Đang tải... (xem toàn văn)
Một số phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và ứng dụng
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. NGUYỄN ĐỨC HIẾU 2. GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI - 2014 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. NCS. Bùi Văn Định 2 LỜI CẢM ƠN Bản luận án này được hoàn thành tại Bộ môn Toán, Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Đức Hiếu và đặc biệt là GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đ ế n các Thầy về sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh. Trong quá trình học tập, nghiê n cứu thông qua c ác bài giảng và xêmina tại Bộ môn Toán và tại Phòng Tối ưu và Điều khiển Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiế n quý báu của GS. TSKH. Phạm Thế Long, PGS. TS. Đào Thanh Tĩnh, PGS. TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS. TS. Tô Văn Ban, TS. Nguyễn Hữu Mộng, TS. Nguyễn Trọng Toàn, GS. TSKH. Nguyễn Đông Yên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đến các Thầy. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám đốc, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Công nghệ Thông tin, Học viện Kỹ thuật Quân sự; đặc biệt là các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán và các thầy trong Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học đã luôn giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ và giúp đỡ của những người thân trong gia đình tác giả. Tá c giả thành kính dâng tặng món quà tinh thần này lên các bậc sinh thành và toàn thể gia đình thân yêu của mình với tấm lòng trân trọng và biết ơn sâu sắc. Tác giả 3 Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . 5 MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . 16 1.1. Các khái niệm và các kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2. Bài toá n cân bằng và các trường hợp riêng . . . . . . . . . . . . 21 1.3. Bài toá n cân bằng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4. Bài toá n cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 2. MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP . . . . . . . 33 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . 41 4 2.3. Áp dụng vào bài toán cân bằng Nash-Cournot trong mô hình cân bằng thị trường điện bán độc quyền . . . . . . . . . . . . . 49 2.4. Áp dụng vào bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn Euclide trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu . . . . . . . . . 53 2.5. Áp dụng vào bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 3. KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT VÀ HÀM ĐÁNH GIÁ GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP . . . 77 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2. Phương pháp hàm phạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3. Hàm đánh giá và hướng giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4. Áp dụng vào phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . 91 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . 95 1. Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . 96 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . 98 4 5 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt N tập số tự nhiên R tập số thực R = R ∪{±∞} tập số thực mở rộng R n không gian Euclide n chiều H không gian Hilbert thực X không gian véc tơ tô pô thực M T chuyển vị của ma trận M x, y = x T y tích vô hướng của hai véc tơ x và y x = x, x chuẩn của véc tơ x I ánh xạ đồng nhất dom f miền hữu hiệu của hàm số f im F miền ảnh của ánh xạ F epi f trên đồ thị của hàm số f graph F đồ thị của ánh xạ F ϕ ′ (x) = ∇ϕ(x) đạo hàm của ϕ tại x ϕ ′ (x; d) đạo hàm theo hướng d của ϕ tại x ∂ϕ(x ) dưới vi phân của ϕ tại x ∇ x f(x, y) đạo hàm của hàm f (., y) tại x ∇ y f(x, y) đạo hàm của hàm f (x, .) tại y 6 ∂f ( x, x) dưới vi phân của hàm f ( x, .) tại x C bao đóng của tập C int C phần trong của tập C ri C phần trong tương đối của tập C lim = lim sup giới hạn trên lim = lim inf giới hạn dưới x k → x dãy x k hội tụ tới x P C (x) hình chiếu của x lên tập C N C (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x EP(C, f) bài toán cân bằng VIP(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) S f tập nghiệm của bài toán EP(C, f) S F tập nghiệm của bài toán VIP(C, F ) BEP(C, f, g) bài toán cân bằng hai cấp MNEP(C, f) bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập S f VIEP(C, f, F ) bài toán VIP(S f , F ) BVIP(C, F, G) bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp u.s.c. nửa liên tục trên l.s.c. nửa liên tục dưới 7 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Sự cân bằng (equilibrium) thường được hiểu như là một t rạng thái đồng đều nhau giữa những lực lượng đối lập nhau hay giữ a những đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, phụ thuộc lẫn nhau. T huật ngữ này được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngữ cảnh khoa học và kỹ thuật như trong Vật lí, Hóa học , Sinh học, Kinh tế, Kỹ thuật, v.v Trong Vật lí, trạng thái cân bằng của một hệ, theo thuật ngữ cơ học cổ điển, xảy ra khi hợp lực tác động lên hệ bằng không và trạng thái này được duy trì trong một khoảng thời gian dài. Trong Hóa học, cân bằng hóa học xảy ra khi tốc độ của phản ứng thuận bằng với tốc độ của phản ứng nghịch, trong Sinh học, cân bằng sinh thái là trạng thái ổn định tự nhiên của hệ sinh thái, hướng tới sự thích nghi cao nhất với điều kiện sống, trạng thái này thường xảy ra khi tương quan lực lượng giữa con mồi và thú săn mồi trong hệ sinh thái đó có tỉ lệ tương đồng với nhau. Trong Kinh tế học, cân bằng kinh tế là một khái niệm cơ bản nhưng đồng thời cũng là động lực và là mục đích của m ỗi nền kinh tế. Một ví dụ đơn giản về lĩnh vực này là ở một thị trường xác định có sản xuất và tiêu thụ đồng nhất một loại hàng hóa. Sức mua của thị trường phụ thuộc vào giá cả của mặt hàng đó t rên thị trường, nói một cách chính xác hơn, nếu m ặt hàng được bán ở mức giá p thì hàm cầu của thị trường là D(p), trong khi đó các nhà sản xuất có thể cung cấp lượng hàng ở mức giá p là S(p) và ta có hàm vượt cầu là E(p) = D(p) − S(p). Sự cân bằng xảy ra ở mức giá p ∗ nếu E(p ∗ ) = 0, tức là lượng cung bằng lượng cầu, điều này cũng giống như sự cân bằng xảy ra trong [...]... bài toán tìm hình chiếu của điểm xg xuống tập nghiệm của bài toán cân bằng Sf Bài toán MNEP(C, f ) xuất hiện khi ta áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng (xem [32]) 33 Chương 2 MỘT PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO MỘT LỚP BÀI TOÁN CÂN BẰNG HAI CẤP Thông thường, các phương pháp giải bài toán cân bằng được phát triển chủ yếu từ các phương pháp. .. cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp • Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục đích đặt ra như trên, trong luận án này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp: • Nội dung 1 Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu... trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu • Nội dung 2 Nghiên cứu xây dựng thuật toán cho bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh trên tập nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệu • Nội dung 3 Nghiên cứu xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp 4 Phương pháp nghiên cứu Cùng với các phương pháp cơ bản của giải tích lồi, giải tích hàm, giải tích đa trị và giải tích phi tuyến,... hàm thức đơn điệu cực đại Năm 1999, A Moudafi [44] đã mở rộng phương pháp điểm gần kề cho bài toán cân bằng đơn điệu và đến năm 2010, A Moudafi [45] đã áp dụng phương pháp này cho lớp bài toán cân bằng hai cấp đơn điệu Ý tưởng chính của phương pháp này là kết hợp giữa phương pháp hàm phạt và phương pháp điểm gần kề để đưa việc giải bài toán cân bằng hai cấp về việc giải một dãy các bài toán cân bằng với... mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 3 chương: • Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2 Một phương pháp chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp • Chương 3 Kết hợp phương pháp hàm phạt và hàm đánh giá giải bài toán cân bằng hai cấp 16 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương... thuật toán [9, 18, 41, 44, 46, 47, 54, 55, 56] và áp dụng bài toán này vào trong các bài toán thực tế [46, 48] Trong các vấn đề nêu trên, thì việc nghiên cứu xây dựng các phương pháp giải chiếm một tỉ trọng lớn trong các hướng nghiên cứu về bài toán cân bằng Tính đến nay, đã có nhiều kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân bằng lồi và đơn điệu, trong đó phải kể đến các phương pháp: phương pháp. .. cứu và đề xuất các thuật toán giải bài toán cân bằng hai cấp (hoặc các trường hợp riêng của nó) với các giả thiết như trên hoặc các giả thiết yếu hơn là rất cần thiết Những vấn đề này sẽ được giải quyết trong luận án 2 Mục đích nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp: • Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng giả. .. đã đưa ra Áp dụng thuật toán đã đề xuất vào bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp • Đề xuất phương pháp hàm phạt cho bài toán cân bằng hai cấp Chứng minh định lý về sự hội tụ của dãy nghiệm của các bài toán phạt tới nghiệm của bài toán cân bằng hai cấp ban đầu Đề xuất phương pháp hàm đánh giá giải bài toán phạt, mở rộng khái niệm giả ∇ -đơn điệu từ khái niệm ∇ -đơn điệu Chứng minh được bất kỳ điểm... giá cũng là nghiệm của bài toán cân bằng nếu song hàm cân bằng thỏa mãn giả thiết giả ∇ -đơn điệu chặt Đồng thời chỉ ra hướng giảm của hàm đánh giá tại những điểm không phải là điểm dừng, cùng tính chất "độc lập" của hướng giảm đối với tham số phạt ǫ Áp dụng các phương pháp đề xuất vào bài toán nảy sinh khi sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng giả đơn điệu Các kết quả chính... sử dụng ở các chương sau Chương này gồm bốn phần Phần thứ nhất trình bày một số khái niệm và các kết quả cần thiết nhất về giải tích hàm, giải tích lồi Phần thứ hai dành để giới thiệu về bài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng một số điều kiện về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng Phần tiếp theo trình bày về bài toán cân bằng tương đương Phần cuối cùng trình bày về bài toán cân bằng . dựng phương pháp giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và áp dụng vào một lớp bài toán cân bằng hai cấp. • Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp. 3. Đối t ượng và phạm vi nghiên c ứu Với. về bài toán cân bằng và bài toán cân bằng hai cấp: • Nội dung 1. Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán cân bằng giả đơn điệu và bài toán tìm cực tiểu của hàm chuẩn trên tập nghiệm của bài. KỸ THUẬT QUÂN SỰ BÙI VĂN ĐỊNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1.