Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] CÁC CHUYÊN ĐỀ THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN I Biến đổi, rút gọn thức toán liên quan Bài Đơn giản biểu thức sau: a)3  18  32  50 b) 125  20  80  45 c) 3 62 4 Bài Rút gọn biểu thức sau: a 12  35 , 27  10 , 5 6, 16  ,  28 ,  24 ,  3, 18  65 14  , 17  12 ,  3,  3,  3, 94 b    , 17  12  24  8 , 17  32  17  32  15  23  15 , 31  15  24  15 15  6  33  12 , 49  96  49  96 , 3 2  52 c 13  30   , e 32 g 17  12  3 2   48  10  d      , , h 17  12 f 2 2  17   ,  21     2 2 , i 52  2 2  2 2 Bài Chứng minh biểu thức sau số nguyên A    13  48 6 Bài Rút gọn biểu thức sau: a)   48  10  Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] 32 b) 17  12 c) 62  3 2 17  12 2  12  18   a b a  b  b a       ab   a  ab a  ab   a   a  0; b  0; a  b  d)   e) x2  x x2  x   x 1 x  x 1 x  x 1  x  0 Bài Thu gọn biểu thức sau: a) A      10   a 1 a 1    b) B     1   a 1 a 1   a 1  c) A  15  12  2 2  a 2 a 2   d)     a   với a  0, a  a 2 a 2  a  e) A   11  30  84 Bài Rút gọn biểu thức: R   5 3    3 Bài Khơng dùng máy tính, so sánh: 3  3 x     y     Bài a) Với số tự nhiên k  , chứng minh rằng:  k  1 1   k  k k 1 k k 1 b) Áp dụng tính giá trị biểu thức sau: Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] 1    1  100 99  99 100 a2 a  a a   1 :   Rút gọn P tìm a nguyên để P   a 1    a 2    Bài Cho biểu thức P    có giá trị nguyên  x A  Bài 10 Cho biểu thức  2 x   x  x x  x     x 1  x 1     Rút gọn A tìm x để A > - Bài 11.Cho biểu thức P  x2  x x  x  x  1   Rút gọn P tìm giá trị nhỏ x  x 1 x x 1 P Bài 12 Rút gọn biểu thức  x 2 x 3 x 2  x  P    :2    x 5 x 6 2 x x 3   x 1      Và tìm x để 5  P Bài 13 Rút gọn biểu thức  ab   ab  ab  A     :  a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b          2 x    Bài 14 Rút gọn biểu thức: A    x  x  x   :  x  x   Tìm số phương trình      để 3A số nguyên Bài 15 Chứng minh với giá trị x để biểu thức có nghĩa giá trị của: Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN]  x 1 x   4x  A    x  x  x   không phụ thuộc vào x    Bài 16 Cho biểu thức P  x 1  x x x 1    x 1  x  x 1 1 x   a) Rút gọn biểu thức P Tìm x để P   b) Tìm x nguyên để x, số nguyên P Bài 17 Rút gọn biểu thức: P  xy x y   :   2x  y  x x  x y  y2     Bài 18 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x, y  x xy x  x y  x y   y A  Bài 19 Cho biểu thức M      x  x y   y   x y   x  x  1 x x    x  x   x   1 x    a) Tìm điều kiện x để biểu thức M có nghĩa Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x biểu thức P  Bài 20 Cho biểu thức A  nhận giá trị số nguyên M  x  27 x  32 x  x 1   x  x  15 x 3 x 5 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A <  a 1  a 1   a   2a a a 1  a 1  Bài 21 Cho biểu thức A    a) Rút gọn A b) Tìm a để P  a  Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] Bài 22 Cho biểu thức P    3x  x x  x   (x > 0) x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh P < Bài 23 Cho biểu thức A  15 x  11 x  2 x    Rút gọn A tìm giá trị lớn x  x 3 x 1 x 3 A II Phương trình, bất phương trình Bài Giải phương trình sau: a) x 48  x 4   10    x 3 x b)  x    3x   x  1  50 c)  x   x   x  10  x  12   x d) x   x  x    x  x         Bài Giải phương trình sau 1) x2  4x   x  2) x  2x    x 3) x  3 x   x  4) 3x  x   x  5) x  3x    x  6) 3x  x   x  8)  1 x   x 9) x 1  x   x  7) 3x  3x   10) x    x  2x  11) 5x   3x   x   12) x    x   2x 14) x   3x   x  x  Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] Bài Giải phương trình sau a) x   3x   x  x  b) x   x  x   x  c)  x    x   x  x d) x  x  11  31 e) x  12 x  x  12 x  11  15  f) x  (2004  x )(1   x )2 g) x  17  x  x 17  x  Bài Giải phương trình sau: b) x  x   a)  x  x    c) x   x     x   x  1 x  2  d) x  x2   Bài Giải phương trình sau: a) y2  y   y  b) 12 x  30 x  13  x  c) x    x  2x  d) x   32  x  x  10 e)  x  14  x   x f) 5x 1  3x   x 1 g) x   3x   x   x Bài Giải phương trình sau: a) x  x   x   x  b) 3  x  19  x   x  2  x c) x  2 x   12 x   x  Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] d)  x  x   e)  x  f) x  x 3  3 x 2 2 g) y  y   y  y  3 h) x  3x   3x  x i) 2x 1   2 x 1 2x j) 8 x  5 x  Bài Giải bất phương trình sau: a) x  3x   b) x  x   3 b) x  x   c)  x  3x   e) x  x  x   x2  x  f) 0 x2 Bài Giải bất phương trình sau: a) x   b) x   c) x   d)  x  x    Bài Giải hệ bất phương trình sau: x2   b)  x   2 x   a)  x   III  x  3x    c)  4 x    Hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình sau  xy  x  a)  x  y   x y  xy  y   2 2 x  y   b)  2 x  xy  y    x  xy  1  c)  Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN]  x  x y  xy  y   2 4 x  y    xy  y   a)  e)  x  y  Bài Giải hệ phương trình sau:  x  y3 5  2 x  y  y    x  y  2x    2 x  y  14  a)  b)  2 x  y  x  11   x  y  x  y  24  c)  d)   y  x  33   xy  24  Bài Giải hệ phương trình sau: 5   x   y   14  a)     11  x  y 1  1 x  y   b)    1  x 1 y 1   x  y  2z  1 d)    x y   1  x y z  x  1 y    741   x  1 y    902  c)  Bài Giải hệ phương trình: x  y   a)   2x   y    x2  y   b)  2 xy  y   Bài Giải hệ phương trình: 2 x  xy   a)  2 y  xy   x2  y  6x  b)   y   xy  Bài Giải hệ phương trình sau: Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN]  xy  y  a)   y  3xy  y   y  xy   d)  2 y  xy    x  y    x   y   4   2x 1  3y   x  y   b)  c)  x  y2   e)    y 5 x 2 y  x   f)   x   2y 1  Bài Giải hệ phương trình sau:  xy  xy  y    b)  2  y  2x    xy  x  y   a)  x  y   x  xy  y  x  y   d)  x  y    x   y  y g)  x x  y    x  y  xy   c)   x  xy    x y  xy    e)  2 x  y    xy  y  y  f)   xy  y   x3  y3  x  y   h)  2 x  y   12  Bài Giải hệ phương trình sau:  x  xy    y  xy   a)   x  xy  x    3 y  x    e)  x2  y    y  5x   c)   yx  xy    y  x y  2   x3  xy    y  3x y   g)  b)   x3  y    y  2x   d)   x  xy  y    y  3xy   x2  y  2x f)  h)   xy  y  Bài Giải hệ phương trình sau   2x  y  x  y   a)    3  2x  y 2x  y   xy  x  y  b)  2 x  y  2x  y   2x  y  x    3x  y   c)  Nguyễn Tăng Vũ [CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN] 1 15  x  y  x  y   d)   x   y   25  x2 y2   x  y  xy   2  x  y   xy  1   x  y    e)  f)   x  y  15   IV.Phương trình bậc hai định lý Viete Bài Cho phương trình  m  1 x  2mx  m   (m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x12  x2  b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương Bài Cho phương trình x   3m   x  2n  3m   (m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương x1, x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x12  x2  Bài Cho phương trình  m  3 x   m   x  m  a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương x1, x2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12  x2  x1 x2  Bài Cho phương trình  x   m  1 x  m2  1  65 49  x  x6  a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình khơng thể có nghiệm Bài Cho phương trình x   2m  1 x  3m  a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm x1,x2 tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x12  x2  x1 x2 c) Tìm giá trị nguyên m để B  d) Tìm m để x1  x2 số nguyên x1 x2 x1  x2  x1 x2  10 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] Bài 11.Cho  x  y   xy  Chứng minh x  y  Bài 12 Cho a, b, c  thỏa a  b  c   a 2b  b 2c  a 2c  Chứng minh rằng: a  b2  c   ab  bc  ac  Bài 13 Cho số x, y Chứng minh ( + ≥ Bài 14 Cho số x, y, z > thỏa + ) + + + ≥ ( + ≥ Chứng minh rằng: + ) Bài 15 Cho số a, b, c Chứng minh ( + )+ ( + )+ ( + )≤ ( + + ) Bài 16 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) x  y  xy   0, x, y  R b) x  y  z   x  xy  x  z  1 Bài 17 Cho , ≥ Chứng minh rằng: ( + ) + ( + )≥ √ + √ Bài 18 Cho số dương x, y, z thỏa − = − Chứng minh rằng: + − + + − ≥ Bài 19 Chứng minh với số a, b thì: − ≤ ( + )( − ) ≤ ( + )( + ) Bài 20 Chứng minh ≤ ( + )( ( + ) + ) ≤ Bài 21 Cho số a, b, c > a) Chứng minh ( + )( + ) ≤ ( + + ) 2  a  b   b  c   c  a    a  b b) Chứng minh  c  a  b  c   a  b  a  c   b  c  b  a  a  b  c 2 Sử dụng số bất đẳng thức phụ 138 Nguyễn Tăng Vũ - [CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN] Một số bất đẳng thức phụ hay sử dụng là: 2 1) x  y   x  y   xy 2) x  y  z   x  y  z   xy  yz  xz 3) 1    x, y   x y x y 4) x  y  xy  x  y  5) a b  2 b a  x, y    a, b   Bài Cho số a, b, c Chứng minh rằng: a) a  b4  c  abc  a  b  c  b) a  b  c8 1    a 3b 3c a b c a b a b Bài Cho a, b > Chứng minh rằng:         b a b a Bài Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: 1 11 1        2x  y  z x  y  z x  y  z  x y z  Bài Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: a) xy xz yz    x yz z y x b) x2 y z    x y z y z x Bài Cho a, b, c  thỏa abc  Chứng minh : a) a b  b c  c a  a  b  c b) a  b  c  ab  bc  ca Bài Cho a, b, c  thỏa abc  Chứng minh : 1   1 3 a  b  b  c  a  c3  Bài Cho a, b, c  thỏa abc  Chứng minh : 1   1 3 a  b  b  c  a  c3  Bài Cho x, y, z  thỏa x  y  z  xyz Chứng minh rằng: xy  yz  xz   x   y   z  139 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN] + Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa + + ≥ ≥ ( + ≥ ≥ Bài 10 Cho số thực dương a, b, c thỏa Chứng minh + + + + + Chứng minh + ) Bài 11 Cho số a, b, c > 1 a) Chứng minh  a  b  c         a b c   a b c    bc ac ab 1 c)    ab  a  b  bc  b  c  ca  a  c   a  b  c3  b) Bài 12 Cho số thực dương , , + thỏa + = Chứng minh rằng: 1 1    xy  xz  yz xy  xz  yz xy  xz  yz xyz Bài 13 Cho số dương a, b, c thỏa + + + = Chứng minh b  c c  a a  b2     ab  bc  ac  a b c Bài 14 Cho số thực a, b, c thỏa: a  b  c  abc Chứng minh rằng: a  b  c  3abc Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số thực không âm a, b Khi a  b  ab Bài Cho số x, y , z dương Chứng minh rằng: 1 1 1)  x  y  z       x y z  2)  x  y  x  z     xy  xz  3)  x  y  y  z  x  z   xyz 4) x3  y3  z  x2 yz  y xz  z xy Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa ab  ac  bc  Chứng minh 1) a  b  c  9abc 140 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] 2)  a  b  c    a   b2   c Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa xy  yx  xz  xyz Chứng minh rằng:  x  1 y  1 z  1  Bài Cho số thực dương x, y, z thỏa xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A  x  y  z  xy  yz  xz x y z Bài Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a) a b2 c    a bc b c a b) a3 b3 c    ab  bc  ac b c a Bài Cho x, y, z > thỏa x  y  z  Chứng minh rằng: xy zx yz   1 z y x Bài Cho số x, y, z > Chứng minh rằng: x2  z y  z z  y   0 yz zx x y Bài Cho số a, b (a khác 0) Chứng minh a  b  + Bài Cho số dương a, b, c thỏa + b   a2 a = Chứng minh rằng: ab bc ca   3 c a b ≥ Chứng minh rằng: Bài 10 Cho số a, b, c dương thỏa    27  a  b  c   a 1   b 1   c 1   Bài 11 Cho số dương a, b, c thỏa a bc  b ca  c ab  Chứng minh rằng: a  b  c  Bài 12 Cho số a, b, c dương thỏa abc = Chứng minh rằng: bc a  ac b  a b c  a  b  c 3 Bài 13 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: abc   a  b  c  b  c  a  a  c  b  141 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] Bài 14 Cho số dương a, b, c thỏa abc = Chứng minh rằng:   1   a 1    b     c     b  c  a  Bài 15 Cho số dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: a  bc  b  ac  c  ab  a b Bài 16 Cho số a, b > thỏa a  b  Chứng minh a  b    Cực trị Bài Cho số a, b, c > thỏa a  b  c  a) Tìm giá trị lớn A = ab + bc + ac b) Tìm giá trị nhỏ B = a2 + b2 + c2 a b c) Tìm giá trị nhỏ C    c Bài Cho x, y thỏa phương trình x  y  x  y  18  Tìm giá trị lớn nhỏ x, y Bài Cho a > Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a  Bài Tìm giá trị lớn nhỏ A  Bài Cho số a, b > thỏa a 1  x  x  1 x2    a b a) Tìm giá trị nhỏ A = a.b b) Tìm giá trị nhỏ B = a + b Bài Cho số dương x, y, z thỏa 1    Tìm giá trị lớn 1 x 1 y 1 z A  xyz Bài Cho x, y > thỏa xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  x y Bài Cho x, y > x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   xy x y xy Bài 142 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO CHUYÊN TỐN] a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  y  xy  x  y  2013 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  x  xy  y  3x  3x  2013 Bài 10 Cho x  y   x  y    x  y    0, xy  x Tìm giá trị lớn biểu thức A   y  1  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức a  b  c  Bài 11 Cho a, b, c thỏa  A  x2  y  z x  y  z  Tìm giá trị lớn nhỏ x  xy  yz  xz  Bài 12 Cho số x, y, z thỏa  Bài 13 Cho hai số nguyên dương x, y thỏa x  y  2013 a) Tìm giá trị lớn A  xy b) Tìm giá trị nhỏ B  x  x  y   y  y  x  Bài 14 Cho x, y > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1  x 1  y   xy Bài 15 Cho x, y, z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2 y2 z2   x  yz y  xz z  xz Bài 16 Cho số dương a, b, c thỏa a  b  c  27 a) Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b  c b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b3  c 143 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] MỘT SỐ ĐỀ ÔN THI ĐỀ SỐ Bài 1) Cho phương trình:  m   x   m  1 x   m  a) Xác định m 1 để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn hệ thức x12  x2  x1  x b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: X  x1  x 1 , X2  x1  x2   x3   y    2) Giải hệ phương trình   x  y  6   Bài a) Cho x, y   thỏa điều kiện xy  x  y  2008 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x  y b) Ba số nguyên a, b, c thoả mãn điều kiện a  b  c chia hết cho Chứng minh a  b  c   b  a  c   c  a  b  chia hết cho Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi M trung điểm đoạn thẳng OB , đường thẳng  d  qua M vng góc với AB P điểm thay đổi đường thẳng  d  (P nằm đường tròn) AP, BP cắt đường tròn D, E a) Chứng minh AE, BD cắt điểm thuộc đường thẳng  d  b) Chứng minh D E qua điểm cố định P thay đổi  d  Bài Cho góc xAy vng M điểm nằm bên góc xAy cho  MAx  60 o , MA  Một đường thẳng  thay đổi qua M cắt hai tia Ax, Ay hai điểm B, C khơng trùng A a) Tính diện tích tam giác ABC   AM b) Tìm vị trí đường thẳng  cho AB  AB nhỏ Bài Trong giải bóng đá có 18 đội Trong lượt trận đội chia cặp đá với nhau, hai đội đá với trận Giải đấu diễn lượt 144 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] trận, chứng minh thời điểm chọn đội mà đôi chưa đá với trận ĐỀ SỐ Bài a) Giải phương trình x  x   xy   x2  y x  x  2x   b) Giải hệ phương trình  xy y   y2  x  y  2y   c) Tìm số tự nhiên m cho phương trình x   2m  3 x  2m   ( m tham số) có nghiệm số nguyên Bài a) Hãy tìm tất số tự nhiên biểu diễn thành tổng vài số tự nhiên liên tiếp b) Tìm số dư phép chia đa thức  x  1 2009   x  2 2010 cho đa thức x  3x  Bài Cho hai đường tròn  O   I  cắt hai điểm A, B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt  O  C cắt  I  D ( A nằm C, D ) Tiếp tuyến C  O  tiếp tuyến D  I  cắt P a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác PCD ln qua điểm cố định b) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD Chứng minh J thuộc đường cố định Bài Cho hình thang ABCD  AB // CD, AB  CD  có AD  a, BC  b ngoại tiếp đường trịn  O  Đường trung bình MN hình thang chia thành hai hình có tỷ số diện tích Tính độ dài hai đáy hình thang 11 Bài a) Trong thi đấu cờ sinh viên có hai bạn học sinh trung học phổ thơng tham gia Hai bạn tổng số điểm 6.5 tất sinh viên điểm Hỏi có sinh viên tham dự giải (trong giải, người gặp với người khác lần, thắng điểm, hòa 0.5 thua điểm) b) Có tờ giấy Người ta cắt thành hay 12 mảnh Mỗi mảnh nhận người ta lại cắt thành hay 12 mảnh, hay giữ nguyên,…Hỏi liệu 145 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] cách ta cắt tờ giấy cho làm 40 mảnh khơng Chứng minh rằng, nhận số mẩu lớn 40 ĐỀ SỐ Bài a) Cho = ( ≠ ) Tính theo giá trị biểu thức b) Giải hệ phương trình 6 z  12 x   xyz  6 x  18 y   xyz 6 y  24 z  11xyz  Bài a) Giải phương trình  x  3 x   2 x  x  b) Cho  x   y   a Chứng minh x  y  2a Bài a) Tìm tất số nguyên tố p cho tập {2,5,p} thỏa tích hai số trừ số phương b) Xét tập S = {2,5,13,d} với d số nguyên dương Chứng minh tồn hai số a, b thuộc S cho ab – số phương Bài Cho đường trịn (O) điểm A nằm (O) Từ A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O) (B, C hai tiếp điểm) Trên tia đối tia OA lấy điểm Q thay đổi cho Q nằm ngồi đường trịn QC cắt (O) M (khác C), BM cắt OA P a) Chứng minh tứ giác OCMP nội tiếp b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OQM thuộc đường thẳng cố định c) Vẽ PH  AC, QK  AB Chứng minh KH  OM Bài Một đa giác 1430 đỉnh có chu vi 2011cm Chứng minh tồn đỉnh đa giác cho tạo thành tam giác có diện tích nhỏ 1cm2 ĐỀ SỐ Bài a) Cho số a, b, c, x, y thỏa + + = + + = + Chứng minh , , phân biệt khác + = + + = 146 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN]  z   xy  b) Giải hệ phương trình:   x   yz  xy  Bài a) Chứng minh phương trình sau − + − = , − + − = , − + − = có phương trình có nghiệm b) Cho ba số thực cho tổng hai số khác Chứng minh ba số có hai số , thỏa xy không thuộc khoảng (0; 1) x  y 1 Bài Cho , , số tự nhiên cho x  y 2011 số nguyên dương Chứng y  z 2011 minh rằng: a) xz = y2 b) Khi y  x  y  z x  z hợp số Bài Cho đường trịn (O) đường thẳng (d) khơng cắt đường tròn (O) P điểm thay đổi đổi (d), từ P vẽ hai tiếp tuyến PM, PN đến (O) (M, N hai tiếp điểm) a) Tìm vị trí P cho MN đạt giá trị nhỏ b) Chứng minh trung điểm MN thuộc đường tròn cố định c) Gọi Q hình chiếu O (d) Và A, B hình chiếu H PM, PN Chứng minh AB qua qua điểm cố định Bài Một bảo tàng gồm 16 phịng hình tam giác hình vẽ Hai phịng có chung cạnh từ phịng qua phịng a) Một người muốn tham quan hết tất phịng khơng muốn quay lại phịng xem Người thực khơng? Tại sao? b) Người qua nhiều phịng khơng lại phịng qua ĐỀ SỐ Bài a) Cho số , thỏa + + = Tìm + b) Tìm số nguyên dương n nhỏ thỏa đa thức − đa thức + số nguyên + chia hết cho 147 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO CHUN TỐN] Bài a) Giải bất phương trình sau: x  x  1   x  x  1  2 b b) Cho a, b số dương thỏa mãn a Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a + b Bài a) Tìm tất số nguyên dương a, b cho b) Tìm tất số nguyên tố p cho + dương + số nguyên tố có ước số nguyên Bài 4.Cho tam giác ABC, đường trịn thay đổi ln qua B C cắt tia AB AC D E Gọi M N trung điểm BC DE a) Chứng minh BAN = CAM b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định c) Tiếp tuyến D E (I) cắt P Chứng minh A, P, M thẳng hàng Bài 5.Cho tập A = {1, 2, …., 17} a) Tìm tập có 12 phần tử A cho khơng có hai số mà số gấp lần số b) Chứng minh với tập có nhiều 12 tồn hai số mà số hai lần số ĐỀ SỐ Bài a) Cho phương trình x  mx   m   x  1 x  3x   Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt 148 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN]  x2  y  z    b) Giải hệ phương trình:  y  z  x    z  x  y 1  Bài a) Giải phương trình  x  x    x   b) Cho x, y, z số dương có tổng Chứng minh rằng: x  zy  y  xz  z  xy   xy  yz  xz Bài a) Có tồn hay khơng số tự nhiên n thỏa n  + + …+n số phương? b) Cặp số nguyên dương (m,n) gọi cặp số bạn bè hai lần tổng chúng chia hết cho tổng bình phương Tìm tất cặp số bạn bè Bài Cho đường tròn (O) điểm A nằm (O) Từ A vẽ tiếp tuyến AB AC đến (O) (B, C hai tiếp điểm) Trên tia đối tia OA lấy điểm Q thay đổi cho Q nằm ngồi đường trịn QC cắt (O) M (khác C), BM cắt OA P a) Chứng minh tứ giác OCMP nội tiếp b) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OQM thuộc đường thẳng cố định c) Vẽ PH  AC, QK  AB Chứng minh KH  OM Bài Trường PTNK có lớp thi gia thi đấu bóng đá vịng trịn lượt (hai đội thi đấu với trận) Kết thúc giải, người ta thấy trận bóng có kết thắng thua khơng có trận có tỷ số hịa Chứng minh chọn đội A, B, C , D theo thứ tự cho đội đứng trước thắng đội đứng sau ĐỀ SỐ Bài a) Cho đa thức P  x   x 2014  x n  (n số nguyên dương) Q  x   x  x  Có số ngun dương n khơng lớn 2013 để đa thức P  x  chia hết cho Q  x  b) Cho a  b  c  Tính I  4bc  a 4ca  b 4ab  c bc  2a ca  2b ab  2c 149 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] Bài a) Giải phương trình x    x   x  x   3x  x  y  z 1   b) Giải hệ phương trình  y  z  x    x  z  y 1  Bài a) Có tồn hay khơng số nguyên dương x, y cho x + y, 2x + y, 2y + x số phương b) Chứng minh với số a, b a  b  4a b   a 3b  ab  Bài Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm C cố định thuộc đoạn AB cho AC = a, BC=3a Đường thẳng m qua C vng góc với AB D điểm thay đổi m Gọi E, F hình chiếu B AD, A BD Gọi H, K hình chiếu C BE AF Đường thẳng EF cắt AD M, BD N a) Tính DC theo a để tam giác ABD nhọn b) Chứng minh đường trịn () ngoại tiếp tam giác CMN ln tiếp xúc với đường thẳng cố định c) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định d) Tiếp tuyến M, N () cắt P Chứng minh DP qua điểm cố định Bài Cho tập A = {1, 2, 3, …, 9} Lấy S gồm phần tử thuộc A cho tổng hai số thuộc S số phân biệt Hỏi tập S có số phần tử nhiều bao nhiêu? Tại sao? ĐỀ SỐ Bài a)Cho + = + + = + Chứng minh a 2013  b 2013  c 2013  d 2013 1 1 x  y  z   1 1 b)Giải hệ phương trình    y xz 1 1    z x y Bài 150 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO CHUN TỐN] a) Giải bất phương trình  x  1  x  x   b) Cho số thực , , , Chứng minh + thỏa  a  b2  1 c  d  1   ac  bd  1 > + >1 Bài Xét tập S tập số tự nhiên biểu diễn dạng 12 m  5n , m, n số nguyên dương a) Chứng minh 19  S b) Tìm phần tử nhỏ S Bài Cho đường trịn tâm O bán kính R đường d không cắt (O) P điểm thay đổi d Từ P vẽ hai tiếp tuyến PA PB đến (O) (A, B hai tiếp điểm) a) Tìm vị trí P để AB đạt giá trị nhỏ b) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định c) Gọi H hình chiếu O d M, N hình chiếu H PA, PB Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài Người ta điền số 1, 2, 3,…,10 điểm hình bên, số xuất lần Chứng minh có tam giác mà tổng số đỉnh khơng nhỏ 12 ĐỀ SỐ Bài a) Tìm m để phương trình x   m  1 x  m  có hai nghiệm số ngun b) Cho hình vng ABCD có cạnh a M, N hai điểm thay đổi cạnh BC CD cho MAN = 450 Tìm giá trị lớn diện tích tam giác CMN  x  y   yz  c) Giải hệ phương trình sau:  y  z   xz  z  x   xy  Bài Cho số thực không âm a, b, c thỏa ab  bc  ac  a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  c 151 Nguyễn Tăng Vũ [CÁC CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO CHUN TỐN] 1       a  b 1 c 1  b) Chứng minh rằng: a  b  c   8abc  Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = c, AC = b, BC = a a, b, c số nguyên dương (a,b,c) = Phân giác góc A cắt BC D a) Chứng minh tam giác BDA tam giác ABC đồng dạng c số phương b) Cho c  n Tìm tam giác thỏa điều kiện câu a Bài Cho hai đường tròn (O) (I) cho O thuộc (I) I thuộc (O) Hai đường tròn cắt A B C điểm thay đổi (O), BC cắt (I) D (khác B) DA cắt (O) E (khác A) a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE qua điểm cố định b) Gọi M trung điểm CE Chứng minh DM qua điểm cố định Bài Cho hình vng gồm 2k x 2k ô vuông Người ta điền vào ô vuông số 0, 1, 2, cho số xuất k lần a) Khi k = Hãy cách điền cho hình vng x tổng số số chia hết cho b) Khi k = 5, hỏi điền số thỏa câu a không? Tại sao? 152