Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 1 Nguyễn Phú Khánh        TỰ LUẬN VÀ TRẮÉC NGHIỆM ĐẠI SỐ TỔ HP TẬP 1 Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 2 Lời Mở Đầu Các em học sinh thân mến! Trong những năm gần đây những đề thi hay thường có một lượng nhỏ dạng toán tổ hợp. Từ đó thấy rằng Đại số Tổ hợp chiếm một vò trí khá quan trọng. Đây là dạng toán tương đối khó, khá hay, khổ thay hơn nữa tài liệu tham khảo hoàn chỉnh phần này không nhiều lắm. Hiện nay có rất nhiều tài liệu về Đại số tổ hợp không phù hợp với sự tự học và ôn luyện, mà phù hợp cho học sinh chuyên chọn. Bởi vậy, chúng tôi đã nghiên cứu và tinh lọc những dạng toán hỗn hợp phù hợp và bám sát chương trình của Bộ Giáo Dục ban hành. Do vậy tài liệu này đã được nhiều bạn đọc và đồng nghiệp đánh giá cao. Đại số Tổ hợp không chỉ có trong lónh vực giảng dạy và nghiên cứu, mà còn ứng dụng trong công nghệ thông tin, Điện – Điện tử và các ngành kinh tế – kỹ thuật. Chính vì lẽ đó, từng dạng toán trong tổ hợp càng mang tính khoa học và trí tuệ. Tài liệu đã được biên soạn khá công phu, phân loại từng dạng toán và đề cập nhiều bài toán sai lầm phổ biến khi giải toán đại số tổ hợp trong trường phổ thông, do tính kế thừa phương pháp trắc nghiệm trong tuyển sinh, chúng tôi đã tinh lọc và giới thiệu dạng trắc nghiệm cho bạn đọc. Chúng tôi hy vọng với quyển sách này, các em có thể tự luyện tập để khỏi bỡ ngỡ trước các đề toán kiểm tra và thi bằng phương pháp trắc nghiệm phần đại số tổ hợp. Dù biên soạn hết sức thận trọng, song cũng không thể tránh những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp chân tình của quý bạn đọc và đồng nghiệp, để tập sách này được hoàn thiện. Mọi sự đóng góp xin vui lòng liên hệ : 79/1 đường 3/2 , Dalat, Lâm Đồng. Dalat, mùa thi 2007 – 2008 Nguyễn Phú Khánh Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 3 GIAI THỪA I. Giai thừa: với mọi số tự nhiên n ≠ 0, tích 1.2.3. n được gọi là n giai thừa và được ký hiệu là n! ; n! = n(n – 1)(n – 2) 2.1. II. Công thức: n 2) p1)(n p(n )!( ! ++= − pn n ⇒ n 2). 1)(p (p ! ! ++= p n n! = (n – 1)!n , n! (n + 1) = (n+1)! Ví dụ 1: Giải phương trình : 6 1 )!1m( )! 1 m ( ! m = + −− ⇔ 6 1 )1m(m)!1m( ) 1 m ( )! 1 m ( = +− −− • Nếu m = 1 thì phương trình dạng 6 1 !2.1!0 0 !. 0 = hay 0 = 6 1 vô lý. Vậy m = 1 không là nghiệm. • Nếu m ≥ 2 thì phương trình dạng 6 1 )1m(m 1 m = + − ⇔ (m – 2)(m – 3) = 0 ⇔ m = 2 ∨ m = 3 Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 5 !2)!4n)(3n(12 )!1n(n !4)!3n( )!1n( . 1n 5 2n 1 ≤         −− − − − + +− Theo đề n ≥ 4 . Bất phương trình dạng 5 6 )1n(n !4 n)1n)(2n( !4 n)1n)(2n(5 2n 1 ≤ − =       −− − −− − ⇔ n(n –1) ≤ 30 ⇔    === ≥ trìnhphươngbấtcủanghiệmlà6n,5n,4n 4n Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 4 QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN I. Quy tắc cộng: nếu có m 1 cách chọn x 1 , m 2 cách chọn đối tượng x 2 , m n cách chọn x n và nếu cách chọn đối tượng x j không trùng với bất kỳ cách chọn j nào (i≠j), j = 1, 2, 3 ,n) thì có m 1 + m 2 + + m n cách chọn đối tượng “x 1 hoặc x 2 hoặc x n “. II. Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước lên tiếp. Bước 1 có m 1 cách chọn đối tượng x 2 , bước 2 có m 1 cách chọn đối tượng x 2 và cứ thế cho đến bước n có m n cách chọn đối tượng x n .Cuối cùng, với cách chọn x 1 , x 2 x n–1 , x n như thế ta thực hiện theo m 1 , m 2 m n cách khác nhau. Vd1: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số và chia hết cho 5? Bg: Gọi số cần tìm dạng 654321 aaaaaa và E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} * x dạng 0aaaaa 54321 : a 1 ∈ E\{0} ⇒ a 1 có 9 cách chọn; a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 ∈ E ⇒ a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = 10 cách. Do vậy có 9.10 4 = 90.000 số dạng 0aaaaa 54321 . * x dạng: 5aaaaa 54321 tương tự có 90.000 số dạng 5aaaaa 54321 Vậy có 90.000 + 90.000 = 180.000 số. TỔ HP I. Số tập con của một hợp có n phần tử: Cho tập hợp A có n phần tử. Ta hãy xét xem tập hợp tất cả các tập con của nó. T(A) có bao nhiêu phần tử. Đònh lý: Số tất cả các tập con của một tập hợp có n phần tử bằng 2 n m(T(A)) = 2 n II. Số tập con K phần tử của 1 tập hợp n phần tử . Đònh lý :Số tất cả các tập con K phần tử của một tập hợp n phần tử bằng Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 5 m(T k (A)) = )!kn(!k ! n C )!kn(!k ! n k 3.2.1 ) 1 k n ( . ) 1 n ( n k n − =⇔ − = +−− III. Tổ hợp: 1. Đònh nghóa: Một tập con k phần tử của một tập hợp n phần tử được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử. 2. Số tổ hợp chập k của n phần tử : Số đó chính là k n C = m(T K (A)) k n C = K 3.2.1 ) 1 K n ) ( 1 n ( n )!Kn(!K ! n +−− = − Chú ý: !1!0CC m m 0 m === ; 0 ≤ K ≤ n Ví dụ 1: Các đường chéo của một n đa giác lồi gặp nhau tại bao nhiêu điểm, nếu lấy bất kỳ 3 đường chéo nào cũng không cắt nhau tại 1 điểm? Xác đònh 1 giao điểm đó là giao điểm của các đường chéo của từ giác xác đònh bới các đỉnh ấy. Vì vậy số tất cả các giao điểm bằng số tổ hợp chập 4 của n đỉnh: 4 n C = 24 ) 3 n )( 2 n )( 1 n ( n −−− Ví dụ 2 : Xác đònh số lớn nhất trong các số: n n K n 2 n 1 n 0 n C ,C ,C,C,C Vì : k n C = 1 1 − + − k n C k kn nên k n k n CC ≤ −1 nếu 1 1 ≥ + − k kn ⇒ k ≤ 2 1 n + k n C ≤ 1+ k n C nếu 1 1 ≤ + − k kn ⇒ k + 1 ≥ 2 1 n + ⇒ k ≥ 2 1 n − Nếu : k n C lớn nhất thì k n k n CC ≤ −1 ≤ 1K n C + ⇒ 2 1 n − ≤ k ≤ 2 1 n + 1. Nếu n chẵn: n = 2m thì m – 2 1 ≤ k ≤ m+ 2 1 ⇒ K = m = 2 n . Vậy m m C 2 lớn nhất. 2. Nếu n lẻ: n = 2m + 1 thì m ≤ k ≤ m + 1 Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 6 ⇒ k = 2 1 n − ∨ 2 1 n + Vậy 1m 1m2 m 1m2 CC + ++ = là lớn nhất Ví dụ 3: Giải hệ phương trình      = ≤≤∈= + )2(153 0;,)1( 2 2 x y x y x C xyNyxCC (2)      = − = + 153 2 )1( 2 xx CC y x y x ⇔      ≤ −−+ = − 16y )xy18()!2y( !18 )!y18(!y !18 ⇔    ≤ = 16y 8y Vậy hệ có nghiệm là (x = 8, y = 18) 3. Một số tính chất quan trọng của k n C k n C = k n n C − ; 0 ≤ k ≤ n ; 0 n C = n n C = 1 ; 1 n C = 1 n n C − = n k n C = 1 k 1n C − − + k 1n C − 1 ≤ k ≤ n – 1; k n C = 1k n C k 1 k n − +− k n C = !)!(! ! k A knk n k n = − ; k 1n C + = k n C + 1 k n C − ; k n C + ` k n C + = 1 k 1n C + + HOÁN VỊ – CHỈNH HP I. Hoán vò : Những tập hợp sắp thứ tự khác nhau, mà chỉ khác nhau thứ tự các phần tử do được tạo nên từ cùng 1 tập hợp được gọi là những hoán vò của tập hợp đó. Số hoán vò của tập A có n phần tử là: P n = n! ; n(n – 1).(n – 2) 2.1 = n! Ví dụ 1 : Có bao nhiêu hoán vò n phần tử , trong đó 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau. Nếu a đứng ở vò trí thứ nhất thì b đứng vò trí thứ hai. Do vậy a đứng Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 7 ở vò trí thứ n –1 thì b đứng ở vò trí thứ n và chúng có thể đổi chỗ cho nhau. Với mỗi cách đó có (n–2)! cách hoán vò các phần tử khác. Do đó hoán vò a, b đứng cạnh nhau là 2(n – 1).(n – 2)! = 2(n – 1)!. Vậy số hoán vò 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau: n! – 2(n – 1)! = (n – 1)!(n – 2) Ví dụ 2:Có thể lập được bao nhiêu số từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sao cho: 1 . Mỗi chữ số đều có mặt một lần trong các số được lập? 2. Chữ số 0 không đứng ở vò trí thứ nhất bên trái? Theo 1 la có 10! , Số đầu tiên khác 0 có 9!. Do vậy để thỏa điều kiện 1,2 ta có: 10! – 9! = 9! 9 = 3265920. Ví dụ 3 :Có bao nhiêu cách xếp 6 người ngồi xung quanh bàn tròn.’ Th1 : Nếu các ghế được đánh số rõ ràng, mỗi cách xếp là hoán vò của 6 phần tử . Do vậy có P 6 = 6! = 720 cách. Th2 : Nếu các ghế trên kh6ong được đánh số thì mỗi hoán vò của 6 người thì được tính đổi chỗ 6 lần theo 1 chiều và có khả năng đổi chỗ ngược lại. Do vậy có 66 P 6 + = 60 cách II. Chỉnh hợp : các tập con sắp thứ tự k phần tử của một tập hợp có n phần tử được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp khác nhau chập k của n phần tử là: )!kn( ! n )1kn( )1n(nA k n − =+−−= Ví dụ 1 : Giải phương trình 12 1x 3x C − + = 55 2 1x A + Ta có 1x 3x C − + = )1x()3x( 3x C −−+ + = 4 3x C + Phương trình cho ⇔ 12 4 3x C + = 55 2 1x A + ⇔ (x + 3) (x+2) = 110 ⇒ x = 8 Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 8 Ví dụ 2 : Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên trong đó không có số nào lặp lại? 5 chữ số trên ta có 5! cách, trong đó 4! cách lập 5 chữ số bắt đầu bởi 0. Do vậy có: 5! – 4! = 96 * Số có 4 chữ số: có thể lập được 4 5 A cách từ những chữ số trên và có 3 4 A cách lập từ những chữ số trên bắt đầu bởi 0. Vậy có 4 5 A – 3 4 A = 96 cách * Số có 3 chữ số có thể lập được 3 5 A cách từ những chữ số trên và có 2 4 A cách lập từ những chữ số trên bắt đầu bởi 0. Vậy có 3 5 A – 2 4 A = 48 cách. * Tương tự có 2 5 A – 1 4 A = 16 cách chọn số có 2 chữ số và 5 cách chọn số có 1 chữ số. Theo ycbt có: 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số. CHỈNH HP CÓ LẶP I. Đònh nghóa : Cho 1 tập hợp A có n phần tử. Ta rút ra từ A một phần tử bất kỳ, ký hiệu là a 1 rồi thả lại vào tập hợp A. Ta lại rút ra từ A một phần tử, ký hiệu là a 2 (a 2 có thể trùng a 1 ) rồi trả lại nó vào tập hợp A. Cứ thế cho đến k lần (k ≤ n) và như vậy ta tìm được một dãy (a 1 ,a 2 a k ) gồm k phần tử (có thể trùng nhau) của A. Một dãy như thế gọi là 1 chỉnh hợp có lặp. II. Đònh ly ù: Số chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử, ký hiệu là k n A k n A = m(A k ) = n k Ví dụ : Mỗi số điện thoại gồm 6 chữ số, có bao nhiêu số điện thoại không chứa các số khác ngoài 2, 3, 5 và 7? Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 9 Số phải tìm là số chỉnh hợp có lặp của 4 chữ số chập 6: Ta có 6 4 A = 4 6 = 4096 HOÁN VỊ CÓ LẶP I. Hoán vò tròn : Khi n phần tử được sắp xếp vào n vò trí của dãy sắp xếp khép kín thì số hoán vò tròn (không thẳng) là: c n P = (n – 1)! II. Đònh nghóa : Hoán vò có lặp là 1 chỉnh hợp có lặp, trong đó có kể đến số lần lặp lại của mỗi phần tử. III. Số phân hoạch của 1 tập hợp hữu hạn (hoán vò có lặp lại) Cho các số tự nhiên k 1 , k 2 k s sao cho k 1 + k 2 +k 3 + k s = n. Số phân hoạch của 1 tập hợp A chứa n phần tử thành hợp rời rạc của S tập con B 1 , B 2 B S với số phần tử theo thứ tự là k 1 , k 2 k s bằng !k !k!k ! n s21 Số và ký hiệu C m (k 1 , k 2 k s ) : C m (k 1 , k 2 k s ) = !k !k!k ! n s21 Ví dụ 1 : Có bao nhiêu cách phân phối 7 chuyên gia trẻ vào 3 ban, theo thứ tự cần 1 ,2 ,4 chuyên gia? Số cách phân phối là: C 7 (1, 2, 4) = !4!2!1 ! 7 = 105 cách Chú ý : Số hoán vò có lặp của 2 phần tử cấp m kiểu (k, m – k) bằng số tổ hợp chập k của m phần tử C m (k, m – k) = k m C = )!km(!k ! m − Ví dụ 2 : Có bao nhiêu số có 7 chữ số, trong mỗi số đó có 6 chữ số 6 lặp lại 3 lần, và chữ số 5 lặp lại 4 lần. C 7 (3,4) = 3 7 C = 35 Nguyễn Phú Khánh Trắc nghiệm đại số tổ hợp 10 TỔ HP CÓ LẶP I. Đònh nghóa : Cho m phần tử khác nhau. Một tập hợp có lặp chập n (n ≤ m) của m phần tử đã cho là một tập hợp chứa n phần tử, trong đó mỗi phần tử là 1 trong m phần tử đã cho II. Đònh lý : Số tổ hợp lặp chập n của m phần tử, ký hiệu là n m C 1m 1mn n 1mn n m CCC − −+−+ == Vd : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số, sao cho mỗi số đó số chữ số ≤ 5. Và các chữ số được sắp theo thứ tự không giảm? Vì 1 5 C = 1 115 C −+ = 1 5 C = 5 , 2 5 C = 2 152 C −+ = 2 6 C = 15 3 5 C = 3 153 C −+ = 3 7 C = 35 ; 4 5 C = 4 154 C −+ = 4 8 C = 70 ; 5 5 C = 5 9 C = 126 Vậy có 5 + 15 + 35 + 70 + 126 = 251 số. NHỊ THỨC NEWTON I. Nhò thức: (a+b) n = ∑ = −−− +++++= n 0k n0n n kknk n 1n1 n 0n0 n kknk n baC baC baCbaCbaC Tổng quát: ∑ = − + = n 0k kknk n1k baCT Số hạng thứ 1: k = 0 : T 1 = n0n0 n abaC = Số hạng thứ k: T k = T (k – 1) + 1 = kn)1k(n1k n baC −−−− Số hạng thứ k + 1 : T k+1 = kknk n baC − [...]... tập 15 Từ các chữ số 1, 2 ,3, 4, 5 Hãy tín tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các số trên Bài Giải Cách 1: Có 5! số khác nhau.Có 24 số  24 số  24 số  24 số 24 số  dạng a1a2 a3a 4 1 dạng a1a2 a3a 4 2 dạng a1a2 a3a 4 3 ⇒ dạng a1a2 a3a 4 4 dạng a1a2 a3a 4 5 25 Trắc nghiệm đại số tổ hợp Nguyễn Phú Khánh Tổng số  Tổng số  Tổng số Tổng số  Tổng số  hàng đơn vò :... một Hỏi 1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2? 1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt 2 chữ số 1 và 6? Bài Giải 1 Gọi x = a1a2 a3 a4 a5 là số cần tìm: Cách 1: 18 Trắc nghiệm đại số tổ hợp Nguyễn Phú Khánh Có A 6 Số có 5 chữ số khác nhau đôi một 5  5 Có A 5 Số có 5 chữ số khác nhau đôi một và không có mặt chữ số 2 ⇒ có A 5 – A 5 = 600 số 6 5 Có 5 vò trí xếp chữ số 2 4 Cách 2:  ⇒ Có 5... = {0, 5}  Có 20 số dạng a1a 2 0 Cách 1:  ⇒ có 20 + 16 = 36 số chia hết cho 5 Có 16 số dạng a1a 2 5  Có 2 A 2 số có 3 chữ số chia hết cho 5  5 Cách 2:  1 Có A 4 số bắt đầu a1 = 0  1 ⇒ Có 2 A 2 – A4 = 36 số 5 14 Trắc nghiệm đại số tổ hợp Nguyễn Phú Khánh Cách 3: A 3 số có 3 chữ số khác nhau 6  2 A 5 số bắt đầu a1 = 0  2 4.A 5 số có 3 chữ số không chia hết 5  1 4 A 4 số bắt đầu a1 = 0,... vò trí còn lại số 2 Cách 1: 2  Có A 5 cho 2 vò trí chữ số 1 và 6 ⇒ Có A 2 A 3 = 480 số  5 4 Có A 3 cho 3 chữ số còn lại 4  Cách 2: Có A 5 số cho 5 chữ số bất kỳ 6  5 Có A 5 số cho chữ số 1 mà không có chữ số 6  5 Có A 5 số cho chữ số 6 mà không có chữ số 1 Có A 5 − A 5 A 5 = 180 số 6 5 5 Bài tập 9 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được: 1 Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác... ⇒ Có 2.5 = 10 số Vậy có cả thảy: 10 + 15 + 10 = 35 số có 3 chữ số khác nhau là sổ lẻ và nhỏ hơn 400 a1 = 1 : Có 2.A1 số 5  Cách 2: a1 = 2 : Có 3.A1 số ⇒ 2.A1 + 3.A1 + 2.A1 = 35 số 5 5 5 5  1 a1 = 3 : Có 2.A 5 số Bài tập 14 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 1 Hãy tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300,500) 2 Các chữ số không cần khác nhau 24 Trắc nghiệm đại số tổ hợp Nguyễn Phú... 4.A 2 số có 3 chữ số chẵn 4  2 Với mỗi số có 6 chữ số a1a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ta lập được 10 số có 7 chữ số a1a 2 a3 a 4 a 5 a 6 a 7 mà trong đó chỉ có 5 số có tổng các chữ số là số chẵn 11 Trắc nghiệm đại số tổ hợp Nguyễn Phú Khánh Rõ ràng a1 có 9 cách chọn, và có 105 cách chọn cho a2, a3, a4, a5, a6 Vậy có 5.9.105 = 4500000 số Bài tập 2 Có 5 miếng bìa, mỗi miếng ghi một trong 5 chỉ số 0, 1, 2, 3, 4... số lẻ ⇒ có 120 – 2 A 2 = 80 số chẵn 5 Cách 3: a3 = {2, 4, 6, 8}: có 4 cách chọn, có A 2 cách chọn a1a 2 5 ⇒ Có 4 A 2 = 80 số chẵn 5 Bài tập 4 Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các số đã cho ta lập được: 1 Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một? 2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một ? 3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số. .. nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một được thành lập S 2 Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là 1 số chẵn Bài Giải 1 Gọi x = a1a 2 a 3 là số cần tìm; và x lẻ nên a3 = 1 Có 4 cách chọn a1 ⇒ Có 4.3 = 12 số Cách 1:  Có 3 cách chọn a2 Cách 2: A 2 = 12 số 4 Có A 3 cách chọn 3 số a1a 2 a 3  5 Cách 3:  ⇒ A 3 − 4 A 2 = 12 số 5 4 Có 4.A 2 số có... và  2 ⇒ a3 : có 4 cách chọn a 4 : có 3 cách chọn  Có 5.5.4.3 = 300 số dạng a1a2 a3 a 4 2 Tương tự có 300 số dạng a1a2 a3 a4 4 , 300 số dạng a1a2 a3 a4 6 Vậy có 360 + 300 + 300 + 300 = 1260 số 2 Gọi x = a1a2 a3 là số cần tìm; x lẻ nên a3 = {1, 3, 5} 23 Trắc nghiệm đại số tổ hợp Nguyễn Phú Khánh a1 : có 5 cách chọn (a1 ≠ 0) ⇒ Có:  Có 5.5 = 25 số dạng a1a2 1 a2 : có 5 cách chọn Tương tự có 25 số. .. có 7 cách chọn mỗi chữ số tiếp theo là bất kỳ trong 7 chữ số còn lại trong tập hợp nên có 7! cách Cho nên có 7.7! số Riêng chữ số 1 có mặt 3 lần nên có 3! cách 7.7! = 5880 số xếp Vậy có: 3! 4 2 Theo trên có A 7 số Nếu thay 1 trong 3 chữ số 1 bởi số 0, có thêm 4 3 cách 011, 101, 110, do đó có 3 A 7 = 10080 số trong đó có 2 số 1 và 2 số 0 Trong A 5 số, thay 1 trong 2 chữ số 1 bởi số 0 có 2 cách: 01, 10 . từng dạng to n trong tổ hợp càng mang tính khoa học và trí tu . Tài liệu đã được biên so n khá công phu, phân loại từng dạng to n và đề cập nhiều bài to n sai lầm phổ biến khi giải to n đại. đây những đề thi hay thường có một lượng nhỏ dạng to n tổ hợp. Từ đó thấy rằng Đại số Tổ hợp chiếm một vò trí khá quan trọng. Đây là dạng to n tương đối khó, khá hay, khổ thay hơn nữa tài. nghiệm trong tuyển sinh, chúng tôi đã tinh lọc và giới thiệu dạng trắc nghiệm cho bạn đọc. Chúng tôi hy vọng với quyển sách này, các em có thể tự luyện tập để khỏi bỡ ngỡ trước các đề to n kiểm