GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác định của hàm số: D = R - Đạo hàm của hàm số: y  = 2xe − x 2 2 + (x 2 + 1)(−x)e − x 2 2 = e − x 2 2 (−x 3 + x) y  = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x(x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 - Ta thấy, dấu của y  chỉ phụ thuộc vào dấu của (−x 3 + x) do hàm e − x 2 2 luôn lớn hơn 0 với mọi x ∈ R. - Bảng biến thiên: x y  y −∞ −1 0 1 +∞ + 0 − 0 + 0 − 00 2 √ e 2 √ e 11 2 √ e 2 √ e 00 - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, −1] ∪ [0, 1] + Hàm số nghịch biến trên: [−1, 0] ∪ [1, +∞) + Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và x = 1 và y CĐ = 2 √ e + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y CT = 1 - Tìm điểm uốn: y  = (−x)e − x 2 2 (−x 3 + x) + e − x 2 2 (−3x 2 + 1) = e − x 2 2 (x 4 − 4x 2 + 1) 1 y  = 0 ⇔ x 4 − 4x 2 + 1 = 0 ⇒ x = ±  2 − √ 3 ∨ x = ±  2 + √ 3 - Bảng xét điểm uốn và dạng đồ thị: x y  −∞ −  2 + √ 3−  2 − √ 3  2 − √ 3  2 + √ 3 +∞ + 0 − 0 + 0 − 0 + - Các điểm mà làm cho y  đổi dấu là các điểm uốn. - Các khoảng mà làm cho y  mang dấu (+) tức là lõm, dấu (−) là lồi. - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: x = −  2 + √ 3 ⇒ y = (3 + √ 3)e − 2+ √ 3 2 ≈ 0, 7322 x = −1 ⇒ y = 2e − 1 2 ≈ 1, 2131 x = −  2 − √ 3 ⇒ y = (3 − √ 3)e − 2− √ 3 2 ≈ 1, 1090 x = 0 ⇒ y = 1 x =  2 − √ 3 ⇒ y = (3 − √ 3)e − 2− √ 3 2 ≈ 1, 1090 x =  2 + √ 3 ⇒ y = (3 + √ 3)e − 2+ √ 3 2 ≈ 0, 7322 - TIỆM CẬN ĐỨNG: Hàm số không có tiệm cận đứng do hàm số xác định với mọi x thuộc R - TIỆM CẬN XIÊN: a = lim x→∞ (x 2 + 1)e − x 2 2 × 1 x = lim x→∞ x 2 + 1 xe x 2 2 = 0 b = lim x→∞ (x 2 + 1)e − x 2 2 = lim x→∞ x 2 + 1 e x 2 2 = 0 Như vậy y = 0 là Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. - Đồ thị hàm số: 2 2 Câu 2 Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y = −1, y = x 2 + 2x, x = 0, x = 3 quanh trục Oy. 2.1 Hướng dẫn giải 2.1.1 Cách 1: - Thay x = 3 vào phương trình y = x 2 + 2x ⇒ y(3) = 15 - Ta sẽ tính được thể tích vật thể cần tính bằng cách lấy thể tích hình trụ (bằng cách xoay hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0, x = 3, y = −1, y = 15 quay trục Oy) trừ cho khối lõm giới hạn bởi y = 15, y = x 2 + 2x. - Ta biến đổi biểu thức: y = x 2 + 2x ⇔ y = (x + 1) 2 − 1 ⇔ y + 1 = (x + 1) 2 ⇒ x = −  y + 1 − 1 ∨ x =  y + 1 − 1 - Như vậy, thể tích vật thể cần tính là: V Oy = π  15 −1 (3 − 0) 2 dy − π  15 0 (  y + 1 − 1) 2 dy = 9πy| 15 −1 − π  15 0 (y + 2 − 2  y + 1)dy = 144π − π  y 2 2 + 2y  | 15 0 + 2π  15 −1  y + 1dy = 144π − 285π 2 + 4π 3 (y + 1) 3 2 | 15 0 = 144π − 285π 2 + 84π = 171π 2 3 2.1.2 Cách 2: - Hoặc có thể dùng định lý sau đây: - Như vậy ta dễ dàng có: V Oy = 2π  3 0 x[(x 2 + 2x) − (−1)] = 2π  3 0 (x 3 + 2x 2 + x)dx = 2π  x 4 4 + 2x 3 3 + x 2 2  | 3 0 = 171π 2 3 Câu 3 Cho tích phân I =  +∞ 2 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích phân khi m = 1. 4 3.1 Hướng dẫn giải - Do x = 2 làm cho biểu thức trong dấu tích phân không xác định. Nên đây là tích phân bất định loại 1 và 2. - Tách ra thành 2 tích phân sau: I =  3 2 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 +  +∞ 3 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 = I 1 + I 2 - Xét tích phân I 1 sau:  3 2 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 =  3 2 dx (x m − 1)  2  x − 1 2  (x − 2) + Khi x → 2 + : 1 (x m − 1)  2  x − 1 2  (x − 2) ∼ 1 √ 3(2 m − 1)(x − 2) 1 2 + Nhận thấy với mọi m = 0 (lưu ý vì hàm số chỉ xác định khi m = 0). Thì √ 3(2 m − 1) luôn là hằng. + Do đó thấy α = 1 2 < 1 ⇒ I 1 hội tụ (đây là tích phân suy rộng loại 2). - Xét tích phân I 2 : I 2 =  +∞ 3 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 + Khi x → +∞ ta xét các trường hợp của m như sau: * Khi m < 0, ta xét hàm dương sau: 1 (1 − x m ) √ 2x 2 − 5x + 2 ∼ 1 √ 2x ⇒ α = 1 ⇒ −I 2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m = 0: không xét vì làm hàm số không xác định ⇒ Không có tích phân. * Khi m > 0, ta có: 1 (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 ∼ 1 √ 2x m+1 5 + Như vậy khi m > 0 thì ta thấy m + 1 > 1 ⇒ I 2 hội tụ. - Kết luận: + Do I 1 hội tụ nên để I hội tụ thì chỉ phụ thuộc vào I 2 . Suy ra, I hội tụ khi m > 0. - Tính tích phân khi m = 1:  +∞ 2 dx (x − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 + Đặt: x − 1 = 1 t ⇒ dx = − 1 t 2 dt + Tích phân đã tương đương với:  +∞ 2 dx (x − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 = −  0 1 1 t 2 1 t  2  1 t + 1  2 − 5  1 t + 1  + 2 dt =  1 0 dt t  2 t 2 − 1 t − 1 =  1 0 dt √ 2 − t − t 2 =  1 0 dt  9 4 −  t + 1 2  2 + Đặt: t + 1 2 = 3 2 sin u ⇒ dt = 3 2 cos udu + Tích phân trở thành:  π 2 arcsin 1 3 3 2 cos udu 3 2 cos u = π 2 − arcsin 1 3 4 Câu 4 Giải phương trình: a) y  − xy 1 − x 2 = arcsin x + x 1 − x 2 b) y  − 2y  − 8y = 3e 4x 6 4.1 Hướng dẫn giải 4.1.1 Câu a y  − xy 1 − x 2 = arcsin x + x 1 − x 2 ⇔ y  − x 1 − x 2 y = arcsin x + x 1 − x 2 - Đặt: P (x) = − x 1 − x 2 và Q(x) = arcsin x + x 1 − x 2 - Nghiệm tổng quát của phương trình là: y = e −  P (x)dx   e  P (x)dx Q(x)dx + C  - Tính tích phân  P (x)dx: P (x) = − x 1 − x 2 ⇒  − x 1 − x 2 dx = 1 2  d(1 − x 2 ) 1 − x 2 = 1 2 ln|1 −x 2 | - Thay vào nghiệm tổng quát ta được: y = e − 1 2 ln|1−x 2 |   e 1 2 ln|1−x 2 | Q(x)dx + C  = 1 √ 1 − x 2   √ 1 − x 2 arcsin x + x 1 − x 2 dx + C  = 1 √ 1 − x 2   arcsin x + x √ 1 − x 2 dx + C  = 1 √ 1 − x 2    arcsin x √ 1 − x 2 + x √ 1 − x 2  dx + C  - Ta có:  arcsin x √ 1 − x 2 dx =  arcsin xd(arcsin x) = 1 2 arcsin 2 x  x √ 1 − x 2 dx = − 1 2  d(1 − x 2 ) √ 1 − x 2 = − √ 1 − x 2 - Vậy nghiệm của phương trình là: y = 1 √ 1 − x 2  1 2 arcsin 2 x − √ 1 − x 2 + C  7 4.1.2 Câu b y  − 2y  − 8y = 3e 4x - Phương trình đặc trưng: k 2 − 2k − 8 = 0 ⇔ k 1 = −2 ∨ k 2 = 4 - Nghiệm của phương trình thuần nhất: y 0 = C 1 e −2x + C 2 e 4x - Ta có: f(x) = 3e 4x = P n (x)e αx ⇒ P n bậc 0; α = 4 - Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng: y r = x s e αx Q n (x) + Trong đó: s = 1(do α = 4 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng) Q n (x) = A(cùng bậc với P n (x)) + Vậy: y r = Axe 4x y  r = Ae 4x + 4Axe 4x y  r = 8Ae 4x + 16Axe 4x + Suy ra: −8y r = −8Axe 4x −2y  r = −2Ae 4x − 8Axe 4x y  r = 8Ae 4x + 16Axe 4x + Cộng 2 vế lại ta được: y  r − 2y  r − 8y r = 6Ae 4x + Ta có: 3e 4x = 6Ae 4x ⇒ A = 1 2 - Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: y = y 0 + y r = C 1 e −2x + C 2 e 4x + 1 2 xe 4x 8 5 Câu 5 Giải hệ phương trình:  x  (t) = 3x − 3y + 4e t + 12t (1) y  (t) = 4x − 5y + 8e t + 8t (2) 5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử - Lấy 4 × (1) − 3 × (2), ta được: 4x  (t) − 3y  (t) = 3y − 8e t + 24t ⇒ 4x  (t) = 3y  + 3y − 8e t + 24t (3) - Đạo hàm 2 vế của phương trình (2) theo t, ta được: y  (t) = 4x  − 5y  + 8e t + 8 (4) - Thay (3) vào (4), ta được: y  (t) = −2y  + 3y + 24t + 8 ⇔ y  + 2y  − 3y = 24t + 8 + Phương trình đặc trưng: k 2 + 2k − 3 = 0 ⇒ k 1 = −3 ∨ k 2 = 1 + Nghiệm của phương trình thuần nhất: y 0 = C 1 e −3t + C 2 e t + Ta có: f(t) = 24t + 8 = P n (t)e αt + Suy ra P n (t) bậc 1 và α = 0 + Như vậy nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng: y r = t s Q n (t)e αt s = 0 (do α = 0 không là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng). Q n (t) = At + B (Q n (t) cùng bậc với P n (t)). + Vậy: y r = At + B 9 y  r = A y  r = 0 + Suy ra: −3y r = −3At − 3B 2y  r = 2A y  r = 0 + Cộng các vế lại ta được: y  r + 2y  r − 3y r = −3At + 2A − 3B + Ta có: 24t + 8 = −3At + 2A − 3B ⇒  −3A = 24 2A − 3B = 8 ⇒  A = −8 B = −8 - Vậy ta được nghiệm tổng quát: y(t) = C 1 e −3t + C 2 e t − 8t − 8 ⇒ y  (t) = −3C 1 e −3t + C 2 e t − 8 + Thay y(t) và y  (t) vào phương trình (2), ta được: −3C 1 e −3t + C 2 e t − 8 = 4x − 5(C 1 e −3t + C 2 e t − 8t − 8) + 8e t + 8t ⇔ 4x = 2C 1 e −3t + 6C 2 e t − 48t − 8e t − 48 ⇔ x(t) = 1 2 C 1 e −3t + 3 2 C 2 e t − 12t − 2e t − 12 - Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  x(t) = 1 2 C 1 e −3t + 3 2 C 2 e t − 12t − 2e t − 12 y(t) = C 1 e −3t + C 2 e t − 8t − 8 - Để kiểm chứng lại nghiệm của hệ đã đúng hay không, ta thay các nghiệm tương ứng này vào hệ, sao cho 2 vế bằng nhau là được. 10 . GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác. 2x) − ( 1)] = 2π  3 0 (x 3 + 2x 2 + x)dx = 2π  x 4 4 + 2x 3 3 + x 2 2  | 3 0 = 171π 2 3 Câu 3 Cho tích phân I =  +∞ 2 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x + 2 Tìm m để tích phân I hội tụ và tính tích phân. 1. 4 3.1 Hướng dẫn giải - Do x = 2 làm cho biểu thức trong dấu tích phân không xác định. Nên đây là tích phân bất định loại 1 và 2. - Tách ra thành 2 tích phân sau: I =  3 2 dx (x m − 1) √ 2x 2 − 5x