SPUTNIK EDUCATION giới thiệu NHẬP MƠN TỐN TÀI CHÍNH GS Nguyễn Tiến Dũng GS Đỗ Đức Thái Hà Nội – Toulouse, 2014 Quyển sách soạn thảo quãng thời gian 2009-2011 Bản ebook này, với giúp đỡ Sputnik Education, cơng bố miễn phí cho bạn đọc, nhằm đóng góp vào nghiệp giáo dục Việt Nam Nó dùng làm tài liệu cho khố học tốn tài dành cho người theo ngành toán học hay kinh tế tài Bản quyền thuộc tác giả Sputnik Education, nhóm chun gia có trình độ cao tâm huyết với giáo dục lập nên, với mục đích đem lại tài liệu học tập có chất lượng cao cho học sinh, người lớn, giúp cho việc học trở nên vui hiệu Xin mời tìm đọc sách Sputnik Education xuất bản! iii Lời giới thiệu Mục đích sách nhằm giúp bạn sinh viên ngành kinh tế, tài chính, toán học nắm bắt số kiến thức tốn tài chính, với ứng dụng thực tế tài chính, qua tiếp tục tìm hiểu sâu thêm lĩnh vực Do nhằm phục vụ sinh viên tốn cịn thiếu kiến thức tài chính, lẫn sinh viên kinh tế - tài cịn thiếu kiến thức tốn, chúng tơi thiết kế sách với chương có tính chất bổ túc tài chính, đồng thời cố gắng giảm nhẹ mặt hình thức tốn học so với số tài liệu cao cấp tiếng Việt khác [14, 20, 28] Vào thời điểm biên soạn sách này, tốn tài ngành mẻ Việt Nam, giới trở thành ngành lớn quan trọng, coi khơng thể thiếu hoạt động tổ chức tài ngân hàng, bảo hiểm, đầu tư, việc quản lý tài phủ, doanh nghiệp lớn Hệ thống tài quốc tế ngày trở nên tinh vi phức tạp, để cạnh tranh hệ thống này, ngày cần nhiều đến cơng cụ tốn học để mơ hình hóa, phân tích tính tốn Khơng tổ chức doanh nghiệp lớn, mà cá nhân cần có hiểu biết tối thiểu tài tốn tài chính, có ích định tài mình, nhằm đạt tương lai đảm bảo tự tài chính, tránh rủi ro Nhận thấy nhu cầu phát triển đào tạo ngành toán tài Việt Nam, Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà nội hỗ trợ Trung tâm Tốn Tài Cơng nghiệp Hà nội gần mở mã ngành đào tạo bậc cử nhân tốn tài Quyển sách đời để nhằm phục vụ cho trương trình đào tạo cử nhân Cấu trúc sách sau: gồm có chương, chia làm phần Phần thứ gồm chương đầu, chương tiền tệ chương thị trường tài Phần khơng có tốn, mục đích phần nhằm làm quen sinh viên ngành toán với khái niệm tài Phần thứ có số thơng tin cập nhật thị trường tài giới, thú vị bạn đọc có kiến thức tài Phần thứ hai gồm chương tiếp theo, kinh doanh chênh lệch giá, phân tích trái phiếu, phân tích cổ phiếu, quản lý danh mục đầu tư Phần bắt đầu có nhiều cơng thức tốn học định lý, mức độ phức tạp vừa phải, sinh viên kinh tế tài khơng gặp khó khăn đặc biệt tốn đọc phần này, đặc biệt có số kiến thức sở giải tích xác suất thống iv kê Định lý kinh doanh chênh lệch giá (arbitrage), giới thiệu chương 3, gọi định lý tốn tài chính, định lý định giá tốn tài dựa sở định lý Chương Chương giới thiệu phân tích cổ phiếu trái phiếu từ quan điểm nhà đầu tư, Chương số nguyên tắc định tính định lượng việc quản lý danh mục đầu tư Phần thứ ba, gồm hai chương cuối, phần nặng toán Chương chương giải tích ngẫu nhiên, làm sở cho việc mơ hình hóa biến động giá thị trường toán Một số khái niệm giải tích nhẫu nhiên, có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, thay đổi phân bố xác suất, bàn đến Các tác giả cố gắng viết chương cách nhẹ toán dễ hiểu so với sách chuyên khảo giải tích ngẫu nhiên, cho liên hệ trực tiếp với giá chứng khoán, với hy vọng bạn đọc khơng phải người học ngành tốn hiểu thấy ứng dụng giải tích ngẫu nhiên Chương chương việc định giá quyền chọn, chứng khoán phái sinh trở thành phổ biến thị trường tài Các mơ hình định giá bàn đến chương này, cụ thể mơ hình Black–Scholes mơ hình nhị phân Cox–Ross–Rubinstein, dựa kiến thức giải tích ngẫu nhiên trình bầy Chương Để hiểu tốt sách này, bạn đọc cần số kiến thức sở giải tích tốn học, đại số tuyến tính, xác suất thống kê Tất khái niệm xác suất thông kê dùng sách này, mà không giải thích chi tiết đây, tìm thấy sách [7] biên soạn Ngồi ra, có thêm số kiến thức tốn cao cấp khác, ví dụ khái niệm tập compact, nhân tử Lagrange tối ưu hóa, v.v., dể hiểu chứng minh định lý có tính tốn học sách Nếu khơng, tạm thời bỏ qua chứng minh định lý, mà trọng vào việc hiểu ý nghĩa định lý đó, để dùng chúng Do khuôn khổ sách có hạn, mục đích sách nhập mơn sinh viên đại học đọc hiểu được, nên có nhiều vấn đề quan trọng tốn tài mà chúng tơi bỏ qua khơng đề cập tới sách Chúng tơi hy vọng viết sách khác, chuyên sâu hơn, nối tiếp sách Đây lần đầu viết sách tốn tài chính, ngành mà thân chúng tơi cịn tương đối mẻ, sách không tránh khỏi nhiều thiếu sót Chúng tơi mong bạn đọc góp ý, để chỉnh sửa lại sách cho tốt v Lời cảm ơn Một phần sách viết tác giả Nguyễn Tiến Dũng đến thăm làm việc Trung tâm Liên khoa Bernoulli (Centre Interfacultaire Bernoulli), Đại học Bách khoa Liên bang Lausanne (EPFL), Thụy Sĩ, thời gian năm 2010, theo lời mời GS Tudor Ratiu Chúng chân thành cảm ơn GS Ratiu Trung tâm Bernoulli tạo điều kiện làm việc tốt để viết sách Một phần sách soạn thảo tác giả Đỗ Đức Thái đến thăm làm việc Khoa Toán, Đại học Toulouse, Cộng hoà Pháp, thời gian năm 2010, theo lời mời GS Thomas Pascal tác giả NTD Chúng chân thành cảm ơn GS Thomas Pascal ĐH Toulouse tạo điều kiện cho làm việc hợp tác chặt chẽ việc soạn thảo sách Trong trình soạn thảo sách này, chúng tơi có may mắn thảo luận trực tiếp với nhiều chun gia tốn tài bảo hiểm, số chuyên gia cao cấp tập đồn tài chính, qua hiểu rõ vấn đề thực tốn tài Chúng tơi xin chân thành cảm ơn tất chuyên gia đó, đặc biệt ơng Nguyễn Nam Kim, bà Đặng Thu Hương, GS Trần Hùng Thao, GS Adrien Blanchet, GS Jaksa Cvitanic, GS Paul Embrechts, GS Jean-David Fermanian, GS Max Hongler, GS Bernt Oksendal, GS Juan-Pablo Ortega, GS Christian Y Robert, GS Michel Simoni, GS Christine Thomas, GS Anne Vanhems, GS Stéphane Villeneuve Trong trình soạn thảo sách này, tài liệu dùng để tham khảo, chương sách viết dở hay sửa chữa, đem thảo luận xêmina tốn tài thuộc Trung tâm Tốn Tài Cơng nghiệp Hà nội, xêmina Tốn tài tổ chức Toulouse, xemina tốn tài Đại học Kinh Tế - Luật, ĐHQG TPHCM Các thành viên tham gia ba xêmina đóng góp nhiều ý kiến bổ ích cho sách Chúng xin chân thành cảm ơn tất thành viên ba xêmina, đặc biệt là: PGS Lê Anh Vũ, TS Lưu Hoàng Đức, TS Hà Bình Minh, TS Nguyễn Thịnh, NCS Lữ Hoàng Chinh, Phạm Việt Hùng, Nguyễn Văn Minh, Trương Hồng Minh, Lê Văn Tuấn, Nguyễn Thanh Thiên, Phan Thanh Tùng, Lê Hải Yến, v.v Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Hồng Hải, TS Trần Trọng Nguyên, ThS Lê Văn Tuấn đọc kỹ thảo đầu sách này, cho nhiều ý kiến đóng góp việc sửa chữa sách cho tốt Nhờ ý kiến đó, mà nhận sửa chữa nhiều chỗ cần thiết sách vi Mục lục Một số khái niệm tiền tệ 1.1 Các tính chất đặc trưng tiền 1.2 Nguyên tắc tổng tiền 1.3 Lượng cung tiền 1.4 Lạm phát 1.5 Lãi suất 1.6 Hệ thống ngân hàng sách tiền tệ 13 1.7 Ngoại tệ tỷ giá ngoại tệ 15 Thị trường tài 19 2.1 Chức cấu trúc thị trường tài 19 2.2 Các sản phẩm nợ 24 2.3 Cổ phiếu 28 2.4 Các chứng khoán phái sinh 33 2.4.1 Hợp đồng kỳ hạn hợp đồng tương lai 33 2.4.2 Quyền chọn 35 2.4.3 Hợp đồng hoán đổi 37 2.5 Các trung gian tài 38 2.6 Quản lý hệ thống tài 43 Kinh doanh chênh lệch giá 47 3.1 Khái niệm kinh doanh chênh lệch giá 47 3.2 Định lý kinh doanh chênh lệch giá 50 3.3 Định lý đối ngẫu qui hoạch tuyến tính 55 3.4 No-arbitrage xác suất trung hòa rủi ro 58 3.5 Định giá hợp đồng kỳ hạn hợp đồng tương lai 62 vii viii MỤC LỤC Lãi suất trái phiếu 67 Các cánh tính lãi suất 67 4.1.1 Lãi đơn 67 4.1.2 Lãi suất chiết khấu 70 4.1.3 Lãi kép 71 4.1.4 Lãi suất hiệu dụng lợi suất trái phiếu 72 4.1.5 Qui ước tính số ngày 74 4.1.6 Lãi kép liên tục 74 Giá trị lợi suất dòng tiền tệ 76 4.2.1 Cơng thức dịng tiền chiết khấu 76 4.2.2 Dòng niên kim 78 4.2.3 Trái phiếu coupon trái phiếu vô thời hạn 81 4.2.4 Lãi suất hoàn vốn 83 4.3 Duration trái phiếu 84 4.4 Đường lợi suất 89 4.5 Cấu trúc kỳ hạn tổng quát 92 4.6 Cấu trúc rủi ro lãi suất 95 Phân tích giá cổ phiếu 99 5.1 Giá thị trường giá trị thật 99 5.2 Ước lượng giá trị thật cổ phiếu 104 4.1 4.2 5.2.1 Dòng tiền lợi tức, lợi suất cổ phiếu 104 5.2.2 Ước lượng giá trị cổ phiếu tăng trưởng 108 5.3 Các lực tác động đến giá cổ phiếu 111 5.3.1 Chênh lệch giá thị trường giá trị thật 113 5.3.2 Tâm lý thị trường 115 5.3.3 Các ngoại lực 117 5.3.4 Phạm vi ảnh hưởng lực 118 5.3.5 Các lực ngẫu nhiên 119 5.4 Phân tích thống kê cho giá cổ phiếu 122 5.4.1 Hệ số volatility 122 5.4.2 Hệ số beta 5.4.3 Hồi qui theo nhiều biến 128 124 MỤC LỤC ix Quản lý danh mục đầu tư 131 6.1 Một số nguyên tắc chung đầu tư 133 6.1.1 Quan hệ rủi ro lợi nhuận 133 6.1.2 Đa dạng hóa 133 6.1.3 Địn bẩy tài 134 6.1.4 Đệm an toàn 135 6.1.5 Độ dài thời gian 136 6.1.6 Đầu tư có tổ chức 136 6.2 Các loại hình đầu tư 137 6.2.1 Vàng bạc châu báu 137 6.2.2 Bất động sản 138 6.2.3 Các sản phẩm nợ 139 6.2.4 Cổ phiếu 140 6.2.5 Chứng khoán phái sinh 141 6.3 Lợi nhuận lợi nhuận kỳ vọng 142 6.3.1 Các công thức tính lợi nhuận 142 6.3.2 Lợi nhuận kỳ vọng 144 6.4 Hàm thỏa dụng 146 6.4.1 Khái niệm hàm thỏa dụng 146 6.4.2 Hàm thỏa dụng Bernoulli 147 6.4.3 Tính lõm hàm thỏa dụng 149 6.5 Các thước đo rủi ro 150 6.5.1 Phương sai độ lệch chuẩn 6.5.2 Rủi ro thâm hụt (shortfall risk) 152 6.5.3 Giá trị chịu rủi ro (value at risk) 153 6.6 150 Lý thuyết Markowitz 155 6.6.1 Trường hợp có hai chứng khốn 156 6.6.2 Trường hợp có nhiều chứng khốn 160 6.6.3 Biên hiệu 162 6.7 Mơ hình định giá tài sản vốn (CAPM) 164 6.7.1 Đường thị trường vốn 165 6.7.2 Nhân tử beta đường thị trường chứng khoán 167 x MỤC LỤC Giải tích ngẫu nhiên 169 7.1 Một số mơ hình biến động giá chứng khốn 169 7.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 170 7.1.2 Mô hình bước thời gian 173 7.1.3 Mơ hình với thời gian rời rạc 176 7.1.4 Mơ hình nhị phân 177 7.1.5 Mơ hình với thời gian liên tục 180 7.2 Martingale 182 7.2.1 Định nghĩa tính chất martingale 182 7.2.2 No-arbitrage martingale 183 7.3 Chuyển động Brown 190 7.3.1 Định nghĩa chuyển động Brown 190 7.3.2 Phân bố xác suất chuyển động Brown 192 7.3.3 Du dộng ngẫu nhiên 194 7.3.4 Một số tính chất chuyển động Brown 197 7.3.5 Biến phân biến phân bình phương 199 7.3.6 Chuyển động Brown hình học 201 7.4 Vi phân trình ngẫu nhiên 202 7.4.1 Vi phân chuyển động Brown hình học 202 7.4.2 Bổ đề Itô 205 7.5 Tích phân Itô 206 7.5.1 Tích phân Riemann–Stieltjes 207 7.5.2 Định nghĩa tích phân Itô 209 7.5.3 Một số tính chất tích phân Itơ 212 7.6 Thay đổi phân bố xác suất 215 7.6.1 Đạo hàm Radon–Nikodym 215 7.6.2 Định lý Cameron–Martin 217 7.6.3 Ứng dụng vào định giá quyền chọn có giới hạn 218 7.6.4 Định lý Girsanov 220 Quyền chọn 8.1 8.1.1 223 Một số tính chất giá quyền chọn 224 Giá quyền chọn thời điểm đáo hạn 225 8.4 CÔNG THỨC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN KIỂU ÂU 239 ˆ ˆ Y = (r − σ2 )(T − t) + σ BT −t , Bs chuyển động Brown bắt đầu thời ˆ điểm t (thay bắt đầu thời điểm 0, hay viết Bs = Bt+s − Bt ) Nhắc lại rằng, B chuyển động Brown, với s > cố định, Bs biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất R phân bố chuẩn (normal) N (0, s) √ (kỳ vọng độ lệch chuẩn s) Tại thời điểm t, biến ngẫu nhiên Y = 2 ˆ (r − σ )(T − t) + σ BT −t có phân bố chuẩn N ((r − σ )(T − t), σ (T − t)), với kỳ vọng (r − σ2 )(T 2 − t) phương sai σ (T − t), hàm mật độ là: ρ(t, y) := ρY (y) = 2πσ (T − t) −(y − (r − σ2 )(T − t))2 2σ (T − t) exp (8.44) Gọi Vt = V (t) giá thời điểm t quyền chọn kiểu Âu cổ phiếu S với expiry time T hàm payoff G Nhắc lại V (T ) = G(ST ) Theo tính chất martingale, thời điểm t < T ta có: V (t, ωt ) = e−r(T −t) E∗ (G(ST )|ωt ) (8.45) ωt tình xảy thời điểm t Vì ST = ST (Y ) = St exp(Y ) hàm số biến theo Y , mà T, t St cố định, nên ta coi G(ST ) = G(St exp(Y )) hàm số biến theo Y Dùng cơng thức tính kỳ vọng hàm số biến ngẫu nhiên, ta có: ∞ V (t, ωt ) = e−r(T −t) E∗ (G(ST )|ωt ) = e−r(T −t) G(ST (y))ρ(t, y)dy (8.46) −∞ Ta cần biết giá St = St (ωt ) cổ phiếu thời điểm t xác định vế phải công thức (chứ không cần biết thêm thơng tin ωt ) Bởi ta viết: ∞ V (t, St ) = e−r(T −t) G(St ey )ρ(t, y)dy (8.47) −∞ với ρ(t, y) = 2πσ (T − t) exp −(y − (r − σ2 )(T − t))2 2σ (T − t) Cơng thức thức công thức định giá cho quyền chọn kiểu Âu với hàm payoff G, với điều kiện volatility σ số Ta kiểm tra hàm V (t, St ) cho công thức (8.47) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng Black–Scholes điều kiện biên V (T, S) = G(S) Công thức (8.47) không định nghĩa trực tiếp cho t = T , lấy giới hạn V (T, S) = limt→T V (t, S): Khi t tiến tới T − t phân bố xác suất N ((r − σ2 )(T − t), σ (T − t)), hội tụ (theo nghĩa hội tụ yếu phân bố xác suất) đến phân bố tập 240 CHƯƠNG QUYỀN CHỌN trung điểm 0, vế phải công thức (8.47) tiến tới G(ST exp(0)) t tiến tới T , tức ta có điều kiện biên V (T, S) = G(S) Để kiểm tra V (t, S) cho công thức (8.47) thỏa mãn phương trình (8.30), ta làm sau: Lấy đạo hàm hai vế công thức (8.47) theo biến t ta được: ∂V (t, S) = rV (t, S) + e−r(T −t) ∂t ∞ G(Sey ) −∞ dρ(t, y) dy dt (8.48) Lấy đạo hàm hai vế công thức (8.47) theo biến S, nhân với S, ta được: S ∂V (t, S) = e−r(T −t) ∂S ∞ ∞ G (Sey )Sey ρ(t, y)dy = e−r(T −t) −∞ −∞ dG(Sey ) ρ(t, y)dy, dy G ký hiệu đạo hàm G Vì ∞ −∞ d(G(Sey )ρ(t, y)) dy = dy dG(Sey ) dρ(t, y) d(G(Sey )ρ(t, y)) = ρ(t, y) + G(Sey ) , dy dy dy nên công thức phía viết lại thành: S ∂V (t, S) = −e−r(T −t) ∂S ∞ G(Sey ) −∞ dρ(t, y) dy dy (8.49) Tương tự vậy, ta có: S Mặt khác, S ∂ ∂V (t, S) (S ) = e−r(T −t) ∂S ∂S ∞ G(Sey ) −∞ d2 ρ(t, y) dy dy ∂ ∂V (t, S) ∂ V (t, S) ∂V (t, S) (S ) = S2 +S , ta có: ∂S ∂S ∂S ∂S S2 ∂ V (t, S) = e−r(T −t) ∂S ∞ G(Sey )( −∞ d2 ρ(t, y) dρ(t, y) + )dy dy dy (8.50) Từ đẳng thức (8.48), (8.49) (8.50) ta suy ra: ∂V (t, S) ∂V (t, S) 2 ∂ V (t, S) − rV (t, S) + rS + σ S = ∂t ∂S ∂S ∞ dρ(t, y) σ dρ(t, y) σ d2 ρ(t, y) = e−r(T −t) G(Sey ) − (r − ) + dt dy dy −∞ dy (8.51) 8.4 CÔNG THỨC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN KIỂU ÂU 241 Để chứng minh hàm V (t, S) cho công thức (8.47) thỏa mãn phương trình Black–Scholes (8.30), ta phải kiểm tra hàm mật độ ρ(t, y) = 2πσ (T − t) −(y − (r − σ2 )(T − t))2 2σ (T − t) exp thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng bậc sau: σ dρ(t, y) σ d2 ρ(t, y) dρ(t, y) − (r − ) + = dt dy dy (8.52) Khâu kiểm tra cuối tập dành cho bạn đọc Áp dụng công thức (8.47) vào trường hợp G(S) = (S − X)+ , ta công thức định giá sau cho Call kiểu Âu: ∞ C E (t, S) = e−r(T −t) (Sey − X)+ ρ(t, y)dy, (8.53) −∞ ρ(t, y) = √ 2πσ (T −t) exp −(y−(r− σ )(T −t))2 2σ (T −t) , hay cịn viết là: ∞ C E (t, S) = e−r(T −t) (Sey − X)ρ(t, y)dy (8.54) ln X−ln S Tương tự vậy, cho Put kiểu Âu ta có: ln X−ln S P E (t, S) = e−r(T −t) (X − Sey )ρ(t, y)dy (8.55) −∞ Các cơng thức đơn giản hóa, cách khai triển đổi biến, để trở thành công thức sau, gọi công thức Black–Scholes: C E (t, S) = SN (d1 ) − Xe−r(T −t) N (d2 ), (8.56) P E (t, S) = Xe−r(T −t) N (−d2 ) − SN (−d1 ), (8.57) đó: x N (x) = −∞ √ e−y /2 dy 2π (8.58) hàm phân phối xác suất phân bố normal chuẩn tắc N (0, 1), d1 = ln(S/X) + (r + σ /2)(T − t) ln(S/X) + (r − σ /2)(T − t) √ √ , d2 = σ T −t σ T −t Bài tập 8.5 Chứng minh công thức (8.56) (8.57) (8.59) 242 CHƯƠNG QUYỀN CHỌN 8.5 Các chữ Hy Lạp Trong ngôn ngữ tốn tài chính, thị trường chứng khốn, đạo hàm giá quyền chọn gọi chữ Hy Lạp, chúng ký hiệu chữ Hy Lạp Ký hiệu giá quyền chọn V Như phần ta thấy, mơ hình Black–Scholes, V hồn tồn xác định đại lượng sau: t (thời gian), S (giá cổ phiếu), σ (volatility), r (lãi suất), X (giá thực hiện), T (thời điểm đáo hạn) Thời điểm đáo hạn giá thực cố định cho quyền chọn, nên không coi biến số Bốn đại lượng cịn lại, tức t, S, σ, r biến số, khơng cố định cho quyền chọn, mà thay đổi Chú ý rằng, lúc tìm cơng thức định giá quyền chọn, ta coi σ r số, có cơng thức, ta cho phép thay đổi, xem phụ thuộc giá quyền chọn theo cơng thức tìm được) vào σ r Sự thay đổi σ r có xảy thực tế, đặc biệt σ thay đổi mạnh, điều làm cho giá quyền chọn thay đổi mạnh theo Ta coi V = V (t, S, σ, r) hàm biến số (kể khơng phải quyền chọn kiểu Âu tn theo mơ hình Black–Scholes) Các đạo hàm V theo biến số gọi tên sau: ∂V i) deltaV = (Chữ Hy Lạp delta viết δ, ứng với chữ La Mã d, chữ ∂S đầu từ derivative, tức đạo hàm) ∂V (Chữ Hy Lạp theta viết θ, ứng với chữ La Mã t, chữ ii) thetaV = ∂t đầu từ time, tức thời gian) ∂V iii) vegaV = (Trong bảng chữ Hy Lạp thực khơng có chữ vega, mà ∂σ người ta bịa tên gọi Hy Lạp hóa chữ v, chữ đầu từ volatility) ∂V iv) rhoV = (Chữ Hy Lạp rho viết ρ, ứng với chữ La Mã r, chữ đầu ∂ρ từ rate, mức lãi suất) ∂ 2V (Chữ Hy lạp Gamma viết Γ) v) GammaV = ∂S Các cơng thức sau để tính chữ Hy lạp thời điểm t = cho Call kiểu Âu hệ trực tiếp công thức Black–Scholes: i) deltaC E = N (d1 ) Sσ ii) thetaC E = − √ e−d1 /2 − rXe−rT N (d2 ) 2πT 8.6 MƠ HÌNH COX–ROSS–RUBINSTEIN 243 √ S T σ −d2 /2 e iii) vegaC E = √ 2π iv) rhoC E = T Xe−rT N (d2 ) √ v) GammaC E = e−d1 /2 Sσ 2πT Từ công thức trên, ta rút số kết luận sau giá Call kiểu Âu (cũng giá Call kiểu Mỹ, cổ phiếu không trả cổ tức): C E hàm đơn điệu tăng theo biến giá cổ phiếu S (vì delta dương), hàm lồi (vì Gamma dương) Hơn nữa, hàm đơn điệu giảm theo biến thời gian t (vì theta âm: theta mức suy giảm theo thời gian giá quyền chọn), đơn điệu tăng theo biến lãi suất, đơn điệu tăng theo biến volatility Ý nghĩa “chữ Hy Lạp” (các đạo hàm riêng hàm giá quyền chọn), cho phép tính tốn quản lý rủi ro cho danh mục đầu tư hay buôn bán chứng khốn có chứa quyền chọn Ví dụ, nhà đầu tư giữ cổ phiếu XYZ đó, e ngại chuyện giá XYZ giao động mạnh theo chiều hướng bất lợi Khi đó, nhà đầu tư làm giảm độ ảnh hưởng tài khoản vào độ giao động giá cổ phiếu XYZ (tức làm giảm delta tài khoản theo giá cổ phiếu XYZ đi), cách bán lượng Call hoặc/và mua lượng Put XYZ Lượng Call bán Put mua vào tùy thuộc vào delta mà nhà đầu tư muốn có Việc mua bán quyền chọn nhằm mục đích giảm delta khơng làm thay đổi đáng kể kỳ vọng lợi nhuận danh mục đầu tư, làm giảm volatility, tức làm giảm rủi ro cho danh mục đầu tư, khiến cho danh mục đầu tư trở nên hiệu Bài tập 8.6 Chứng minh hàm giá P E Put kiểu Âu theo mô hình Black–Scholes hàm đơn điệu giảm theo biến giá cổ phiếu, hàm lồi theo biến giá cổ phiếu, đơn điệu giảm theo biến thời gian, đơn điệu giảm theo biến lãi suất, đơn điệu tăng theo biến volatility 8.6 Mơ hình Cox–Ross–Rubinstein Mơ hình định giá quyền chọn Cox–Ross–Rubinstein (viết tắt CRR), công bố năm 1979(6) , mơ hình nhị phân bất biến (đã bàn đến Mục 7.1.4) áp dụng vào việc tính giá quyền chọn Đối với quyền chọn kiểu Âu cho cổ phiếu (6) Bài báo công bố là: Cox, John C., Stephen A Ross, and Mark Rubinstein, Option Pricing: A Sim- plified Approach, Journal of Financial Economics 7, (1979) 229-263 244 CHƯƠNG QUYỀN CHỌN khơng trả cổ tức, mơ hình xấp xỉ rời rạc mơ hình Black–Scholes, bước thời gian mơ hình CRR tiến tới 0, kết cho mơ hình CRR tiến tới kết cho mơ hình Black-Scholes Vì mơ hình CRR mơ hình rời rạc, với thuật tốn tính dễ đưa vào máy tính, nên coi phương pháp tính gần giá quyền chọn cho theo cơng thức Black–Scholes Ứng dụng mơ hình CRR khơng dừng lại chỗ làm phương pháp tính cho cơng thức Black–Scholes, mà cịn sử dụng để tính tốn với loại quyền chọn mà mơ hình Black–Scholes khơng áp dụng được, có quyền chọn kiểu Mỹ quyền chọn kiểu Bermuda(7) Trong mô hình nhị phân bất biến CRR, khoảng thời gian từ thời điểm đến thời điểm đáo hạn T chia làm n đoạn với độ dài ∆t = T /n, n số tự nhiên (n lớn cơng thức định giá xác) Gọi S(k) giá cổ phiếu thời điểm k.∆t (k = 0, 1, , n) Gọi S = S(0) giá cổ phiếu thời điểm ban đầu Trong giai đoạn từ k đến k + có tình ngẫu nhiên xảy ra, tốt xấu, xác suất tình tốt p, tình xấu − p Trong tình tốt S(k + 1) = u.S(k), (8.60) S(k + 1) = d.S(k) (8.61) cịn tình xấu (Nếu cổ phiếu có trả lượng cổ tức D thời điểm thứ k, cơng thức chuyển thành S(k + 1) = u.(S(k) − D) S(k + 1) = u.(S(k) − D) tình tốt xấu) Hệ số tăng giảm u, d phụ thuộc vào volatility σ cổ phiếu, độ dài khoảng thời gian ∆t Có nhiều cách chọn lựa u d khác (miễn n tiến tới vơ cùng, mơ hình nhị phân hội tụ tới mơ hình thời gian liên tục có volatility σ) Ví dụ ta đặt √ u = exp(σ ∆t), √ d = exp(−σ ∆t) (8.62) Phân bố xác suất (p, − p) mà dùng để tính giá quyền chọn phân bố xác suất trung hòa rủi ro, theo nguyên lý no-arbitrage Có nghĩa là, theo phân bố xác suất này, tỷ lệ lợi nhuận kỳ vọng phải mức lãi suất thị trường, đó: pu + (1 − p)d = exp(r∆t), (7) Xem, chẳng hạn, http://en.wikipedia.org/wiki/Option_style, loại quyền chọn (8.63) 8.6 MÔ HÌNH COX–ROSS–RUBINSTEIN 245 r mức lãi kép liên tục thị trường Từ ta cơng thức sau để tính p: p= exp(r∆t) − d u−d (8.64) Phân bố xác suất S(k) cho thời điểm phân bố nhị thức: S(k) nhận k + giá trị S(k, i) = uk−i di S, (8.65) i i = 0, , k, với xác suất tương ứng Ck pk−i (1 − p)i (Nếu có trả cổ tức chừng, cơng thức điều chỉnh tương ứng) Giá Call Put kiểu Âu cho thời điểm đáo hạn T theo mơ hình là: n i Cn pn−i (1 − p)i max(uk−i di S − X, 0) , (8.66) i Cn pn−i (1 − p)i max(X − uk−i di S, 0) , C = exp(−rT ) (8.67) i=0 n P = exp(−rT ) i=0 X giá thực (strike price) Đối với quyền chọn kiểu Mỹ, nhà đầu tư thực quyền mua/bán trước đáo hạn quyền chọn, nên cơng thức tính giá phức tạp Mơ hình CRR cho thuật tốn tính giá quyền chọn kiểu Mỹ sau: Tính qui nạp theo k = n, n − 1, , (k chạy ngược từ n đến 0) Với k vậy, gọi P (k, i) giá Put kiểu Mỹ thời điểm thứ k mà giá cổ phiếu lúc S(k, i) Khi k = n ta có: P (n, i) = max(0, X − S(n, i)) (8.68) Tại thời điểm k < n, P (k, i) tính theo cơng thức qui nạp: P (k, i) = max {X − S(k, i), (pP (k + 1, i) + (1 − p)P (k + 1, i + 1)) exp(−r∆T )} , (8.69) X − S(k, i) > (pP (k + 1, i) + (1 − p)P (k + 1, i + 1)) exp(−r∆T ) ≥ nhà đầu tư chọn thực quyền Put thời điểm thứ k để X − S(k, i) (và đại lượng lớn 0) Khi k chạy đến 0, ta P A = P (0, 0) (8.70) giá Put kiểu Mỹ Tương tự cho Call kiểu Mỹ Thuật toán viết dễ dàng thành chương trình máy tính để áp dụng tính giá quyền chọn kiểu Mỹ nhiều nơi 246 CHƯƠNG QUYỀN CHỌN Ghi 8.4 Mơ hình CRR tổng qt cho thuật tốn tương đối đơn giản để tính nhiều loại quyền chọn khác Tuy nhiên, việc tính tốn dùng đến phép lặp (k chạy từ n đến 0) tốn nhiều cơng suất máy tính Có số thuật tốn khác cho phép tính giá quyền chọn cách hiệu số trường hợp Ví dụ mơ hình Whaley (phương pháp xấp xỉ bình phương) để tính quyền chọn kiểu Mỹ Mơ hình xuất từ năm 1987 báo: G Barone-Adesi, R E Whaley, Efficient analytic approximation of American option values, Journal of Finance, Vol 42, No 2, 1987, 301 – 320 (Xem chẳng hạn [18]) Chỉ mục đòn bẩy (leverage), 136 cấu trúc kỳ hạn tổng quát (general term structure), 94 đệm an toàn (cushion of safety), 137 độ lệch chuẩn (standard deviation), 152 cố định tỷ giá (pegging), 18 độ thỏa dụng, 148 nhị phân (binary tree), 179 đạo hàm Radon–Nikodym, 217, 219 nhị phân bất biến (invariant binary tree định lý Cameron–Martin, 219 model), 181 định lý Girsanov, 222 công thức Black–Scholes, 243 định lý Kolmogorov, 195 cơng thức dịng tiền chiết khấu, 78, 107 định lý đối ngẫu, 57 công thức Fisher, 13 định lý arbitrage, 54 công thức Itô, 208 định lý giới hạn trung tâm, 198 cổ phiếu, 30, 142 đẳng cự Itô, 215 cổ phiếu giá trị (value stocks), 109 đường lợi suất (yield curve), 91 cổ phiếu tăng trưởng (growth stock), 110 đường thị trường vốn (capital market line), CAGR, 145 168 CAPM, 166 đa dạng hóa (diversification), 135 chứng khoán phái sinh (derivatives), 35 điểm Markowitz, 167 số ICOR, 133 đinh lý Feynmann–Kac, 239 chiến lược arbitrage, 51, 188 đường thị trường chứng khoán (security mar- chiến lược arbitrage mạnh, 51 chiến lược hiệu quả, 164 ket line), 170 chuyển động Brown (Brownian motion), 192 bất động sản, 140 chuyển động Brown hình học (geometric Brow- bất đẳng thức Jensen, 151 bình phương khả tích, 212 bổ đề Itô, 208 nian motion), 203 CPI (consumer price index), credit rating, 98 biến phân, 201 biến phân bình phương (quadratic variation), dịng niên kim (annuity), 80 201 biên hiệu (efficient frontier), 164 danh mục đầu tư (portfolio), 133 danh mục thị trường (market portfolio), 166 247 248 CHỈ MỤC du động ngẫu nhiên (random walk), 197 lợi suất log (logarithmic yield), 77 duration, 87 lạm phát (inflation), lượng cung tiền (money supply), giá thực (strike price), 225 giá trị tại, 78 giá trị nội (intrinsic value), 101 giá trị thời gian (time value), 233 giá trị thật (fair value), 101 giả thuyết thị trường hiệu (efficient market hypothesis), 122 giảm phát (deflation), gia số (increment), 193 gia số độc lập (independent increments), 196 lãi đơn (simple interest), 69 lãi kép (compound interest), 73 lãi kép kiên tục (continuously compounded interest), 76 lãi suất (interest rate), 11, 69 lãi suất chiết khấu (discount rate), 72 lãi suất coupon, 84 lãi suất hiệu dụng (effective interest rate), 74 lãi suất hoàn vốn (yield to maturity), 85 hàm thỏa dụng (utility function), 148 lãi suất kỳ hạn (forward rates), 91, 96 hàm thỏa dụng Bernoulli, 150 lãi suất thực (real interest rate), 13 hàm trả tiền (payoff function), 236 lãi suất tham chiếu (reference rate), 17 hệ số beta, 126, 169 log-normal, 203 hệ số khuyếch đại, 16 mơ hình Cox–Ross–Rubinstein, 245 hệ số trượt (drift), 182 martingale, 184, 185 hợp đồng hoán đổi (swap), 39 modern portfolio theory, 157 hợp đồng kỳ hạn (forward contract), 35, 64 hợp đồng tương lai (futures), 35, 64 nửa phương sai (semi-variance), 153 hiệp biến phân bình phương, 216 nguyên tắc tổng tiền 0, no-arbitrage, 188 implied volatility, 126 phí mạo hiểm (risk premium), 13, 108, 151 kỳ vọng theo sigma-đại số con, 184 phương sai (variance), 152 không gian xác suất có lọc (filtered proba- phương trình Black-Scholes, 237 bility space), 174 phương trình vi phân ngẫu nhiên (stochastic kinh doanh chênh lệch giá (arbitrage), 49 lợi nhuận kỳ vọng (expected return), 53 differential equation), 182 Put-Call parity, 229 lợi suất (yield), 74 q trình Itơ, 208 lợi suất cổ tức (dividend yield), 109 trình ngẫu nhiên (random process), 172 trình sơ cấp, 211 lợi suất kiểu trái phiếu (bond-equivalent yield), 74 trình Wiener, 192 CHỈ MỤC quyền chọn (options), 37 quyền chọn có giới hạn (barrier option), 220 quyền chọn kiểu Âu (European-style option), 225 quyền chọn kiểu Mỹ (American-style option), 225 rủi ro hụt (shortfall risk), 154 semi-martingale, 216 tích phân Itơ, 211 tích phân Riemann–Stieltjes, 209 tổng cung tiền (monetary aggregate), tổng tiền 0, tỷ lệ dự trữ bắt buộc, 16 tỷ lệ lợi nhuận (rate of return), 144 thị trường đầy đủ (complete market), 64 thị trường thứ cấp (secondary market), 23 thi trường sơ cấp (primary market), 23 tiền tệ, trái phiếu, 28, 69, 141 trái phiếu chiết khấu (discount bond), 72 trái phiếu coupon, 83 trái phiếu vĩnh cửu (perpetual bond), 84 trái phiếu zero-coupon, 74 trung hòa rủi ro (risk-neutral), 53, 60 vàng, 4, 139 value at risk (VaR), 155 vector chiến lược, 53 volatility, 124, 182, 236 volatility lịch sử (historical volatility), 125 249 250 CHỈ MỤC Tài liệu tham khảo [1] Noel Amenc & Veronique Le Sourd, Portfolio theory and performance analysis, Wiley, 2003 [2] Robert Buchanan, An undergraduate introduction to financial mathematics, World Scientific, 2006 [3] Marek Capinski & Tomasz Zastawniak, Mathematics for finance - An introduction to financial engineering, Springer, 2003 [4] Rama Cont & Peter Tankov, Financial modeling with jump processes, Chapman & Hall/CRC Press, Second Edition, 2008 [5] Jaksa Cvitani´ & Fernando Zapatero, Introduction to the Economics and Mathematc ics of Financial Markets, The MIT Press, 2004 [6] Glyn Davies, A History of money from ancient times to the present day, 3rd ed Cardiff: University of Wales Press, 2002 720p [7] Nguyễn Tiến Dũng Đỗ Đức Thái, Nhập môn đại Xác suất Thống kê, NXB ĐHSPHN, 2010 [8] Robert Elliott & Ekkehard Kopp, Mathematics of financial markets, 2nd edition, Springer, 2005 [9] Sergio Focardi & Frank Fabozzi, The mathematics of financial modeling and investment management, Wiley, 2004 [10] Roger Gibson, Asset Allocation, 4th edition, McGraw–Hill, 2008 [11] Joel Greenblatt, You Can Be a Stock Market Genius: Uncover the Secret Hiding Places of Stock Market Profits, New York: Simon & Schuster, 1997 251 252 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] Joel Greenblatt, The little book that beats the market, John Wiley & Sons, 2006 [13] John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 8th edition, Pearson Education, 2011, 841pp [14] Nguyễn Văn Hữu & Vương Qn Hồng, Các phương pháp tốn học tài chính, NXB ĐHQGHN, 2007 [15] I Karatzas and S Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., Springer, 1991 [16] Damien Lamberton & Bernard Lapeyre, Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman & Hall/CRC, 2000 [17] A McNeil, R Frey, P Embrechts, Quantitative risk management: concepts, techniques, and tools Princeton University Press, 2005, 608 pp [18] Sheldon Natenberg, Option volatility and pricing, McGraw–Hill, 1994 [19] Dalih Neftci, Principles of financial engineering, 2nd edition, Academic Press, 2008 [20] Trần Trọng Ngun, Cơ sở tốn tài chính, NXB Khoa học & Kỹ thuật, 2011 [21] Bernt K Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 5th printing, Springer, Berlin, 2000 [22] Stanley Pliska, Introduction to Mathematical Finance - Discrete Time Models, Wiley, 2001 [23] Martin Pring, Technical Analysis Explained, 4th ed., McGraw–Hill, 2002 [24] Mikken Rasmussen, Quantitative portfolio optimization, asset allocation and risk management, Palgrave Macmillan, 2003 [25] Christian Y Robert, Risk measures for insurance and finance, FrenchVietnamese thematic school “Mathematical Methods in Finance and Economics”, Doson, 2011 Có thể tải xuống tập giảng từ địa chỉ: http://vie.math.ac.vn/doson2011/notes/Robert/Robert_RiskMeasures_slides2011.pdf [26] Sheldon Ross, An introduction to mathematical finance, Cambridge University Press, 1999 TÀI LIỆU THAM KHẢO 253 [27] Catherine Shenoy, Applied Portfolio Management, Wiley, 2008 [28] Trần Hùng Thao, Nhập mơn tốn tài chính, 2009 [29] Nguyễn Duy Tiến, Các mơ hình xác suất ứng dung, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2005 [30] Robert Vanderbei, Linear programming, foundations and extensions, Springer, 3rd edition, 2008 [31] P Wilmott et al., The mathematics of financial derivatives - A student introduction, Cambridge University Press, 1995 ... tế, tài chính, tốn học nắm bắt số kiến thức toán tài chính, với ứng dụng thực tế tài chính, qua tiếp tục tìm hiểu sâu thêm lĩnh vực Do nhằm phục vụ sinh viên tốn cịn thiếu kiến thức tài chính, ... biết tối thiểu tài tốn tài chính, có ích định tài mình, nhằm đạt tương lai đảm bảo tự tài chính, tránh rủi ro Nhận thấy nhu cầu phát triển đào tạo ngành tốn tài Việt Nam, Khoa Toán trường Đại... hiểu qua chức cấu trúc thị trường tài chính, đối tượng tham gia thị trường tài chính, loại sản phẩm tài giao dịch 2.1 Chức cấu trúc thị trường tài Chức thị trường tài luân chuyển vốn từ người có