, [12]: ( ) ( ) 2 2 3 2 2 6 1 24 1 s y x S Eh w w U dxdy h x y −µ ∂ ∂ = + θ + −θ ÷ ÷ ∂ ∂ −µ ∫∫ (1.44) Năng lượng biến dạng uốn của tấm đẳng hướng được xác định bằng công thức, [12]: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 24 1 y y y x x x b S Eh U dxdy x x y y y x ∂θ ∂θ ∂θ −µ ∂θ ∂θ ∂θ = + µ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −µ ∫∫ (1.45) Nếu biểu diễn năng lượng biến dạng qua nội lực: { } { } { } { } ( ) 1 2 T T c S U M k Q dxdy= + φ ∫∫ (1.46a) thay (1.35) vào (1.48a): { } [ ] { } { } [ ] { } ( ) 1 2 T T c m c s S U k C k C dxdy= + φ φ ∫∫ (1.46b) Thế năng toàn phần của tấm chỉ xét đến biến dạng uốn có dạng khác, [17]: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 1 , , 2 a b p D w w w w w q x y w x y dxdy x y x y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Π = + − −µ − − ÷ ÷ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ (1.47) 22