Đang tải... (xem toàn văn)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 1 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 (Lưu ý: Tài liệu này chưa được thẩm định nên vẫn còn có những phần chưa chính xác hoàn toàn) Chương 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 1.1 Tìm miền xác định của các hàm số: a. 2 2 2 1 z a x y Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 2 2 2 2 2 2 0a x y x y a KL: Vậy miền xác định của hàm số là: 2 2 2 ( , ):D M x y x y a b. 2 arcsin x z y Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 2 2 22 2 2 22 2 2 10 11 1 0 x x y yx yy x yx x y x y y x y y Với 0 ( ; ] ;x x x còn Với 2 0x y x (luôn đúng) KL: Vậy miền xác định của hàm số là: ( , ): 0: ; ;D M x y x x x c. ln x z y Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 00 x x y x y y KL: Vậy miền xác định của hàm số là: ( , ): 0D M x y x y d. u x y z Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định 0x y z KL: Vậy miền xác định của hàm số là: ( , , ): 0D M x y z x y z 1.2 Đạo hàm riêng, vi phân toàn phần. 1. ( , ) . x f x y xy y Tính '' (2,1) (2,1) xy ff Hướng dẫn: Ta có: ' 2 '' 1 11 ( , ) (2,1) 2 222 xx x xy y y y y f x y f x x x xy xy y xy y y y Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 2 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' 2 2 '' 2 ( , ) (2,1) 0 222 yy x x xy x y xy x y f x y f x x x xy xy y xy y y y 2. 22 . xy ze Tính: '' , xy zy Hướng dẫn: Ta có: 2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 . 2 . x y x y x y x z e x y e xe Chú ý CT: (e u )’ = u’.e u 2 2 2 2 2 2 ' ' ' 2 2 . 2 . x y x y x y y z e x y e ye 3. ( , ) ( 1)arcsin . x f x y x x y Tính: ' (1,1) x f Hướng dẫn: Ta có: '' ' 1 ( 1)arcsin 1 arcsin arcsin . 1 1 arcsin x x x x x x f x x x y y y y yx ( Như chúng ta đã biết 22 dx ax là arcsin x C a . Khi đó ta coi x ở CT trên chính là x ,a ở CT trên chính là y . Do đó ' 1 arcsin x y yx ) Vậy ' 2 (1,1) 1 22 x f 4. 33 3 ( , ) .f x y x y Tính: '' (0,0), (0,0) xy ff Hướng dẫn: Ta có: ' 1 2 2 ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ' 3 3 3 3 1 ( , ) . . . 0,0 0 3 xx f x y x y x y x y x y x x y f ' 1 2 2 ' ' ' 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 ' 3 3 3 3 1 ( , ) . . . 0,0 0 3 yy f x y x y x y x y x y y x y f 5. Cho lnz y x .Tìm '' '' '' ,, xx xy yy z z z . Hướng dẫn: Ta có: '' '' ( ln ) '.ln (ln )'. ( ln ) '.ln (ln )'. ln x y y z y x y x x y x z y x y x x y x Vậy: ' '' ' 2 ' '' ' ' '' ' 1 0 xx x x xy x y yy y y y zz x zz x zz 6. Cho lntan . y z x Tìm: '' xy z Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 3 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Hướng dẫn: Ta có: '' ' 2 ' 22 2 tan 2 ln tan 22 tan cos .tan sin .sin x yy y yy xx x z y y y y y x x x x x x x Vậy: '' ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 .sin .sin .2 2 .sin sin . .2 2 2 2 2 .sin .sin .sin 2 4 2 2.sin .cos . 2 .sin xy x y y y y y y x x y x x y y x x x x zz y y y x x x x x x yy y x x x y x x 7. Cho 1 ln 2 u z v với 22 tan , cot .u x v x .Tìm ' x z . Hướng dẫn: Với 22 tan , cot .u x v x thì 2 24 2 4 2 24 2 sin 1 tan 1 1 sin 1 cos ln ln ln lntan cos 2 cot 2 2 cos 2 sin x xx x zx x xx x . Khi đó: 3 ' ' 4 3 3 25 1 4sin tan 4. tan '.tan 4. .tan . cos cos x x z x x x x xx 8. a) 22 lnz x x y Hướng dẫn: Ta có: 22 ' 22 2 2 2 2 22 ' 22 22 2 2 2 2 1 1 ln , ln x y x xy z z x x y x x y x y x xy x z z x x y x x y x x y x y Vậy 22 2 2 2 2 dx xdy dz xy x x y x y . b) cos sin x z e y x y Hướng dẫn: Ta có: ' ' cos sin cos sin sin xx x z e y x y e y x y y Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 4 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' ' cos sin cos sin xx y z e y x y e x y y Vậy: cos sin sin cos sin x dz e y x y y dx x y y dy . c) 2 . yz ux Hướng dẫn: Ta có: 2 2 2 2 22 '' ' 2 1 ' ' '2 , .2 .ln . .ln y z y z y z y z xy y z y z z u x y zx u x x yz x u x x y x Vậy 2 2 2 ' ' ' 2 1 2 . 2 .ln . .ln y z y z y z x y z du u dx u dy u dz y zx d x x yz xdy x y xdz . 9. 10. Cho 2 2 xy z xy với y = 3x + 1. Tìm dz dx . Hướng dẫn: Từ đề bài ta có: 2 2 31 31 xx z xx Ta có: '' ( ; ) ( ; ) xy dz z x y dx z x y dy Khi đó: ' ( ; ) x dz z x y dx . Vậy: ' ' 22 ' 2 22 2 3 1 6 2 6 20 9 ( ; ) 1 3 1 3 1 31 x x x x x x dz z x y x x x x dx xx 11. Cho 22 ln .z y x y Tính: 2 (0,1)dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 (0,1) (0,1) (0,1) (0,1) xx xy yy dz z dx z dxdy z dy ' 22 22 ' ' 2 2 22 2 2 2 2 2 ln x xy xy x z y x y y x y x y y x y ' 22 2 2 2 2 ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 1 ln y xy y x y x y z y x y y x y y x y x y Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 5 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xx x x x y y x y x x y y x y x zz x y y x y x y y x y x y x y x y y x y x x y y x y x y x y x x y xy x y y x y x y x y y x y ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xy x y x x y y x y x zz x y y x y x y y x y y y x y x y x y xy xy y x y xy x y x x y x y y x y x y x y y x y ' 22 ' '' ' 2 2 2 2 22 ' 12 yy y y xy y zz x y x y xy '' '' '' (0,1) 1 (0,1) 0 (0,1) 1 xx xy yy z z z Vậy: 2 2 2 (0,1)dz dx dy 12. Cho (2 ).ln x z x y y . Tính 2 (1,1)dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) xx xy yy dz z dx z dxdy z dy '' ' 2 (2 )ln 2.ln ln (2 ) 2.ln x x x x x x y z x y x y y y y y x '' ' 2 (2 )ln ln ln (2 ) ln y x x x x x y z x y x y y y y y y ' ' '' ' 2 22 2.ln xx x x x x y y zz y x x x ' ' '' ' 2 2 1 2.ln xy x y x x y zz y x y x Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 6 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' ' '' ' 2 2 1 2 ln yy y y x x y x zz y y y y '' '' '' (1,1) 1 (1,1) 1 (1,1) 1 xx xy yy z z z Vậy: 2 2 2 (1,1)dz dx dxdy dy 13. 14. Cho 22 lnz y x y .Tính 2 2 2,1 ; 2,1 . x dz x Hướng dẫn: Ta có: '' ' 2 2 2 2 22 2 '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ln ln . 2 ln ln ln . ln x y xy z y x y x y y xy y z y x y x y x y y x y xy ' 23 '' 2 2 2 22 2 2 xx xy x y y z xy xy Vậy: '' 2,1 2,1 2,1 2 2 2 xy dz z dx z dy dx dy . Tính: 2 2 2,1 . x x 2 ' 2 2 2 22 2 '' 2 3 2 3 2 22 2 2. x xx xy z x y x xy xz x y y xy x y y xy Vậy: 2 2 2,1 6 x x . 15. Chứng tỏ rằng hàm số 22 lnz y x y thỏa mãn phương trình: 2 11z z z x x y y y Hướng dẫn: Ta có: '' ' 2 2 2 2 22 2 '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 ln ln . 2 ln ln ln . ln x y z xy z y x y x y y x x y zy z y x y x y x y y x y y x y Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 7 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Như vậy ta có: 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 . ln ln ln ln . 22 z z xy y VT x y x x y y x x y y x y x y x y x y y y y z VP x y y x y y y y đpcm. 16. 17. 18. 19. Có thể tham khảo tại “Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí. 20. 21. 22. 23. Xem lại cách giải của phần trên (Phần 1.2, ý 11) 24. Cho ( , ) cos sin .f x y x y Tìm 2 0,0 ; 0,0 .df df Hướng dẫn: Ta có: ' ' ' ' cos sin sin .sin cos sin cos cos . x y f x y x y f x y x y Nên: ' ' 0,0 0 0,0 1 x y f f Vậy 0,0df dy . Lại có: 2 '' 2 '' '' 2 0,0 0,0 2 0,0 (0,0) xx xy yy df f dx f dxdy f dy '' '' '' ' '' ' ' ' '' ' sin .sin cos sin ; sin .sin sin cos cos cos cos sin . xx x xy x xy yy y y f f x y x y f f x y x y f f x y x y Suy ra : '' '' '' 0,0 0; 0,0 0; 0,0 0 xx xy yy f f f . Vậy: 2 0,0 0df 25. Cho 3 2 3 ( , ) .f x y x xy y Tính 2 ( , ); ( , ).df x y df x y Hướng dẫn: Ta có: '' ( , ) . xy df x y f dx f dy Tính: '' ' 3 2 3 2 2 ' 3 2 3 2 ' ' 2 2 2 3 ; 2 3 ( , ) 3 2 3 xy xy f x xy y x y f x xy y xy y df x y f dx f dy x y dx xy y dy 2 '' 2 '' '' 2 , , 2 , ( , ) xx xy yy df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 8 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' ' ' ' '' ' 2 2 '' ' 2 2 '' '' ' 2 3 6 ; 3 2 2 3 2 6 xx x xy x xy yy y y f f x y x f f x y y f f xy y x y Vậy: 2 2 2 , 6 2 6 2df x y x dx y dxdy y x dy . 1.3 Đạo hàm, vi phân của hàm hợp. 1. Cho z là hàm số của x và y xác định bởi 2 2 3 3 ,,x u v y u v z u v . Tính: '' , xy zz Hướng dẫn: Ta có: 3 33 3.z u v u v uv u v Vậy: 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 3 1 3 2 2 2 2 2 x u v x u v y x uv y u v uv z x x y x x x xy x xy Nên ta có: ' '3 ' '3 1 3 3 3 2 2 2 2 1 3 3 2 2 2 x y z x xy x y z x xy x 2. Cho hàm hợp 1z xy y (1) với 22 ,.x u v y u v Tính 2 dz . Hướng dẫn: Ta có: 2 '' 2 '' '' 2 xx xy yy dz z dx z dxdy z dy . 2 (1) y xy Nên: '' ' 2 2 ' 2 ; 1 2 xy z y xy y z y xy xy ' ' ' ' '' ' 2 '' ' 2 ' ' '' ' 2 2 0; 2 2 ; 1 2 2 2 . xx x xy x xy yy y y z z y z z y y u v z z xy x u v Vậy 2 2 2 2 22dz u v dxdy u v dy . 3. 4. 1.4. Đạo hàm, vi phân của hàm ẩn (Không có trong chương trình học) 1.5 Tìm cực trị của các hàm số: 1. 33 3z x y xy . Hướng dẫn: MXĐ: 2 D Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 9 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com Ta có: ' 23 x z x y , '2 33 y z y x ' '' ' ' '' ' '' '' ' 2 2 3 ' 2 2 3 ' 3 3 3 6 xx x x xy x y yy y y z z x y z z x y z z y x y Ta xét hệ phương trình: ' 2 22 ' 2 0 2 3 0 2 3 0 2 3 0 3 3 0 0 x y z x y x y yy y x y x z yx 2 0 0 9 3 4 2 3 2 xy y x y y yx Vậy hàm số đã cho có 2 điểm dừng: 12 93 0;0 , ; . 42 MM Xét điểm 1 0;0M . '' '' '' 1 1 1 2, 3, 0. xx xy yy A z M B z M C z M Ta thấy: AC – B 2 = – 9 < 0. Vậy hàm số đã cho không đạt cực trị tại 1 0;0M . Xét điểm 2 93 ;. 42 M '' '' '' 2 2 2 2, 3, 9. xx xy yy A z M B z M C z M Ta thấy: AC – B 2 = 9 > 0 và A = 2 > 0. Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 2 93 ;. 42 M 2. 22 ( , ) 1f x y x y . Hướng dẫn: MXĐ: 22 , : 0D M x y x y Ta có: '' ' 2 2 2 2 22 1 x x z x y x y xy '' ' 2 2 2 2 22 1 y y z x y x y xy ' 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 xx x x xy zz x y x y x y Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Page 10 Email: caotua5lg3@gmail.com Website: www.caotu28.blogspot.com ' 22 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 xy x y yy y y xy x y x zz x y x y x y yx zz x y x y x y Ta xét hệ phương trình: ' 2 2 2 2 2 2 2 ' 22 22 0 0 0 0 0 0 x y x z x y x x y xy x yy y x y z y x y xy . Vậy hàm số đã cho có điểm dừng 1 0;0M . '' '' '' 1 1 1 ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 xx xy yy A z M B z M C z M Ta thấy AC – B 2 = =. Vậy không có KL gì cho hàm số. 3. 10 20 ( , ) , 0, 0f x y xy x y xy Hướng dẫn: MXĐ: , : 0, 0D M x y x y Ta có: '' 22 50 20 , xy z y z x xy . '' '' '' ' '' ' 2 3 2 ' ' '' ' 23 50 100 50 ;1 20 40 xx x xy x xy yy x y z z y z z y x x x z z x yy Ta xét hệ phương trình: 4 3 ' 22 ' 2 22 2 50 50 50 0 8 0 5 400 20 20 20 20 2 0 0 x y y yy y y z x xx x y z xx x y yy y . Hàm số đã cho có điểm dừng M(5,2). '' '' '' 4 25 ( ) ; ( ) 1; ( ) 52 xx xy yy A z M B z M C z M . Ta thấy AC – B 2 = 9 > 0 và 4 0 5 A . Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(5,2). 4. ( , ) . y f x y x y x e . [...]... 2 ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 ' x 2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 '' ' ' 1 x 2 y 2 2 x.e zxx zx x 2 x.e 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 2 x.e ' 2 2 x 2 y 2 x2 y 2 ' x y 2 2 2 x e 2 x e 1 x y 2 x .2 x.e x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2. e 4 x 2 e ... 2 y 2 2 x x 2 y 2 e x y 2 x.e x y 1 x 2 y 2 ' zx x 2 y 2 e 2 x.e x2 y 2 x2 y 2 ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 x 2 y 2 ' e x y e x y x 2 y 2 2 y x 2 y 2 e x y 2 y.e x y 1 x 2 y 2 z 'y x 2 y 2 e 2 y.e x2 y 2 x2 y 2. .. 2 y x2 y 5 y 2 x2 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 13 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Hướng dẫn: MXĐ: D 2 Ta có: f x' 2 y3 x2 y 5 y 2 x2 2 xy 2x; f y' 2 y 3 x 2 y 5 y 2 x 2 6 y 2 x 2 10 y ' ' '' '' f xx f x' x 2 xy 2 x 2 y 2; f xy f x' y 2 xy 2 x 2. .. x 2 y 2 4 x 2 e ' ' ' x 2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 '' ' ' 1 x 2 y 2 2 x.e zxy zx y 2 x.e 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 2 x.e ' 2 2 x 2 y 2 x2 y 2 ' x y 2 2 2 x e 2 x e 1 x y 4 xy.e ' 4 xy.e x2 y 2 ' 1 x 2 y 2. .. e 2 y e 1 x 2 y 2 4 y 2 e x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 2. e 4 y 2 e 1 x 2 y 2 4 y 2e 2 ' 2 2 2 ' Xét hệ phương trình: x 0 2 2 x.e x2 y2 1 x 2 y 2 0 ' 2 zx 0 x y ' 2 2 z y 0 2 y.e x y 1 x 2 y 2 0 y 0 x2 y 2 x 0 y... 2 2 Email: caotua5lg3@gmail.com Page 16 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 ' ' x y x y x2 y 2 1 x 2 y 2 2 y.e z ''yy z 'y y 2 y.e 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 2 y.e ' 2 2 x 2 y 2 x 2 y 2 ' x y 2 y e 2 y... 3x3 y 2 ' '' ' zxx zx x 18x2 y 2 4 x3 y 2 3x2 y3 36 xy 2 12 x2 y 2 6 xy3 ' ' '' ' zxy zx y 18x2 y 2 4 x3 y 2 3x2 y3 36 x2 y 8x3 y 9 x2 y 2 ' Email: caotua5lg3@gmail.com ' Page 17 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú z z '' yy Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên 12x y 2x y 3x y 12x ' ' y y 3 4 3 2 ' 3 HD giải BT Toán cao cấp 2 2x 6x... đạt cực tiểu tại M 2 0,1 11 z x4 y 4 x2 y 2 2xy, x 0 Hướng dẫn: MXĐ: D 2 ' zx x4 y 4 x2 y 2 2 xy 4 x3 2 x 2 y ' Ta có: z 'y x4 y 4 x 2 y 2 2 xy 4 y3 2 y 2 x ' '' ' '' ' zxx zx x 4 x3 2 x 2 y 12 x 2; zxy zx y 4x3 2x 2 y 2 ' ' ' ' ' z ''yy zx y 4 y3 2 y 2x 12 y 2 ' ' Xét hệ phương... 2 y 4 y 2 2x2 Hướng dẫn: MXĐ: D 2 Ta có: f 'x x4 2 y 4 y 2 2 x2 4 x3 4 x; f ' y x4 2 y 4 y 2 2x2 8 y3 2 y ' ' '' '' f xx f x' x 4x3 4x 12x 4; f xy f x' y 4x3 4x 0 ' ' ' ' '' f yy f x' y 8 y3 2 y 24 y 2 2 ' ' Ta xét hệ phương trình: Email: caotua5lg3@gmail.com Page 12 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao. .. 2e 1 e Ta thấy AC B 2 0& A 2 0 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại M(0, 2) 16. 17. 18. 19. 20 . - Có thể tham khảo tại Bài tập Toán cao cấp – Tập ba” của Nguyễn Đình Trí Email: caotua5lg3@gmail.com Page 19 Website: www.caotu28.blogspot.com Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên HD giải BT Toán cao cấp 2 Gợi ý: 16 Hệ phương trình có các nghiệm là: x 1 x y 0 y 2 ' 2 . ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xx x x x y y x y x x y y x y x zz x y y x y x y. ' ' 2 2 2 2 ' '' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . xy x y x x y y x y x zz x y y x y x. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '' ' ' '' ' 2 2 2 2 2 2 ' ' 22 2 2 2 2 2 . 1 2 . . 1 1 .2 . 2 . 2 . . 1 2 .2 . 2. 4 . . 1 4 x y x