LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH. Trần Hữu Phát, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại phòng sau Đại Học, Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội và các Giáo sư, Phó Giáo Sư, Tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2013 Tác giả Nguyễn Xuân Tuấn LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là: Nguyễn Xuân Tuấn, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tôi xin cam đoan đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi. Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác. Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, tháng 9 năm 2013 Tác giả Nguyễn Xuân Tuấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử ruby và natri được giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser. Đó là BEC từ khí Bose. Sau đó không lâu BEC từ khí Fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định. Phát kiến BEC đã mở ra một giai đoạn phát triển như vũ bão cả trong lĩnh vực lý thuyết cũng như thực nghiệm trong việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử. Thực vậy, ngưng tụ Bose-Einstein được tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose-Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính kết hợp rất cao như các tia laser. Trong một thập niên qua, nhờ sự phát triển hết sức tuyệt vời của các kỹ thuật dùng trong thực nghiệm để tạo ra khí siêu lạnh người ta đã tạo ra được trên thực nghiệm các BEC 2 thành phần từ phân tử khí gồm 2 thành phần khí khác nhau và điều quan trọng là có thể điều khiển được cường độ tương tác giữa 2 thành phần này để sinh ra một trạng thái bất kì theo ý muốn. Đây chính là một môi trường lý tưởng để kiểm chứng trong phòng thí nghiệm nhiều hiện tượng lượng tử khác nhau, chẳng hạn sự hình thành các xoáy Abrikosov, các vách ngăn giữa hai thành phần, các trạng thái soliton, các đơn cực. Các chất lỏng lượng tử quen thuộc mà thực nghiệm đã phát hiện từ lâu là 3 He và 4 He . Hiện nay thực nghiệm cũng đã khẳng định được các BEC cũng là chất lỏng lượng tử và trong điều kiện nhất định cũng có tính siêu lỏng. Từ đó phát triển một phương hướng nghiên cứu đầy triển vọng, đó là nghiên cứu các hiện tượng lượng tử tương tự với những hiện tượng đã biết trong thủy động học cổ điển, chẳng hạn hiện tượng không ổn định Kelvin-Helmholtz, không ổn định Rayleigh – Taylor. Đề tài: “Tính chất nhiệt động của ngưng tụ 1 Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu” nghiên cứu một cách hệ thống sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng của hệ vào nhiệt độ tuyệt đối, đặc biệt là ở gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao. 2. Mục đích nghiên cứu. - Trên cơ sở lý thuyết ngưng tụ Bose - Einstein, nghiên cứu khí Bose tương tác yếu. - Xác định sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng vào nhiệt độ T ở trong gần đúng nhiệt độ thấp và ở gần đúng nhiệt độ cao. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. - Nghiên cứu tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu, chỉ ra được sự phụ thuộc của áp suất và năng lượng vào nhiệt độ T, vẽ được đồ thị liên hệ giữa áp suất và năng lượng vào nhiệt độ T ở gần đúng nhiệt độ thấp. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. - Hệ khí Bose tương tác yếu một thành phần. 5. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử ở nhiệt độ hữu hạn. - Phương pháp giải tích toán học. - Phương pháp tính số. 6. Cấu trúc luận văn. - Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein. - Chương 2: Tính chất nhiệt động của ngưng tụ Bose – Einstein các khí Bose tương tác yếu. 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN Trong chương này sẽ giới thiệu về ngưng tụ Bose-Einstein, điều kiện để xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein, làm lạnh nguyên tử để có được ngưng tụ, ngưng tụ Bose - Einstein đối với khí Bose lí tưởng. 1.1 Giới thiệu. Ngưng tụ Bose-Einstein là một hiện tượng lượng tử kì lạ đã được quan sát thấy ở pha loãng khí nguyên tử lần đầu tiên vào năm 1995 và bây giờ trở thành chủ đề chính trong lí thuyết và thực nghiệm. Năm 1924, nhà vật lí học người Ấn Độ Satyendra Nath Bose đã gửi Einstein một bài báo, trong đó ông bắt nguồn từ định luật Planck trong bức xạ của photon như khí của hệ hạt đồng nhất. Einstein đã tổng quát hóa lí thuyết của Bose thành khí lí tưởng của hệ hạt đồng nhất nguyên tử hay phân tử mà số lượng hạt được bảo toàn, và trong cùng năm, dự đoán rằng nhiệt độ đủ thấp, các hạt sẽ nằm trong cùng trạng thái lượng tử thấp nhất của hệ. Chúng được biết đến như một hiện tượng, gọi là ngưng tụ Bose-Einstein (BEC), xảy ra đối với các hạt boson có tổng số spin nguyên. Ngưng tụ Bose-Einstein và quá trình ngưng tụ nó, được dự đoán có nhiều thuộc tính kì lạ và trong nhiều năm thí nghiệm đã cố gắng sản xuất ngưng tụ Bose-Einstein ở trong phòng thí nghiệm. Cuối cùng vào năm 1995, nhóm JILA ở một phòng thí nghiệm được điều hành bởi viện quốc gia về tiêu chuẩn và công nghệ và đại học Colorado ở Boulder, Colorado và viện công nghệ Massachusetts (gọi tắt là MIT) đã thu được bằng chứng thuyết phục cho ngưng tụ Bose-Einstein trong khí loãng nguyên tử. Ở MIT đã xác minh được tính năng hấp dẫn mà ngưng tụ Bose-Einstein nguyên tử giống như laser, nói cách khác sóng nguyên tử có tính kết hợp. Trong nhiều năm thí nghiệm đã thành công trong việc quan sát sự kết hợp 3 trực tiếp và đã giải thích bước đầu “nguyên tử laser” tạo ra một chùm nguyên tử kết hợp, tương tự photon phát ra bởi laser quang học. Đồng thời các nhà lí thuyết đã làm rõ nhiều vấn đề, đưa ra và đã phát triển cách thức mạnh mẽ để mô phỏng thực nghiệm. Các hành vi động lực học của một chất khí ở nhiệt độ phòng không bị ảnh hưởng, bởi thực tế một nguyên tử không thể phân biệt với nguyên tử khác, phù hợp với nguyên lí bất định Heisenberg, vị trí nguyên tử được đánh dấu bởi bước sóng De Broglie 2 2 2 dB B k mT π λ   =  ÷   h , k B là hằng số Boltzmann, m là khối lượng nguyên tử, T là nhiệt độ của khí. Ở nhiệt độ phòng bước sóng De Broglie nhỏ hơn rất nhiều lần so với khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử. Điều này có nghĩa là sóng vật chất của các nguyên tử riêng lẻ là không tương quan với nhau hoặc là bị rối vào nhau và khí có thể được mô tả bởi thống kê Boltzmann. Vì khi khí được làm lạnh, sự nhòe tăng lên và có nhiều hơn một nguyên tử ở mỗi hình lập phương kích thước dB λ . Các hàm sóng của nguyên tử liền kề sau đó chồng chất, các nguyên tử mất đi sự giống nhau và hành vi của khí được chi phối bởi thống kê lượng tử. Thống kê Bose-Einstein tăng đội ngột tạo cơ hội tìm nhiều hơn một nguyên tử trong cùng trạng thái, và chúng ta có thể nghĩ sóng vật chất trong khí Bose như “dao động điều hòa”. Kết quả là ngưng tụ Bose-Einstein là sự chiếm đóng vĩ mô ở trạng thái cơ bản của khí. Einstein đã miêu tả quá trình như ngưng tụ không có tương tác làm cho nó là một mô hình quan trọng của thống kê cơ học lượng tử. Sự phân bố mật độ ngưng tụ được miêu tả bởi hàm sóng đơn vi mô với biên độ và pha được xác định rõ, giống như một lĩnh vực cổ điển. 4 1.2 Làm lạnh nguyên tử. Ngưng tụ Bose-Einstein được trích dẫn như một hiện tượng quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lí, nhưng cho đến gần đây chỉ có bằng chứng cho ngưng tụ đến từ nghiên cứu về Hêli siêu lỏng. Trong trường hợp của Hêli siêu lỏng, tương tác mạnh tồn tại trong chất lỏng làm thay đổi bản chất của quá trình chuyển đổi, mục đích lâu dài trong vật lí nguyên tử là đạt được BEC trong khí nguyên tử loãng, thách thức là làm mát khí tới nhiệt độ xung quanh hoặc dưới 1µK đồng thời ngăn chặn nguyên tử ngưng tụ trở thành chất rắn hoặc chất lỏng. Nỗ lực để có được ngưng tụ Bose bắt đầu với Hydro, trong thí nghiệm nguyên tử Hydro đầu tiên được làm lạnh trong tủ lạnh thành pha loãng, sau đó bị mắc kẹt bởi một từ trường và tiếp tục làm mát bằng bay hơi, cách tiếp cận này đã tiến đến rất gần quan sát BEC, nhưng bị giới hạn bởi sự tương tác tái tổ hợp của từng nguyên tử với các phân tử cùng dạng và bị giới hạn bởi tính hiệu quả của việc phát hiện ngưng tụ. Những kĩ thuật làm mát bằng laser, làm mát phân cực gradient và bẫy từ tính quang học đã được phát hiện để làm lạnh và bẫy nguyên tử. Những kĩ thuật này đã thay đổi sâu sắc bản chất làm lạnh. Nguyên tử ở nhiệt độ dưới mK hiện nay thường được sử dụng trong một loạt các thí nghiệm, nguyên tử kiềm là rất thích hợp với các phương pháp dựa trên laser bởi vì quá trình có quang học có thể được kích thích bởi laser có sẵn và bởi chúng có thuận lợi là có cấu trúc mức năng lượng dễ làm mát ở nhiệt độ thấp, tuy nhiên nhiệt độ thấp nhất mà làm mát bằng laser kĩ thuật có thể đạt được bị giới hạn bởi năng lượng photon đơn. Các con đường thành công để ngưng tụ Bose-Einstein là sự kết hợp hài hòa của phát triển kĩ thuật làm lạnh cho Hydro và kiềm, một kim loại kiềm bốc hơi lần đầu tiên làm lạnh và sau đó làm lạnh bằng bay hơi, làm mát bằng bay hơi nguyên tử, năng lượng cao được phép thoát ra khỏi mẫu nguyên tử vì vậy năng lượng trung bình của nguyên tử còn lại giảm. Sự va 5 chạm đàn hồi làm phân bố năng lượng giữa các nguyên tử thay đổi, phân bố vận tốc của các nguyên tử này tuân theo hình thức Maxwell-Boltzmann nhưng ở nhiệt độ thấp hơn, các mẫu nguyên tử được làm lạnh bởi nhiều bậc cường độ với nhược điểm duy nhất là số lượng của các nguyên tử bị mắc kẹt giảm. Thách thức trong việc làm mát cho kim loại kiềm là câu hỏi là: làm thế nào mật độ nguyên tử trong khi làm mát không thay đổi hoặc thay đổi không đáng kể, phương pháp quang học làm việc tốt nhất ở mật độ thấp, nơi mà ánh sáng laser không hấp thụ hoàn toàn mẫu nguyên tử. Mặt khác đòi hỏi phải có mật độ nguyên tử cao để đảm bảo làm mát nhanh chóng, cần sản xuất tỉ lệ va chạm đàn hồi cao, điều này phải đạt được trong một buồng chân không để kéo dài tuổi thọ của các khí bị mắc kẹt. Cho bay hơi làm mát để làm việc, nguyên tử mất đi phải được cách li nhiệt từ môi trường xung quanh, điều này phải được thực hiện với các lĩnh vực điện, vì ở nhiệt độ cực lạnh nguyên tử dính ở tất cả các bề mặt, phương pháp tốt nhất cho chất kiềm là giam bằng từ trường. Sau khi nguyên tử bị mắc kẹt và làm lạnh bằng laser, tất cả ánh sáng được tắt và một điện thế được xây dựng xung quanh nguyên tử với một từ trường đồng nhất. Điều này hạn chế các nguyên tử chỉ ở trong một khu vực nhỏ của không gian. Nguyên tử chỉ có thể làm mát bằng bay hơi nếu thời gian cần thiết là ngắn hơn nhiều so với thời gian sống của một nguyên tử trong bẫy, điều này đòi hỏi một cái bẫy giam kín chứa mật độ cao. Các thí nghiệm lần đầu tiên quan sát BEC là sử dụng bẫy cực từ tuyến tính. 1.3 Ngưng tụ Bose-Einstein đối với khí Bose lí tưởng Theo công thức của thống kê Bose-Einstein, số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ ε đến d ε ε + là bằng 6 ( ) ( ) exp 1 dN dn ε ε ε µ θ = −   −     (1.1) trong đó ( )dN ε là số các mức năng lượng trong khoảng từ ε đến d ε ε + . Ta đi tìm ( )dN ε . Theo quan điểm lượng tử, các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem như các hạt sóng dừng De Broglie. Vì vậy có thể xác định ( )dN ε bằng cách áp dụng công thức 2 2 ( ) 2 N k V dN k dk dk k π ∂ = = ∂ cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của vecto k r từ k đến k dk+ 2 2 ( ) 2 k dk dN k V π = (1.2) Theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng p r và véctơ sóng k r p k= r r h (1.3) Ta có thể viết công thức (1.2) dưới dạng 2 2 3 ( ) 2 p dp dN p V π = h (1.4) Nhưng đối với các hạt phi tương đối tính 2 2 p m ε = (1.5) Từ đó 2 3 2p dp m d ε ε = (1.6) do đó theo (1.4) ta được 3 2 3 2 ( ) 2 m V dN d ε ε ε π = h (1.7) 7 [...]... tụ Bose Ở nhiệt độ không tuyệt đối ( T = 0 ) tất cả các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức không 10 CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN CÁC KHÍ BOSE TƯƠNG TÁC YẾU 2.1 Phương pháp hàm cho khí Bose phi tương đối tính Hàm sóng ψ = ψ ( x, t ) cho một hạt tự do phi tương đối tính có khối lượng m thỏa mãn phương trình Schrodinger i∂ tψ = − 1 2 ∇ψ 2m (2.1) Trong mô hình lượng tử hóa lần hai của. .. pha ngưng tụ Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T0 một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật 1 ε  exp   − 1 θ  Hiện tượng mà chúng ta vừa mô tả, trong đó, một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ. .. khắc phục một trong những vấn đề của khí lí tưởng Bose, cụ thể là hệ số nén vô hạn của pha ngưng tụ Điều cần tiếp theo là bao gồm lượng tử và dao động nhiệt xung quang trạng thái cơ bản cổ điển 2.2.2 Sự dao động Gaussian Biểu thị trường dao động bằng χ , Chúng ta có thể viết trường Bose đầy đủ như sau ψ ( x) = 1 [ v + χ ( x )] 2 (2.36) ở đây v là hằng số trường của ngưng tụ, thay vào biểu thức Lagrangian... Trong các số hạng của sơ đồ, đạo hàm thu được trực tiếp từ sơ đồ bong bóng trong hình 4 bằng cách mở tất cả các vòng tương ứng với các đường nét Ví dụ, D11 được cho bởi sơ đồ như hình 5 Hình 5 Sơ đồ bậc thấp nhất đóng góp cho hàm truyền tương tác D11 Các đường nét miêu tả hàm truyền tự do Dab 32 Bằng cách cắt bỏ các đường nét bên ngoài trong các sơ đồ này, chúng ta có thể biểu thị các dạng khác nhau của. .. của boson chỉ có thế năng tương tác đẩy V (r ) ở khoảng cách ngắn Nhiệt động lực học của khí này sau đó sẽ chủ 16 yếu độc lập với hình dạng thế năng, nó chỉ nhập kết quả thông qua chiều dài tán xạ sóng S [16] a= m 3 ∫ d rV (r ) 4π (2.29) a là dương Ở đây thế năng có dạng V (r ) = 2λδ (r ) với hằng số liên kết λ = 2π a / m Trong lí thuyết lượng tử hóa lần hai nó sẽ tương ứng với một số hạng tương tác. .. hạng của các thành phần trường thực, tự do, lí thuyết trường phi tương đối tính là tương tác ở cấp độ cơ bản Phần đường chéo của tác động di chuyển các trường ψ 1 và ψ 2 ở thời gian cố định với đường truyền (0) : D11 = 1 e1k (0) : D22 = 1 e2 k (2.18) Trong khi đó số hạng động lực học cung cấp tương tác với đỉnh đơn giản : −ωn : ωn (2.19) của cường độ cho bởi tần số Matsubara Năng lượng tự do bây giờ... Nói cách khác, ở nhiệt độ hữu hạn khi sửa đổi một giá trị của trường cổ điển, định lí Goldstone được xem xét tới nay dường như bị vi phạm trong xấp xỉ một vòng Vậy xem làm thế nào để thế năng hiệu dụng có thể cải thiện do đó định lí Goldstone được khôi phục Ở nhiệt độ hữu hạn phải có hiệu ứng phụ đưa vào ngưng tụ, cái thay đổi thế hóa học nhiệt động lực học µ thay bằng thế hóa học µ do đó ngưng tụ được... quyết đáng kể tới tất cả các bậc trong tương tác Đầu tiên, chúng ta cần hàm phân bố tự do  1  * Ξ 0 = ∫ Dψ 1Dψ 2 exp  − ∑ (e1kψ 1*ψ 1 + e2 kψ 2ψ 2 )   2 n ,k  1 − 2 (2.20) 1 − 2 = det (e1k ) det (e2 k ) Lấy logarithm, chúng ta tìm thấy kết quả không tương tác (2.21) ở đây các vòng lặp khép kín biểu thị các vết trên các biến trong các hàm truyền Sự tương tác động sẽ xáo trộn các trường trong hai sơ... Lagrangian của trường vô hướng thực tương đối tính Ψ có thể được viết như sau 1 m2 2 µ £ 0 = ∂ µ Ψ∂ Ψ − Ψ − λ0Ψ 4 2 2 (2.30) trong thời gian thực Ở đây µ = 0 3 và λ0 là hằng số nối tương đối tính Vì tác động phải là không thứ nguyên, các trường này có cùng thứ nguyên như thời gian nghịch đảo hay khoảng cách nghịch đảo đơn vị, ở đây vận tốc ánh sáng c = 1 Bây giờ chúng ta giới hạn phi tương đối tính bằng cách... đóng vai trò chủ yếu trong lí thuyết phi tương đối tính trong nghiên cứu định lí Goldstone ở nhiệt độ khác không Một kĩ thuật kết hợp 27 chặt chẽ với việc sử dụng hàm truyền nối tiếp một cách tự liên hợp là tác động có hiệu quả cho các toán tử kết hợp [6] Biểu thị hàm truyền tương tác bằng Dab Nó sẽ thỏa mãn phương trình Dyson-Schwinger (2.26) Nếu Π ab là đầy đủ, năng lượng riêng của một hạt tối giản,