Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 1 Bài tập chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VĂN PHÚ QUỐC 1. Giải PT: 3 2 3 2 5 3 3 2012 3 6 2013 5 2014 2013 x x x x x        . 2. Giải BPT:             2 3 2012 1 1 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2012 1 x x x x x x x x x x x x x               3. Giải HPT: 1 2 3 4 2 3 4 1 2 2 os 2 2 os 2 2 os 2 2 os x c x c x c c x x x x x                ; 1 2 3 4 , , ,x x x x   . 4. Giải HPT: 2 2 2 30 4 2012 30 4 2012 30 4 2012 y y x z z y x x z                ; , ,x y z   5. Cho 2013 số dương: 1 2 2013 , , , 0 x x x  thỏa mãn: 2 2 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 2 2 2011 2012 2012 2011 2 2 2012 2013 2013 2012 x x x x x x x x x x x x x x x x                        . Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số , a b sao cho: 1 2012 a b  . 6. Giải HPT: 2 2 2 2012 2012 2012 3 3 3 x y z x y z x y z               ; , ,x y z   . 7. Giải BPT:   2 2 2012 2014 2 4028 2014 4024 4024 x x x x        ; x   . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 2 8. Giải HPT: 2012 2013 1 2 3 2012 2013 2 3 4 2012 2013 2012 1 2 1 2 2012 30 4 30 4 30 4 , , , 0 x x x x x x x x x x x x                   9. Giải HPT: 1 2 2 2 3 3 2012 1 1 1 2012 2 1 2012 2 1 2012 2 x x x x x x x x x                                     ; 1 2 2012 , , ,x x x   . 10. Giải HPT: 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y y z z z t t t x                ; , , ,x y z t   . 11. Giải HPT: 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2012 2012 1 1 2 1 2 1 2 k x kx x k x kx x k x kx x                                            ; 1 2 2012 , , ,x x x   , k là một số cho trước. 12. Cho số nguyên 3 n  . Giải hệ phương trình: 1 2 3 2 3 4 1 2 2012 4025 2013 0 2012 4025 2013 0 2012 4025 2013 0 n x x x x x x x x x                 ; 1 2 , , , n x x x   . 13. Giải HPT: 2013 2 2013 2012 2 2012 2013 2 2013 2 2012 2012 2 2 2 1 2 2 2 1 xy x x y x x xy y y x x y                    ; ,x y   . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 3 14. Giải PT: 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 10 3 3 3 4 4 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                          15. Giải HPT: 2012 2012 2011 2011 2x y x y x y           ; ,x y   . 16. Giải HPT:     2 2 2 5 4 4 5 4 16 8 16 0 y x x y x xy x y               ; ,x y   . 17. Giải HPT:       4 3 2 2 2 4 2 2 2 6 12 6 5 1 11 5 x x x y y x x x y x                 ; ,x y   18. Giải HPT:       2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 3 2 1 2 1 1 2 2 1 0 x y x y x x y x y x x x xy                   ; ,x y   . 19. Giải HPT: 2 2 3 3 2 14 2 2 9 2 2 xy y x y x y x y x y x y                              ; ,x y   . 20. Giải HPT:   4 4 2009 2013 2013 2009 2011 2 1 2 3 xy x y x y x y           ; ,x y   . 21. Giải HPT:     2 2 2011 2013 2011 2013 1 2014 x y x y y x x y xy              ; ,x y   . 22. Giải PT: 4 6 2 cos2 3 1 tan 7 cos x x x          23. Giải HPT: 3 3 3 3 1 1 9 1 1 1 1 1 1 18 x y x y x y                                    ( ,x y   ). 24. Giải BPT:   2 4 2 6 3 1 1 0 x x x x       ; x   25. Giải HPT:         2 2 2 1 1 4 3 12 2 3 7 1 12 3 5 x y x y x y x x y xy y x                   , ,x y   . 26.Giải HPT:      4 4 2 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 2 y x x y y x x y x y                , ,x y   Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 4 27. Giải BPT: 3 3 2 2 4 6 7 12 6 2 x x x x x        ; x   . 28. Giải BPT:     3 5 3 2 2 2 1 1 x x x x x x x        ; x   . 29. Giải HPT:             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 4 1 ; , , 5 1 x y z x x y z y z x y y z x x y z z x y z z x y                      . 30. (VMO 1975). Giải PT:       3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 . . . 0 2 2 y m y n y p y m y n y p y m y n y p y m y n y p                  . 31. (VMO 1975). Không giải PT bậc ba: 3 1 0 x x    . Hãy tính tổng các lũy thừa bậc tám của ba nghiệm số của nó. 32. (VMO 1976). Tìm nghiệm nguyên của HPT: 12 3 x y x y x y y x          . 33. (VMO 1977). Giải BPT: 1 1 1 1 x x x x x      . 34. (VMO 1978). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho HPT sau đây chỉ có một nghiệm 2 2 2 2 1 x x x y m x y            . 35. (VMO 1981). Giải HPT: 2 2 2 2 2 2 2 2 50 24 0 x y z t x y z t xz yt x y z t                      . 36. (Kỳ thi đặc biệt tại Huế, 1981). Giải HPT: 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 2 1 1 1 2 2 2 2 2 n n n n n n n t t a t t t a t t t a t t t a t t a                                 . 37. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2 2 2 2336 x y z      x y z   . 38. (VMO 1993, bảng B). Giải BPT: 3 3 12 1 2 4x x    . 40. (VMO 1994, bảng B). Giải HPT:     2 2 3 ln 2 1 3 ln 2 1 x x x y y y y x              . 41. (VMO 1995, bảng A). Giải PT: 3 2 4 3 8 40 8 4 4 0 x x x x       . 42. (VMO 1995, bảng B). Giải PT: 2 3 2 11 21 3 4 4 0 x x x      . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 5 43. (VMO 1996, bảng A). Giải HPT: 1 3 1 2 1 7 1 4 2 x x y y x y                          . 44. (VMO 1999, bảng A). Giải PT:     2 1 2 2 1 3 2 1 4 .5 1 2 4 1 ln 2 0 x y x y x y y x y x                   . 45. (VMO 2001, bảng B). Giải HPT: 7 2 5 2 2 x y x y x y x y              . 46. (VMO 2002, bảng A). Giải PT: 4 3 10 3 2 x x     . 47. (VMO 2004, bảng A). Giải HPT:       2 3 2 3 2 3 2 30 16 x x x z y y z x z z x y                 . 48. (VMO 2004, bảng B). Giải HPT: 3 2 2 2 3 49 8 8 17 x xy x xy y y x             . 49. (VMO 2006, bảng A). Giải HPT:       2 3 2 3 2 3 2 6.log 6 2 6.log 6 2 6.log 6 x x y x y y z y z z x z                    . 50. (VMO 2006, bảng B). Giải HPT : 3 2 3 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 5 x x x y y y y z z z z x                  . 51. (VMO 2007). Giải HPT: 12 1 2 3 1 1 6 3 x y x y y x                         . 52. (VMO 2008). Hãy xác định số nghiệm của HPT ( ẩn , x y ) sau: 2 3 3 3 29 log .log 1 x y x y       . 53. (VMO 2009). Giải HPT:     2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 9 xy x y x x y y                 . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 6 54. (VMO 2010). Giải HPT:     4 4 2 3 3 2 240 2 3 4 4 8 x y x y x y x y             . 55. Giải PT: 2 2 3 2 9 4 2 16 5 x x x x       . 56. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để BPT sau có nghiệm:     3 3 2 3 4 1 1 sin 2 m m x mx x     . 57. Giải BPT: 2 2 2 30 2013. 30 4 2013 30. 2013 x x x    . 58. Giải HPT: 2 2 2 2 2 2 3 2 1 x y z xy zx zy x y yz zx xy                  . 59. Với giá trị nào của ,u v   thì HPT:         2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 169 2 .13 4 a b c u v a ua vb b ub vc c uc va                có nghiệm nguyên dương , , a b c ? 60. Giải PT: 2 2 9 1 x x x     . 61. Giải BPT: 2 12 8 2 4 2 2 9 16 x x x x       . 62. Giải PT: 2 4 2 4 13 9 16 x x x x     . 63. Giải PT: 2 4 3 2 3 2 7 3 3 2 2 x x x x x x        . 64. Giải HPT: 2 2 1 13 1 13 16 16 97 36 0 0 y x y x x x x y x y                     . 65. Giải HPT:          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 x y z xyz x y z y x z z x y                  . 66. Giải BPT: 2 2 2 2 6 5 x x x x      . 67. Trong các nghiệm thực   , , , x y z t của HPT: 2 2 2 2 1 2 2 x y z t xt yz            . Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y t  nhỏ nhất. Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 7 68. Biết rằng PT: 4 2 2 3 1 0 x x x     (1) có nghiệm dương 0 x . Chứng minh rằng: 9 0 162 2 x   và 0 x không phải là nghiệm của PT: 3 1 4 x x x     . 69. Giải BPT:   2 2 2 1 2 1 2 3 0 x x x x x x         . 70. Giải HPT:       2 2 2 4 8 4 8 4 8 x y y y z z z x x              . 71. Giải PT:   3 2 3 1 5 2 10 34 40 x x x x x x          . 72. Giải HPT: 2 2 3 2 3 3 2 3 x x y y y x              74. Tìm m để BPT: 2 2 1 1 2 sin sin 7 sin sin 2 1 1 3 sin sin 12 sin sin x x x x x x m x x                                   vô nghiệm. 75. Giải PT:   2 2 2 11 14 9 11 2 3 17 2 3 2 2 2 x x x x x x x           . 76. Giải HPT:               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y x y y x x y x y x y x y                         . 77. Giải PT:   3 3 2 3log 1 2log x x x    . 78. Giải HPT: 2 1 2 1 2 2 2012 1 2 2 2012 1 y x x x x y y y                  79. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:   5 1 5 1 2 7 7 2012 2012 2 2 3 0 x x x x x m x m                  80. Giải HPT: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y             . 81. Giải HPT:   2 32 2 2 2 2 log 5log 2 1 3 x y x y x y x y               . 82. Giải PT:   3 3 8sin 1 162sin 27 0 x x     Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 8 83. Giải HPT: 3 2 2 1 3 4 1 9 8 52 4 x y x x y x y xy                . 84. Giải HPT: 4 4 2 2 4 4 2 2 2 6 2 8 6 0 x y x y x y y x y x y x x y x                       . 85. Giải HPT: 1 1 1 3 xy xy x y y y x x x            . 86. Giải HPT:       3 2 2 3 2 2 1 2 30 1 11 x y y x y y xy x y x y y y                . 87. Giải HPT: 2 4 16 2 3 x y x y x y x y x               . 88. Giải HPT: 2 2 2 2 1 34 2 2 2 1 34 2 x x y xy x y x y xy y                     . 89. Giải HPT:     2 3 3 1 4 2 1 log 1 log 3 1 log 1 2 2 x x y x y y               . 90. Giải HPT:    2 2 2 2 7 2 1 2 1 2 7 6 14 0 x y xy x y xy x y               . 91. Giải HPT:     2 2 1 2 2 1 1 3 1 y x x y x y x x               . 92. Giải HPT: 6 2 3 3 2 3 3 6 3 4 x x y y y x x y x y               93. Tìm các số   ; ; ; x y z t thỏa mãn HPT: 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 12 50 252 2 x y z t x y z t x y z t x t y z xyzt                      . 94. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT: 2 2 4 6 9 6 313 x y x y x y      . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 9 95. Giải BPT: 2 35 12 1 x x x    . 96. Tìm tất cả các cặp số thực   ; x y thỏa mãn BPT: 2 1 1 x y x y       . 97. Xác định tất cả các nghiệm số nguyên của PT vô định:   3 2 2 3 2 2 8 1 x x y xy y x xy y        . 98. Tìm tất cả các số tự nhiên , x y thỏa mãn PT:   4 3361 11296320 x y   . 99. Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất:     3 4 1 2 1 2 1 x x m x x x x m        . 100. Giải PT: 6 5 4 3 2 16 16 20 20 5 2 7 0 x x x x x x        . 101. Giải PT: 2 2 2 45 2 5 4 40 5 4 x x x x x x        . 102. Cho   , , , 30; 4 1 0 \ ; 4; 1 a b c d   là bốn tham số đôi một phân biệt và , , , x y z t là các ẩn số. Hãy giải HPT: 1 30 4 14 10 1 30 4 14 10 1 30 4 14 10 1 30 4 14 10 x y z t a a a a x y z t b b b b x y z t c c c c x y z t d d d d                                            . 103. Cho 1 k  . Giải HPT:           3 2 2 2 4 8 4 8 x y z kx y z k k x y z x ky z k k x y z x y kz k                          . 104. Tìm tất cả các cặp   ; x y với ,x y   thỏa 3 1 2 1 2 x y y x xy     . 105. Tìm tất cả các bộ   ; ; x y z với , , x y z là những số nguyên thỏa mãn HPT: 3 3 3 3 3 x y z x y z          . 106. Tìm m để HPT: 16 25 36 x y xy xy y z yz yz z x zx zx xy yz zx m xyz                    có nghiệm , , 0 x y z  . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 10 107. Giải HPT: 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2012 1 2012 1 2012 x x y y z z y z x                                    . 108. Tìm tất cả các bộ ba số dương   ; ; x y z thỏa HPT: 2012 2010 2010 2012 2010 2010 2012 2010 2010 2 2 2 x y z y z x z x y            . 109. Giải HPT:   2 2 2 2 2 2 3 8 8 8 2 4 2 x y y x z x x y yz x y xy yz x z                      . 110. Giải HPT: 2012 1 2 3 2012 2 3 4 2012 2011 2012 1 2012 2012 1 2 x x x x x x x x x x x x                  . 111. Giải HPT: 3 2 3 2 3 2 6 12 8 0 6 12 8 0 6 12 8 0 y x x z y y x z z                  . 112. Giải HPT: 2 2 2 1 1 1 x y y z z x            113. Giải HPT: 2 3 2 1 2 3 2 1 x y y x x x y x x y y y            . 114. Giải HPT: 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 18 2 3 18 2 3 18 x x y y y y z z z z x x                  . 115. Giải HPT: 2012 1 1 3 2 2 2 x y z x y x y z               . [...]... thỏa hệ phương trình:  x y z   2x 2 y  2x y 2  128    x  y 2 2  x y 1  (y  1)x   287.(Saigon 2012) Giải hệ phương trình :  ; x, y   2x 2  9x  6 4x 2  18x  20   y 1    2x 2  9x  8 x 3  3xy 2  6xy  3x  49  288 (Haiphong 2012) Giải hệ phương trình :  2 2 x  8xy  y  10y  25x  9  289.(Nghean 2012)  2 8 xy 2  16 x  y  x y  a) Giải hệ phương trình. .. BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia 292 (Binhdinh 2012) a) Giải phương trình x  2  4  x  2 x2  5 x  1  x3  y3  3 y2  3 x  2  0  b) Giải hệ phương trình :   x2  1  x2  3 2 y  y2  2  0  293 (Hanoi 2012) a) Giải phương trình : x4  1  x2  1  x2  y2  2 xy  1  b) Giải hệ phương trình :   x5  y3  1  0  294 (Namdinh 2012)  x  y  2  m2  1  a) Tìm m để hệ. ..  4 6   x 6  y 8  z 10  1  296 Giải hệ bất phương trình sau:  2009  y 2011  z 2013  1 x   x  2  2  2  y 297 Giải hệ phương trình:  ; x, y   y  2  2  2  x   2x  2 4 6  x  y 2  2 2  298 Giải hệ phương trình:  4 ; x, y   2x  2 6  x  8  2  2 2y                             2 299 Giải phương trình: 3 1  2 sin 4 2x  2 40  4 sin6 x... của hệ phương trình: x  y  z  0  3 3 3 x  y  z  18 x 7  y 7  z 7  2058  268 (MO Treasures- Titu Andreescu, Bogdan Enescu) Tìm tất cả các số thực của hệ phương trình: a  b  8  ab  c  d  23  ad  bc  28 cd  12  3x 4  9x 3  17x 2  11x  8 269 (diendantoanhoc.net) Giải phương trình:  x  1 x2  3 2 3x  4x  5      1 1 1 1 270 (diendantoanhoc.net) Giải hệ phương trình: ... Youth 12/2010) Giải hệ phương trình:  3x  y  x2   x  3y  3y  z  y2   y  3z  3z  x  z 2  z  3x  326 (Mathematical and Youth 3/2011) Giải phương trình:  x  y  z  xyz  2    xy  yz  zx  2  x 2  y2 x 2  xy  y 2   x y 327 (Mathematical and Youth 9/2011) Giải hệ phương trình:  2 3 x 2xy  5x  3  4xy  5x  3  x  y  z  1  328 Giải hệ phương trình:  x y z x ... Giải hệ phương trình:  x 2 2  y 3 2   y 3 x z 2   2 x  5x  9z  7y  15  3yz 8x 2  18y 2  18xy  18yz  84x  72y  24z  176          2z  x  y   1  x    307 (ĐH KHTN Hanoi) Tìm nghiệm x ; y; z của hệ phương trình: 2  y2  2 2 y  z  1  2xy  2zx  2yz  2 2 y 3x  1  2x x  1  308 (THPT chuyên Quang Trung, Binhphuoc 2010-2011) Giải hệ phương trình sau: hệ. .. tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia  3x 4y 2z   1  314 Giải hệ phương trình:  x  1 y  1 z  1 ; x , y, z  0 89.x 3 y 4 z 2  1  315 Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  x 2  xz  z 2   x  y  z  11   316 (Indian MO 2011) Tìm tất cả các số thực x , y, z  0 thỏa mãn hệ phương trình:       x 2 ... thỏa hệ phương   279 Giải phương trình: 2 4 27x 2  24x  a  b  c  d  e  0  trình: a 3  b 3  c 3  d 3  e 3  0 a 5  b 5  c 5  d 5  e 5  10  281 (Crux-Canada 1999) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 3 1 x  y y  z z  x  x  y  z  1  xyz 2 282 (Crux-Canada 1999) Cho n  1 là một số nguyên dương lẻ Giả sử rằng các số nguyên dương x 1, x 2 , , x n thỏa mãn hệ phương trình: ... (BMO 2013, Round 1) Giải hệ phương trình sau: x 2  4y  7  0  2 y  6z  14  0 z 2  2x  7  0  303 (Vinhphuc 2012-2013) Giải hệ phương trình sau:  2 8 x  3x  2   5y  1 y  8  2 y  3y  2   5z  1 ; x , y, z   z  8 z 2  3z  2   5x  1  x             304 (British MO 1996) Tìm tất cả các nghiệm thực dương a;b; c;d của hệ phương trình: a  b  c  d  12... 1995) Giả sử a,b, c là các số phức và các nghiệm z của phương trình x 3  ax 2  bx  c  0 thỏa z  1 Chứng minh rằng phương trình x 3  a x 2  b x  c  0 có ba nghiệm w thỏa w  1 255 (IMO 1963) Với những giá trị nào của p thì phương trình: x 2  p  2 x 2  1  x có nghiệm thực? Hãy tìm các nghiệm đó x  y  z  a  256 (IMO 1961) Giải hệ phương trình: x 2  y 2  z 2  b trong đó a,b là những . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 1 Bài tập chuyên đề:. ,x y   . Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 3 14. Giải PT: 2 2 2 2. x     Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443) 8 83. Giải HPT: 3 2 2