Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn, phương pháp giải các bài toán về ứng dụng khảo sát hàm số từ cơ bản đến nâng cao
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT & CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Vấn đề 1: Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên khoảng ( ; ) a b . - Nếu '( ) 0, ( ; ) f x x a b ≥ ∀ ∈ thì hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) a b . - Nếu '( ) 0, ( ; ) f x x a b ≤ ∀ ∈ thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b . Lưu ý: - '( ) 0 f x = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc ( ; ) a b còn nếu '( ) 0 f x = , ( ; ) x a b ∀ ∈ thì ( ) y f x = là hàm số không đổi (hàm hằng) trên ( ; ) a b . - Nếu hàm số ( ) y f x = đơn điệu trên ( ; ) a b và liên tục trên [ ; ] a b (hoặc [ ; ),( ; ] a b a b ) thì hàm số ( ) y f x = đơn điệu trên [ ; ] a b (hoặc [ ; ),( ; ] a b a b ). - Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng ( ; ) a b thì ( ; ) x a b ∀ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ) f a f x f b < < ; nếu hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng ( ; ) a b thì ( ; ) x a b ∀ ∈ ta có: ( ) ( ) ( ) f a f x f b > > . - Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên. Ví dụ: x a 1 x 2 x b ' y + 0 − 0 + y Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự 1 2 a x x b < < < . Từ bảng biến thiên trên ta có: • Hàm số đồng biến trên các khoảng: 1 2 ( ; ),( ; ) a x x b • Hàm số nghịch biến trên khoảng: 1 2 ( ; ) x x Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số: Phương pháp: • Tìm tập xác định D . • Tính đạo hàm ' '( ) y f x = . • Tìm các giá trị i x ∈ D mà tại đó '( ) 0 = i f x hoặc '( ) i f x không xác định. • Lập bảng biến thiên. Suy ra kết luận. Lưu ý: - Cách xác định dấu của đa thức 1 1 ( ) n n n n P x a x a x − − = + + với 0 n a ≠ như sau: • Tìm nghiệm của phương trình ( ) 0 P x = (chú ý đến bậc của nghiệm). • Giả sử 1 2 , , , k x x x là các nghiệm (với 1 2 < < < k x x x ), thì dấu của P(x) trên khoảng tận cùng bên phải ( ; ) +∞ k x cùng dấu với a. • Qua nghiệm bậc lẻ thì P(x) đổi dấu, qua nghiệm bậc chẵn thì P(x) không đổi dấu. - Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên. Ví dụ: x a 1 x 2 x b ' y + 0 − 0 + y Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự 1 2 a x x b < < < . Từ bảng biến thiên trên ta có: • Hàm số đồng biến trên các khoảng: 1 2 ( ; ),( ; ) a x x b • Hàm số nghịch biến trên khoảng: 1 2 ( ; ) x x Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 2 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) thỏa mãn điều kiện nào đó: Đối với hàm bậc ba 3 2 y ax bx cx d = + + + ta thường gặp các bài toán sau: Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên ℝ Ta có: 2 ' = + + y Ax Bx C do đó: • Hàm số đồng biến trên 0 ' 0, 0 = = ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ > ℝ ℝ A B y x C hoặc 2 ' 0 4 0 > ∆ = − ≤ y A B AC • Hàm số nghịch biến trên 0 ' 0, 0 = = ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ < ℝ ℝ A B y x C hoặc 2 ' 0 4 0 < ∆ = − ≤ y A B AC Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) : Ta thực hiện các bước sau Tính đạo hàm 2 ' = + + y Ax Bx C . Lập bảng biến thiên ra giấy nháp, sau đó tùy theo yêu cầu của bài toán mà điền các thông số thích hợp vào bảng biến thiên. Ghi điều kiện cần thiết vào bài làm. Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng d: Ta thực hiện các bước sau Tính đạo hàm 2 ' = + + y Ax Bx C . Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến) (1). Biến đổi ' 1 2 ' (2) ∆ − = ⇔ = ⇔ ∆ = y y x x d d d A A Giải phương trình (2), so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Đối với hàm ax b y cx d + = + với 0, 0 c ad bc ≠ − ≠ ta thường gặp bài toán sau: Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định. Tập xác định: \ d D c = − ℝ . Ta có: 2 ' ( ) ad bc y cx d − = + do đó: • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi: ' 0, 0 y x D ad bc > ∀ ∈ ⇔ − > • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi: ' 0, 0 y x D ad bc < ∀ ∈ ⇔ − < Đối với hàm 2 ax bx c y mx n + + = + với 0 am ≠ ta thường gặp bài toán sau: Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định. Tập xác định: \ m D n = − ℝ . Ta có: 2 2 2 ' ( ) amx anx bn mc y mx n + + − = + do đó: • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi: 2 ' 0, 2 0, ≥ ∀ ∈ ⇔ + + − ≥ ∀ ∈ y x D amx anx bn mc x D • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi: 2 ' 0, 2 0, ≤ ∀ ∈ ⇔ + + − ≤ ∀ ∈ y x D amx anx bn mc x D Dạng 3: Ứng dụng tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Bài toán 1: Chứng minh rằng ( ) ( ), ( ; ) f x g x x a b > ∀ ∈ . Ta thực hiện các bước sau Xét hàm số ( ) ( ) ( ) h x f x g x = − liên tục trên [ ; ) a b Xét dấu '( ) h x suy ra hàm số ( ) y h x = đồng biến trên khoảng ( ; ) a b . Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 3 Dựa vào tính chất của hàm số đồng biến để kết luận. Lưu ý: Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của '( ) h x thì ta đặt 1 ( ) '( ) h x h x = và quay lại tiếp tục xét dấu 1 '( ) h x … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. Bài toán 2: Chứng minh rằng ( ) ( ) f u f v > với , ( ; ); u v a b u v ∈ > • Ta chứng minh hàm số ( ) y f x = đồng biến trên ( ; ) a b . Dạng 4: Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình, bất phương trình: Để chứng minh phương trình ( ) ( ) (*) f x g x = có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: Nhẩm được nghiệm 0 x của phương trình tức là 0 0 ( ) ( ) = f x g x . Xét các hàm số 1 ( ) ( ) y f x C = và 2 ( ) ( ) y g x C = . Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó 1 ( ) C và 2 ( ) C giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ 0 x . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*). Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng. Hàm số f(x) đơn điệu trên (a;b) thì 1 2 , ( ; ) ∀ ∈ x x a b ta có: 1 2 1 2 ( ) ( ) = ⇔ = f x f x x x . Vấn đề 2: Cực Trị Của Hàm Số Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên tập hợp ⊂ ℝ D và 0 x ∈ D . • 0 x được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b thỏa 0 ( ; ) x a b ∈ và ( ; )a b ⊂ D sao cho: 0 0 ( ) ( ), ( ; ) \{ } f x f x x a b x < ∀ ∈ . Khi đó: 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số. • 0 x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b thỏa 0 ( ; ) x a b ∈ và ( ; )a b ⊂ D sao cho: 0 0 ( ) ( ), ( ; ) \{ } f x f x x a b x > ∀ ∈ . Khi đó: 0 ( ) f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. • Người ta gọi chung cực đại và cực tiểu là cực trị. Các định lý: Định lý 1: Nếu hàm số ( ) y f x = đạt cực trị tại 0 x và tồn tại 0 '( ) f x thì 0 '( ) 0 f x = . Định lý 2: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trong khoảng ( ; ) a b . • Nếu 0 '( ) 0, ( ; ) > ∀ ∈ f x x a x và 0 '( ) 0, ( ; ) < ∀ ∈ f x x x b thì hàm số đạt cực đại tại 0 x . • Nếu 0 '( ) 0, ( ; ) < ∀ ∈ f x x a x và 0 '( ) 0, ( ; ) > ∀ ∈ f x x x b thì hàm số đạt cực tiểu tại 0 x . Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm 0 x mà tại đó 0 '( ) 0 f x = hoặc 0 '( ) f x không xác định. Định lý 3: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm cấp hai tại 0 x . • Nếu 0 '( ) 0 f x = và 0 "( ) 0 f x < thì y đạt cực đại tại 0 x . • Nếu 0 '( ) 0 f x = và 0 "( ) 0 f x > thì y đạt cực tiểu tại 0 x . Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Tìm Các Điểm Cực Trị Của Hàm Số ( ) y f x = : Phương pháp 1: Ta thực hiện theo các bước: Tìm tập xác định D . Tính '( ) f x . Tìm các điểm ( 1,2, ) ∈ = i x i D mà tại đó '( ) 0 = i f x hoặc hàm số liên tục nhưng '( ) i f x không có đạo hàm. Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Lưu ý: Nếu '( ) f x đổi dấu khi x qua điểm i x thì hàm số đạt cực trị tại điểm i x . Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước: Tìm tập xác định D . Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 4 Tính '( ) f x . Tìm các điểm ( 1,2, ) ∈ = i x i D mà tại đó '( ) 0 = i f x . Tính "( ) f x và "( ) i f x . Kết luận các điểm cực trị của hàm số. Lưu ý: - Nếu "( ) 0 i f x < thì hàm số đạt cực đại tại điểm i x . - Nếu "( ) 0 i f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm i x . - Nếu "( ) 0 = i f x thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra. Dạng 2: Xác Lập Hàm Số Khi Biết Cực Trị: Bài toán: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số ( , ) = y f x m đạt cực trị (đạt cực đại hoặc đạt cực tiểu) tại 0 x : Tính ' '( ) y f x = . Giải phương trình: 0 '( ) 0 f x = suy ra giá trị của tham số. Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào 0 "( ) f x để kiểm tra yêu cầu bài toán. Kết luận. Lưu ý: Nếu 0 "( ) 0 f x = thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra. - Hàm số f xác định trên D có cực trị 0 x ⇔ ∃ ∈ D thỏa mãn hai điều kiện: • 0 '( ) 0 f x = hoặc 0 '( ) f x không xác định. • 0 '( ) f x phải đổi dấu khi x đi qua 0 x hoặc 0 "( ) 0 f x ≠ . - Nếu 0 '( ) f x là một tam thức bậc hai thì hàm số f có cực trị khi và chỉ khi 0 '( ) 0 f x = có hai nghiệm phân biệt và không có cực trị khi và chỉ khi 0 '( ) 0 f x = vô nghiệm. Dạng 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn một tính chất nào đó: - Đối với hàm bậc ba ( 3 2 y ax bx cx d = + + + với 0 a ≠ ), hàm phân thức bậc 2 / bậc 1 2 ax bx c y mx n + + = + (hoặc hàm có đạo hàm là một tam thức bậc hai) thì hàm số có cực trị (hay có cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi y' 0 = có hai nghiệm phân biệt ' ( 0) y ∆ > ; và không có cực trị khi y' 0 = vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ' ( 0) y ∆ ≤ . - Đối với hàm bậc 4 ( 4 3 2 y ax bx cx dx e = + + + + với 0 a ≠ ) thì hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi y' 0 = có nhiều nhất 2 nghiệm; và có 3 cực trị khi và chỉ khi y' 0 = có 3 nghiệm phân biệt. Đặc biệt nếu 4 2 y ax bx c = + + thì hàm số có 1 cực trị 0 ab ⇔ ≥ và có 3 cực trị 0 ab ⇔ < . - Hàm số ax b y mx n + = + với 0, 0 m an bm ≠ − ≠ , không có cực trị. Dạng 4: Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Các Điểm Cực Trị: a) Nếu hàm số 3 2 ( ) y f x ax bx cx d = = + + + có cực đại và cực tiểu thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị có phương trình ( ) y r x = với ( ) '( ). ( ) ( ) f x f x q x r x = + . Nhận xét: Ta dùng kết quả này để tính các giá trị y cực đại, cực tiểu khi mà hoành độ các điểm cực trị này phức tạp. b) Hàm số hữu tỉ ( ) ( ) u x y v x = thoả điều kiện '( ) 0 v x ≠ và 0 '( ) 0 v x ≠ . Nếu 0 x là điểm cực trị thì giá trị cực trị 0 0 ( ) y f x = được tính như sau: 0 0 0 0 0 0 ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) u x u x y f x v x v x = = = . Nhận xét: Ta dùng kết quả này để tính các giá trị y cực đại, cực tiểu khi mà hoành độ các điểm cực trị này phức tạp. Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 5 Áp dụng: đối với hàm số 2 ax bx c y mx n + + = + có cực đại và cực tiểu thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 ( )' 2 : ( )' ax bx c ax b d y mx n m + + + = = + . Vấn đề 3: Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên tập D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ∀ ∈ ≤ ⇔ ∃ ∈ = x f x M f x x f x M D D Kí hiệu: max ( ) = M f x D • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số 0 0 , ( ) ( ) , ( ) ∀ ∈ ≥ ⇔ ∃ ∈ = x f x m f x x f x m D D Kí hiệu: min ( ) = m f x D Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Cách 1: (áp dụng chung) - Tính đạo hàm ' '( ) = y f x - Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) = y f x trên D . - Từ bảng bến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cách 2: (nếu hàm số ( ) = y f x liên tục trên [a;b] = D ) - Tính đạo hàm ' '( ) = y f x - Tìm các điểm 1 2 n x ,x , ,x trên khoảng (a;b) mà tại đó f '(x) bằng 0 hoặc không tồn tại. - Tính các giá trị: 1 2 n f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x ) - Kết luận: • 1 2 n maxf (x) max{f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x )} = D • 1 2 n min f (x) min{f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x )} = D Cách 3: (dùng tính chất bất đẳng thức) • Nếu m f (x) M ≤ ≤ và tồn tại 1 f (x ) m = với 1 x D ∈ và 2 f (x ) M = với 2 x D ∈ thì: D min f (x) m = khi 1 x x = D maxf (x) M = khi 2 x x = Chú ý: • Nếu hàm số ( ) y f x = đồng biến trên [ ] a;b thì [ ] [ ] a;b a;b minf (x) f (a);maxf (x) f (b) = = . • Nếu hàm số ( ) y f x = nghịch biến trên [ ] a;b thì [ ] [ ] a;b a;b min f (x) f (b);max f (x) f (a) = = . • Nếu đề bài không chỉ rõ tập D thì D được hiểu là tập xác định của hàm số. Dạng 2: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Dựa Vào Đặt Ẩn Phụ: Phương pháp: Giả sử ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f(x) = trên D. Khi đó ta thực hiện theo các bước sau: Đặt t (x) = ϕ Tìm miền giá trị của t với x thuộc D (giả sử t ∈Ω ) Thay t (x) = ϕ vào hàm số y f(x) = ta được hàm số: y g(t) = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y g(t) = trên Ω Kết luận: D D min f (x) min g(t);maxf (x) max g(t) Ω Ω = = Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 6 Dạng 3: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Bằng Phương Pháp Sử Dụng Miền Giá Trị: Phương pháp: Giả sử hàm số y f(x) = xác định trên D. Gọi G là miền giá trị của hàm số trên D. Khi đó: G {y / y f (x) x D} = ∈ = ∈ ℝ phöông trình: coù nghieäm như vậy nếu coi y là tham số, tìm điều kiện cần và đủ của y để phương trình y f(x) = có nghiệm trên D, từ đó ta tìm được tập giá trị G. Dạng 4: Ứng Dụng Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Vào Giải Và Biện Luận Phương Trình, Bất Phương Trình: Bài toán 1: Tìm m để phương trình ( ) f x m = có nghiệm trên D. Cách giải: ( ) f x m = có nghiệm trên ( ) ( ) D D D min f x m maxf x ⇔ ≤ ≤ Bài toán 2: Tìm m để ( ) f x m ≤ với mọi x thuộc D Cách giải: ( ) ( ) D f x m, x D maxf x m ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ . Bài toán 3: Tìm m để ( ) f x m ≥ với mọi x thuộc D Cách giải: ( ) ( ) D f x m, x D min f x m ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ Bài toán 4: Tìm m để bất phương trình ( ) f x m ≥ có nghiệm x thuộc D Cách giải: Bất phương trình ( ) f x m ≥ có nghiệm trên ( ) D D max f x m ⇔ ≥ . Bài toán 5: Tìm m để bất phương trình ( ) f x m ≤ có nghiệm x thuộc D Cách giải: Bất phương trình ( ) f x m ≤ có nghiệm trên ( ) D D min f x m ⇔ ≤ Bài toán 6: Tìm m để bất phương trình ( ) f x m ≥ vô nghiệm x D ∀ ∈ . Cách giải: Để bất phương trình ( ) f x m ≥ vô nghiệm ( ) x D f x m ∀ ∈ ⇔ < có nghiệm ( ) D x D maxf x m ∀ ∈ ⇔ < . Bài toán 7: Tìm m để bất phương trình ( ) f x m ≤ vô nghiệm x D ∀ ∈ . Cách giải: Để bất phương trình ( ) f x m ≤ vô nghiệm ( ) x D f x m ∀ ∈ ⇔ > có nghiệm ( ) D x D min f x m ∀ ∈ ⇔ > . Vấn đề 4: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số: Hàm bậc ba: 3 2 ( ): ( 0) C y ax bx cx d a = + + + ≠ • Tập xác định: D = ℝ • Sự biến thiên: - Giới hạn tại vô cực: x x lim y ; lim y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ nếu a 0 > ; x x lim y ; lim y →+∞ →−∞ = −∞ = +∞ nếu a 0 < . Hàm số không có tiệm cận. - Đạo hàm: 2 y' 3ax 2bx c = + + . Giải phương trình ' 0 = y . - Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt) - Nêu các khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số (nếu có). • Vẽ đồ thị: - Tìm một vài điểm mà đồ thị đi qua (đặc biệt là giao điểm của đồ thị (C) với các trục tọa độ). - Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị. - Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Nhận xét: • Điểm uốn: hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình: " 0 = y . • Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu thì điểm uốn của đồ thị hàm số chính là trung điểm của điểm cực đại và cực tiểu. Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 7 • Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi 0 a > và là tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi 0 a < . Lưu ý: Đồ thị hàm số có 6 dạng: ' 0 y ∆ > ' 0 y ∆ = ' 0 y ∆ < 0 a > x y x y x y ' 0 y ∆ > ' 0 y ∆ = ' 0 y ∆ < 0 a < x y x y x y Hàm bậc bốn trùng phương 4 2 ( 0) y ax bx c a = + + ≠ • Tập xác định: D = ℝ • Sự biến thiên: - Giới hạn tại vô cực: x x lim y ; lim y →+∞ →−∞ = +∞ = +∞ nếu a 0 > ; x x lim y ; lim y →+∞ →−∞ = −∞ = −∞ nếu a 0 < - Đạo hàm: 3 2 ' 4 2 2 (2 ) y ax bx x ax b = + = + - Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt) - Nêu các khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số (nếu có). • Vẽ đồ thị: - Giao điểm với các trục tọa độ. Tìm thêm một vài điểm mà đồ thị đi qua. - Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị. - Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. Lưu ý: Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương có 4 dạng: 0 ab < 0 ab > 0 a > x y x y 0 ab < 0 ab > 0 a < x y x y Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 8 Hàm số ( 0, 0) ax b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + Sơ đồ các bước khảo sát • Tập xác định: \ d D c = − ℝ • Sự biến thiên: - Đạo hàm: 2 ' ( ) ad bc y cx d − = + Ta có ' 0, y x D > ∀ ∈ (hoặc ' 0, y x D < ∀ ∈ ) nên hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên các khoảng mà hàm số xác định. Hàm số không có cực trị. - Giới hạn và tiệm cận: ( ) ( ) lim ; lim d d x x c c y y − + → − → − = +∞ = −∞ nếu ' 0 y > hoặc ( ) ( ) lim ; lim d d x x c c y y − + → − → − = −∞ = +∞ nếu ' 0 y < Suy ra d x c = − là tiệm cận đứng. lim ; lim x x a a a y y y c c c →+∞ →−∞ = = ⇒ = là tiệm cận ngang. - Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt). • Đồ thị: - Giao điểm với các trục tọa độ (hoặc một vài điểm đặc biệt). - Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị. - Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 dạng: 0 ad bc − < 0 ad bc − > x y x y Vấn đề 5: Sự Tương Giao Của Hai Đồ Thị: Cho hàm số ( ) y f x = có đồ thị ( ) C và hàm số ( ) y g x = có đồ thị ( ') C . Hai đồ thị ( ) C và ( ') C cắt nhau tại điểm 0 0 ( ; ) M x y khi và chỉ khi 0 0 ( ) y f x = và 0 0 ( ) y g x = , tức là 0 0 ( ; ) x y là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) (*) ( ) y f x f x g x y g x = ⇒ = = . Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ') C . Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (*) cũng chính là số giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ') C . Các Dạng Toán Cơ Bản Dạng 1: Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = : Ta thực hiện như sau: - Lập phương trình hoành độ giao điểm: ( ) ( ) (1) f x g x = - Xác định số nghiệm của phương trình (1) từ đó suy ra số giao điểm của ( ) C và ( ') C . Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình: ( ) ( ) f x g x = - Ta dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = để suy ra số nghiệm của phương trình. ng Dng Ca o Hm KSHS Giỏo Viờn: Lờ Hu Hũa Lu Hnh Ni B 09/12 Trang 9 Dng 3: Cỏc bi toỏn v s tng giao ca th hm s bc 3: 3 2 ( ): ( ) ( 0) = = + + + C y f x ax bx cx d a Bi toỏn 1. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 1 im chung duy nht: Cẹ CT f khoõng coự cửùc trũ f coự cửùc trũ y y 2 . 0 > Phng trỡnh (1) cú 1 nghim duy nht Bi toỏn 2. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 2 im chung phõn bit: (C) tip xỳc vi Ox Cẹ CT f coự cửùc trũ y y 2 . 0 = Phng trỡnh (1) cú ỳng 2 nghim Bi toỏn 3. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 3 im chung phõn bit: Cẹ CT f coự cửùc trũ y y 2 . 0 < Phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit Bi toỏn 4. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng: Cẹ CT Cẹ CT f coự cửùc trũ y y x x a f hay ad 2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0) < > > < < Phng trỡnh (1) cú 3 nghim dng phõn bit. Bi toỏn 5. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh õm: Cẹ CT Cẹ CT f coự cửùc trũ y y x x a f hay ad 2 . 0 0, 0 . (0) 0 ( 0) < < < > > Phng trỡnh (1) cú 3 nghim õm phõn bit. Bi toỏn 6. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh to thnh mt cp s cng: Gi s (1) cú 3 nghim x x x 1 2 3 , , lp thnh cp s cng. Vit (1) di dng: ax bx cx d 3 2 0 + + + = a x x x x x x 1 2 3 ( )( )( ) 0 = Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 10 ⇔ a x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ( ) ( ) 0 − + + + + + − = – x x x 1 2 3 , , lập thành cấp số cộng ⇔ x x x 1 3 2 2 + = ⇒ b x a 2 3 = − là 1 nghiệm của (1). – Thế b x a 2 3 = − vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm. Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được. Bài toán 7. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành một cấp số nhân. – Giả sử (1) có 3 nghiệm x x x 1 2 3 , , lập thành cấp số nhân. – Viết (1) dưới dạng: ax bx cx d 3 2 0 + + + = ⇔ a x x x x x x 1 2 3 ( )( )( ) 0 − − − = ⇔ a x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 ( ) ( ) 0 − + + + + + − = – x x x 1 2 3 , , lập thành cấp số nhân ⇔ x x x 2 1 3 2 = ⇒ d x a 3 2 = − là 1 nghiệm của (1). – Thế d x a 3 2 = − vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm. Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được Bài tập: 1. (TNPT – 2008) Cho hàm số 3 2 y 2x 3x 1 = + − . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: 3 2 2x 3x 1 m + − = . -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y 2. Cho hàm số y f x x mx m 3 2 ( ) 2 = = − + có đồ thị ( ) m C (m là tham số). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số khi 3 = m . b) Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. • Ta có: y x mx x x m 2 3 2 (3 2 ) ′ = − = − + Khi m = 0 thì y x 2 3 0 ′ = ≥ ⇒ (1) đồng biến trên R ⇒ thoả yêu cầu bài toán. + Khi m 0 ≠ thì (1) có 2 cực trị m x x 1 2 2 0 , 3 = = . Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi ( ) f x f x 1 2 ( ). 0 > m m m m m 3 2 2 4 2 2 2 0 4 1 0 27 27 ⇔ − > ⇔ − > 3 6 3 6 0 2 2 ⇔ − < ≠ <m Kết luận: khi m 3 6 3 6 ; 2 2 ∈ − thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm 3. Cho hàm số 3 2 y x 3m x 2m = − + có đồ thị (C m ). -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y [...]... tính liên tục của hàm số ta có điều cần chứng minh 4 Cho hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = −1 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: cos3 x + 3sin 2 x + m − 1 = 0 5 Cho hàm số y = 2 x3 + 3 x 2 + 6( m − 1) x − 2(m − 1) , m là tham số a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 1 ... hàm số y = x 3 − (3m + 1) x 2 + (5m + 4) x − 8 có đồ thị (Cm), trong đó m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 b) Tìm m để (Cm) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân y 4 2 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 9 Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + (m − 1) x + m + 1 (Cm) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. .. −(m 2 − 1) < 0 6 Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + m , trong đó m là tham số thực Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 11 Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi m = 0 b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng • Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại 3... biệt nên phương trình có 4 nghiệm phân biệt 1 3 2 (TN 2010) Cho hàm số y = x 3 − x 2 + 5 4 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3 − 6 x 2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt 3 Cho hàm số y = − x3 + 6 x 2 − 9 x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Tìm m để phương trình x3 − 6 x 2 + 9 x + m = 0 có 3 nghiệm... k số nghiệm của phương trình: 2x 3 − 3x 2 − k + 2 = 0 1 m 1 6 Cho hàm số y = x 3 − x 2 + (1) 3 2 3 a) Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 2 b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1) khi m = 2 Lưu Hành Nội Bộ 09/12 Trang 25 Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa c) Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 − 3x 2 + 3k + 1 = 0 2x −1 7 Cho hàm. .. số nghiệm của phương trình: x 3 − 3x 2 + 3k + 1 = 0 2x −1 7 Cho hàm số: y = f ( x) = có đồ thị (C ) x+2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 2sin x − 1 b) Tìm m để phương trình: = m có đúng 2 nghiệm thuộc [ 0;π] sin x + 2 8 Cho hàm số: y = − x 4 + 2 x 2 + 3 có đồ thị (C ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số b) Biện luận số nghiệm của phương trình: x 4 − 2x 2 = m 4 − 2m 2 HD: y pt ⇔ − x... thành cấp số cộng y 5 ⇔ Phương trình x 3 − 3 x 2 − 9 x + m = 0 có 3 nghiệm x -3 -2 -1 phân biệt lập thành cấp số cộng 3 1 2 3 4 5 -5 2 ⇔ Phương trình x − 3 x − 9 x = − m có 3 nghiệm -10 phân biệt lập thành cấp số cộng ⇔ Đường thẳng y = − m đi qua điểm uốn của đồ thị (C) ⇔ − m = −11 ⇔ m = 11 7 Cho hàm số y = −2 x 3 + 6 x 2 + 1 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số b) Tìm... + 2 11 Cho hàm số y = x 3 + 2mx 2 + 3(m − 1) x + 2 có đồ thị là (Cm) (m là tham số) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1 b) Cho đường thẳng d : y = − x + 2 và điểm K (3;1) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;2) , B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 2 2, ĐS: m = 0, m = 3 12 Cho hàm số y = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 2 a) Khảo sát sự biến... Dụng Của Đạo Hàm KSHS Dạng 7: Biện luận số nghiệm của phương trình: Giáo Viên: Lê Hữu Hòa Bài tốn: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: F ( x, m) = 0 Phương pháp giải: Biến đổi F ( x, m) = 0 về 1 trong 2 dạng sau: f ( x) = m hoặc f ( x) = g ( m) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: (C ) : y = f ( x) Dựa vào số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = m (hoặc y = g (m) ) để suy ra số nghiệm của... đường thẳng d : y = m (hoặc y = g (m) ) để suy ra số nghiệm của phương trình F ( x, m) = 0 Bài tập 1 Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 − 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình: x 4 − 2x 2 − 1 = m Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị ta có: • Nếu m < −2 đường thẳng d khơng . Cho hàm số y x mx m x m 3 2 2 2 3 3( 1) ( 1) = − + − − − ( m là tham số) (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0. = b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số. đó: • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi: 2 ' 0, 2 0, ≥ ∀ ∈ ⇔ + + − ≥ ∀ ∈ y x D amx anx bn mc x D • Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định. m + + + = = + . Vấn đề 3: Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Định nghĩa: Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên tập D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số 0 0 , ( ) ( ) ,