http://laisac.page.tl Chuyên Đề THỂ TÍCH TÍ AOTRANGTB.COM Lưu Tuấn Hiệp GVTHPT Lai Vung THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ Phần I Trong trường phổ thông , Hình học Khôn g gian toán khó học sinh, học sinh phải đọc thật kỹ đề từ xác định giả thuyết toán, vẽ hình tiến hành giải toán Cả hai chương trình chuẩn nâng cao đề cập đến thể tích khối đa diện ( thể tích khối chóp , khối lăn g trụ) Thông thường toán hình chóp phân thành dạng sau: Cho hình chóp Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy S C A B Đa giác đáy : - Tam giác vuôn g - Tam giác cân - Tam giác - Hình vuông, chữ nhật Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Hình chóp S A C O B - Hình chóp tam giác - Hình chóp tứ giác Thông thường toán hình lăng trụ: C1 A1 C1 A1 V = B.h B1 B1 B: diện tích đáy h : đườn g cao A C A C G H B B Laêng trụ đứng ABC.A1B1C1 Lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 A1A ^ (ABC) A1G ^ (ABC) HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A Các Tính Chất : a Tam giác : - Diện tích tam giác A * S DABC = AB AC.sin µ A h * S DABC = BC AH B C H - Các tam giác đặc biệt : o Tam giác vuông : Tài liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay + Định lý pitago: BC = AB + AC + Tỷ số lượng giác tam giác vng A Đối b = Huyền a Kề c µ cos B = = Huyền a µ Đối = b tan B = Kề c µ sin B = b c C a B + Diện tích tam giác vuông: S DABC = AB AC o Tam giác cân: A + Đường cao AH đường trung tuyến + Tính đường cao diện tích µ AH = BH tan B S DABC = BC AH B H C o Tam giác A + Đường cao tam giác h = AM = AB 3 ) = ( AB ) ( đường cao h = cạnh x G C B + Diện tích : S DABC M Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://aotrangtb.com Taøi liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay b Tứ giác - Hình vng A + Diện tích hình vng : B S ABCD = ( AB) ( Diện tích cạnh bình phương) + Đường chéo hình vng O AC = BD = AB ( đường chéo hình vng cạnh x D C 2) + OA = OB = OC = OD - Hình chữ nhật A B + Diện tích hình vng : S ABCD = AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) O + Đường chéo hình chữa nhật C OA = OB = OC = OD D B Thể Tích Khối Chóp: + Thể tích khối chóp S V = B.h h C A H Trong : B diện tích đa giác đáy h : đường cao hình chóp B Các khối chóp đặc biệt : - Khối tứ diện đều: + Tất cạnh A + Tất mặt tam giác D B O + O trọng tâm tam giác đáy Và AO ^ (BCD) M S C - Khối chóp tứ giác + Tất cạnh bên + Đa giác đáy hình vuông tâm O A + SO ^ (ABCD) D B O C Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://aotrangtb.com Tài liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay C Góc: Cách xác định góc - Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): o Tìm hình chiếu d/ d lên mặt phẳng (P) o Khi góc d (P) góc d d/ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng, SA vng góc với (ABCD) góc SC với (ABCD) 450 Hãy xác định góc S Giải Ta có : AC = hc ABCD( ) SC A B O D · · · Þ (SC ,( ABCD )) = (SC , AC ) = SCA = 45o 45 C - Góc hai mặt phẳng (P) (Q) : o Xác định giao tuyến d (P) (Q) o Tìm (P) đường thẳng a ^ (d) , mặt phẳng (Q) đường thẳng b ^ (d) o Khi góc (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng, góc mặt bên với mặt đáy 600 Hãy xác định góc S A B 60 M O Giải Gọi M trung điểm BC Ta có : (SBC) Ç (ABCD) = BC (ABCD) É AM ^ BC AM hc (SBC) É SM ^ =BC SM ) ( ABCD ) ( · · · Þ (( SBC ), ( ABCD )) = ( SM , AM ) = SMA = 60o C Tài liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 1.1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a , AC = a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^ (ABC) vẽ thẳng đứng - Sử dụng định lý pitago tam giác vuông § Lời giải: Ta có : AB = a , S AC = a SB = a * D ABC vuông B nên BC = AC - AB = a C A Þ SDABC = 1 a2 BA.BC = a 2.a = 2 * D SAB vuông A có SA = SB - AB = a * Thể tích khối chóp S.ABC B 1 a2 a VS ABC = S ABC SA = a = 3 Bài Toán 1.2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^ (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC vuông , cân B nên BA = BC sử dụng định lý pitago tam giác vng § Lời giải: Ta có : AC = a , S SB = a * D ABC vuông, cân B nên AC =a 1 a2 = BA.BC = a.a = 2 BA = BC = C A Þ SDABC B * D SAB vng A có SA = SB - AB = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS ABC = S ABC SA = a = 3 Tài liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 1.3: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^ (ABC) vẽ thẳng đứng - Tam giác ABC có ba góc 600 sử dụng định lý pitago tam giác vng SAB § Lời giải: * D ABC cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a S Þ SDABC = C A 1 BA.BC.sin 600 = 2a.2 a = a2 2 * D SAB vuông A có SA = SB - AB = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a 3 VS ABC = S ABC SA = a 3.a = 3 B Bài Toán 1.4: · Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân A, BC = 2a , BAC = 1200 ,cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA ^ (ABC) vẽ thẳng đứng Tam giác ABC cân A Â = 1200 § Lời giải: * D ABC cân A, BAC = 1200 , BC = 2a · AB = AC = BC = 2a S Xét D AMB vng M có BM = a , Â = 600 C A M B BM a = =a tan 60 1 = AM BC = a.2a = a 2 Þ AM = Þ SDABC * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a 3 VS ABC = S ABC SA = a 3.a = 3 Tài liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 1.5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA ^ (ABCD) vẽ thẳng đứng - ABCD hình vng ; sử dụng định lý pitago tam giác vng § Lời giải: S Ta có :aABCD hình vng cạnh a * Diện tích ABCD SC = ( Þ SABCD = a A B ) = 2a * Ta có : AC = AB = a 2 = a D SAC vuông A Þ SA = SC - AC = a * Thể tích khối chóp S.ABCD D C 1 2a VS ABCD = S ABCD SA = 2a a = 3 Baøi Toán 1.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = AC = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Vẽ đáy hình vng ( vẽ hình bình hành), cao SA ^ (ABCD) vẽ thẳng đứng - Biết AC suy cạnh hình vng (Đường chéo hình vng cạnh nhân với ) § Lời giải: S Ta có : SA = AC = a * ABCD hình vng AC = AB Þ AB = AC =a Diện tích ABCD : SABCD = a A B * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABCD D Tài liệu lưu hành nội C 1 a3 VS ABCD = S ABCD SA = a a = 3 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 1.7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hình chóp tam giác có đáy tam giác tâm O + Gọi M trung điểm BC + O trọng tâm tam ABC + AM đường cao D ABC - Đường cao hình chóp SO ( SO ^ (ABC)) § Lời giải: S * S.ABC hình chóp tam giác Gọi M trung điểm BC D ABC cạnh a , tâm O SO ^ (ABC) SA=SB=SC = 2a a A C O M * D ABC cạnh 3a = Þ AM = a B Þ SDABC 2 2 3a Þ AO= AM = = a 3 1 3a = AB AC.sin 600 = a 3.a = 2 * D SAO vng A có SO = SA2 - AO = a * Thể tích khối chóp S.ABC 1 3a a3 VS ABC = S ABC SA = a = 3 4 § Nhận xét: học sinh thường làm sai toán - Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác + khơng xác định vị trí điểm O + khơng hiểu tính chất hình chóp SO ^ (ABC) + khơng tính AM khơng tính AO - Tính tốn sai kết thể tích Tài liệu lưu hành nội Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 1.8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hình chóp tứ giác có + đa giác đáy hình vng ABCD tâm O + SO ^ (ABCD) + tất cạnh bên - Đường cao hình chóp SO ( SO ^ (ABCD)) § Lời giải: S * S.ABCD hình chóp tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O SO ^ (ABCD) SA=SB=SC =SD = a * Diện tích hình vng ABCD Þ AC = 2a A B AC a = =a 2 2 Þ SABCD = ( 2a ) = 4a Þ AO= O D C * D SAO vng O có SO = SA2 - AO = a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 4a VS ABCD = S ABCD SA = 4a a = 3 § Nhận xét: học sinh thường làm sai toán - Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác + khơng xác định tính chất đa giác đáy hình vng + khơng SO ^ (ABCD) mà lại vẽ SA D (ABCD) + khơng tính AC khơng tính AO - Tính tốn sai kết thể tích Tài liệu lưu hành nội 10 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Dạng TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho Khi học sinh thực cách sau: + Cách 1: o Xác định đa giác đáy o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vng gới với mặt phẳng đáy) o Tính thể tích khối chóp theo cơng thức + Cách o Xác định đa giác đáy o Tình tỷ số độ dài đường cao (nếu đa giác đáy) diện tích đáy (nếu đường cao) khối chóp “nhỏ” khối chóp cho kết luận thể tích khối cần tìm k lần thể tích khối cho + Cách 3: dùng tỷ số thể tích Hai khối chóp S.MNK S.ABC có chung đỉnh S S góc đỉnh S M K n VS MNK SM SN SK = VS ABC SA SB SC Ta có : N A C B Cả hai chương trình chuẩn nâng cao có đề cập đến tính thể tích khối chóp “nhỏ” liên quan đến kiện khối chóp lớn.Tuy nhiên Chương Trình Chuẩn Chương Trình Nâng Cao ­ Khơng trình bày khái niệm tỷ số thể Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích tích khối chóp Tài liệu lưu hành nội khối chóp 17 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 3.1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M,N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho § Lời giải: S Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V = S h ) * Khối chóp S.AMN có N A C ­Đáy tam giác AMN ­ Đường cao SA * D AMN có Â = 60 0, AM=AN = a M B 1 a2 AM AN sin 600 = a.a = 2 * SA = a Þ SDAMN = * Thể tích khối chóp S.ABC 1 a2 a3 VS AMN = S AMN SA = a = 3 4 Cách : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có V A.SMN AS AM AN 1 = = = VA.SBC AS AB AC 2 V Þ VS AMN = VA.SMN = VA.SBC = S ABC 4 1 4a Ta có : VS ABC = S ABC SA = a = a 3 VS ABC a Vậy VS AMN = = 4 § Nhận xét: - Học sinh thường lúng túng gặp thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho xác định đa giác đáy đường cao thường bị sai - Trong số tốn việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi Tài liệu lưu hành nội 18 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 3.2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho § Lời giải: ( Dùng công thức tỷ số thể tích) S Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có N M C A VS AMN SA SM SN 1 = = = VS ABC SA SB SC 2 a 3.a V a3 = Þ VS AMN = S ABC = 4 3 3a Þ VA.BCNM = VS ABC = 4 B Bài Toán 3.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải § Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề hướng dẫn học sinh vẽ hình: - Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích khối chóp “nhỏ” dựa kiện liên quan đến khối chóp cho § Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD Ta có : IO // SA SA ^ (ABCD) Þ IO ^ (ABCD) S I A D O C Tài liệu lưu hành nội Þ VI ABCD = S ABCD IO Mà : S ABCD = a B SA IO = =a a3 Vậy VI ABCD = a a = 3 19 Löu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Dạng DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP Trong chương trình tốn phổ thơng, u cầu xác định tâm , bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu - Xác định tâm I bán kính mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp - Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu S ( s ) = 4p R V( s ) = 4p R3 Bài Toán 4.1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên tạo với đáy góc 45 o Tính thể tích khối chóp S.ABCD thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Giải § Lời giải: S * S.ABCD hình chóp tứ giác ABCD hình vng cạnh 2a , tâm O SO ^ (ABCD) OC = hc SC ( ABCD ) · · · Þ ( SC , ( ABCD )) = ( SC , OC ) = SCO = 45o A D B O * Diện tích hình vng ABCD Þ AC = 2a AC 2a = =a 2 2 = ( 2a ) = 4a Þ OC=AO= 45 C Þ SABCD · * D SOC vng O có OC = a , SCO = 45o Þ SO = OC = a * Thể tích khối chóp S.ABCD 1 4a VS ABCD = S ABCD SO = a a = 3 * Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a Þ mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O bán kính R = a 4p R 4p ( a )3 8p a Vậy V( s ) = = = Tài liệu lưu hành nội 3 20 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Toán 4.2: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a 1) Tính thể tích khối chóp 2) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 3) Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp Giải S M I C B O A D Gọi O giao điểm AC BD Ta có : SO ^ (ABCD) 0,25 V = SO.dt ( ABCD) 0,25 dt(ABCD) = a2 SO = SC2 ­ 2a a2 7a = 4a = 2 0,25 a 14 a 14 Vậy : V = Þ SO = 0,25 Dựng trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Þ SO ^ (ABCD) Dựng trung trực SA Þ d ^ SA trung điểm M Xét (SAO) có d cắt SO I, ta có : SI = IA IA = IB = IC = ID Þ IS = IA = IB = IC = ID Þ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I bán kính r = SI DSIM : DSAO Þ 0,25 0,25 SI SM SM.SA = Þ SI = SA SO SO Þ SI = 2a 14 2a 14 Vậy : r = SI = 7 0,25 224p a S = 4p r = 49 V= 448p a 14 pr = 1029 Taøi liệu lưu hành nội 0,25 21 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện Bài 1.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ^ ( ABCD ) SA = a Tính thể tích khối chóp S BCD theo a Bài 1.2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a; góc cạnh bên đáy 600 Tính thể tích khối chóp theo a ? Bài 1.3 Cho khối chóp tam giác S.ABC có AB = a , góc cạnh bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp theo a Bài 1.4 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a ; SA ^ ( ABCD ) Cạnh bên SB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 1.5 Bài 1.6 Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông cân B, AC = 2a, SA ^ ( ABC ) , góc SB mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.7 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông B, AB = a 3, AC = 2a , góc cạnh bên SB mặt đáy (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.8 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân C, AB = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy góc 300 Gọi M trung điểm SB Tính thể tích khối chóp M.ABC Bài 1.9 Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân A với BC = 2a , biết SA ^ (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp SABC Bài 1.10 Cho hình chóp tam giác S.ABC, gọi M, N, K trung điểm AB, BC, CA Tính tỷ số thể tích hai khối chóp SMNK SABC · Bài 1.11 Cho hình chóp S.ABC có SB = a ,AB=AC = a, BAC = 60 , Hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AC = a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 1.13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA= b Cắt khối chóp mặt phẳng (SBD) ta hai khối chóp đỉnh S a) Kể tên so sánh thể tích hai khối chóp b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích hai khối chóp S.ABC S.ABCD Tài liệu lưu hành nội 22 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài 1.14 Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a a) Chứng minh SABCD khối chóp tứ giác b) Tính thể tích khối chóp SABCD c) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC tam giác cạnh 3a , tâm O.Các cạnh Bài 1.15 bên SA=SB=SC cạnh bên SA tạo với mặt đáy góc 45o a).Tính thể tích khối chóp SABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 1.16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác tâm O, cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Xác định tâm I tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 1.17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD · Biết AB = 3a, BC = 4a SAO = 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 1.18 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AC = a , hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính diện tích thể tích mặt cầu khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 1.19 Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC tam giác vuông A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = a , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 1.20 Cho tứ diện ABCD cạnh a.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 1.21 Cho hình chóp tứ giác có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng Bài 1.22 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a · BAC = 1200 , cạnh AA’= a Gọi I trung điểm CC’ a) Chứng minh Tam giác AB’I vng A b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 1.23 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vng B; AB = a, BC = 2a.Cạnh SA ^ (ABC) SA = 2a Gọi M trung điểm SC.Tính thể tích khối chóp S.AMB, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB) Tài liệu lưu hành nội 23 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay MẶT TRỊN XOAY Phần II HÌNH TRỤ HÌNH NÓN B R A l=h l S O l2 = h2 + R l h h R A B' A' O' * Diện tích xung quanh O * Diện tích xung quanh Sxq = 2p Rl Sxq = p Rl * Diện tích tồn phần * Diện tích tồn phần Stp = 2p Rl + 2p R Stp = p Rl + p R * Thể Tích Khối trụ * Thể Tích Khối trụ V(T ) = p R h V( N ) = p R2h Ví dụ 2.1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích 6a2 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Giải * Mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo hình chữ nhật Þ S = l.2 R = a Þ l= 6a2 = 3a 2R * Diện tích xung quanh : Sxq = 2p Rl = 2p a.3a = 6p a2 * Thể tích khối trụ : V(T ) = p R h = p a2 3a = 3p a3 Ví dụ 2.2: Cho hình nón,mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Giải * Mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo tam giác cạnh 2a Þ h = l - R = (2 a)2 - a2 = a Þ l = R = 2a * Diện tích xung quanh : Sxq = p Rl = p a.2 a = 2p a * Thể tích khối trụ : V(T ) = Tài liệu lưu hành nội p R2h 24 = p a a 3 = p a3 3 Lưu Tuấn Hiệp B Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay · Cho khối chóp S.ABCD có AB = a, gọi O tâm đáy, SAO = 60 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2.Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Giải 0.25 1) Vì S.ABCD nên SO ^ ( ABCD ) Ta có : S ABCD = a ; 0.25 · = a tan 600 = a = a DSOA vng O có : SO = AO tan SAO 2 0.25 1 2a a Þ VS.ABCD = SABCD SO = a = (đvtt) 0.25 3 S Ví dụ 2.3: A D O B C 2.Gọi l,r đường sinh,bán kính đáy hình nón Ta có : r = OA = a ; 0.25 2 ỉa 6ư ỉa 2ư 3a a l = SA = SO + AO = ỗ + =a ữ +ỗ ữ = ç ÷ ç ÷ 2 è ø è ø Þ Sxq = prl = p 0.25 a a = pa (đvdt) 0.5 Ví dụ 2.4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 45o a) Tính thể tích khối chóp b) Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải a) Gọi O tâm hình vng ABCD Þ SO ^ (ABCD) V = B.h, B = a ; h = SO = OA tan 450 = a a3 Þ V= (đvtt) b) Ta có R =OA, l =SA= a Vậy S xq = p Tài liệu lưu hành nội boä 25 a a2 a =p 2 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Ví dụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ a) Ta có V = B.h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên B = S ABC = h = AA’ = a Þ V = a2 a3 (đvtt) b) Diện tích xung quanh mặt trụ tính theo cơng thức S xq = 2p R.l R bán kính đường trịn ngoại tiếp DABC a a = , l =AA’ =a 3 Þ R= Vậy diện tích cần tìm S xq = 2p a a2 a = 2p (đvdt) 3 Ví dụ 2.6: Một hình nón có đường sinh 2a thiết diện qua trục tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Giải Ù Ù a) Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A = B = 450 l Þ SO = OA = h=R= =a 2 l =2a Þ Sxq = pRl = p.a 2a = 2pa S Þ Stp = Sxq + Sđáy = 2p a2 + 2p a2 = (2 + 2)p a2 45o 1 2pa3 A O b) V = pR h = p2a a = 3 Ví dụ 2.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với đáy Gọi I trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp I.ABCD b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD ( khối nón có đỉnh I đáy hình trịn ngoại tiếp hình vng ABCD) SA a S a) Ta có IO ^ (ABCD) IO = = Thể tích V I ABCD I A D B b) Ta có khối nón có h = IO = a AC a = 2 1 a a pa = p R h = p = 3 2 12 Bán kính hình trịn đáy R = OA = O C Vậy V( N ) Tài liệu lưu hành noäi boä a3 = S ABC D IO = 26 Lưu Tuấn Hiệp B Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Tập Về Mặt Trịn Xoay Bài 2.1 Một hình trụ có khoảng cách hai đáy 7a Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục đoạn d = 3a theo thiết diện có diện tích S=56a2 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Bài 2.2 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nón diện tích xung quanh hình nón đă cho Bài 2.3 Cho hình nón trịn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón cho theo a Bài 2.4 Cho tam giác ABC vng cân A,có BC=20 (cm) Hình nón tṛò xoay n quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục đường thẳng chứa cạnh AB Tính Diện tích xung quanh hình nón Thể tích khối nón Bài 2.5 Cho hình lập phương ABCD A' B'C ' D ' có cạnh a Gọi O tâm hình vng ABCD a) Tính thể tích hình chóp O A' B 'C ' b) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình tṛịn nội tiếp hình vng A' B'C ' D ' Bài 2.6 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy SA = AC a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Khi quay tam giác SAB quanh trục SA tạo hình nón Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón Bài 2.7 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy cạnh SB = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 2.8 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm BC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC S.ABI theo a b) Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh hình chóp đáy hình trịn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy Bài 2.9 Biết AB=a, BC = a , SA=3a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 2.10 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, SA vng góc với đáy Biết SA=AB=BC=a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Tài liệu lưu hành nội 27 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay MỘT SỐ ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Đề Thi Học Kỳ 1­ Năm học 2008­2009 (1,0 điểm) Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 2a, góc mặt bên S Gọi O tâm đáy M trung điểm BC Do S.ABC hình chóp tam giác nên: ì ï SO ^ ( ABC ) í · ï g ( (SBC );( ABC )) = SMO = 60 ỵ 0,25 2a A C 60 O 2a M 2a Vì tam giác ABC tam giác cạnh 2a nên: (2a )2 3 a B SDABC = = a2 OM = a = a Xét tam giác vuông SMO: SO = OM t an60 = 3=a 1 a3 Vậy V = SDABC SO = a 3.a = 3 0,25 0,25 0,25 mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Đề Thi Học Kỳ 1­ Năm học 2009­2010 (2,0 điểm) Đáp số : V = Tài liệu lưu hành nội 28 3a 2a ,R = Löu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Đề Thi Diễn Tập TN 2009 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông B, AB = a 3, AC = 2a , góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC) 600 Gọi M trung điểm AC Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) Giải Tính thể tích khối chóp S.BCM khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) 1.0 ìSA ^ (ABC) ï · Do ï Þ BC ^ SB Þ SBA = éë·ùû = 600 (SBC); (ABC) í ïBC ^ AB ï ï ỵ S 0.25 Xét tam giác vng SAB SBC ta có: ì ï ï ï ïSA = AB t an600 = a 3 = 3a ï ï ï A ïSB = SA + AB2 = 2a ï ï ï ï ïBC = AC2 - AB2 = a í ï ï ï ï ïdt(DMBC) = dt(DABC) = AB.BC = a ï ï 4 ï ï ï ïdt(DSBC) = SB.BC = a ï ï ỵ Suy ra: 1 a2 a3 VS.BCM = dt(DMBC).SA = 3a = 3 4 a 3 3VS.BCM 3a d(M,(SBC)) = = 24 = dt(DSBC) a M C B 0.25 0.25 0.25 Đề Thi Diễn Tập TN 2010 (1,0 điểm) Đáp số : V = Taøi liệu lưu hành nội 29 a3 36 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Đề thi TN 2009 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vng · góc với mặt phẳng đáy Biết BAC = 120 , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Đề thi TN 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng (SBD) mặt phẳng đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://aotrangtb.com Taøi liệu lưu hành nội 30 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay PHỤ LỤC ĐÁP SỐ Phần I 1.1 1.2 1.3 9a , R = OA=a 1.15 a3 a 1.16 a) V= 6 a3 b) R = a3 12 2.2 V= p a 24 ; p a S xq = 3p a 13 3p a ,V = 4 2.3 S xq = 2.4 S = 400 2p ,V= 2.5 Sxq= 2.6 V = a3 8p a a ,S= 3 2.7 V= a3 2.8 a 11 VS ABI = VS ABC = 24 a3 1.22 V= 2.9 VS ABC = a3 a 1.23 V= , h = 2.10 VS ABC = 1.18 V= a a ,R= 1.5 2a3 1.19 V = 3a 1.6 a3 1.20 R= a3 2a Sxq = 70p a , V = 175p a 1.17 10a 2a 3 1.8 2.1 2a 3 1.4 1.7 Phần II V= 1.9 1.21 R= a3 3 1.10 1.11 a3 12 1.12 p a a 3p a ,S= p a2 8000 p ,V(N)= a3 V= ( 1.13 S xq = a b + a + b ( S tq = a a + b + a + b VS.ABC = a b VS.ABCD = a b 1.14 b).V = c) R = 8p a 27 p a3 12 a3 a 13 ,R= 2 a3 ) ) a3 AC a 2 Tài liệu lưu hành nội 31 Lưu Tuấn Hiệp Download tài li u h c t p, xem gi ng t i : http://aotrangtb.com ... Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Dạng TỶ SỐ THỂ TÍCH - Việc tính thể tích khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích khối chóp... Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện Bài 1.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ^ ( ABCD ) SA = a Tính thể tích khối chóp S BCD... sánh thể tích hai khối chóp b) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD c) Tính thể tích hai khối chóp S.ABC S.ABCD Tài liệu lưu hành nội 22 Lưu Tuấn Hiệp Toán 12 Thể Tích Khối