TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP 3 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Trang 78 1. Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: '()() Fxfx = , "x Ỵ K · Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ()() fxdxFxC =+ ò , C Ỵ R. · Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất · '()() fxdxfxC =+ ò · [ ] ()()()() fxgxdxfxdxgxdx ±=± òòò · ()()(0) kfxdxkfxdxk =¹ òò 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ()() fuduFuC =+ ò và () uux = có đạo hàm liên tục thì: [ ] [ ] ().'()() fuxuxdxFuxC =+ ò b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udvuvvdu =- òò CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. NGUYÊN HÀM · 0 dxC = ò · dxxC =+ ò · 1 ,(1) 1 x xdxC + =+¹- + ò a a a a · 1 ln dxxC x =+ ò · xx edxeC =+ ò · (01) ln x x a adxCa a =+<¹ ò · cossin xdxxC =+ ò · sincos xdxxC =-+ ò · 2 1 tan cos dxxC x =+ ò · 2 1 cot sin dxxC x =-+ ò · 1 cos()sin()(0) axbdxaxbCa a +=++¹ ò · 1 sin()cos()(0) axbdxaxbCa a +=-++¹ ò · 1 ,(0) axbaxb edxeCa a ++ =+¹ ò · 11 ln dxaxbC axba =++ + ò Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 79 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 1 ()–3fxxx x =+ b) 4 2 23 () x fx x + = c) 2 1 () x fx x - = d) 22 2 (1) () x fx x - = e) 34 () fxxxx =++ f) 3 12 ()fx xx =- g) 2 ()2sin 2 x fx= h) 2 ()tan fxx = i) 2 ()cos fxx = k) 22 1 () sin.cos fx xx = l) 22 cos2 () sin.cos x fx xx = m) ()2sin3cos2 fxxx = n) ( ) ()– 1 xx fxee= o) 2 ()2 cos x x e fxe x - ỉư =+ ç÷ ç÷ èø p) 31 () x fxe + = Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 3 ()45;(1)3 fxxxF =-+= b) ()35cos;()2 fxxF =-= p c) 2 35 ();()1 x fxFe x - == d) 2 13 ();(1) 2 x fxF x + == e) 3 2 1 ()=;(2)0 x fxF x - -= f) 1 ();(1)2 fxxxF x =+=- g) ()sin2.cos;'0 3 fxxxF ỉư == ç÷ èø p h) 43 2 325 ();(1)2 xx fxF x -+ == i) 33 2 337 ();(0)8 (1) xxx fxF x ++- == + k) 2 ()sin; 224 x fxF ỉư === ç÷ èø pp Bài 3. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 2 ()cos;()sin;3 2 gxxxxfxxxF ỉư =+== ç÷ èø p b) 2 ()sin;()cos;()0 gxxxxfxxxF =+== p c) 2 ()ln;()ln;(2)2 gxxxxfxxF =+==- Bài 4. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) ()(45) ()(41) x x Fxxe fxxe ì ï =- í =- ï ỵ b) 4 53 ()tan35 ()4tan4tan3 Fxxx fxxx ì ï =+- í =++ ï ỵ c) 2 2 22 4 ()ln 3 2 () (4)(3) x Fx x x fx xx ì ỉư + ï = ç÷ ç÷ ï + èø í - ï = ï ++ ỵ d) 2 2 2 4 21 ()ln 21 22(1) () 1 xx Fx xx x fx x ì -+ = ï ï ++ í - ï = ï + ỵ Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Trang 80 Bài 5. Tìm điều kiện để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): a) 32 2 ()(32)43 ()3104 Fxmxmxx Tìmm fxxx ì ï =++-+ í =+- ï ỵ b) 2 2 ()ln5 23 () 35 Fxxmx Tìmm x fx xx ì =-+ ï + í = ï ++ ỵ c) 22 2 ()()4 .,,. ()(2)4 Fxaxbxcxx Tìmabc fxxxx ì ï =++- í = ï ỵ d) 2 ()() .,,. ()(3) x x Fxaxbxce Tìmabc fxxe ì ï =++ í =- ï ỵ e) 22 22 ()() .,,. ()(287) x x Fxaxbxce Tìmabc fxxxe - - ì ï =++ í = + ï ỵ f) 2 2 ()() .,,. ()(32) x x Fxaxbxce Tìmabc fxxxe - - ì ï =++ í =-+ ï ỵ g) ()(1)sinsin2sin3 .,,. 23 ()cos bc Fxaxxx Tìmabc fxx ì ï =+++ í ï = ỵ h) 2 2 ()()23 .,,. 20307 () 23 Fxaxbxcx Tìmabc xx fx x ì =++- ï -+ í = ï - ỵ VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm () fxdx ò bằng phương pháp đổi biến số · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = [ ] ().'() guxux thì ta đặt ()'() tuxdtuxdx =Þ= . Khi đó: () fxdx ò = () gtdt ò , trong đó () gtdt ò dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính () gtdt ò theo t, ta phải thay lại t = u(x). · Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): a) (51) xdx - ò b) 5 (32) dx x - ò c) 52 xdx - ò d) 27 (21) xxdx + ò e) 342 (5) xxdx + ò f) 2 5 x dx x + ò g) 2 1. xxdx + ò h) 2 3 3 52 x dx x+ ò i) 2 (1) dx xx + ò k) 4 sincos xxdx ò l) 5 sin cos x dx x ò m) 2 tan cos xdx x ò f(x) có chứa Cách đổi biến 22 ax - sin, 22 xatt =-££ pp hoặc cos,0xatt =££ p 22 ax + tan, 22 xatt =-<< pp hoặc cot,0xatt =<< p Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 81 n) 3 x x edx e - ò o) 2 1 . x xedx + ò p) x e dx x ò q) 3 ln x dx x ò r) 1 x dx e + ò s) tan 2 cos x e dx x ò Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): a) 23 (1) dx x- ò b) 23 (1) dx x+ ò c) 2 1. xdx - ò d) 2 4 dx x - ò e) 22 1. xxdx - ò f) 2 1 dx x + ò g) 2 2 1 xdx x - ò h) 2 1 dx xx ++ ò i) 32 1. xxdx + ò VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) .sin xxdx ò b) cos xxdx ò c) 2 (5)sin xxdx + ò d) 2 (23)cos xxxdx ++ ò e) sin2 xxdx ò f) cos2 xxdx ò g) . x xedx ò h) 2 3 x xedx ò i) ln xdx ò k) ln xxdx ò l) 2 ln xdx ò m) 2 ln(1) xdx + ò n) 2 tan xxdx ò o) 22 cos xxdx ò p) 2 cos2 xxdx ò q) 2 ln(1) xxdx + ò r) .2 x xdx ò s) lg xxdx ò Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: a) x edx ò b) ln xdx x ò c) sin xdx ò d) cos xdx ò e) .sin xxdx ò f) 3 sin xdx ò g) ln(ln) x dx x ò h) sin(ln) xdx ò i) cos(ln) xdx ò Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: a) .cos x exdx ò b) 2 (1tantan) x exxdx ++ ò c) .sin2 x exdx ò d) 2 ln(cos) cos x dx x ò e) 2 ln(1) x dx x + ò f) 2 cos x dx x ò (). x Pxedx ò ().cos Pxxdx ò ().sin Pxxdx ò ().ln Pxxdx ò u P(x) P(x) P(x) lnx dv x edx cos xdx sin xdx P(x) Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Trang 82 g) ( ) 2 2 ln1 1 xxx dx x ++ + ò h) 3 2 1 x dx x+ ò i) 2 ln x dx x ỉư ç÷ èø ò VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: 1 2 ()()() (*) ()()() FxGxAxC FxGxBxC ì +=+ í -=+ ỵ Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ] 1 ()()() 2 FxAxBxC =++ là nguyên hàm của f(x). Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) sin sincos x dx xx - ò b) cos sincos x dx xx - ò c) sin sincos x dx xx + ò d) cos sincos x dx xx + ò e) 4 44 sin sincos x dx xx + ò f) 4 44 cos sincos x dx xx + ò g) 2 2sin.sin2 xxdx ò h) 2 2cos.sin2 xxdx ò i) x xx e dx ee - - ò k) x xx e dx ee - - - ò l) x xx e dx ee - + ò m) x xx e dx ee - - + ò VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: () () () Px fx Qx = – Nếu bậc của P(x) ³ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh). Chẳng hạn: 1 ()() AB xaxbxaxb =+ 2 22 1 ,40 ()() ABxC vớibac xm xmaxbxcaxbxc + =+=-< - -++++ D 2222 1 ()()()() ABCD xaxb xaxbxaxb =+++ 2. f(x) là hàm vô tỉ + f(x) = , m axb Rx cxd ỉư + ç÷ + èø ® đặt m axb t cxd + = + + f(x) = 1 ()() R xaxb ỉư ç÷ ç÷ ++ èø ® đặt txaxb =+++ Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 83 · f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: + [ ] sin()() 11 . sin().sin()sin()sin().sin() xaxb xaxbabxaxb +-+ = ++-++ , sin() 1 sin() ab sửdụng ab ỉư - = ç÷ - èø + [ ] sin()() 11 . cos().cos()sin()cos().cos() xaxb xaxbabxaxb +-+ = ++-++ , sin() 1 sin() ab sửdụng ab ỉư - = ç÷ - èø + [ ] cos()() 11 . sin().cos()cos()sin().cos() xaxb xaxbabxaxb +-+ = ++-++ , cos() 1 cos() ab sửdụng ab ỉư - = ç÷ - èø + Nếu (sin,cos)(sin,cos) RxxRxx -=- thì đặt t = cosx + Nếu (sin,cos)(sin,cos) RxxRxx -=- thì đặt t = sinx + Nếu (sin,cos)(sin,cos) RxxRxx =- thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) (1) dx xx + ò b) (1)(23) dx xx +- ò c) 2 2 1 1 x dx x + - ò d) 2 710 dx xx -+ ò e) 2 69 dx xx -+ ò f) 2 4 dx x - ò g) (1)(21) x dx xx++ ò h) 2 232 x dx xx ò i) 3 2 32 x dx xx -+ ò k) 2 (1) dx xx + ò l) 3 1 dx x + ò m) 3 1 x dx x - ò Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 11 dx x++ ò b) 1 2 x dx xx + - ò c) 3 1 11 dx x++ ò d) 4 1 dx xx + ò e) 3 x dx xx - ò f) (1) x dx xx+ ò g) 34 2 dx xxx ++ ò h) 1 1 xdx xx - + ò i) 3 1 1 xdx xx - + ò k) 2 3 (21)21 dx xx +-+ ò l) 2 56 dx xx -+ ò m) 2 68 dx xx ++ ò Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: a) sin2sin5 xxdx ò b) cossin3 xxdx ò c) 24 (tantan) xxdx + ò d) cos2 1sincos x dx xx + ò e) 2sin1 dx x + ò f) cos dx x ò g) 1sin cos x dx x - ò h) 3 sin cos x dx x ò i) coscos 4 dx xx ỉư + ç÷ èø ò p k) coscos2cos3 xxxdx ò l) 3 cos xdx ò m) 4 sin xdx ò Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Trang 84 1. Khái niệm tích phân · Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Ỵ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là () b a fxdx ò . ()()() b a fxdxFbFa =- ò · Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: ()()() ()() bbb aaa fxdxftdtfuduFbFa ====- òòò · Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: () b a Sfxdx = ò 2. Tính chất của tích phân · 0 0 ()0 fxdx = ò · ()() ba ab fxdxfxdx =- òò · ()() bb aa kfxdxkfxdx = òò (k: const) · [ ] ()()()() bbb aaa fxgxdxfxdxgxdx ±=± òòò · ()()() bcb aac fxdxfxdxfxdx =+ òòò · Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì ()0 b a fxdx ³ ò · Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì ()() bb aa fxdxgxdx ³ òò 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số [ ] () () ().'()() ub b aua fuxuxdxfudu = òò trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác đònh trên K, a, b Ỵ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Ỵ K thì: bb b a aa udvuvvdu =- òò CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II. TÍCH PHÂN Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân Trang 85 Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b a vdu ò dễ tính hơn b a udv ò . VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: ()()() b a fxdxFbFa =- ò Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ò ++ 2 1 3 )12( dxxx b) ò + ++ 2 1 132 ) 3 ( dxe x x x c) ò - 2 1 2 1 dx x x d) 2 2 1 2 x dx x - + ò e) ( ) ò - - + 1 2 2 2 4 4 dx x x f) 2 2 1 11 () e xxdx x x +++ ò g) 2 1 (1)(1) xxxdx +-+ ò h) 2 2 3 1 () xxxxdx ++ ò i) ( ) ò -+ 4 1 4 3 42 dxxxx k) 2 2 3 1 2 xx dx x - ò l) 2 1 257 e xx dx x +- ò m) 8 3 2 1 1 4 3 xdx x ỉư ç÷ - ç÷ èø ò Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 2 1 1 xdx + ò b) 5 2 dx x22 x ++- ò c) 2 2 3 1 () xxxxdx ++ ò d) 2 0 2 1 xdx dx x- ò e) 2 2 0 3 3 3 1 x dx x+ ò f) 4 2 0 9 xxdx + ò Bài 3. Tính các tích phân sau: a) ò + p p 0 ) 6 2sin( dxx b) 2 3 (2sin3) xcosxxdx ++ ò p p c) ( ) 6 0 sin3cos2 xxdx p + ò d) 4 2 0 tan. cos xdx x ò p e) 3 2 4 3tan xdx ò p p f) 4 2 6 (2cot5) xdx + ò p p Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Trang 86 g) 2 0 1sin dx x + ò p h) 2 0 1cos 1cos x dx x - + ò p i) 2 22 0 sin.cos xxdx ò p k) 3 2 6 (tancot) xxdx - - ò p p l) 2 2 sin() 4 sin() 4 x dx x - - + ò p p p p m) 4 4 0 cos xdx ò p Bài 4. Tính các tích phân sau: a) 1 0 dx xx xx ee ee - - - + ò b) 2 2 1 (1). ln xdx xxx + + ò c) 2 1 0 4 2 x x e dx e - + ò d) ln2 0 1 x x e dx e + ò e) 2 1 (1) x x e edx x - - ò f) 1 0 2 x x e dx ò g) cos 2 0 sin x exdx ò p h) 4 1 x e dx x ò i) 1 1ln e x dx x + ò k) 1 ln e x dx x ò l) 2 1 0 x xedx ò m) 1 0 1 1 x dx e+ ò VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Dạng 1: Giả sử ta cần tính () b a gxdx ò . Nếu viết được g(x) dưới dạng: [ ] ()().'() gxfuxux = thì () () ()() ub b aua gxdxfudu = òò Dạng 2: Giả sử ta cần tính () fxdx ò b a . Đặt x = x(t) (t Ỵ K) và a, b Ỵ K thoả mãn a = x(a), b = x(b) thì [ ] ()()'()() bb aa fxdxfxtxtdtgtdt == òòò b a [ ] ( ) ()().'() gtfxtxt = Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa Cách đổi biến 22 ax - sin, 22 xatt =-££ pp hoặc cos,0xatt =££ p 22 ax + tan, 22 xatt =-<< pp hoặc cot,0xatt =<< p 22 xa - {} ,;\0 sin22 a xt t éù =Ỵ- êú ëû pp hoặc [ ] ,0;\ cos2 a xt t ìü =Ỵ íý ỵþ p p [...]... Tùng Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 10: Thi t lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n = ò f ( x , n)dx (n Ỵ N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta a thường gặp một số yêu cầu sau: · Thi t lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 £ k £ n) · Chứng minh một công thức truy hồi cho trước · Tính một giá trò I n cụ thể nào đó 0 Bài 1 Lập công thức truy hồi cho các tích phân. .. 4 Nếu f(x) liên tục và f (a + b - x ) = f ( x ) hoặc f (a + b - x ) = - f ( x ) thì đặt: t=a+b–x Đặc biệt, nếu a + b = p thì đặt t=p–x nếu a + b = 2p thì đặt t = 2p – x Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực... 91 p 2 2 xdx 2 xdx ò (2 x - 1) cos 0 m) 0 2 x 0 2 6 2 0 0 2 dx p ò x sin x cos 0 p) p 4 dx ò cos 0 4 x dx Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm Bài 1 Tính các tích phân sau: a) d) 1 e x dx ò 1+ ex 0 ln 8 ò ln 3 g) k) 2 e ex +1 -x 1 1- e e e) dx h) dx ln x ò ln 2 ò 0 x 1... Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì · Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a] thì a ò f ( x )dx = 0 ò f ( x )dx = 2 ò f ( x )dx -a a -a a 0 Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau: a 0 a 0 a ỉ ư Bước 1: Phân tích I = ò f ( x )dx =... 1 x ò 3 i) ò ln( x 2 - x)dx 2 e m) ò ln 3 xdx 1 q) 0 ò x (e 2x + 3 x + 1)dx -1 e VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trò tuyệt đối Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ Bài 1 Tính các tích phân sau: a) 2 ò b) x - 2 dx 0 d) 3 ò 2 ò x 2 - x dx 0 x 2 - 1 dx e) 5 ( x + 2 - x - 2 )dx ò 3 f)... )n · Phân tích 1 Tính Jn = ò 1 (1 + x 2 )n x2 0 (1 + 1 i) I n = ò x n 1 - x dx 0 k) I n = p 4 ò 0 dx n cos x dx = x 2 )n 1 + x2 (1 + x 2 )n - x2 (1 + x 2 )n ìu = x ï x Đặt í dv = dx ï (1 + x 2 )n ỵ dx ìu = x n ï · Đặt í ïdv = 1 - x dx ỵ · Phân tích 1 n cos x = Trang 95 cos x cos n +1 x ® Đặt t = 1 cosn+1 x Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 Diện tích hình phẳng · Diện tích. .. = ò f ( x )dx ÷ ç ÷ -a 0 -a -a 0 è ø Bước 2: Tính tích phân J = 0 ò f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x -a – Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K ÞI=J+K=0 Trang 92 Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân – Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K Þ I = J + K = 2K Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì: a a f ( x) dx = ò f ( x )dx (với a Ỵ R+ và a > 0) -a a + 1 0 Để chứng minh tính chất này,... k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = 0 m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1 l) x - y 2 = 0, y = 2, x = 0 Trang 99 Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng IV ÔN TẬP TÍCH PHÂN Bài 1 Tính các tích phân sau: 2 ò x 2 - x dx 2 a) 0 ỉ x -1 ư d) ò ç ÷ dx x+2ø -1 è 1 g) k) h) 2 0 ( x + 1) 1 x ò 3 dx x2 + 1 Bài 2 Tính các tích phân sau: 2 x ò 1 + x - 1 dx 1 3 d) ò x5 + 2 x3 x2 + 1 0 l) o) ò x h) i) 2 -1 x + 2 x + 4 1 0 1+ 3 ò... các tích phân sau: a) ln 3 dx ò b) ex + 1 0 ln 3 ln 2 x x ln x + 1 ò ln 3 ex (e x + 1) e x - 1 ò e) dx 0 g) ò 0 ò e2 x dx e c) ex + 1 0 ln 2 d) ln 2 1 x (e2 x + 3 x + 1)dx f) ln 2 1 ex e x + e- x ò (e x + 1)3 0 0 h) e x dx ò -1 dx 1 + 3 ln x ln x dx x ò dx i) ln 2 ò e x - 1dx 0 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác Bài 1 Tính các tích phân. .. [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) · Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường: – Đồ thò của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S = ò g( y ) - h( y ) dy c 2 Thể tích vật thể · Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm các điểm a và b S(x) là diện tích thi t diện của vật thể . [ ] sin()() 11 . sin().sin()sin()sin().sin() xaxb xaxbabxaxb +-+ = + +-+ + , sin() 1 sin() ab sửdụng ab ỉư - = ç÷ - èø + [ ] sin()() 11 . cos().cos()sin()cos().cos() xaxb xaxbabxaxb +-+ = + +-+ + , sin() 1 sin() ab sửdụng ab ỉư - = ç÷ - èø . 6 2 66 0 cos sincos x dx xx + ò p i) 2 2 0 2sin.sin2 xxdx ò p k) 2 2 0 2cos.sin2 xxdx ò p l) 1 1 x xx e dx ee - - - ò m) 1 1 x xx e dx ee - - - - ò n) 1 1 x xx e dx ee - - + ò o). [ ] cos()() 11 . sin().cos()cos()sin().cos() xaxb xaxbabxaxb +-+ = + +-+ + , cos() 1 cos() ab sửdụng ab ỉư - = ç÷ - èø + Nếu (sin,cos)(sin,cos) RxxRxx -= - thì đặt t = cosx + Nếu (sin,cos)(sin,cos) RxxRxx -= -