Tổng kết kinh nghiệm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI MỘT SỐ THỰC KHÔNG DÙNG ĐỊNH LÝ ĐẢO Lĩnh vực: Toán THPT Tác giả: Giáo viên môn: Toán Trang 1 Tổng kết kinh nghiệm Năm học Trang 2 Tổng kết kinh nghiệm PHẦN MỞ ĐẦU I.Bối cảnh của đề tài Trong quá trình đổi mới công tác giáo dục, việc đổi mới chương trình, nội dung sách giáo khoa và đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng giáo dục là việc làm hết sức cần thiết. Với lý do giảm tải nên trong chương trình Toán THPT không còn định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, tuy nhiên ta vẫn còn gặp một số bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai. II. Lý do chọn đề tài Giải bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai như trước khi thay sách ta phải dùng đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, dạy theo chương trình và sách giáo khoa đổi mới, không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai nên giáo viên ít nhiều còn lúng túng. III. Phạm vi và đối tượng của đề tài Do thời gian có hạn và quá trình nghiên cứu chưa nhiều, nên bài viết chỉ nêu các bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT mà không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai. IV. Mục đích nghiên cứu Bài viết này sẽ giải các bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai mà không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, giúp bản thân tôi định hướng cách giải, không còn lúng túng khi gặp các bài toán dạng này, qua kinh nghiệm này tôi muốn trao đổi cùng đồng nghiệp các vấn đề tuy không mới nhưng ta ít gặp, ít dùng. V. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu Qua đề tài này ta có thêm phương pháp giải bài tập liên quan đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số. PHẦN NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận: Để dễ dàng theo dõi đề tài này tôi xin nêu lại định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của định lý. Định lý: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) và số thực α . Nếu ( ) 0af α < thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) và x 1 < α < x 2 . Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) là tồn tại số α sao cho ( ) 0af α < Hệ quả 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) và hai số thực α , β sao cho α < β . Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = 0 có hai nghiệm, Trang 3 Tổng kết kinh nghiệm trong đó một nghiệm nằm trong khoảng ( α ; β ), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [ α ; β ] là ( ). ( ) 0f f α β < . Chú ý: Phương trình bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) và α nằm ngoài đoạn [x 1 ; x 2 ] 0 ( ) 0af α ∆ >  ⇔  >  Phương trình bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và α < x 1 < x 2 0 ( ) 0 0 2 af S α α   ∆ >  ⇔ >    − >  Phương trình bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và x 1 < x 2 < α 0 ( ) 0 0 2 af S α α   ∆ >  ⇔ >    − <  Phương pháp đặt ẩn phụ: So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ta đặt t = x– α ta được tam thức bậc hai g(t) = a’t 2 + b’t + c’ (2) và ta so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai g(t) với số 0. Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu 0 c P a ′ ⇔ = < ′ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0 0 c P a ∆ >   ⇔ ′  = >  ′  Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 0 0 c P a b S a   ∆ >  ′  ⇔ = >  ′  ′  = − >  ′  Phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt 0 0 0 c P a b S a   ∆ >  ′  ⇔ = >  ′  ′  = − <  ′  Phương pháp hàm số: Trang 4 Tổng kết kinh nghiệm Ký hiệu K là khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn chứa trong ¡ Định lý 1: Cho hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K a) Nếu f / (x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) đồng biến trên K. b) Nếu f / (x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f( x) nghịch biến trên K. Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f( x) có đạo hàm trên K. Nếu f / (x) ≥ 0 ( f / (x) ≤ 0) với mọi x thuộc K và f / (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f( x) đồng biến (nghịch biến ) trên K. II. Thực trạng của vấn đề: Giải một số bài tập bằng phương pháp sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai ( theo chương trình không phân ban) Bài 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh. Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1 1 x x y x − − = + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C). Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1 1 x x mx x − − = − + (1) 2 ( ) ( 1) 0f x m x mx⇔ = − + = (2) ( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C) ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) và x 1 < x 2 <–1 hoặc –1< x 1 < x 2 ⇔ 2 0 ( 1) ( 1) 0 m m f  ∆ = >  − − >  0 1 0 m m ≠  ⇔  − <  0 1 m m ≠  ⇔  <  Vậy m < 1 và m ≠ 0 Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số 2 2 1 x y x + = + tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 1 x x + + = mx + m – 1 (1) 2 ( ) 2 3( 1) 3 0f x mx m x m⇔ = + − + − = (2) ( do 1 2 x = − không là nghiệm của phương trình) (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C) ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và x 1 < 1 2 − < x 2 Trang 5 Tổng kết kinh nghiệm 1 2 0 0 2 mf m   ⇔ − < ⇔ >  ÷   Vậy m > 0 Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2mx – m cắt đồ thị hàm số 2 2 3 2 x x y x − = − tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3 2 x x x − − = 2mx – m (1) 2 ( ) 2( 1) (3 5 ) 2 0f x m x m x m⇔ = − + − + = (2) ( do x = 2 không là nghiệm của phương trình) (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C) ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và x 1 < 2< x 2 2( 1) (2) 0m f⇔ − < 1m⇔ > Vậy m > 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số 3 1 3 x y x − = − tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 1 3 x x − − = mx – 1 (1) 2 ( ) (3 4) 4 0f x mx m x⇔ = − + + = (2) ( do x = 3 không là nghiệm của phương trình) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C) ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) và x 1 < x 2 < 3 hoặc 3 < x 1 < x 2 (3) 0mf⇔ > ⇔ m < 0 Vậy m < 0 Tuy nhiên có một số bài tập áp dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai rất khó: Ví dụ5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 sin cos 2 2 x x m+ = Giải: Đặt 2 sin 2 x t = với 1 2t≤ ≤ , phương trình trở thành 2 t m t + = 2 ( ) 2 0f t t mt⇔ = − + = (1) Trang 6 Tổng kết kinh nghiệm Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1 ; 2 ] Có 3 trường hợp: Phương trình (1) có hai nghiệm t 1 , t 2 và 1< t 1 ≤ t 2 <2 0 (1) 0 1 0 2 (2) 0 2 0 2 af S af S   ∆ >  >   ⇔ − >   >    − <  Phương trình (1) có hai nghiệm t 1 , t 2 và t 1 ≤ 1 ≤ t 2 <2 hoặc 1< t 1 ≤ 2 ≤ t 2 (1). (2) 0f f⇔ ≤ Phương trình (1) có hai nghiệm t 1 , t 2 và t 1 ≤ 1< 2 ≤ t 2 (1) 0 (2) 0 af af ≤  ⇔  ≤  Giải 3 hệ bất phương trình trên và tìm hợp 3 tập nghiệm của 3 hệ bất phương trình trên ta được kết quả. Đây là việc làm hết sức vất vả, tốn rất nhiều thời gian và công sức. Đối với học sinh trung bình thì không thể giải được. III. Các biện pháp giải quyết vấn đề: 1.Giải các bài toán bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh. Trường hợp 1 : Đường thẳng và đồ thị hàm số có một điểm chung. Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1 1 x x y x − − = + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C). Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1 1 x x mx x − − = − + (1) 2 ( 1) 0m x mx⇔ − + = ( do x = – 1 không là nghiệm của phương trình) 0 (2) 1 x m x m =   ⇔  = −  Trang 7 Tổng kết kinh nghiệm (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C) ⇔ phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn –1 và khác 0 ⇔ 1 1 0 1 1 0 0 1 m m m m m m  > −   >   − ⇔ −     ≠ ≠   −  ⇔ m < 1 và m ≠ 0 Vậy m < 1 và m ≠ 0 Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số 2 2 1 x y x + = + tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 1 x x + + = mx + m – 1 (1) 2 2 3( 1) 3 0mx m x m⇔ + − + − = ( do 1 2 x = − không là nghiệm của phương trình) 1 3 (2) 2 x m x m = −   ⇔ −  =  (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C) ⇔ phương trình (2) có nghiệm x lớn hơn 1 2 − 3 1 3 0 2 2 2 m m m − ⇔ > − ⇔ > ⇔ m > 0 Vậy m > 0 Trường hợp 2 : Đường thẳng và đồ thị hàm số không có điểm chung. Ví dụ 3: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2mx – m cắt đồ thị hàm số 2 2 3 2 x x y x − = − tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 3 2 x x x − − = 2mx – m 2 2( 1) (3 5 ) 2 0m x m x m⇔ − + − + = (1) ( do x = 2 không là nghiệm của phương trình) Đặt t = x –2 hay x= t + 2, ta được phương trình: 2 2( 1) (3 5) 2 0m t m t− + − − = (2) (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt của (C) ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 và x 1 < 2 < x 2 Trang 8 Tổng kết kinh nghiệm ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t 1 , t 2 và t 1 < 0 < t 2 2 0 2( 1) P m − ⇔ = < − ⇔ m > 1 Vậy m > 1 Ví dụ 4: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số 3 1 3 x y x − = − tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh. Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 1 3 x x − − = mx – 1 2 (3 4) 4 0mx m x⇔ − + + = (1) ( do x = 3 không là nghiệm của phương trình) Đặt t = x – 3 hay x = t +3, ta được phương trình: 2 (3 4) 8 0mt m t ⇔ + − − = (2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C) ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 và x 1 < x 2 <3 hoặc x 1 > x 2 >3 ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t 1 , t 2 phân biệt và cùng dấu. 2 (3 4) 32 0 8 0 m m P m  ∆ = − + >  ⇔  − = >   ⇔ m < 0 Vậy m < 0 2.Giải các bài toán bằng phương pháp hàm số Bài toán 1: Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt hoặc hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 1 1 x x y x − − = + có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm giá trị của m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C). ( Ví dụ 1, mục III ) Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1 1 1 x x mx x − − = − + (1) Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = 0 với mọi m. Với 0x ≠ , phương trình (1) 1 x m x ⇔ = + (2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của (C) ⇔ Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x > –1 và x ≠ 0 Xét hàm số ( ) 1 x f x x = + với x > –1 Ta có: ( ) 2 1 ( ) 1 f x x ′ = + > 0 với mọi x > –1 Trang 9 Tổng kết kinh nghiệm Bảng biến thiên: x – 1 0 + ∞ f / (x) + + f (x) 1 0 – ∞ Vậy yêu cầu bài toán ⇔ m < 1 và m ≠ 0 Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt lớn hơn –1 Ví dụ 6: Tìm m để đường thẳng y = mx + m – 1 cắt đồ thị hàm số 2 2 1 x y x + = + tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. ( Ví dụ 2, mục III ) Giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 1 x x + + = mx + m – 1 (1) Phương trình (1) luôn có một nghiệm x = –1 với mọi m. Với x ≠ –1, phương trình (1) 3 2 1 m x ⇔ = + (2) Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm m để phương trình (2) có một nghiệm x > 1 2 − Xét hàm số 3 ( ) 2 1 f x x = + với x > 1 2 − Ta có: ( ) 2 6 ( ) 2 1 f x x − ′ = + < 0 với mọi x > 1 2 − Bảng biến thiên: x 1 2 − + ∞ f / (x) – f (x) + ∞ 0 Vậy yêu cầu bài toán ⇔ m > 0 Ghi chú: Nếu từ (1) mà ta quy đồng khử mẫu thì dẫn đến bài toán tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1 , x 2 và x 1 < 1 2 − < x 2 Bài tập tương tự: 1)Tìm m để đường thẳng y= mx + m+ 1 cắt đồ thị hàm số 2 1 2 x y x − = − tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt. Trang 10 [...]...Tổng kết kinh nghiệm x2 − x − 3 2)Tìm m để đường thẳng y = mx – 1 cắt đồ thị hàm số y = tại hai x+3 điểm thuộc hai nhánh phân biệt 3)Tìm m để đường thẳng y= mx + m cắt đồ thị hàm số y = phân biệt cùng thuộc một nhánh x −1 tại hai điểm x+2 x 2 − 3x − 3 4) Tìm m để đường thẳng y= mx + m – 2 cắt đồ thị hàm số y = tại x +1 hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh Bài toán 2: Biện luận theo m số nghiệm của... Phương pháp hàm số là phương pháp hay được sử dụng nhiều trong giải toán lớp 12 THPT vì thế giáo viên cần quan tâm Giải một số bài toán bằng phương pháp hàm số thay cho phương pháp sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai sẽ gọn hơn, nhanh hơn II Ý nghĩa của kinh nghiệm Trang 16 Tổng kết kinh nghiệm Kinh nghiệm này góp phần nâng cao chất lượng giáo dục ở các lớp đang dạy Trao đổi với đồng nghiệp... nghiệm Xét hàm số f(t) = –3t + 2t với 0 ≤ t < 1 1 Ta có f /(t) = –6t + 2 , f /(t) = 0 ⇔ t = 3 2 Bảng biến thiên t 1 3 0 f /(t) + 1 0 – 1 3 f(t) 0 –1 Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [ 0;1) ⇔ −1 < m ≤ 1 3 Ghi chú: Nếu từ (2) mà ta chuyển vế thì dẫn đến bài toán tìm m để phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 0; 1] 3 Ví dụ9: Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm. .. phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m ( m∈ ¡ ) 3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực: 4 Trang 13 x2 + 2x + 4 − x + 1 = m ( m∈¡ ) Tổng kết kinh nghiệm 4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m ( ) 1 + x2... Trang 15 Tổng kết kinh nghiệm x +∞ 1 g/(x) g(x) + – +∞ 14 5 Vậy hàm số nghịch biến trên nửa khoảng [ 1; +∞) ⇔ m ≤ – 14 5 Bài tập tương tự: 1) Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = − trên khoảng ( 0 ; 3) x3 + (m − 1) x 2 + (m + 3) x − 4 đồng biến 3 2 x 2 − 3x + m 2) Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = đồng biến trên khoảng x −1 ( 3 ; +∞ ) 3) Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = − x3 − mx 2 +... hàm số g(x) = 3x2 – 6x với x ∈ ( 0; 2 ) g/(x) = 6x – 6; g/(x) = 0 ⇔ x = 1 Bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng ( 0 ; 2) x 0 1 2 / g (x) – 0 + 0 0 g(x) –3 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2) ⇔ m ≥ 0 Chú ý: Có thể thay khoảng ( 0 ; 2) bởi đoạn [ 0 ; 2] ta giải tương tự Trang 14 Tổng kết kinh nghiệm Ví dụ 12: Cho hàm số y = –x3 + 3(2m +1)x2 – (12m+5) x –2 ( m là tham số thực) Tìm m để hàm số. .. để phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm trong đoạn [ 1; 2] Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 Giải: Điều kiện x ≥ 1 x −1 x −1 + 24 = m (1) x +1 x +1 x −1 x −1 4 2 = 1− . phụ: So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ta đặt t = x– α ta được tam thức bậc hai g(t) = a’t 2 + b’t + c’ (2) và ta so sánh các nghiệm của tam. tam thức bậc hai như trước khi thay sách ta phải dùng đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, dạy theo chương trình và sách giáo khoa đổi mới, không dùng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai. đảo về dấu tam thức bậc hai, tuy nhiên ta vẫn còn gặp một số bài tập liên quan đến so sánh một số với các nghiệm của tam thức bậc hai. II. Lý do chọn đề tài Giải bài tập liên quan đến so sánh