Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình sai phân ẩn phi tuyến với kỹ thuật tuyến tính hoá
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————— Hà Thị Ngọc Yến PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN PHI TUYẾN VỚI KỸ THUẬT TUYẾN TÍNH HOÁ Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 62.46.30.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2009 Công trình được hoàn thành tại: Đ ẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Tập thể hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh GS. TS. Nguyễn Hữu Dư Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp nhà nước chấm luận án tiến sĩ họp tại vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội DANH MỤC CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. P. K. Anh, H. T. N. Yen, "On the solvability of initial-value prob- lems for nonlinear implicit difference equations", Advances in Dif- ference Equations, 3 (2004) 195 – 200. 2. P. K. Anh, H. T. N. Yen, "Floquet theorem for linear implicit nonau- tonomous difference equations", Journal of Mathematical Analysis and Applications 321 (2006) 921-929. 3. P. K. Anh, H. T. N. Yen and T. Q. Binh, "On quasi-linear implicit difference equations", Vietnam Journal of Mathematics 32 (2004) 75- 85. - MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, phương trình sai phân ẩn là đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong thực tế ứng dụng. Đặc biệt, phương trình sai phân ẩn là kết quả tự nhiên thu được từ việc sai phân hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số, là những đối tượng được quan tâm nghiên cứu rất nhiều trong thời gian gần đây. Cho đến nay, phương trình sai phân ẩn tuyến tính với hệ số hằng dạng Ax n+1 + Bx n = f n , trong đó A ∈ C m×m suy biến, đã được nghiên cứu tương đối đầy đủ và tổng hợp trong một số cuốn sách của các tác giả S. L. Campbell, L. Dai, v.v. Điều kiện tồn tại nghiệm và công thức nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình không thuần nhất đã đượ c thiết lập. Các tác giả cũng thu được kết quả về sự tồn tại nghiệm cho bài toán điều khiển rời rạc Ex k+1 = Ax k + Bu k ,k= 0,N − 1, trong đó E là ma trận suy biến. Tuy nhiên, những kết quả thu được cho phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng không thể mở rộng trực tiếp cho phương trình với hệ số biến thiên. Nhóm nghiên cứu của M. Benadbdallakh và A. G. Rutkas quan tâm đến phương trình sai phân với hệ số hằng trong không gian Bannach và thu được một số kết quả nhất định như: áp dụng khai triển tiệm cận để khảo sát phương trình; đưa ra lời giải cho bài toán giá trị ban đầu; nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình thuần nhất từ các đặc trưng của phổ của cặp toán tử tuyến tính đóng trên không gian Bannach; từ đó thu được định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình tựa tuyến tính tương ứng. Các bài toán điều khiển suy biến rời rạc với hệ số hằng, bài toán có nhiễu hoặc có trễ tương ứng cũng được nhiều tác giả quan tâm như Q. L. Zhang, W. Q. Liu, David Hill, X. Z. Dong, X. Ji, H. Su, J.Chu, S. Ma, Z. Cheng, C. Zhang, Liyi Dai, Shengyuan Xu, v.v. Nhiều kết quả về phương trình sai phân suy biến với hệ số hằng đã được thiết lập và mở rộng cho phương trình sai phân có trễ. 1 Nhóm nghiên cứu của Bondarenko và A. G. Rutkas quan tâm tới một lớp các phương trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên dạng đặc biệt T n x n+1 + x n = f n , trong đó T n là ma trận suy biến với mọi n. Họ đã đưa ra một số kết quả về tính giải được của bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên tuần hoàn cho phương trình này. Từ cuối những năm 90 của thế kỷ XX cho tới nay, nhóm nghiên cứu của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh và GS. TS. Nguyễn Hữu Dư quan tâm nhiều tới phương trình sai phân ẩn và đã thu đượ c một số kết quả nhất định. Các khái niệm về chỉ số, tựa chỉ số, chỉ số lạ của phương trình sai phân ẩn được thiết lập. Tính giải được của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình tuyến tính và phi tuyến cũng như bài toán biên nhiều điểm cho phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu. Hơn nữa, các tác giả đã chỉ ra mỗi quan hệ mật thiết giữa phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 với phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 cũng như sự hội tụ của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính tới nghiệm của phương trình vi phân đại số tuyến tính tương ứng. Thêm vào đó, việc đưa ra được dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass của phương trình sai phân tuyến tính ẩn giúp các tác giả xây dựng lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn, từ đó khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 tuần hoàn tuyến tính cũng như phi tuyến. Phương pháp hàm Lyapunov đã được áp dụng cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1. Công thức tính bán kính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 với hệ số hằng có nhiễu cũng đã được thiết lập. Việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn với chỉ số cao hơn 1 mới chỉ được bắt đầu. Phương trình sai phân ẩn tuyến tính ngẫu nhiên A(ξ n )X(n +1)=B(ξ n )X(n)+q n ,n∈ N, trong đó {ξ n : n ∈ N} là dãy độc lập cùng phân phối với giá trị trong không gian Polish đã được nghiên cứu. Từ đó, khái niệm chỉ số 1 và đặc trưng cho tập các giá trị ban đầu để bài toán Cauchy với điều kiện X(0) = x 0 ∈ R m có nghiệm được thiết lập. Khai triển Furstenberg-Kifer cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn ngẫu nhiên thuần nhất dạng Furstenberg-Kifer đã được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình sai phân 2 tuyến tính ẩn ngẫu nhiên không thuần nhất với giá trị ngẫu nhiên q n thỏa mãn những điều kiện nhất định được thiết lập. Luận án này được viết dựa trên ba bài báo đã được đăng [1,2,3] và một vài kết quả áp dụng từ những bài báo đó. Luận án gồm có mở đầu, kết luận chung và 3 chương được phân bố lần lượt như sau: 1. Chương 1. Lý thuyết floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn: Trong chương này, chúng tôi đưa ra định nghĩa chỉ số 1, dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass và xây dựng lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính (trong [2]). Áp dụng kết quả thu được cho bài toán Cauchy đối với phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 và phương trình sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số 1. Điều kiện ổn định nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1 cũng được thiết lập. 2. Chương 2. Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn: Đưa ra khái niệm tựa chỉ số. Chứng minh một số định lý tồn tại nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu của phương trình sai phân tựa tuyến tính chỉ số 1 và tựa chỉ số 1. Đưa ra một phương pháp giải gần đúng bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phân tựa tuyến tính chỉ số 1 (trong [3]). Đồng thời, chúng tôi áp dụng kết quả thu được trong Chương 1 để khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1. 3. Chương 3. Phương trình sai phân phi tuyến ẩn: Đề xuất khái niệm chỉ số cho phương trình sai phân phi tuyến ẩn. Thiết lập tính giải được duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (trong [1]). Phần cuối của chương khảo sát tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân phi tuyến ẩn tuần hoàn chỉ số 1. 3 Chương 1 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 1.1 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính Trong mục 1.1, chúng tôi trình bày ngắn gọn lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân tuyến tính. 1.2 Lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày sơ lược lý thuyết Floquet cho phương trình sai phân tuyến tính. 1.3 Lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 Mục 1.3 được chia thành 2 tiểu mục. Trong tiểu mục 1.3.1, chúng tôi nêu lại định nghĩa và một số tính chất cơ bản của phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1. Trong tiểu mục 1.3.2, chúng tôi trình bày những nét chính của lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1. 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng A n x n+1 + B n x n = q n ,n 0, (1.4.1) trong đó A n ∈ R m×m suy biến với mọi n, B n ∈ R m×m , và x n ,q n ∈ R m . 4 1.4.1 Khái niệm chỉ số Cho N là một không gian con k chiều của R m và ma trận đường chéo khối ˜ Q = diag (O m−k ,I k ) là phép chiếu chính tắc từ R m vào R k . Dưới đây chúng tôi đưa ra liên hệ giữa một phép chiếu bất kỳ từ R m lên N và phép chiếu chính tắc ˜ Q. Mệnh đề 1.4.1 Mọi phép chiếu Q từ R m lên N luôn đưa được về phép chiếu chính tắc từ R m lên R k , tức là tồn tại ma trận khả nghịch V ∈ R m×m thoả mãn Q = V ˜ QV −1 . Mệnh đề 1.4.2 Gọi toán tử Q αβ = V α ˜ QV −1 β là toán tử nối giữa hai không gian có cùng số chiều N α và N β (gọi tắt là toán tử nối). Khi đó toán tử nối thoả mãn các tính chất sau: Q α Q αβ = Q αβ = Q αβ Q β ;(1.4.2) Q α V α V −1 β = Q αβ = V α V −1 β Q β ;(1.4.3) Q αβ Q βα = Q α . (1.4.4) Toán tử nối là công cụ quan trọng giúp chúng tôi tiếp cận phương trình sai phân ẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1 cũng như thiết lập khái niệm chỉ số cho phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến. Định nghĩa 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn (1.4.1) được gọi là có chỉ số 1 nếu: i/ rankA n = r, n 0; ii/ S n ∩ ker A n−1 = {0}, ∀n 1, trong đó S n := {ξ ∈ R m : B n ξ ∈ imA n }. Ngoài ra, giả thiết rằng dim S 0 = r. Gọi A −1 ∈ R m×m là ma trận thoả mãn điều kiện S 0 ⊕kerA −1 = R m . Nếu cặp {A 0 ,B 0 } có chỉ số 1 thì ta có thể lấy A −1 = A 0 . Gọi Q −1 là phép chiếu nào đó lên ker A −1 và P −1 = I −Q −1 . Ta nhận thấy điều kiện ii/ trong Định nghĩa 1.4.3 bây giờ đúng với mọi n 0 và toán tử nối Q n−1,n cũng xác định với mọi n 0. 1.4.2 Các tính chất cơ bản của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất cơ bản của phương trình sai phân tuyến tính ẩn. Các tính chất tương tự đã được P. 5 K. Anh, N. H. Dư, L. C. Lợi thiết lập trước đó cho trường hợp Q n là phép chiếu trực giao. Ở đây Q n là phép chiếu bất kỳ lên ker A n . Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận G n = A n + B n Q n−1,n là ma trận không suy biến thì ta có các đẳng thức sau (i) A n P n = A n , (1.4.5) (ii) P n = G −1 n A n , (1.4.6) (iii) G −1 n B n Q n−1,n = Q n , (1.4.7) P n G −1 n B n Q n−1 =0,Q n G −1 n B n Q n−1 = Q n,n−1 . Mệnh đề 1.4.5 Các khẳng định sau là tương đương. i/ S n ∩ ker A n−1 = {0}. ii/ Ma trận G n := A n + B n Q n−1,n không suy biến. iii/ R m = S n ⊕ ker A n−1 . Hệ quả 1.4.6 Tính khả nghịch của ma trận G n = A n + B n Q n−1,n không phụ thuộc vào việc chọn các phép chiếu Q n ,Q n−1 . Mệnh đề 1.4.7 Giả sử phương trình sai phân ẩn tuyến tính (1.4.1) có chỉ số 1 và giả sử Q n−1 = V n−1 ˜ QV −1 n−1 là phép chiếu nào đó lên ker A n−1 (n 1). Khi đó: i/ ˜ Q n−1 := Q n−1,n G −1 n B n là phép chiếu chính tắc lên ker A n−1 song song với S n ; ii/ ˜ Q n−1 = ˜ V n−1 ˜ Q ˜ V −1 n−1 , trong đó ˜ V n−1 = s 1 n , , s r n ,h r+1 n−1 , , h m n−1 là ma trận có các cột tương ứng là cơ sở của S n và ker A n−1 , tức là S n = span s i n r i=1 và ker A n−1 = span h j n−1 m j=r+1 . Mệnh đề 1.4.8 Giả sử {E n } n0 và {F n } n−1 là hai họ các ma trận khả nghịch và giả sử phương trình (1.4.1) có chỉ số 1. Khi đó (1.4.1) tương đương với phương trình sai phân tuyến tính ẩn ¯ A n ¯x n+1 + ¯ B n ¯x n =¯q n , (1.4.8) với ¯ A n = E n A n F n ; ¯ B n = E n B n F n−1 ;¯q n = E n q n . Hơn nữa (1.4.8) cũng có chỉ số 1. E n được gọi là ma trận tỷ lệ và F n là ma trận của phép đổi biến x n = F n−1 ¯x n . 6 1.5 Lý thuyết Floquet 1.5.1 Định lý Kronecker Trong mục này, chúng tôi sử dụng các tính chất trong tiểu mục 1.4.2 tìm cặp (E n ,F n ) đưa phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 về dạng đơn giản, dễ giải hơn, từ đó đưa ra kết quả về nghiệm của bài toán giá trị ban đầu. Định lý 1.5.1 Mọi phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 đều có thể đưa được về dạng chuẩn tắc Kronecker - Weierstrass I r O r×(m−r) O (m−r)×r O m−r ¯x n+1 + W n O r×(m−r) O (m−r)×r I m−r ¯x n =¯q n . (1.5.1) Định lý 1.5.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 (1.4.1) A n x n+1 + B n x n = q n ,n 0, ˜ P −1 (x 0 − x 0 )=0, (1.5.4) luôn giải được duy nhất nghiệm với công thức x n+1 =(−1) n+1 ˜ V n ˜ P n k=0 ˜ G −1 n−k B n−k ˜ V n−k−1 ˜ V −1 −1 x 0 + ˜ V n n k=0 (−1) n−k ˜ P n−k−1 i=0 ˜ G −1 n−i B n−i ˜ V n−i−1 ˜ G −1 k q k + ˜ V n ˜ Q ˜ G −1 n q n . 1.5.2 Định lý Floquet Trong phần này, chúng tôi xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1, được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.5.3 Phương trình (1.4.1) được gọi là phương trình tuần hoàn với chu kỳ N ∈ N nếu N là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn A n+N = A n ,B n+N = B n , và q n+N = q n ∀n 0. 7 [...]... tuyến tính hóa phương trình sai n ∗ phân phi tuyến ẩn trong lân cận nghiệm (yn, x∗ ) ta thu được phương trình n sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 3.2.2 Một số tính chất của phương trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1 Trong phần này, chúng tôi đưa ra một vài tính chất của phương trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1 với những chứng minh tương tự trong Chương 1 3.3 Bài toán Cauchy cho phương trình sai. .. toán giá trị ban đầu, tính ổn định nghiệm của phương trình sai phân phi tuyến ẩn tuần hoàn 3.1 Phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 Trong mục này, chúng tôi trình bày ngắn gọn định nghĩa phương trình vi phân đại số phi tuyến chỉ số 1 và sự ổn định nghiệm của phương trình tuần hoàn tương ứng 3.2 Phương trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1 Xét phương trình sai phân phi tuyến dạng fn(xn+1 , xn... của phương trình sai phân tuyến tính ẩn, tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn chỉ số 1 4 Đề xuất khái niệm chỉ số 1, tựa chỉ số 1 cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn Sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 và tựa chỉ số 1 được thiết lập 5 Đề xuất phương pháp lặp giải gần đúng bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số... nó Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn 2.3.1 Phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn Trong phần này, chúng tôi nhắc lại kết quả của René Lamour, Roswitha M¨rz, và Renate Winkler về lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân a đại số và sự ổn định nghiệm của phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính 15 2.3.2 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn tuần hoàn Xét phương trình. .. chính tuyến tính tựa chỉ số 1 Trong phần trên, chúng ta đã khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn chỉ số 1 Kết quả này có thể mở rộng cho lớp các phương trình sai phân ẩn có tính chất gần giống với tính chất của phương trình có chỉ số 1 Lớp các phương trình đó được định nghĩa như sau Định nghĩa 2.1.5 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn An xn+1 + Bnxn = 0, được gọi là phương. .. hàm tuyến tính, tựa tuyến tính hoặc phi tuyến theo y, x, và không giải được theo ∂fn biến y, tức là suy biến ∂y II Các phương pháp đã sử dụng Dùng kỹ thuật tuyến tính hóa và các phương pháp dùng trong nghiên cứu phương trình sai phân, phương trình vi phân đại số vào việc khảo sát phương trình sai phân ẩn III Các kết quả chính và kết luận Luận án trình bày các kết quả chính sau: 1 1 Mọi PTSP tuyến tính. .. phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) An xn+1 + Bn xn + fn (xn+1 , xn ) = 0 Định nghĩa 2.1.9 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn (2.0.1) được gọi là phương trình tựa chỉ số 1 nếu phương trình tuyến tính tương ứng (2.1.1) An xn+1 + Bn xn = 0 là phương trình tựa chỉ số 1, còn phần phi tuyến fn (y, x) thỏa mãn điều kiện (2.0.2) Từ đây, kèm theo giả thiết tựa chỉ số 1 cho phương trình (2.0.1),... định tiệm cận mũ 16 Chương 3 Phương trình sai phân phi tuyến ẩn chỉ số 1 Trong các chương trước, chúng ta đã đưa ra khái niệm chỉ số cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính và tựa tuyến tính, trên cơ sở đó khảo sát tính giải được và ổn định nghiệm của bài toán giá trị ban đầu Một cách tương tự như vậy, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm chỉ số cho phương trình sai phân phi tuyến ẩn và khảo sát sự tồn tại... (1.6.2) của phương trình sai phân tuyến tính ẩn có trễ tuần hoàn chỉ số 1 giải được duy nhất nghiệm nếu các giá trị ban đầu thỏa mãn ràng buộc sau ˜ ˜ ˜ −1 Q V−1 γn0 + G−1 (C0 γ0 − q0 ) = 0 0 9 (1.6.3) Chương 2 Phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được và thuật toán tìm nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình sai phân tựa tuyến tính ẩn dạng... quả tự nhiên của việc rời rạc hóa các phương trình vi phân, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, Vì vậy việc nghiên cứu phương trình sai phân có thể cho ta công cụ giải quyết một số bài toán thực tế cũng như giúp ích trong việc giải số các phương trình vi phân, vi tích phân và phương trình đạo hàm riêng Luận án nghiên cứu phương trình sai phân ẩn dạng fn (xn+1 , xn ) = 0, trong đó . giữa phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 với phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 cũng như sự hội tụ của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính tới nghiệm của phương trình. cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính (trong [2]). Áp dụng kết quả thu được cho bài toán Cauchy đối với phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 và phương trình sai phân tuyến tính ẩn có. trình sai phân ẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1 cũng như thiết lập khái niệm chỉ số cho phương trình sai phân ẩn tựa tuyến tính và phi tuyến. Định nghĩa 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn (1.4.1)