PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 1 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC I. PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN 1. Tồn tại hay không hàm :f    sao cho với mọi ,x y   ta có:           , min , f xy max f x y f y x   ? 2. (Australia 1992). Tìm tất cả các hàm số 2 : 3 \f          thỏa mãn:   2 2 996 3 2 x f x f x x          , 2 3 \x          . 3. (VMO 2000 , bảng B). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:     2 4 1 2 , x f x f x x x x        4. Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn các điều kiện:         0 2012 ; 2013 2 2 cos , f f f x y f x y f x y x y                     . 5. (Belarus 1995). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn           , ,f f x y f x y f x f y xy x y         . 6. (VMO 2005). Xác định tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:             , ,f f x y f x f y f x f y xy x y         . 7. (Australia 1995). Tìm tất cả các hàm :f     thỏa mãn các điều kiện sau:   1 1 2 f  ;       3 3 , ,f xy f x f f y f x y y x                   . 8. (CAMO 2000). Tìm tất cả các hàm f xác định trên  thỏa mãn:         2 2 2 2 , ,f x y x yf x f y x y        . 9. (USAMO). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       2 2 f x y xf x yf y    , ,x y    . 10. (Shortlist IMO 1979). Cho hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:         , ,f xy x y f xy f x f y x y         . Chứng minh:       f x y f x f y    , ,x y    . 11. Tìm tất cả các hàm :f    sao cho với mọi , ,m n k   ta đều có:         1 f km f kn f k f mn   . 12. Có hay không một hàm số : f    thỏa mãn:   sin sin 2 f x y x y     , , x y    13. (VMO 2002 B). Tìm tất cả các hàm   f x xác định trên  và thỏa mãn điều kiện: PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 2         2002 2001 , ,f y f x f x y yf x x y       . 14. (Mathematical and Youth 9/361). Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn điều kiện           3 2 2 2 3 , ,f x y y f x y f y f x x y         . 15. (AMM). Tìm tất cả các hàm số : f    thỏa mãn điều kiện:   2 2 f  và         , f x f y x y f x x y f x f y y              . 16. (Korea 2003). Tìm tất cả các hàm : f    thỏa mãn             , ,f x f y f x xf y f f y x y       II. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 1. Tìm tất cả các hàm số :f      thỏa:     1 1 f x f x    ;     2 2 f x f x  , x     . 2. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:         2 2 ,f x y f x y f x f y x y         . 3. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn:       2 ,f x y f x f y xy x y        . 4. (BMO 1979). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa:         , ,f x f y f x f y x y      . Chứng minh f là hàm hằng. 5. (TST 2005). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa:         3 3 3 3 3 3 f x y z f x f y f z      . 6. (China 1996). Cho hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:             3 3 2 2 , ,f x y x y f x f x f y f y x y        . Chứng minh rằng     1996 1996 f x f x  , x    . III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNH-SONG ÁNH CỦA HÀM SỐ. 1. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn các điều kiện:           2; 1 1 4; 0 1 f f n n f f n n f        n    . 3. Tồn tại hay không hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       f x f y f x y    ,x y    ? 4. Cho * * :f    thỏa mãn các điều kiện:       2 * ,f m f n mnf m m n    . PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 3 Chứng minh rằng nếu   2 2003 f a  thì a là số nguyên tố. 5. ( Việt Nam TST 1988). Xác định hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:       ,f f n f m n m n m       . 6. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn các điều kiện: (i)       f f n f n  (ii)         f f m f n f m n    (iii) f nhận vô số giá trị. 7. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       3 3 ,f x f y y f x x y       . 8. Chứng minh rằng tồn tại vô số các hàm số * * :f    thỏa mãn các điều kiện: (i)     f f n n  * n   (ii)   f n n  * n   . 9. (Irish 2002). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       f x f y f x y    , ,x y    . 10. Chứng minh rằng không tồn tại song ánh * :f    thỏa mãn điều kiện:           * 3 ,f mn f m f n f m f n m n       11. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       2 3 8 ,f f n f n n n       . 12. (Balkan 1997). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:         2 , ,f xf x f y f x y x y       13. ( Việt Nam TST 2002). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn:         2 , ,f f x y x f f y x x y        . 14. (IMO 1992). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:       2 2 , ,f x f y f x y x y      . 15. ( Việt Nam TST 2004). Tìm tất cả các giá trị của a sao cho tồn tại duy nhất một hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       2 2 f x y f y f x ay     , ,x y    . 16. ( Đề nghị IMO 2002). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn: PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 4         2 f f x y x f f y x     , ,x y    . 17. (Indonesia TST 2010). Xác định tất cả các số thực a sao cho có một hàm số thỏa mãn:       . , x f y a f y f x    với mọi ,x y   . 18. (MEMO 2009). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn đẳng thức:                 f xf y f f x f y yf x f x f y      , với mọi ,x y   . 18. (Journal of Mathematical and youth 5/ 2011). Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập  , lấy giá trị trong  và thỏa mãn phương trình:         2 f x y f y f f x y     , với mọi ,x y   . 19. (Iran TST 2011). Tìm tất cả các song ánh :f    sao cho:           2 2 2 f x f x f y f x f y     ,với mọi ,x y   . 20.(Journal of Mathematical and youth 01/2011).Với mỗi * n  , kí hiệu n a là số tất cả các song ánh     : 1,2,3, , 1,2,3, , f n n  thỏa mãn điều kiện với mọi   1,2,3, , k n  thì     f f k k  . Chứng minh: a) n a là số chẵn với mọi 2 n  ; b) Với mọi 10 n  và 3 n  thì 9 3 n n a a    . 21. Xét tất cả các hàm đơn ánh :f    thỏa mãn điều kiện:     2 f x f x x   , với mọi x   . Chứng minh rằng hàm số   f x x  là một song ánh.(19) 22. Xét tất cả các hàm , , :f g h    sao cho f là đơn ánh và h là song ánh thỏa mãn điều kiện       f g x h x  , với mọi x   .Chứng minh rằng   g x là một hàm song ánh. 23. Xét tất cả các hàm   : 0f      thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: (i)       f x y f x f y    , với mọi   , 0 x y     (ii) Số phần tử của tập hợp       0, 0 x f x x      là hữu hạn. Chứng minh rằng f là một hàm đơn ánh. IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Tìm tất cả các hàm đơn điệu :f    thỏa mãn       , ,f x f y f x y x y       . 2. (Journal of Mathematical and youth T8/295). Tìm tất cả các hàm số     : 1; 1;f    thỏa mãn:         , , 1;f xf y yf x x y     . 3. (Greece 1997). Giả sử   : 0;f    thỏa mãn ba điều kiện: (i). f tăng nghiêm ngặt (ii).   1 , 0 f x x x     (iii).     1 1, 0 f x f f x x x           . Tính   1 f . PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 5 4. Hãy tìm các hàm tăng thực sự :f    thỏa mãn       2 , ,f xf y yf x x y     . 5. (IMO 2002). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa:                 f x f z f y f t f xy zt f xt yz       . 6. (Bulgaria 1996). Tìm tất cả các hàm tăng thực sự :f      thỏa mãn:   2 , x f x x f x              . 7. (Iran 1997). Cho hàm số :f    là hàm giảm thỏa mãn:                   f x y f f x f y f f x f y f y f x        , x    . Chứng minh rằng:     , f f x x x     . V. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1. Tìm tất cả các hàm   f x xác định trên  sao cho: a)     2012 ,f x f x x     ;   f x liên tục tại 0. b)   2 , 1 x f x f x x            ;   f x liên tục tại 0. 2. Tìm tất cả các hàm   f C  và thỏa mãn điều kiện:       4 9 2 6 f x f x f x   , x    3. Tìm tất cả các hàm   f x xác định trên  , liên tục tại 1 và     2012 ,f x f x x      . 4. Tìm tất cả các hàm   f C  và thỏa mãn điều kiện     sin ,f x f x x     . 5. Tìm   f C  và thỏa điều kiện:     2012 , x f f x e x      . 6. (Bulgaria 1997). Tìm :f    liên tục và thỏa mãn:   2 1 , 4 f x f x x            . 7. (VMO 2001). Cho hàm số   2 2 1 x g x x   . Hãy tìm các hàm   f x xác định, liên tục trên khoảng   1; 1  và thỏa mãn hệ thức             2 2 2 1 1 . , , 1; 1 x f g x x f x x y      . 8. Cho a   . Tìm tất cả các hàm   f x xác định và liên tục trên  sao cho:       , ,f x y f x f y axy x y        PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 6 9. Tìm   f C  thỏa mãn:   1 1 f  ;       2 2 , ,f x y f x f y x y       . 10. Tìm   f C    sao cho       f xy f x f y   , ,x y     . 11. Tìm tất cả các hàm   f x xác định và liên tục trên   thỏa mãn điều kiện     , , x f f x f y x y y             . 12. Tìm tất cả các hàm   f x xác định, liên tục trên   1; 1  và thỏa mãn điều kiện         2 2 1 1 1; 1 , ,f x f y f x y y x x y       . 13. Tìm tất cả các hàm   f x xác định và liên tục trên  thỏa mãn điều kiện:     , , 2 2 f x f y x y f x y             . 14. Tìm tất cả các hàm   f x xác định và liên tục trên   và thỏa mãn điều kiện:       , , 2 f x f y f xy x y       . 15. Tìm hàm   f x xác định và liên tục trên   thỏa mãn điều kiện:       2 , , 1 1 f xy x y f x f y       . 16. Tìm tất cả các hàm   f x xác định và liên tục trên *  thỏa mãn điều kiện:     2 2 , , , 1 1 1 1 0 f x y x y x y f x f y                     . 17. (KOMAL- A.286, Hungary 2002). Tìm tất cả các hàm liên tục :f    thỏa mãn:     , , ,1 1 1 0 f x f y x y f x y xy xy xy                . 18. (Bulgaria 1998). Cho hàm số   f x xác định và liên tục trên   0; 1 sao cho: (i).     0 1 0 f f   (ii).       2 , , 0 1 2 ; 3 3 x y f x f y f x y            . PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 7 19. (Romania 1997). Tìm tất cả các hàm liên tục   : 0; 1 f   sao cho:       2 2 2 2 2 f x y f x y f xy     , ,x y    20. Tìm tất cả các hàm liên tục   : 0,1f   thỏa     1 1 , 0,1 2 2 2 x x f x f f x                        . 21. Tìm tất cả các hàm :f    liên tục thỏa mãn:         sin sin cos , ,f x y f x f y x y x y x y         22. Cho f là hàm xác định và liên tục trên   0; 1 sao cho với mỗi   0; 1 x tồn tại h với 0 1 x h x h      và       2 f x h f x h f x     . Tìm hàm số f . 23. (VMO 2006, bảng B). Tìm tất cả các hàm   f x xác định, liên tục và nhận giá trị trong  thỏa mãn điều kiện:       8 0, , ,f x y f y z f z x x y z         . 24. Tìm tất cả các hàm :f    liên tục tại 0 x  và thỏa mãn     nf nx f x nx   ( trong đó 1 n  là số tự nhiên cố định nào đó). VI. PHƯƠNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM 1. (VMS 1999). Xác định hàm số   f x thỏa mãn điều kiện:     2 , 0 f x h h x hf x h         2. Tìm     f x D  thỏa     2 .sin cos sin f x x f x x x x       . 4. (VMS 2000). Tìm   f D  thỏa:       2 , ,f x y f x f y xy x y       5. Tìm tất cả các hàm     f x D  thỏa mãn điều kiện:           , 1 f x f y f x y x y f x f y        . 6. (VMS 2003). Tìm tất cả các hàm f xác định trên đoạn   0; 1 , khả vi trên khoảng   0; 1 thỏa: (i).     0 1 1 f f   ; (ii).       2003 2004 2004 0; 1 f x f x x     . 7. Tìm tất cả các hàm :f    có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn:     3 2 3 f x f x x      . 8. Tìm tất cả các hàm f xác định trên  thỏa mãn điều kiện:     2 3 , ,xf x f y y x y           PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 8 9. Tìm   f D  thỏa         , ,f x f y f y f x x y       . 10. Cho   : 0;f    khả vi tại 1 và         1 , 0 f xy f f x f y x y      . Chứng minh rằng:   f x khả vi và tìm   f x . 11. Tìm tất cả các hàm   : 1;1f    khả vi và thỏa mãn:       , 1 ; , 1 1 x y f x f y f x y xy              12. Tìm tất cả các hàm   f x xác định và khả vi 3 lần trên  thỏa:   0 0 f  ,   1 2 f e   ,   1 1 f e    và     0 f x f x x        . 13. Tìm hàm khả vi   f x sao cho     2 3 0; 3 1 x f x fx x x        và   1 1 f  ,   2 1 f    . 14. Giả sử     2 ,f x C    với , x h bất kỳ ta có đồng nhất thức:     2 h f x h f x hf x            . Chứng minh rằng:   2 f x ax bx c    . 15. Cho a   . Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn: (i). f có đạo hàm trên  ; (ii).         1 f x f y f ax a y x y       y x   . 16. (VMS 1995). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn các điều kiện sau: (i).       ,f x f yx xf y y     (ii).   0 lim 1 x f x x   . 17. Tìm tất cả các hàm   , : 0;f g    thỏa mãn các điều kiện sau: (i). f có đạo hàm trên  (ii).     g x f x x    ;     0 f x g x x x      . 18. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn: (i). f có đạo hàm trên  (ii).           , f x y f x y y f x y f x y x y           . 19. Tìm tất cả các hàm       ,f x g x C  thỏa mãn điều kiện:        2 , , m M yf y f x f x y x x x y         trong đó , M m là hai số dương cho trước. PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 9 20. Tìm     f x C  thỏa mãn điều kiện: thỏa mãn điều kiện:         2003f a f f c d f b  với bộ bốn số , , ,a b c d   theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. VII. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ 1. (IMO 1983). Tìm hàm số :f    thỏa mãn hai điều kiện sau:   lim 0 x f x   và       , ,f xf y yf x x y      . 2. (IMO 1994). Giả sử S là tập hợp các số thực lớn hơn 1  . Tìm tất cả các hàm : f S S  sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (i).           f x f y xf y y f x yf x x S        (ii).   f x x là hàm tăng thực sự trên các khoảng     1;0 , 0;   . 3. (IMO 1996). Tìm tất cả các hàm số :f    sao cho           ,f m f n f f m f n m n      . 4. (AMM, E984). Tìm tất cả các hàm :f    sao cho     2 2,f f x x x      . 5. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn: (i).             , ,f f x y xf y f f x f y x y        (ii). f có một điểm bất động. 6. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn:       1 . , , f y f x y f x e x y       . VIII. BẤT ĐẲNG THỨC HÀM 1. Tìm hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:       2012 , , x y f x y f x f y x y        . 2. (VMO 1994). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn:         1 1 1 , , , 2 2 4 f xy f xz f x f yz x y z       . 3. (VMS 2004). Tìm tất cả các hàm số   f x xác định trên tập  và thỏa mãn các điều kiện: (i)   2004 , x xf ex     (ii)       , ,f x f y xf y yx     . 4. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn hai điều kiện: (i)   , x xf x     (ii)       , ,g x g yx xf y y     . 5. (Russia 2000). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:         3 2 3 , , ,f x yf x y f y z z x y zf z x           6. (Eotvos - Kurschak 1979). Cho hàm số :f    thỏa:   f x x  và       , ,f x fx y xf y y     . Chứng minh rằng:   ,f x x x     . 7. (Crux 2003 - Canada). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện: PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 10       33 ,x f x f xf x x x      . 8. (Bulgaria 1997). Tìm hàm số     : 0; 0;f    thỏa mãn bất đẳng thức hàm:           2 , , 0;f x y f f xf y yx x       . 9. (Japan 2007). Tìm tất cả các hàm :f     thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i).       2 f x f y f x y   ; (ii).       , , f x y x y x y f x f y x y        10. Cho hàm số :f     thỏa mãn điều kiện:     , y f x y f x x y x        . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:       1 1 2 2 2 n n i i n n f f      . IX. PHƯƠNG PHÁP THÊM BIẾN 1. (Idia 2004). Tìm các hàm số :f    thỏa mãn điều kiện:       sin sin , ,f x y f x f y c x y x y      , c là hằng số lớn hơn 1. 2. ( Đề nghị IMO 2005). Tìm tất cả các hàm     : 0; 0;f    thỏa mãn điều kiện:         2 , , 0 f x f y f x yf x x y     . 3. (Đề nghị OLP 30/4/2009). Cho hàm số f liên tục trên  và thỏa mãn điều kiện:       sin sin , ,f x f y f x y x y x y       . Chứng minh rằng:       1 1 1 2 1 2 1 4 1 6f x f x f x       . 4. (OLP 30/4/2011). Tìm tất cả các hàm     : 1; 1;f    thỏa mãn điều kiện:         , , 1;f xf y yf x x y    . 5. (OLP 30/4/2004). Tìm tất cả các hàm liên tục :f    thỏa:       , ,f xf y yf x x y     X. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1. Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       2 3 ,f f n f n n k n       ( k là số tự nhiên cho trước) 2. Tìm tất cả các hàm :f    sao cho với mọi n   :             6 3 4 2013 f f f n f n f f n n    . 3. (Balkan 2002). Tìm tất cả các hàm :f    thỏa mãn với mọi n   sao cho:       2 2011 f f n f n n   hoặc       2 2012 f f n f n n   . 4. Cho :f    thỏa mãn điều kiện:         0 1; ,f f f x x f x x       . Tìm mọi số nguyên 1 n  sao cho   0 n f chia hết cho 20 . Ở đây       1n n f x f f x   . 5. Tìm tất cả các hàm :f      thỏa: [...]...    với fm  n  f f f n     m 6 Tìm tất cả các hàm f :  *  * thỏa mãn:  (ii) f  mn   f m  f n  , m, n   (i) f 2  2 ; *   thỏa m; n  1 ; VĂN PHÚ QUỐC GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 11 PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ     (iii) f m  f n , m  n 7 Cho hàm số f :  *  * thỏa mãn:     Tìm giá trị nhỏ nhất...PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ   f  f  x    20112012 f  x   20112012  20122013 20122013 x , x    6 Tìm tất cả các hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  n  f  m   f  m  n   f  n  m  , m, n  , n  m 7 (IMO Shortlist 1992) Cho a, b    Tìm tất các hàm f :      thỏa mãn điều kiện: f  f... 333 443 12 PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ     m f2 m  f n 2 n  2 với mọi m, n   * 8 (USA TST) Cho p là một số nguyên tố lẻ Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn      đồng thời: (i) f m  f n nếu m  n mod p        (ii) f mn  f m f n với m, n   9 Tìm tất cả các số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại hàm số f :    0;   khác hằng... các hàm f :  *  * thỏa mãn: x 2  f y f 2 x  y với mọi x , y  * 6 (Iran TST 2005) Tìm tất cả các hàm f :    thỏa mãn tồn tại số k   và một số         nguyên tố p sao cho với mọi n  k , f n  p  f n và nếu m n thì f m  1 f n  1 7 (IMO Shortlists 2004) Tìm tất cả các hàm f :  *  * thỏa mãn VĂN PHÚ QUỐC GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 12 PHƯƠNG TRÌNH HÀM -. ..  2 (Canada 2002) Tìm tất cả các hàm f :    thỏa mãn:   xf  y   yf  x    x  y  f x 2  y 2 , x, y     3 Tìm tất cả các hàm f : *  * thỏa 2 f 3 m 2  n 2   f m  f  n  f m  f n  2 2 4 Tìm tất cả các hàm f :    thỏa mãn điều kiện:      f  f m    f n  , m, n   f mf n XIV PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ HỌC 1 Tìm tất cả các hàm f :    sao cho f 2  x  ... 1995 (ii) f x  x    95 8 Tìm tất cả các hàm số f :  *  * thỏa mãn với mọi x ; y; z  * :         f xy  f xz  f x f yz  1 9 Đặt q  1 5 1 n   và gọi f :    là hàm số thỏa mãn điều kiện f  n   qn  2 q Chứng minh rằng f  f  n    f  n   n n   XIII PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN 1 (IMO 1997) Tìm tất cả các hàm f : *  * thỏa mãn: f  f  n    f ... Tìm tất cả các hàm f :  *   * biết rằng tồn tại n 0  * sao cho   f n 0   1 và f n  f n   f n  với mọi n  * XII PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP ( ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC) 1 (Baltic MO) Tìm tất cả các hàm f : *  * thỏa mãn: (i) f  0   0 , f 1  1 ; (ii) f  0   f 1  f  2   ;   (iii) f x 2  y 2  f 2  x   f 2  y  , x, y  * 2.(Austrian 2002) Tìm tất cả các hàm f : *  *... y              Với số n tìm được, tìm mọi hàm số thỏa mãn XV PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ VÀ CƠ SỐ ĐẾM 1 (IMO 1988) Xác định f trên tập hợp các số nguyên dương như sau: (i) f 1  1, f  3  3 (ii) f  2n   f  n  , f  4n  1  2 f  2n  1  f  n  , f  4n  3  3 f  2n  1  2 f  n  2 (IMO Shortlist 2000) Cho hàm f : *  * thỏa mãn: (i) f  4n   f  2n   f  n... x, y  * (i) f  x  22   f  x  3 (Cono Sur Olympiad 1995) Tìm tất cả các hàm f : *  * thỏa mãn: (i) Nếu x  y thì f  x   f  y  (ii) f  yf  x    x 2 f  xy  , x, y  * 4 (Korea 1996) Tìm tất cả các hàm f :    thỏa mãn:   (i) 2 f m 2  n 2  f 2  m   f 2  n  m, n   5 Tìm tất cả các hàm f :  *  * thỏa mãn: f19     n  97 f n   98n  232   (ii) f m 2... các hàm f :  0;1   0;1 thỏa mãn điều kiện: f  2 x  f  x    x, x   0;1 XI PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TẬP HỢP 1 (Romania 1986) Cho f :    là một toàn ánh và g :    là một đơn ánh Biết rằng f n   g n  với mọi n Chứng minh rằng: f  g 2 Cho song ánh f :    Chứng minh rằng tồn tại bộ ba số a,b, c  , a  b  c sao cho f a   f c   2 f b  3 (IMO 1999) Tìm tất cả các hàm . PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 1 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI QUỐC GIA, QUỐC. 2002 B). Tìm tất cả các hàm   f x xác định trên  và thỏa mãn điều kiện: PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm. nhất một hàm :f    thỏa mãn điều kiện:       2 2 f x y f y f x ay     , ,x y    . 16. ( Đề nghị IMO 2002). Tìm tất cả các hàm số :f    thỏa mãn: PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI