Đang tải... (xem toàn văn)
hay
BÀI 1. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN I. LÝ THUYẾT Định nghĩa Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x ∈ (a;b) ta có F’(x) = f(x) Tính chất 1. [ ] ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 2. Cxdx += ∫ 3. ∫∫ = dxxfkdxxkf )()( Bảng công thức tìm nguyên hàm cơ bản Loại hàm Cơ bản Nâng cao 1. Hàm lũy thừa ∫ + + = + C x dxx 1 1 α α α ∫ + + + =+ + C bax a dxbax 1 )( 1 )( 1 α α α 2. Hàm số mũ ∫ += C a a dxa x x ln ∫ += + + C a a a dxa bax bax ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ += ++ Ce a dxe baxbax 1 3. Hàm logarit Cxdx x += ∫ ln 1 Cbax a dx bax ++= + ∫ ln 11 4.Hàm lượng giác Cxxdx +−= ∫ cossin Cbax a dxbax ++ − =+ ∫ )cos( 1 )sin( ∫ ∫ += += Cxdx x Cxxdx tan cos 1 sincos 2 ∫ ∫ ++= + ++=+ Cbax a dx bax Cbax a dxbax )tan( 1 )(cos 1 )sin( 1 )cos( 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 Cbax a dx bax ++−= + ∫ )cot( 1 )(sin 1 2 Vi phân Công thức gốc: dxyd y '= Công thức vi phân hay gặp nhất : )( 1 baxx d a d + = Đánh giá: Đưa vào vi phân lấy nguyên hàm, đưa ra khỏi vi phân lấy đạo hàm. Để áp dụng được công thức: ẩn trong và ngoài vi phân phải “đồng bộ” nhau. Công thức kinh nghiệm.(sẽ được chứng minh trong quá trình dạy) ∫ += + C a x axa dx arctan 1 22 ∫ + − + = − C xa xa axa dx ln 2 1 22 ∫ +++= + Caxx xa dx )ln( 22 22 II. BÀI TẬP MẪU Mẫu 1: Nguyên hàm cơ bản áp dụng trực tiếp công thức • 2 2 3 2 1 4 (2x 12) (4 48 144) 24 144 3 I dx x x dx x x x C= + = + + = + + + ∫ ∫ • 2 2 3 2 1 2 1 2 lnI x dx x x C x x x = + − = + + + ÷ ∫ • 3 3 3 1 3 ( 3 2 4) 2 4 3 ln3 x x x x I x e dx x e x C= + − + = + − + + ∫ • 2 4 2 1 tan 1 tan os I xdx dx x x C c x = = − = − + ÷ ∫ ∫ • 3 2 5 sinx (sinx ) cos 3 x I x x dx x dx x C x = + = + = − + + ÷ ∫ ∫ • 3 6 1 2 2 3 I x dx x x C x = + = + + ÷ ∫ • 7 2 1 1 1 cos cos sin dx I x x x dx x C x x x x = + = + = − + ÷ ÷ ∫ ∫ Mẫu 2: Vi phân cơ bản • 6 6 7 1 1 1 (2 12) (2 12) 2 14 I (2x 12) dx (2x 12) d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • 4 11 4 11 4 11 2 1 (4 11) 4 4 x x x e I e dx e d x C + + + = = + = + ∫ ∫ • 3 1 1 1 1 (8 3) ln 8 3 (8 3) 8 (8 3) 8 I dx d x x C x x = = + = + + + + ∫ ∫ • 2 4 1 1 1 sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 ) 2 2 4 I xdx x dx x x C= = − = − + ∫ ∫ • 5 1 1 cos 2 cos 2 ( 2 ) sin 2 4 4 4 4 2 2 I x dx x d x x C π π π π = + = + + = + + ÷ ÷ ÷ ∫ ∫ • 6 2 2 1 1 1 (3 1) cot(3 1) 3 sin (3 1) sin (3 1) I dx d x x C x x = = + = − + + + + ∫ ∫ Mẫu 2: Vi phân nâng cao • 2 2 3 1 3ln 3ln (ln ) ln x I dx xd x x C x = = = + ∫ ∫ • ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 12 12 ( 12) 12 3 I x x dx x d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • ( ) 3 3 4 4 4 4 3 1 1 2 12 2 12 (2 12) 2 12 8 12 I x x dx x d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • 2 2 3 4 2 cos sin 2 2cos sin 2 cos os os 3 I x xdx x xdx xdc x c x C= = = − = − + ∫ ∫ ∫ • 5 2 1 1 1 1 (2 tan 12) ln 2tan 12 2 2 tan 12 2 os (2 tan 12) I dx d x x C x c x x = = + = + + + + ∫ ∫ • cot 2 cot cot 6 2 cot cot ( cot ) (cot ) 2 sin x x x e x x I dx e x d x e C x + = = − + = + + ∫ ∫ II.BÀI TẬP Bài 1.1. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 3 1 1 I x dx x = − ÷ ∫ 2 2 (2x 12)I dx= + ∫ 3 (2x 12)I dx= + ∫ -1 2 4 (2x 12) (2 12)I x dx − = + + + ∫ 2 7 5 (2x 12)I dx= + ∫ 6 2013 I (2x 12) dx= + ∫ 7 (2x 12) I dx x-3 + = ∫ 8 1 (2x 12)(2x-12) I dx= + ∫ Bài 1.2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x 2 2 1 (2 )I x dx= + ∫ 2x+12 2 2 12 1 x I e dx e + = + ∫ 3x 3 2 e 1 1 x x I dx e e + = − + ∫ 2 2x 4 (2e 1).2 x e x I dx + = + ∫ 3 2 5 6(e +e ) x x I dx= ∫ 1 6 e (2 e ) x x x I dx − + = − ∫ 1 7 2 x x e I dx + = ∫ 2 12 8 2 1 x x e I dx e − + = ∫ Bài 1.3. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 sin(8 11)I x dx= + ∫ 2 2 1 sin (3 11) I dx x = + ∫ 2 3 sin ( ) 4 I x dx π = + ∫ 9 10 4 x sin(x 1995)I dx= + ∫ 2 5 cosI xdx= ∫ 6 cos(2x ) 4 I dx π = + ∫ 7 2 11 cos (11 9) I dx x = + ∫ 8 cos( 3) x x I e e dx= + ∫ Bài 1.4. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 1 (sin os )I x c x dx= + ∫ 4 4 2 ( os sin )I c x x dx= − ∫ 3 1 2 12 I dx x x = + + − ∫ 4 1 8 3 8 12 I dx x x = + + − ∫ 5 2 1 3 2 I dx x x = − + ∫ 6 2 tan 2 sin 4 x I dx x = ∫ Bài 1.5. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 3 1 (2 12) I dx x = + ∫ 1995 2 (29x 3)I dx= + ∫ 2 4 3 3 1 5 3 2 x x x I dx x + − + = ∫ 2 4 1 x I dx x − = ÷ ∫ 3 5 5 2 2 x x I dx x + = ∫ 4 4 6 3 2x x I dx x − + + = ∫ 7 2 1 1 I dx x = − ∫ 8 12 1 ( 2) I dx x x = + ∫ Bài 1.6. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1 I x x x x dx= ∫ 2 3 ( 1) x I dx x = − ∫ 2 3 1 1 x x I dx x + + = − ∫ 4 3 1 ( 1) I dx x x = + ∫ 5 3 3 1 ( 3) x I dx x + = + ∫ 6 4 1 ( 1) I dx x x = + ∫ 5 3 7 1I x x dx= − ∫ 8 2 5I x xdx= − ∫ Bài 1.7. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2 1 1 2 .3 .5 x x x I dx + − = ∫ 2 1 2 2 .3 .5 10 x x x x I dx + + = ∫ 3 3 5 2 2 x x I dx x + = ∫ 4 1 (2 12) I dx x x = + ∫ 5 2 1 cos (2 ) I dx x π = − ∫ 6 tan3 sin 6 x I dx x = ∫ ( ) 4 5 7 cos(4 5) x I e x dx − = + − ∫ 8 (t anx cot )I x dx= + ∫ Bài 1.8. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: ( ) 2 12 1 3sin(2 12) x I e x dx − = + + ∫ 2 2 2 sin (12 2 ) I dx x = − ∫ 2 3 cos (3 ) 2 I x dx π = + ∫ 2 4 tan 2I xdx= ∫ 2 12 12 5 (2 ) x x I e dx − − = − ∫ 6 1 4 11 2 12 I x dx x = − + ÷ + ∫ . dxxfkdxxkf )()( Bảng công thức tìm nguyên hàm cơ bản Loại hàm Cơ bản Nâng cao 1. Hàm lũy thừa ∫ + + = + C x dxx 1 1 α α α ∫ + + + =+ + C bax a dxbax 1 )( 1 )( 1 α α α 2. Hàm số mũ ∫ += C a a dxa x x ln ∫ += + + C a a a dxa bax bax ln 1 ∫ +=. bản • 6 6 7 1 1 1 (2 12 ) (2 12 ) 2 14 I (2x 12 ) dx (2x 12 ) d x x C= + = + + = + + ∫ ∫ • 4 11 4 11 4 11 2 1 (4 11 ) 4 4 x x x e I e dx e d x C + + + = = + = + ∫ ∫ • 3 1 1 1 1 (8 3) ln 8 3 (8 3) 8 (8 3). + ∫ 6 2 013 I (2x 12 ) dx= + ∫ 7 (2x 12 ) I dx x-3 + = ∫ 8 1 (2x 12 )(2x -12 ) I dx= + ∫ Bài 1. 2. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x 2 2 1 (2 )I x dx= + ∫ 2x +12 2 2 12 1 x I e dx e + = + ∫ 3x 3 2 e 1 1 x