Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 1 I I . . Phương pháp Chứng minh và Áp dụng giải Toán Đ Đ A A Ï Ï I I S S O O Á Á  oOo  Vấn đề 1: So sánh các số.  oOo  - Ôn tập giáo khoa: Với hai số dương a, b . Ta có: 22 baba >⇔> - baba >⇔> - mbmaba ±>±⇔> -    << >> ⇔> 0c nếu bcac 0c nếu bcac ba - caba >⇔>> c b, - ba ba 11 <⇔> Bài tập áp dụng: Bài 1: 3223 1232 1823 32 và 23 > = = a) b) ( ) 3-3 48 4 1 131 nên 32 1333-3 1348 4 1 3-3 và 48 4 1 > −>> −= ⋅= c) ( ) ( ) 32 23 033 22321 3 và 21 32 và 23 2 2 +>+ += +=+ + ++ d) 355035257525 +=+=+ d) 1211242222 +<+===⋅< e) ( ) 2 13 2 13 4 13 4 324 2 32 2 3 1 2 + = + = + = + = + =+ f) ( ) ( ) ( ) 13 13 13 13 13 3610 324 2 3 3 2 3 += + + = + + = + + Bài 2: a) 0a.b với ≥= baba b) 0a.b với 33 ≥= bababa c) ( ) ( ) 1 b0,a với 11 2 2 ≤≥−=− baba d) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 a b,a với 12144 2 2 ≥≥−−=+−− abaaaba Bài tập tự rèn luyện: 1. So sánh các số sau (không dùng máy tính): a) 4 và 15 b) 3 và 22 c) 52 và 19 d) 32 và 23 ; e) 54 và 35 . f) 32 + và 23 + ; g) 34 − và 56 − ; h) 103 − và 52 − 2. So sánh 2 số sau đây( không dùng máy tính): a) 26 và 5 b) 7 và 34 c) 54 và 103 d) 53 và 22 e) 5 và 62 f) 4 và 227 − g) 26 và 52 −+ h) 325 và 223 −− i) 3. So sánh các số sau: a) 15 và 15101726 ++++ b) 520 và 12 1 19981999 1 19992000 1 + ++ + + +  Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 2 Vấn đề 2: Rút gọn, tính giá trò của biểu thức, chứng minh biểu thức thỏa điều kiện.  oOo  Ôn tập giáo khoa: Ôn luyện về Căn bậc hai 1.Đònh nghóa: Căn bậc hai của một số a là một số mà lũy thừa bậc hai bằng a. 2.Dấu hiệu nhận biết: ( )      == ≥ ⇔= aax x xa 2 2 0 3.Điều kiện tồn tại: a có nghóa khi 0≥a . a) 4.Các tính chất: AA = 2 b) 0B 0,A với ≥≥= BABA c) 0B 0,A với >≥= B A B A 5.Các phép biến đổi: 0B với 2 ≥= BABA a) b) 0B 0,A với A.B 1 >≥= BB A c) ( ) BA 0,B 0,A với ≠≥≥ − = ± BA BAM BA M  Ôn luyện về Căn bậc ba 1.Đònh nghóa: Căn bậc ba của một số a là một số mà lũy thừa bậc ba bằng a. 2.Dấu hiệu nhận biết: ( ) aaxxa ==⇔= 3 3 3 3 3.Điều kiện tồn tại: 3 a có nghóa với mọi a là một số thực. a) 4.Các tính chất: AA = 3 3 b) 33 3 BABA = c) 0B với 3 3 3 ≠= B A B A I. Rút gọn, Thực hiện phép tính,… Bài tập áp dụng: Bài 1: ( ) ( ) 1122212221222 22 =−+−=−+−=−+− a) b) ( ) ( ) 4133531533153 22 =−+−=−+−=−+− c) ( ) ( ) 3752757275727 22 =−+−=−+−=−+− Bài 2: 6 65 2 6 3 6 2 3 3 2 =+=+=x a) , 6 25 2 =x . 2116 6 65 6 25 6166 2 =+⋅−⋅=+−= xxA b) ( ) ( ) ( ) 2323223 43 2323223 23 23 2 2 2 2 2 2 +       +−−= − +       +− = −       − = − − = + − x x x x c) ( ) 12 2 122 2 22 112 112 1 1 += + = + = −+ ++ = − + x x Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 3 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 32 2 4332 2 22 2 2 2 A x 2x x 2x 1 khi x x 4 A x x x x 2x 2x 1 Axxxxxx2xx1 A 4 x x 2.4 1 A 4.4 8 1 7 = + − − − += =+++− −− = ++ +− +− = +− − = −−= Bài 4: ( ) ( ) ( ) ( ) 2224 1141414 aaaaaaa +=−+=−+=−+ a) b) ( ) ( )    <−=−− >−=+− = − − +−= − − +− 2a với a11a2 2a với 112 2 2 2 2 2 2 2 2 aa a a a a a a c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 =+−+= + + − − −+ = + ++ − − − baba ba ba ba baba ba abba ba ba b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0111 32 32 1 32 1212 1 32 12 22 =−=− + + =− + −−++++ =− + +−+ a a a aaaa a aa c) ( ) ( ) ( )( ) aaa a aa a aa a aa a aa −=−+=         − − −         + + +=         − − −         + + + 111 12 12 1 1 1 1 12 2 1 1 1 Bài tập tự rèn luyện: 1. Tính (rút gọn): 1. a) 1471227532 −+− ; b) 12580345220 +−+ ; c) 32450823 −+− . 2. a) 625 1 625 1 − − + ; b) 25 2 25 2 + − − . 3. a) ( ) ( ) 22 5352 −+− ; b) ( ) ( ) 22 3332 −−− ; c) ( ) ( ) 22 67273 −−− . 4. a)         + + +         − − + 1 71 77 71 77 1 ; b) 61 5 23 3223 + − − − . 5. a) 12527220126 +−− ; b) 45280318502 +++− 6. a) 223 + ; b) 347 − ; c) 56145614 ++− 2. Tính giá trò của biểu thức sau(sau khi rút gọn, nếu được): 1. A= 1a49a12a4 2 −−+− với 2 1 a = . 2. B= 9x6x1x4x4 2424 +−−+− với 2x = . 3. Rút gọn ( loại bỏ dấu căn thức và dấu giá trò tuyệt đối): 1. a) ( ) 2 1x − ; b) ( ) 2 x2 − ; c) 2 x 1 . 2. a) 4x4x 2 +− ; b) 2 xx69 +− ; c) 1x4x4 2 −+− . 3. a) 1x 1x2x 2 − +− ; b) 2x 4x4x 2 − −+− ; c) 9x12x4 x23 2 −+− − 4. a) ( ) 2x 4x4x 2x 2 2 − +− +− ; b) ( ) 4 x2x8 −+ 4. Cho biểu thức 3223 3223 yxyyxx yxyyxx A −−+ + −− = a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính các giá trò của A khi cho 3x = và 2y = Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 4 c. Với giá trò nào của x và y thì A = 1. 5. Cho biểu thức x2 1 6xx 5 3x 2x B 2 − + −+ − + + = a. Rút gọn biểu thức B. b. Tính giá trò của B, biết 32 2 x + = c. Tìm giá trò nguyên của x để B có giá trò nguyên. 6. Cho biểu thức ( )                 − + + ⋅         + − − + − = x x1 x1 x x1 x1 : x1 x1x C 33 2 2 2 a. Rút gọn biểu thức C. b. Tính giá trò của C khi 223x += c. Tính giá trò của x để cho 3.C = 1 7. Cho biểu thức 32 2 2 2 xx2 x3x : x2 x2 4x x4 x2 x2 D − −         + − − − − − + = a. Rút gọn biểu thức D. b. Tính giá trò của D khi 25x =− 8. Cho biểu thức ( )( ) 4x9 1x1x 21x4 E 2 2 − −++− = a. Rút gọn biểu thức E. b. Tìm x để E > 0 9. Cho biểu thức ( )( ) 9x6x 3x2x49x F 2 2 +− −+−− = a. Rút gọn biểu thức F. b. Tìm các giá trò nguyên của x sao cho F là một số nguyên 10. Cho biểu thức       − + − − +       + − − − + = 1x 2 x1 x 1x 1 : 1x 1x 1x 1x G 2 a. Rút gọn biểu thức G. b. Tính giá trò của biểu thức G khi 324x += c. Tìm giá trò của x để G = –3 11. Cho biểu thức 1x xx x1x 1 x1x 1 H 3 − − + +− + −− = a. Rút gọn biểu thức H. b. Tính giá trò của biểu thức H khi 729 53 x − = c. Tình giá trò của x khi H = 16 12. Cho niểu thức         −−+ − −         + += 1xxxx x2 1x 1 : 1x x 1K a. Rút gọn biểu thức K. b. Tính giá trò của biểu thức K khi 324x += c. Tìm giá trò của x để K > 1 13. Cho biểu thức             − − + ⋅       + − +         − + = a b ba ba b a ba ba : ba ba L 2 22 22 a. Rút gọn biểu thức L. b. Tính giá trò của biểu thức L khi 2 b a = 14. Cho biểu thức         ++ − +         − + + = ab2ba a ba a : ab a ba a M 22 32 22 2 a. Rút gọn biểu thức M b. Tính giá trò của biểu thức M khi cho 21a += và 21b −= c. Tìm các giá trò của a và b trong trường hợp 2 1 b a = thì M = 1 15. Cho biểu thức ab ba aab b bab a N + − − + + = a. Rút gọn biểu thức N. b. Tính giá trò của biểu thức N khi 324a += và 324b −= Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 5 c. Chứng minh rằng nếu 5b 1a b a + + = thì N có giá trò không đổi. 16. Cho biểu thức ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 x1x 3x241x3x2 P 2 2 −+ −−−− = a. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trò của biểu thức P khi 223x += c. Tìm các giá trò của x để P > 1 17. Cho biểu thức         + − −         − + + − − − = 1x3 2x3 1: 1x9 x8 1x3 1 1x3 1x Q a. Rút gọn biểu thức Q. b. Tính giá trò của biểu thức Q khi 526x += c. Tìm các giá trò của x khi 5 6 Q = 18. Cho biểu thức 6b3a2ab ab6 6b3a2ab b3a2 R +++ − − −−+ + = a. Rút gọn biểu thức R. Chứng minh rằng nếu 81b 81b R − + = thì khi đó b a là một số nguyên chia hết cho 3. 19. Cho biểu thức       − −−       − +−= 1x 1 1x: 1x 1 3xS a. Rút gọn biểu thức S. b. Tìm các giá trò của x khi S > 5. c. Tính giá trò của biểu thức S khi 14012x += 20. Cho biểu thức         − + − ++ + + − + = 1x 1x 1xx 1x 1xx 2x :1T a. Rút gọn biểu thức T. b. Chứng minh T > 3 với mọi giá trò x > 0, x ≠ 1. 21. Cho biểu thức 3x 3x2 x1 2x3 3x2x 11x15 U + + − − − + −+ − = a. Rút gọn biểu thức U. b. Tìm giá trò của x khi 2 1 U = c. Tìm giá trò lớn nhất của U và giá trò tương ứng của x. 22. Cho biểu thức         + − + + − + + − +         + −= 6x5 x 2x x3 2x 2x 3x : x1 x 1V a. Rút gọn biểu thức V. Tìm giá trò của x để V < 0 23. Cho biểu thức 1x 1 x1 1 x1 1 : x1 1 x1 1 Y + +       + − −       + + − = a. Rút gọn biểu thức Y. b. Tính giá trò của Y khi 21x += c. Tìm giá trò của x khi 2 3 Y = Vấn đề 3: Vẽ đồ thò, Tương giao của hai đưởng (D) và (P).  oOo  Ôn tập giáo khoa: + Hàm số y = ax + b. Tập xác đònh của hàm số y = ax + b là R Hàm số y = ax + b đồng biến trong R nếu a > 0, nghòch biến trong R nếu a < 0. Đường thẳng y = ax đi qua O(0;0) và E(1;a). Đường thẳng y = ax + b đi qua P(0;b) và Q(-b/a;0). + Hàm số y = ax 2 . Tập xác đònh của hàm số y = ax 2 là R. Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 6 3 2 1 0 1 2 3 2 1 1 2 3 4 5 6 6 2 x 2 2 x 1 33 ,x x Nếu a > 0 hàm số y=ax 2 đồng biến trong R + nghòch biến trong R - và bằng 0 khi x=0. Nếu a < 0 hàm số y=ax 2 đồng biến trong R - nghòch biến trong R + và bằng 0 khi x=0. Đồ thò hàm số y=ax 2 là một đường Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O, trục đối xứng Oy, nằm phía trên trục hoành nếu a > 0, và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0. + Sự tương giao của đồ thò của hai hàm số. Tọa độ giao điểm của đồ thò của hai hàm số là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số mà mỗi phương trình của hệ là một phương trình của hàm số . Bài tập áp dụng: Bài 1: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:    = = ⇔      = +− ⇔    −= = 1 112 12 2 2 2 y x xy xx xy xy Dựa vào đồ thò ta cũng có nghiệm của hệ phương trình là    = = 1 1 y x Bài 2: Dùng phương pháp giải như bài tập 7 ta đưa về được phương trình bậc hai, tìm được ∆, biện luận ∆ cho số nghiệm của phương trình, đưa về giải bất phương trình hay phương trình ẩn số là m. Bài tập tự rèn luyện: 1. Cho hàm số 2x)x(f += 1. Tìm tập giá trò của hàm số. 2. Tìm giá trò của x để f(x) = 1. 3. Chứng minh hàm số f(x) đồng biến trên tập xác đònh. 2. Cho hàm số f(x) = (m + 1)x + 2 1. Với giá trò nào của m thì hàm số đã cho đồng biến. 2. Xác đònh giá trò của m để đồ thò hàm số đi qua A(1; 4). 3. Với giá trò nào của m đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Vẽ đồ thò hàm số trong trường hợp này. 3. Xác đònh hàm số y = ax + b, biết: 1. Đồ thò hàm số đi qua A(1; –1) và có hệ số góc là 2. 2. Đồ thò hàm số song song với đường thẳng y = 2 – 3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(1; 4) và C(–2; 3). 5. Cho hàm số: y = – 2x 1. Chứng minh hàm số nghòch biến với x > 0 ; Đồng biến với x < 0 . 2 2. Vẽ đồ thò của hàm số. 3. Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của đồ thò hàm số với đường thẳng y = x – 3 . 6. Vò trí tương đối của 2 điểm đối với các trục, đối với gốc O. Đường thẳng qua gốc O. Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(2;1). 1. Tìm các điểm đối xứng của A qua trục hoành, trục tung, gốc hệ trục. 2. Tính khoảng cách OA. 3. Viết phương trình đường thẳng OA. 4. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với OA. 7. Lập phương trình đường thẳng. Lập phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau và vẽ các đường thẳng ấy trong mặt phẳng tọa độ: 1. (D) có hệ số góc a = 2 qua A(2; 1). Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 7 2. (D) có hệ số góc a = –1 và qua B(–1; 2). 3. (D) qua C(1; 1) và song song với đường thẳng (D’): y = x 2 1 − . 4. (D) qua E(2; –1) và vuông góc với đường thẳng (D’): y = –2x + 1. 5. (D) qua F(2; 3) và song song với trục tung. 6. (D) qua G(-1; -2) và song song với trục hoành. 7. (D) qua 2 điểm H(2; 1) và K(3; 3). Các câu trên độc lập với nhau, có thể vẽ riêng. 8. Toán tổng hợp về đường thẳng trong hệ trục: Trong mặt phẳng toạ độ, gọi (D) là đường thẳng có phương trình: y – 2x – 2 = 0. 1. Vẽ (D) qua giao điểm A của (D) với trục tung y’y và giao điểm B của (D) với trục hoành x’x. 2. Viết phương trình đường thẳng (D 1 3. (D ) qua C(1;0) và song song với (D). 1 4. Viết phương trình đường thẳng (D ) cắt trục tung tại E. Giải thích rõ tính chất đặc biệt của tứ giác ABEC. 2 5. (D ) qua A và vuông góc với (D). 2 ) cắt (D 1 9. Khảo sát, vẽ đồ thò hàm số y = ax ) tại F. Tìm toạ độ của F; tính diện tích của tứ giác ABEF. 2 Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): (a ≠ 0) và sự tương giao với y = ax + b. 2 xy = và đường thẳng (D): y = x + 2. 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (P) của hàm số 2 xy = . 2. Vẽ (D). 3. Tìm tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (D) bằng đồ thò và phép toán. 4. Từ A và B vẽ AH ⊥ x’x; BK ⊥ x’x . Tính diện tích của tứ giác AHKB. 10. Xác đònh hàm số y = ax 2 Cho hàm số (a ≠ 0). Đặc điểm hình học qua tọa độ: 2 axy = có đồ thò (P). 1. Tìm a biết (P) qua điểm A(1; –1). Vẽ (P) với a vừa tìm được. 2. Trên (P) lấy điểm B có hoành độ bằng –2, tìm phương trình của đường thẳng AB và tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung. 3. Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác đònh toạ độ giao điểm C của (d) và (P). (C khác O). 4. Chứng tỏ OCDA là hình vuông. Vấn đề 4: Giải hệ phương trình, biện luận về số nghiệm.  oOo  Ôn tập giáo khoa: Đònh nghóa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. Số nghiệm của nó. Các phương pháp giải hệ phương trình: Phương pháp đồ thò, phương pháp đại số (phương pháp cộng và phương pháp thế). Phương pháp đặt ẩn số phụ. Bài tập áp dụng: Bài 1: nghiệm. vô 02 2 012 2 1 2 1 1 1 2      =++ =−+ ⇒−≠= y x yx Phương pháp dùng đònh nghóa để chỉ rõ sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (phương pháp này không xác đònh được nghiệm số bằng bao nhiêu). nghiệm. vô 142 32 1 3 4 2 2 1    =− =− ⇒≠ − − = yx yx Bài 2: a) Ôn tập các phép biến đổi tương đương hệ phương trình. Từ đó biến đổi hệ phương trình về dạng đơn giản nhất, sau đó áp dụng các phương pháp đã học để giải hệ phương trình : ( ) ( )      = = ⇔    =− =+ ⇔        = −−− + −= − + 5 14 69 41314 104521 3 1410 3 5 2 4 3 7 y x yx yx y xyx y x yx Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 8 b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )        = = ⇔    =− =− ⇔    +−=+− ++=++ 23 67 23 9 15316 723 26537532 8153 y x yx yx yxyx yxyx c) ( ) ( )    = = ⇔    =−− −= ⇔    =− =+ ⇔        = − − + = + −−− 2 4 6515344 1534 654 3415 5,1 4 3 20 94 0 5 1 231 y x yy yx yx yx yx x y d) ( ) ( )    = −= ⇔    −=+ −=− ⇔    −=+ −=− ⇔      +=+−− = − + 1 1 167 1064 167 532 123252 1 23 32 y x yx yx yx yx xxyyx y x Bài 12: a) Học sinh đặt ẩn số phụ để đưa hệ phương trình về những hệ phương trình đơn giản đã học.        = = ⇔        −= − = == ⇔        −= = ⇔    =+ =− − ==        =− − + = − − 5 3 3 4 4 5 2 1 b 4 31 a 4 5 4 3 13 2a :có Ta 2 1 b; 1 a Đặt 01 2 13 2 2 11 y x y x b a ba b yx yx yx b)    = ±= ⇔    == ==    = = ⇔    −=+ =− ⇔    = =− ==      =− =−− 0y 2x 0 4 :đó Do 0 4 12b93a- 1243a 43b-a 1243a :có Ta . b; a Đặt 43 01243 2 2 2 2 yb xa b abb yx yx yx Tương tự như bài tập 12 a, c. Học sinh giải bài tập 12 b, d. như sau: Chọn ẩn số phụ, đưa hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình đơn giản, giải hệ phương trình bằng phương pháp thích hợp như: phương pháp cộng hoặc phương pháp thế (chú ý: Không dùng phương pháp đồ thò để giải, trừ trường hợp đề bài tập yêu cầu). Bài tập tự rèn luyện: 11. Giải các hệ phương trình sau: a)    −=+ =+ 4yx2 1y2x ; b)        =+ =− 5 y 4 x 3 1 y 1 x 1 12. Tìm m và n để hệ phương trình sau có nghiệm (–3; 2) :    −=+ −=+ m57nyx4 11n6y5mx 13. Giải hệ phương trình:        = + ++ = + + + 4 2y 6 1x 5 2y 3 1x2 14. Cho hệ phương trình:    −=+ =− 3yax 6y2x3 a) Giải hệ đã cho với a = 4; Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 9 b) Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thỏa y = x 4 3 15. Giải các hệ phương trình 2 ẩn x; y sau đây bằng đồ thò, kiểm tra lại bằng phép toán (cả 2 phương pháp cộng và thế). a.    += = 1xy x2y ; b.    += −= x1y 1x2y ; c.    =+ =− 4yx 2yx2 ; d.    =+− =++− 03y2x4 01yx2 ; đ.    =+− =+− 02y4x2 01y2x Vấn đề 5: Giải phương trình và các phương trình quy về phương trình bậc hai, biện luận về số nghiệm theo tham số.  oOo  Ôn tập giáo khoa: a) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm khi b lẻ. ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 – 4ac. ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm. ∆ = 0 : phương trình có nghiệm số kép x 1 = x 2 a b 2 − = ∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt. x 1 a b 2 ∆+− = ; x 2 a b 2 ∆−− = . b) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn. ax 2 + bx + c = 0 ∆’= b’ 2 – 4ac. ∆’ < 0 : phương trình vô nghiệm. ∆’ = 0: phương trình có 1 nghiệm số kép x 1 = x 2 a b' − = ∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt. x 1 a b '' ∆+− = ; x 2 a b '' ∆−− = . c) Tương quan về số nghiệm của phương trình bậc hai theo biệt số ∆: ∆ < 0 ⇔ phương trình vô nghiệm. ∆ = 0 ⇔ phương trình có 1 nghiệm số. ∆ > 0 ⇔ phương trình có 2 nghiệm số phân biệt. biệt phândương số nghiệm haicó trình phương 0 0 0 ⇔      > > >∆ S P biệt phânâm số nghiệm haicó trình phương 0 0 0 ⇔      < > >∆ S P dấu trái số nghiệm haicó trình phương0 ⇔<P hơnlớn đốituyệt trò giá có âm nghiệm dấu, trái số nghiệm haicó trình phương 0 0 ⇔    < < S P hơnlớn đốituyệt trò giá có dương nghiệm dấu, trái số nghiệm haicó trình phương 0 0 ⇔    > < S P nhau bằngđốituyệt trò giá có nghiệm haidấu, trái số nghiệm haicó trình phương 0 0 ⇔    = < S P Để tìm tham số theo điều kiện của ẩn ta : Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Trang 10 Lập ∆ ; ∆’ ≷ 0. Giải phương trình hoặc bất phương trình theo tham số. Để chứng minh 1 phương trình có 0, 1, 2, nghiệm số ta: Lập ∆ ; ∆’ . Chứng tỏ ∆ ; ∆’ ≷ 0 hoặc bằng 0 để có 0, 1, 2 nghiệm. d) Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax 2 +bx+c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S= x 1 +x 2 a b = - P= x 1 .x 2 a c = . Nếu phương trình ax 2 +bx+c = 0 có dạng a+b+c =0 thì x 1 = 1, x 2 a c = Nếu phương trình ax 2 +bx+c = 0 có dạng a-b+c =0 thì x 1 = -1, x 2 a c − = e) Dùng ẩn số phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình đã học. Các phương trình quy về phương trình bậc hai một ẩn số là: Phương pháp giải phương trình tích như sau: -Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để biến đổi đa thức bên trái thành tích các thừa số, dùng tính chất của tích khi vế bên phải bằng 0. Tiến hành cho từng nhân tử bằng 0, Giải phương trình bậc nhất hay bậc hai tương ứng. Chú ý: Việc dùng hằng đẳng thức để biến đổi đa thức thành nhân tử là rất quan trọng. Phương pháp giải phương trình chúa ẩn số ở mẫu như sau: -Tìm tập xác đònh của phương trình (hay tím điều kiện của phương trình). Quy đồng khử mẫu phương trình để đưa phương trình về dạng có hệ số nguyên đơn giản. Phương pháp giải phương trình trùng phương như sau: -Đưa phương trình trùng phương về phương trình bậc hai một ẩn số bằng cách đặt ẩn số phụ: y = x 2 ( ) ( ) 0. 2 =++ cxbfxfa . Mở rộng cho trường hợp sau: Đặt y = f(x), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn số. Bài tập áp dụng: Bài 1: Học sinh nhận đònh thứ tự ưu tiên khi giải phương trình bậc hai một ẩn số: Nhẩm (Dùng đònh lý nghiệm hay đònh lý Vi-ét), dùng công thức nghiệm khi b lẻ, dùng công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn. a) x 2 –11x + 30 = 0 x 1 = 5 x 2 = 6 b) x 2 –10x + 21 = 0 x 1 = 3 x 2 = 7 c) 0,3x 2 -2x+1,7= 0 ; x 1 =1 , x 2 3 17 = d) ( ) 0221 2 =+−− xx ; x 1 =1, x 2 2 = Bài 2: Học sinh trả lời bài tập: Phương trình bậc hai một ẩn số có một nghiệm số thì ta thay ẩn số bằng giá trò mà đề bài tập đã cho. Giải phương trình theo tham số cần tìm. Bài 3: Học sinh trả lời câu hõi sau: Phương trình bậc hai một ẩn số có hai nghiệm số trái dấu khi nào? Phương trình bậc hai một ẩn số không thể có hai nghiệm dương khi nào? Phương trình bậc hai một ẩn số có một nghiệm bằng 1 khi nào? Học sinh lên bảng giải bài tập 15. Bài 4: 1. Giải trực tiếp phương trình bậc hai: Học sinh: Dùng ẩn số phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình đã học. Học sinh lên bảng giải bài tập 16. Bài tập tự rèn luyện: Giải trực tiếp(không dùng công thức nghiệm) các phương trình bậc hai sau đây: 1. a) 0x2x 2 =− ; b) 0x4x 2 =+− . 2. a) 04x 2 =− ; b) 05x 2 =+− . 3. a) 09x 2 =+ ; b) 016x 2 =−− . 4. a) 01x2x 2 =+− ; b) 01x4x4 2 =+− . [...]... bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình  oOo  Ôn tập giáo khoa: Các bước giải bài tập bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình +Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) -Chọn ẩn số, đơn vò, điều kiện cho ẩn số -Biểu diễn các số liệu đã biết qua ẩn số -Dùng các quan hệ của bài toán mà lập phương trình (hệ phương trình) +Giải phương trình (hệ phương trình ): Dùng phương pháp thích hợp... hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m3 Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng ? 27 Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích hai chữ só đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho Trang 13 Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 28 Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất.. .Phương pháp Chứng minh Đại số 9 5 a) (2 x + 1)2 − 4 = 0 ; b) (2 x + 1)2 + 6 = 0 ; oOo ( Giáo viên: Đinh Vũ Hưng ) c) 8 − 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 ; d) x 2 − 4x + 4 = 5 6 a) (3x − 1)(x + 1) = 2 9 x 2 − 6 x + 1 ; b) (2 − 8x )(4 x − 1) = 16 x 2 − 8x + 1 ; ( ) c) (2 x + 3)(x + 3) = 4 x − 9 ; d) 2 x 2 − 8x + 8 = 4 x 2 − 12 x + 9 Giải các phương trình sau(dùng công thức nghiệm):... toán để chọn nghiệm thích hợp Bài tập áp dụng: Trang 11 Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng Bài 1: Học sinh tiến hành bài tập 17 theo thứ tự như giáo khoa Sau đó học sinh lên bảng giải bài tập 17 Chú ý: Độ dài cạnh góc vuông của tam giác bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh huyền và luôn luôn lớn hơn 0 Phương trình bậc hai một ẩn số khi khuyết b, c thì giải trực tiếp Bài 2: Học sinh... Tính dung tích của bể chứa ? 16 Năm ngoái tổng số dân của hai Tỉnh A và B là 4 triệu Dân số Tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn Tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân của hai Tỉnh năm nay là 4045000 người Tính số dân của mỗi Tỉnh năm ngoái và năm nay ? 17 Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong... ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày 12 Cho một lượng dung dòch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200 gam nước thì được một dung dòch 6% Hỏi có bao nhiêu gam dung dòch đã cho ? Trang 12 Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng 13 Có hai loại dung dòch chứa cùng một thứ axit; loại I chứa 30% axit, loại II chứa 5% axit Muốn có 50 lít dung dòch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao... hệ thức Viét (loại 1) Không dùng công thức nghiệm áp dụng vào phương trình sau: x 2 − x − 12 = 0 1 Chứng tỏ rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 ;x 2 2 Tính: x1 x 2 x + 1 x2 + 1 2 c) 1 d) x1 − x 2 e) a) x1 + x 2 b) + + 2 x 2 x1 x2 x1 ( 3 b) 4 x 2 − 20 x + 25 = 0 ; ) ( ) 2 x1 − x 2 với x1 < x 2 2 Áp dụng hệ thức Viét (loại 2) Cho phương trình bậc hai sau: x 2 − 4 x + m + 1 = 0 (1) 1 Tìm điều... mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 94 5 chi tiết máy Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ? 11 Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày 12 Cho một lượng dung dòch chứa... 2 − x + = 0 ; 6 6 4 8 2 2 3 a) x − 4 x + 5 = 0 ; b) − x + 6 x − 12 = 0 2 2 4 a) x 2 − 6 x + 9 = 0 ; 4 5 c) x 2 − x + 1 =0 4 5 a) x 2 − 4 x + 3 = 0 ; b) 2 x 2 + 5x + 3 = 0 6 a) 2 x 2 − 3x − 1 = 0 ; b) x 2 + 4 x + 1 = 0 7 a) x 2 − 2 + 3 x + 6 = 0 ; b) x 2 + 1 + 5 x + 5 = 0 Giải và biện luận (về số nghiệm) các phương trình bậc hai sau: 1 x 2 − 2 x + m = 0 2 a) x 2 − 2 mx + 1 = 0 ; b) x 2 − (m + 1)x +... 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đường AB và thời gian dự đi lúc đầu ? 19 Hai Ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau Sau 1 giờ 40 phút thì hai ca nô gặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc của ca nô đi xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h 20 Hai người thợ cùng làm một công việc trong . −+ h) 325 và 223 −− i) 3. So sánh các số sau: a) 15 và 15101726 ++++ b) 520 và 12 1 199 8 199 9 1 199 92000 1 + ++ + + +  Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng. vuông góc với đường thẳng (D’): y = –2x + 1. 5. (D) qua F(2; 3) và song song với trục tung. 6. (D) qua G (-1 ; -2 ) và song song với trục hoành. 7. (D) qua 2 điểm H(2; 1) và K(3; 3). Các câu. oOo  - Ôn tập giáo khoa: Với hai số dương a, b . Ta có: 22 baba >⇔> - baba >⇔> - mbmaba ±>±⇔> -    << >> ⇔> 0c nếu bcac 0c nếu bcac ba - caba