CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT I.GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ MAPLE. I.1 Giới thiệu sơ lược về maple - Maple là một hệ thống đại số máy tính cho phép người sử dụng thực hiện các phép tính toán đại số trên ký hiệu (symbol) hoặc trên các con số cụ thể và minh họa toán học mạnh mẽ. Maple được xây dựng và phát triển bởi công ty Waterloo Maple In. - Maple cung cấp dầy đủ các công cụ về hình học như là: vẽ đồ thị tỉnh và động, vẻ hình không gian ba chiều… - Một ngôn ngử lập trình đơn giản mạnh mẽ có thể tương tác với phần mềm khác. - Một công cụ biên soạn giáo án và bài giản điện tử, thích hợp với các lớp học tương tác trực tiếp. - Một công cụ hửu ích cho học sinh và sinh viên trong việc tự học. II- KIỀN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. II.1- Quy trình khảo sát hàm số: I.1.1. Tập xác định. I.2. Sự biến thiên I.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm y’ + Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. I.2.2 Tìm cực trị I2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( x → ±∞ ), các giới hạn có kết quả là vô cực ( = ±∞ ) và tìm tiệm cận nếu có. I.2.4 Lập bảng biến thiên. Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên. I.3. Đồ thị - Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= ? => (0;?) - Giao của đồ thị với trục Ox: 0 ( ) 0 ? (?;0)y f x x= ⇔ = ⇔ = ⇒ - Các điểm CĐ; CT nếu có. II.1- Quy trình khảo sát hàm số bâc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a  0) . II.1.1. Tập xác định. D=R II.1.2. Sự biến thiên II.1.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm: 2 ' 3ax +2bx+cy = + 2 ' 0 3ax +2bx+c=0y = ⇔ ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải ; '∆ ∆ nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng) + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. II.1.2.2 Tìm cực trị II.1.2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( x → ±∞ ) (Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.) II.1.2.4 Lập bảng biến thiên. Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên. II.1.3. Đồ thị - Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d) - Giao của đồ thị với trục Ox: 3 2 0 ax +bx +cx+d 0 ?y x= ⇔ = ⇔ = - Các điểm CĐ; CT nếu có.  Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Dấu của a Dấu ∆ a > 0 a < 0 Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 2 -2 O 2 -2 Pt y’ = 0 có nghiệm kép 2 2 Pt y’ = 0 vô nghiệm 2 4 2 II.3- Quy trình khảo sát hàm số bậc bốn:y = ax4 + bx2 + c (a  0) II.3.1. Tập xác định. D=R II.3.2. Sự biến thiên II.3.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm 3 ' 4ax +2bxy = + Ta có: 3 2 2 2 ' 0 4ax +2bx=0 2x(2ax +b)=0 0 0 2ax +b=0 2a y x x b x = ⇔ ⇔ =  =   ⇔ ⇔ ⇔ −   =    + Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số. II.3.2 2 Tìm cực trị II.3.2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực ( x → ±∞ ). (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.) II.3.2.4 Lập bảng biến thiên. Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên. II.3.3. Đồ thị - Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c) - Giao của đồ thị với trục Ox: 4 2 0 ax +bx +c 0 ? (?;0)y x= ⇔ = ⇔ = ⇒ - Các điểm CĐ; CT nếu có.  Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) Dấu a y’=0 a > 0 a < 0 Pt y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt -2 2 Pt y’ = 0 có một nghiệm 2 -2 II.4- Quy trình khảo sát hàm số nhất biến y = )0,0( ≠−≠ + + bcadc dcx bax II.4.1. Tập xác định. \ d D R c −   =     II.4.2. Sự biến thiên II.4.2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số + Tính đạo hàm 2 d-bc ' ' (cx+d) ax b a y cx d +   = =  ÷ +   + y’ không xác định khi d x c − = ; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi d x c − ≠ + Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng ( ; ) d c −∞ − và ( ; ) d c +∞ II.4.2 2 Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị II.4.2.3 Tiệm cận: Ta có: ax+b lim lim cx+d x x a y c →±∞ →±∞ = = nên a y c = là TCN ax+b lim lim ( ) cx+d d d x x c c y − − − − → → = = ± ∞ ; ax+b lim lim ( ) cx+d d d x x c c y + + − − → → = = ± ∞ Do đó d x c − = là TCĐ II.4.2.4 Lập bảng biến thiên. Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên. II.4.3 Đồ thị - Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= b d => (0; b d ) - Giao của đồ thị với trục Ox: ax+b 0 0 0 ( ;0) cx+d b b y ax b x a a − − = ⇔ = ⇒ + = ⇔ = ⇒ - Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm ( ; ) d a I c c − là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.  Các dạng đồ thị hàm số: y = )0,0( ≠−≠ + + bcadc dcx bax D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0 4 2 4 2 -2 III. CÁC LỆNH VÀ HÀM TRONG MAPLE III.1Giải phương trình và bất phương trình: Cú pháp: > solve(equ,{var}); hoặc > solve(equ,var); Trong đó: Equ : là phương trình hoặc bất phương trình. Var : là biến số(ẩn số). Ví dụ 1: Giải phương trình: 043 22 =−+ xx Ta nhập vào Maple như sau: > solve(x^3+3*x^2-4=0,{x}); Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 043 23 <−+ xx > solve(x^3+3*x^2-4<0,{x}); III.2 Tính giới hạn hàm số: Trong Maple có hai lệnh để tính và hiển thị kì hiệu giới hạn. Cú pháp: > Limit(hàm số,x=x 0 ,left/right); để hiển thị biểu thức giới hạn bên trái hoặc bên phải của hàm số tại x=x 0 .{ Chữ L trong từ khóa Limit là chữ in hoa}. > limit(hàm số,x=x 0 ,left/right); để tính giá trị biểu thức giới hạn bên trái hoặc bên phải của hàm số tại x=x 0 . .{ Chữ L trong từ khóa limit là chữ thường}. Ví dụ1: Tính giới hạn: a) 32 43 2 2 lim + − → x xx x Ta nhập vào Maple như sau: > Limit((3*x^2-4*x)/(2*x+3),x=2); { Hiển thị giới hạn} > limit((3*x^2-4*x)/(2*x+3),x=2);{ Tính giới hạn} b) Tính giới hạn: 6 43 lim 1 − − + → x x x > limit(3*x-4/x-6,x=1,right); Ví dụ 2: Tính giới hạn: 643 23 lim −− −∞→ xx x Ta nhập vào Maple như sau: > limit(3*x^3-4*x^2-6,x=-infinity); III.3Tính đạo hàm: Cú pháp: > diff(f(x),var);{ tính giá trị đạo hàm chữ d trong từ khóa diff là chữ thường} > Diff(f(x),var);{ tính giá trị đạo hàm chữ d trong từ khóa Diff là chữ in hoa} Trong đó:f(x) : là biểu thức cần tính đạo hàm. Var : là biến số(ẩn số). Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số: 286 23 −+− xxx Ta nhập vào Maple như sau: > diff(x^3-6*x^2+8*x-2,x); > Diff(x^3-6*x^2+8*x-2,x); III.4Tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất: Cú pháp: + minimize(expr, vars,ranges) + maximize(expr, vars,ranges) *expr: Biểu thức cần tình giá trị. *vars: biến lầy giá trị. *ranges: phạm vi tính giá trị. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 543 23 −+−= xxxy - Giá trị nhỏ nhất: > minimize(x^3-3*x^2+4*x-5); - Giá trị lớn nhất: > maximize(x^3-3*x^2+4*x-5); Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 543 23 −+−= xxxy x=0 5: - Giá trì lớn nhất: > minimize(x^3-3*x^2+4*x-5,x=0 5); - Giá trị nhỏ nhất: > maximize(x^3-3*x^2+4*x-5,x=0 5); III.5Vẽ đồ thị hàm số y=f(x). Maple cho phép ta hình dung bài toán thông qua khẳ năng vẽ đồ thị rất phong phú. Các tiện ích vẽ đồ thị trong mặt phẳng cho phép vẽ đồ thị hàm số và điều chỉnh các thông số liên quan như phạm vi vẽ, các trục toạ độ, màu sắc, tựa đề, chú thích,…cho đồ thị. Ta có thể vẽ đồ thị của các hàm có cấu trúc đơn giản, các hàm xác định giá trị phức tạp, các hàm ẩn…Trong không gian ba chiều, ta cũng có thể vẽ các đường (curves) và các mặt (surfaces), chẳng hạn các mặt được cho dưới dạng tham số, dạng ẩn, các nghiệm của phương trình vi phân, các trường véctơ…, sự hiển thị của đồ thị cũng có thể được thay đổi thông qua việc điều chỉnh font chữ, cường độ sáng, màu sắc tiêu đề…, tính năng quay (rotate) của Maple còn cho phép ta quan sát đồ thị dưới nhiều góc độ khác nhau. Ngoài ra Maple còn cung cấp tính năng animation làm cho các đồ thị vận động theo sự thay đổi của một tham số nào đó có mặt trong phương trình biểu thị hàm số. Để vẽ đồ thị của hàm số trong mặt phẳng, ta thường sử dụng lệnh plot(…). Cú pháp: > plot(f,opts); > plot(f,x=x0 x1,y=y0 y1,opts); hoặc > plot(f, view=[x0 x1,y0 y1],opts); Trong đó: f: là biểu ẩn x; - opts:các thuộc tính liên quan đến đồ thị ( màu), kiểu đồ thị (style), dạng hệ trục hiển thị (axes), - x0 x1: khoảng [x0;x1] trên trục Ox; - y0 y1: khoảng [y0;y1] trên trục Oy; Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số: 43 23 −+ xx Ta nhập vào Maple như sau: > plot(x^3+3*x^2-4); Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số: 43 23 −+ xx Ta nhập vào Maple như sau: > plot(x^3+3*x^2-4,x,view=[-10 10,-10 10]); [...]... “(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))))”, cực tiểu của hàm số là: “(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))))” II.3.3 Hàm bậc bốn: - Nếu a>0, b>0 thì hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại: cực tiểu của hàm sô là: simplify(eval(f,x=0))) - Nếu a . b>0 thì hàm số chỉ có cực tiểu không có cực đại: cực tiểu của hàm sô là: simplify(eval(f,x=0))). - Nếu a<0, b<=0 thì hàm số chỉ có cực đại không có cực tiểu: cực đại của hàm sô là:. max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))” thì hàm số có một cực tiểu và một cực đại: cực đại của hàm số là: “(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))))”, cực tiểu của hàm số là: “(min(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=min(solve(diff(f,x)=0))))))”. II.3.3. and max(solve(diff(f,x)=0))<>min(solve(diff(f,x)=0 ))” thì hàm số có một cực tiểu và một cực đại: cực tiểu của hàm số là: “(max(solve(diff(f,x)=0)),simplify(eval(f,x=max(solve(diff(f,x)=0))))))”,