Thông tin tài liệu
NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 01 TÀI LIỆU LÝ THUYẾT-BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (Tài liệu chỉ mang nh tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com) CHƯƠNG 0: NHẮC LẠI MỘT SỐ KIẾN THỨC CŨ I. Các ký hiệu đạo hàm và công thức 1. Giả thiết hàm : Ω→ℝ, ∈Ω⊂ℝ . Khi đó = grad= ( , , … , ) , , … , = ; ∆= = = ∇ ; ∇ ( ∇ ) = ∇. ∇+ ∇ (tích phân từng phần) 2. Giả thiết hàm : Ω→ℝ , > 1, ∈Ω⊂ℝ : ( ) = ( ) , ( ) , … , ( ) , = + + ⋯+ = ∇. F trong đó = 3. Cho Ω⊂ℝ là một miền có biên Ω∈ có vecto pháp tuyến tại các điểm trên mỗi mảnh. Khi đó, i. Ω = . ii. Ω = − Ω . iii. divΩ = . ( công thức Divergence ) . iv. φdivΩ = . − . ∇Ω . v. φ∆Ω = − ∇∇Ω ( công thức Green 1 ) . vi. (φ∆−∆)Ω = ( − ) ( công thức Green 2 ) . Chứng minh: NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 02 Công thức iv (dựa vào công thức Divergence) φdivΩ = φ∇. FΩ = φ + + ⋯+ Ω = φ Ω + φ Ω + ⋯+ φ Ω = φ − Ω + φ − Ω + ⋯ … + φ − Ω = φ ( + + ⋯+ ) − + + ⋯+ Ω = φ. − . ∇Ω . Công thức Green 1 (dựa vào công thức iv) φ∆Ω = φ∇ Ω = φdiv ( ∇ ) Ω = φ∇. − ∇∇Ω = − ∇∇Ω . Công thức Green 2 (dựa vào công thức Green 1) ( φ∆−∆ ) Ω = φ∆Ω − ∆Ω = − ∇∇Ω + − ∇∇Ω = ( − ) . NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 03 II. Phương trình vi phân 1. Phương trình vi phân tuyến nh cấp 1: + ( ) = () Nghiệm tổng quát: = ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) + . 2. Phương trình tuyến nh cấp 2: + + = () Cách m nghiệm tổng quát Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến nh thuần nhất: + + = 0. Giải phương trình đa thức đặc trưng: + + = 0 ( 1 ) Trường hợp hợp (1) có hai nghiệm phân biệt , thì = + . Trường hợp hợp (1) có nghiệm kép thì = + . Trường hợp hợp (1) có nghiệm phức ± thì = + . Bước 2: Tìm nghiệm riêng của PT tuyến nh không thuần nhất + + = (). Nếu ( ) = () (∈ℝ, = ()): là nghiệm đơn của (1) thì = (). là nghiệm kép của (1) thì = (). là không là nghiệm của (1) thì = (). Nếu ( ) = ( ( ) + ( ) ) (, ∈ℝ, = ( ) , = ()): ± là nghiệm của (1) thì = [ ( ) + ( ) ]. ± không là nghiệm của (1) thì = [ ( ) + ( ) ]. Trong đó = max {, } Bước 3: Kết luận nghiệm tổng quát của phương trình = + . NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 04 III. Biến đổi Fourier: Có 3 cách biến đổi Fourier thông dụng D ạ ng bi ế n đ ổ i C ộ ng th ứ c Bi ế n đ ổ i ngư ợ c Fourier t ổ ng quát ( ) = ∫ ( , ) ( , ) = ∫ ( ) Fourier sin ( ) = ∫ ( , ) ( , ) = ∫ ( ) Fourier cos ( ) = ∫ ( , ) ( , ) = ∫ ( ) IV. Biến đổi Laplace Cặp biến đổi Laplace ( ) = ∫ ( ) = ( ( ) ) ( ) , , , … , 1 , ! , ! , … , ! ; sin ( ) , cos ( ) √ √ ( ) ( − ) ( − ) Trong các chương ếp theo chúng ta sẽ giải m nghiệm của một số bài toán bằng các phương pháp khác nhau dựa vào điều kiện ban đầu. NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 05 CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN Xét phương trình dạng: + + = , ∈Ω⊂ℝ , > 0, với, = − ∑ , ; ∑ , ≥ ( + + ⋯+ ) ; 〈 , 〉 = ∫ Ω Bước 1: Lấy hàm Φ∈ (Ω ) ta có: 〈 , Φ 〉 + 〈 , Φ 〉 + 〈 , Φ 〉 = 〈 , Φ 〉 ⇔ 〈 , Φ 〉 + 〈 , Φ 〉 + 〈 , ∗ Φ 〉 + ố ℎạ ê= 〈 , Φ 〉 (∗) Bước 2: Tìm Φ sao cho ∗ Φ= λΦ ố ℎạ ê ệ ê . Ta có họ các vecto riêng {Φ } và các giá trị riêng λ . Bước 3: Tìm 〈 , Φ 〉 , ‖ Φ ‖ (nếu có) và 〈 , Φ 〉 , ‖ Φ ‖ . Bước 4: Kết luận hàm (theo khai triển Fourier) ( , ) = ∑ 〈 , 〉 ‖ ‖ Φ (bất đẳng thức Parseval). Sau đây là một số bài tập xét trong trường hợp điều kiện thuần nhất Bài 1.1: Bằng phương pháp tách biến m hàm ( , ) thỏa = ; < < , ( , ) = ( , ) = , ( , ) = ; < < . Giải: B1: Lấy hàm Φ∈ [0, ] ta có: ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) ⇔ ( , ) Φ ( ) = [ ( , ) Φ ( ) −(, )Φ′ ( ) ] + ( , ) Φ () ⇔ ( , ) Φ ( ) = [ − ( , ) Φ ( ) + ( 0, ) Φ ( 0 ) ] + ( , ) Φ (). (∗) B2: Chọn Φ sao cho Φ ( ) = λΦ ( ) , Φ ( ) = Φ ( 0 ) = 0. Phương trình đặc trưng: = NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 06 Trường hợp > 0 ⇒= ± √ ⇒Φ ( ) = √ + √ ⇒Φ ( ) = √ √ − √ √ . Do Φ ( ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ √ √ − √ √ = 0 √ − √ = 0 ⇔ = = 0 (ạ). Trường hợp = 0 ⇒Φ () = 0 ⇒Φ ( ) = + ⇒Φ′ ( ) = . Do Φ ( ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ = 0 = 0 ⇔ = 0. Chọn = 1 ⇒Φ ( ) = 1. Trường hợp < 0 ⇒= ± √ −. ⇒Φ ( ) = cos √ − + sin √ − . ⇒Φ ( ) = − √ −sin √ − + √ −cos ( √ −). Do Φ ( ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ − √ −sin √ − + √ −cos ( √ −) = 0 √ −= 0 ⇔ − √ −sin √ − = 0 = 0 Chọn = 1 ⇒sin √ − = 0 ⇔ √ −= ⇔= − Ta có Φ= Φ = cos ; = = − . B3: Tính 〈 , Φ 〉 , ‖ Φ ‖ và 〈 , Φ 〉 , ‖ Φ ‖ Tính 〈 , Φ 〉 : từ (*) ta có ( , ) = 0 ⇔ ( , ) = . Cho = 0 ta có ( , 0 ) = ⇔ = ⇔= 2 ⇒ 〈 , Φ 〉 = 2 và ‖ Φ ‖ = . Tính 〈 , Φ 〉 : từ (*) ta có ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) Đặt ( ) = ∫ ( , ) Φ ( ) ta có phương trình: = ⇒ () = . Cho = 0 ta có = ( 0 ) = ( , 0 ) Φ ( ) = cos NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 07 = + cos ( ) = [ (−1) −1 ] . Suy ra 〈 , Φ 〉 = [ (−1) −1 ] . ‖ Φ ‖ = cos ( )= 1 2 1 + cos ( 2 ) = 1 2 + 2 sin ( 2 ) = 2 . B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có ( , ) = 〈 , Φ 〉 ‖ Φ ‖ Φ + 〈 , Φ 〉 ‖ Φ ‖ Φ = 2 + [ (−1) −1 ] 2 cos = 2 + 2 [ (−1) −1 ] cos ớ = − Bài 1.2: Bằng phương pháp tách biến m hàm ( , ) thỏa = , ( , ) = ( , ) = ; > , ( , ) = , ( , ) = ; < < . Giải: B1: Lấy hàm Φ∈ [0,1] ta có: ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) ⇔ [ ( , ) Φ ( ) −(, )Φ′ ( ) ] + ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) ⇔ ( 1, ) Φ ( 1 ) − ( 0, ) Φ(0) + ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) (∗) B2: Chọn Φ sao cho Φ ( ) = λΦ ( ) , Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0. Phương trình đặc trưng: = Trường hợp > 0 ⇒= ± √ ⇒Φ ( ) = √ + √ . Do Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ √ + √ = 0 + = 0 ⇔ = = 0 (ạ). NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 08 Trường hợp = 0 ⇒Φ () = 0 ⇒Φ ( ) = + . Do Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ + = 0 = 0 ⇔ = = 0 (ạ). Trường hợp < 0 ⇒= ± √ −. ⇒Φ ( ) = cos √ − + sin √ − . Do Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ cos √ − + sin( √ −) = 0 = 0 Chọn = 1 ⇒sin √ − = 0 ⇔ √ −= ⇔= − ( ) . Ta có Φ= Φ = sin ( ) ; = = − ( ) . B3: Tính 〈 , Φ 〉 , ‖ Φ ‖ Từ (*) ta có ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) Đặt ( ) = ∫ ( , ) Φ ( ) ta có phương trình: () = () Phương trình đặc trưng: = ⇔ = ( ) ⇔= ± . ⇒ () = cos + sin ; () = − sin + cos . Do ( , 0 ) = 0 ( , 0 ) = 1 nên cho = 0 ta có = 0 = ∫ sin ( ) = () ⇔ = 0 = () . Suy ra 〈 , Φ 〉 = () . . ‖ Φ ‖ = ∫ sin ( ) = ∫ ( 1 −cos (2) ) = − sin (2) = . B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có ( , ) = 〈 , Φ 〉 ‖ Φ ‖ Φ = ( −1 ) + 1 . 1 2 sin ( ) = 2 (−1) + 1 sin sin() . NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 09 Bây giờ ta sẽ xét bài toán với điều kiện không thuần nhất | ≠, | ≠. Ví dụ như ( , ) = hay ( , ) = . Bài 1.3: Bằng phương pháp tách biến m hàm ( , ) thỏa = ; < < , > ( , ) = , ( , ) = , ( , ) = ; < < . Giải: Đặt ( , ) = ( , ) − ta được hệ = ; 0 < < 1, > 0 ( 0, ) = 0, ( 1, ) = 0, ( , 0 ) = −; 0 < < 1. B1: Lấy hàm Φ∈ [0,1] ta có: ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) ⇔ ( , ) Φ ( ) = [ ( , ) Φ ( ) −(, )Φ′ ( ) ] + ( , ) Φ′′ ( ) ⇔ ( , ) Φ ( ) = ( 1, ) Φ ( 1 ) − ( 0, ) Φ ( 0 ) + ( , ) Φ ( ) . ( ∗ ) B2: Chọn Φ sao cho Φ ( ) = λΦ ( ) , Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0. Phương trình đặc trưng: = Trường hợp > 0 ⇒= ± √ ⇒Φ ( ) = √ + √ . Do Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ √ + √ = 0 + = 0 ⇔ = = 0 (ạ). Trường hợp = 0 ⇒Φ () = 0 ⇒Φ ( ) = + . Do Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ + = 0 = 0 ⇔ = = 0 (ạ). Trường hợp < 0 ⇒= ± √ −. ⇒Φ ( ) = cos √ − + sin √ − . Do Φ ( 1 ) = Φ ( 0 ) = 0 ⇒ cos √ − + sin( √ −) = 0 = 0 Chọn = 1 ⇒sin √ − = 0 ⇔ √ −= ⇔= − ( ) . NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH Đ Ạ O HÀM RIÊNG 10 Ta có Φ= Φ = sin ( ) ; = = − ( ) . B3: Tính 〈 , Φ 〉 , ‖ Φ ‖ Từ (*) ta có ( , ) Φ ( ) = ( , ) Φ ( ) Đặt ( ) = ( , ) Φ ( ) Ta có phương trình: ( ) = () ⇒ () = Cho = 0 ta có = ( 0 ) = ( , 0 ) Φ ( ) = − sin ( ) = − − 1 cos ( ) + 1 ( ) = −− 1 ( −1 ) = ( −1 ) . Suy ra 〈 , Φ 〉 = (−1) . ‖ Φ ‖ = sin ( ) = 1 2 ( 1 −cos (2) ) = 1 2 − 1 2 sin (2) = 1 2 . B4: Vậy theo khai triển Fourier ta có ( , ) = 〈 , Φ 〉 ‖ Φ ‖ Φ = (−1) 1 2 sin ( ) = 2 (−1) sin() . Suy ra ( , ) = ( , ) + = + 2 (−1) sin() . Bài 1.4: Bằng phương pháp tách biến m hàm ( , ) thỏa + = ; < , < , ( , ) = ( , ) = , ( , ) = , ( , ) = . [...]... , )= Ta có phương trình: − ( , ) sin( ⇒ ( , )= = ) Cho = 0 ta có = ( , 0) = ⇒ ( , )= ( ) sin( ) ( , 0) sin( ) = ( ) sin( ) Suy ra ( , )= 2 ( ) sin( ) sin( ) Bây giờ ta xét bài tập với hàm ( ) cho cụ thể Bài 2.3: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa: = , ( , )= ; , > , ( , )= Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier sin ta có PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 15 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG ( ,... ( Đặt ( , )= − Ta có phương trình: Phương trình đặc trưng: ( =− − =0⇔ − Nghiệm của phương trình ) ( , ) (1) =± = 0 có dạng ( , ) = + (2) Cho lần lượt = 0, = 1 vào (2) ta có = (0, ) = 0 + + Do ( ) = − ( ) = − sin( PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG = (0, ) = 0 ⇔ = = 0 ⇒ ( , ) = 0 ) nên nghiệm riêng của (1) có dạng 22 ) NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG ( , )= ( )+ ( )⇒ ( , )=− cos( ( )− ( sin( ) Thay vào (1) ta có − cos(... Bài 4.4: Xét hệ − + = ; < < , ( )= , ( )+ ( ) = a Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , , b Áp dụng định lý Lax-Milgram để chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất, c Chứng minh bài toán nghiệm yếu suy bài toán ban đầu Giải: a Lấy hàm ∈ (0,1) ta có PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 27 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG ( ) ( ) − 2 ( ) ( ) + ⇔ [− ′( ) ( )] + [ ( ) ′( ) + 2 ( ) ( )] ⇔ 3 (1) (1) + ′(0) (0) + Chọn ∈ Ta có bài. .. Coercive ( , )=2 ≥ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (1) + 3 [ ( )+ (0) + ( )] [ ( )+2 ( )] = ‖ ‖ ,∀ ∈ 31 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG Theo định lý Lax-Milgram thì bài toán nghiệm yếu có nghiệm duy nhất Chúng ta sẽ xét ếp các dạng bài toán cho hàm chứa nhiều ẩn (cụ thể là 2 ẩn), xác định trên tập Bài 4.6: Xét hệ − | ( , ) = ( , ); = a Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , = {( , )| < , < }, , b Áp dụng định lý Lax-Milgram... 1 2 Bài 2.6: Bằng phương pháp biến đổi Fourier m hàm ( , ) thỏa: ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + = ; ≤ ≤ ∞, −∞ ≤ ≤ +∞, ( , ) = ( ), ( , )= Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier tổng quát ta có ( , ) ⇔ ( ) PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ( , ) ( , ) + + ( , ) =0 = 0 18 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG Đặt ( , )= ( ) Ta có phương trình: à cos( ( , )=− ( , 0) = 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ =0⇔ +( ) ) ⇔ =± )+ sin( ( , 0) = ( ) Do + = −( Phương trình. .. sao cho (*) đúng với ∀ ∈ được gọi là bài toán m nghiệm yếu của phương trình Bài 4.1: Xét hệ − + = , ( )= ( )= Viết phương trình dạng nghiệm yếu, m , Giải: Lấy hàm ∈ − (0,1) ta có ( ) ( ) + ⇔ [− ′( ) ( )] + ⇔ − (1) (1) + Chọn ={ ∈ ( ) ( ) [ ( ) ′( ) + ( ) ( )] (0) (0) + (0,1): (0) = (1) = 0} à Ta có bài toán nghiệm yếu, m ( ) ( ) ( ) = ∈ ( ) PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ( ) ( ) ={ ∈ = + ( ) ( ) ( ) (... , )= ( , )+ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG = + 2 sinh( ) sin( cosh( ) ) 12 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI FOURIER Từ hàm ban đầu (chưa biết), ta biến đổi Fourier ( ) của hàm , sau đó sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược để ma àm Tùy vào điều kiện của bài toán mà ta chọn biến đổi Fourier cho thích hợp, cụ thể: Bài toán có giả thiết (0, ) sử dụng biến đỗi Fourier sin Bài toán có... cos( )) sin( ) Suy ra ( , )= PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (1 − cos( )) sin( ) 23 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG CHƯƠNG 4: PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN + Xét phương trình dạng: = −∑ , ⇔ ∈ ∈ Ω (Ω) ta có 〈 Chọn = , ∈ Ω ⊂ ℝ , > 0, với, + ( ) ; 〈 , 〉=∫ ∈ Lấy hàm + ⊂ ⊂ , 〉+ 〈 , 〉+ 〈 , 〉 = 〈 , 〉 〈 , Φ〉 + (Ω) sao cho (Ω) ∗ 〈 , Φ〉 + 〈 , + ⊂ ố ℎạ ê ị Φ〉 + ố ℎạ ệ ê ∈ Nếu không m được đạo hàm đó ta có bài toán m ê = 〈 , Φ〉 (∗) sao... ) thỏa: = ; ∈ ℝ, ( , ) = ( ), ( , )= < < , Giải: Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier tổng quát ta có ( , ) ⇔( ) ( , ) ( , ) + + ( , ) =0 = 0 Đặt PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 17 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG ( , )= Ta có phương trình: ( ) + =0⇔ Phương trình đặc trưng: = ⇔ Do ⎨ ⎪ ⎩ − = = ( , 0) ( )= − ( )= − ⇒ ( , )= − 2 sinh( = ( − 2 sinh( = + (1) = 1 vào (1) ta có = = ( , )= + ⎧ ⎪ = 0 = 0, = ( , 0) = + ⎨ ⎪ ⎩... 1)Φ(1) − + = Do Φ(1) = Φ(0) = 0 ⇒ ( , )Φ( ) − ( , )Φ′( ) Φ ( ) = λΦ( ), Φ(1) = Φ(0) = 0 Phương trình đặc trưng: =0 + sin(√− ) = 0 = 0 ⇔ √− = ); = ⇔ = −( = −( ) ) B3: Tính 〈 , Φ 〉, ‖Φ ‖ Từ (*) ta có ( , )Φ ( ) + ( , )Φ ( ) = 0 Đặt PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 11 NGUYỄN CHÍ PHƯƠNG ( )= ( )+ Ta có phương trình: Phương trình đặc trưng: ⇒ ( )= Do (0, ) = 0 (1, ) = 1 − + ( )=0 =( =− + ) ⇔ =± ( )= ; − nên
Ngày đăng: 15/04/2014, 21:15
Xem thêm: Phương trình đạo hàm riêng, Phương trình đạo hàm riêng
