Đang tải... (xem toàn văn)
Về cấu trúc của vành QF và một số vành mở rộng
Bé gi¸o dơc vµ ®µo t¹o ®¹i häc h Lª ®øc thoang VỀ CẤU TRÚC CỦA VÀNH QF VÀ MỘT SỐ VÀNH MỞ RỘNG Chuyªn ngµnh : §¹i sè vµ Lý thut sè M· sè : 62.46.05.01 ln ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: pgs. Ts. lª v¨n thut H, 2006 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã đợc sự nhất trí của đồng tác giả khi đa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực cha từng đợc ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả ii Công trình đợc hoàn thành tại: Khoa Toán, Trờng Đại Học S Phạm Huế - Đại Học Huế. Ngời hớng dẫn khoa học: PGS. TS. Lê Văn Thuyết Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung Viện Toán Học Phản biện 2: PGS. TS. Bùi Xuân Hải Trờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Gia Định Trờng Đại Học Khoa Học, Đại Học Huế Luận án sẽ đợc bảo vệ trớc hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp tại vào hồi giờ ngày tháng năm . Có thể tìm hiểu luận án tại th viện: . Mở đầu Lý thuyết vành QF có nguồn gốc từ lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn. Nakayama đã giới thiệu vành QF vào năm 1939, đó là lớp các vành Artin hai phía và mỗi iđêan một phía đều là một iđêan linh hóa tử hữu hạn sinh. Các vành QF có vai trò rất quan trọng trong lý thuyết vành kết hợp không giao hoán và đang đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trên vành QF thì mỗi môđun trung thành đều là một vật sinh. Sự phân loại giữa vật sinh và môđun trung thành trong phạm trù Mod-R (R-Mod), đã tạo ra các lớp vành tổng quát của vành QF. Năm 1966, tác giả Osofsky đã đa ra ví dụ chứng tỏ rằng tồn tại vành R thỏa mãn mọi R-môđun trung thành đều là vật sinh, nhng R không là vành QF. Đồng thời tác giả cũng đã định nghĩa lớp vành PF phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) trung thành đều là vật sinh. Các vành PF đã đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1984, khi nghiên cứu lớp các môđun hữu hạn sinh trên một vành, tác giả Faith và Page (1984) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp các vành FPF phải (trái), vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) trung thành hữu hạn sinh đều là vật sinh. Sau đó, vành FPF đã đợc nhiều tác giả khác quan tâm nghiên cứu nh Faticoni (1987), Faith và Pillay (1990), Yousif (1994), Khi quan tâm đến lớp các môđun đối trung thành hữu hạn sinh, tác giả Lê Văn Thuyết (1992) đã định nghĩa và nghiên cứu lớp các vành FSG phải (trái), tức là vành mà trên nó mọi môđun phải (trái) đối trung thành hữu hạn sinh đều là vật sinh. Vành FSG là một mở rộng thực sự của vành FPF và vành tự nội xạ. Năm 1967, khi phân loại giữa môđun nội xạ và môđun xạ ảnh, tác giả Faith và Walker đã đa ra đặc trng rất đẹp của vành QF: Một vành R là QF khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) nội xạ là xạ ảnh, khi và chỉ khi mỗi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ. Khi mọi R-môđun phải (trái) nội xạ đều là môđun nâng thì R đợc gọi là 1 vành H (Harada) phải (trái), còn khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh đều là môđun CS thì R đợc gọi là vành co-H phải (trái). Khái niệm môđun CS là một mở rộng thực sự của khái niệm môđun nội xạ, do đó mọi vành QF đều là vành co-H (phải và trái). Khái niệm vành H và vành co-H không đối xứng, tuy nhiên vành H trái và vành co-H phải là trùng nhau. Nội dung của luận án đợc chia làm ba chơng. Chơng 1, nêu các khái niệm cơ bản và các kết quả cần thiết để sử dụng trong các chơng sau. Cuối Chơng 1, chúng tôi nêu mệnh đề chứng tỏ rằng phần giao của lớp các vành co-H phải với một trong các lớp vành: GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải hoặc FSG phải, chính là lớp vành QF. Chơng 2, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trng vành co-H phải qua môđun tự do hữu hạn sinh. Với bài toán này, trớc đây tác giả Dân [12] đã giải quyết cho trờng hợp vành hoàn chỉnh phải, trờng hợp vành hoàn chỉnh trái vẫn cha đợc giải quyết. Nhiều tác giả, chẳng hạn nh Oshiro [45], Vanaja [62], cũng đã đặc trng vành co-H phải qua môđun tự do nhng với hệ sinh đếm đợc. Cũng trong chơng này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải, đó là lớp vành mở rộng thực sự của cả hai lớp vành co-H phải và PF phải. Đây là một mở rộng có ý nghĩa và cần thiết vì nó thừa hởng đợc cấu trúc đẹp của cả hai lớp vành co-H phải và PF phải. Chơng 3, chủ yếu nhằm giải quyết bài toán đặc trng vành QF, PF phải qua các lớp vành mở rộng của vành tự nội xạ. Đối với vành tự nội xạ, thì bài toán này đã đợc giải quyết hầu nh hoàn chỉnh. Tuy nhiên, đối với các mở rộng của vành tự nội xạ nh GP-nội xạ, FSG thì vấn đề vẫn đang còn để mở. Những kết quả trong Chơng 3 đã làm sáng tỏ đợc mối quan hệ giữa các vành GP-nội xạ, FSG với các vành QF và PF. 2 Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Trong luận án này, vành R đã cho luôn đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 10 và mọi R-môđun đợc xét là môđun unita. Chơng 1 của luận án, nêu những khái niệm cơ bản và một số kết quả liên quan đến luận án để sử dụng cho các chơng sau. Sau đây là những khái niệm cơ bản nhất mà luận án quan tâm nghiên cứu. Định nghĩa 1.2.1. Vành R đợc gọi là QF nếu nó là vành Artin (phải và trái), tự nội xạ (phải và trái). Tác giả Harada (1978) đã đa ra và nghiên cứu các điều kiện sau: (*) : Mọi R-môđun phải không bé đều chứa một môđun con nội xạ. * (*) : Mọi R-môđun phải không đối bé đều chứa một hạng tử trực tiếp xạ ảnh. Tác giả Oshiro (1984) đã định nghĩa và nghiên cứu vành H phải và co-H phải. Định nghĩa 1.2.8. Vành R đợc gọi là H phải nếu R là vành Artin phải và thỏa mãn điều kiện . Vành R đợc gọi là co-H phải nếu R thỏa mãn điều kiện và ACC trên các linh hóa tử phải. (*) * (*) Ta có các quan hệ: QF co-H (hai phía), co-H phải H trái, tuy nhiên co-H phải H phải. Định nghĩa 1.2.15. Vành R đợc gọi là: (i) PF phải nếu mỗi R-môđun phải trung thành là một vật sinh trong Mod-R. (ii) FPF phải nếu mỗi R-môđun phải trung thành hữu hạn sinh là một vật sinh trong Mod-R. (iii) FSG phải nếu mỗi R-môđun phải đối trung thành hữu hạn sinh là một vật sinh trong Mod-R. 3 Ta có các quan hệ: QF PF phải FPF phải FSG phải. Mệnh đề sau đây chứng tỏ rằng giao của lớp vành co-H phải với một trong các lớp vành: GP-nội xạ phải, tự nội xạ đơn phải hoặc FSG phải, chính là lớp vành QF. Mệnh đề 1.2.22. Giả sử R là vành co-H phải. Khi đó, những phát biểu sau đây là tơng đơng: (i) R là vành QF. (ii) R là vành GP-nội xạ phải. (iii) R là vành tự nội xạ đơn phải. (iv) R là vành FSG phải. Chơng 2: Vành co-H và các vành liên quan Trong chơng này, chúng tôi nghiên cứu lớp vành co-H phải (đây là một trong hai lớp vành mang tên vành Harada (vành H và vành co- H)) và các lớp vành liên quan. Cụ thể, nội dung gồm những vấn đề sau: Đặc trng vành co-H phải qua vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn ACC trên các iđêan linh hóa tử phải và R R R R là một môđun CS (hoặc mọi mở rộng cốt yếu của R R đều xạ ảnh) (Định lý 2.1.6 và Định lý 2.3.6). Kết quả này góp phần làm hoàn chỉnh các kết quả đã có trớc của các tác giả Dân (1989), Huỳnh và Dân (1992). Đặc trng lớp vành nửa hoàn chỉnh QF-3 phải. Đó là lớp các vành nửa hoàn chỉnh, thỏa mãn eR là môđun nội xạ với mọi lũy đẳng không bé e của vành đã cho R và E(R R ) là một môđun hữu hạn sinh (Định lý 2.2.3). Đây là lớp vành mở rộng thực sự của cả lớp vành PF phải và co-H phải. Kết quả này là sự mở rộng một kết quả của tác giả Harada (1978), trong khi tác giả đã đặc trng vành hoàn chỉnh phải QF-3 phải. Chúng tôi chứng minh đợc rằng trên vành nửa hoàn chỉnh R thỏa mãn R R R R là một môđun CS, thì điều kiện tơng đơng * (*) 4 với điều kiện mọi lũy đẳng nguyên thủy , f R fR không đẳng cấu với bất kỳ môđun con thực sự nào của nó (Định lý 2.2.7). Có đợc kết quả này là do xuất phát từ việc nhận thấy lớp vành nửa hoàn chỉnh R thỏa mãn R R R R là một môđun CS có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các lớp vành co-H phải, PF phải và các vành tự nội xạ phải, liên tục phải, v. v Ngoài ra, trong quá trình tiếp cận chứng minh một số vấn đề đã nêu ở trên, chúng tôi cũng đã chứng minh đợc trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái R thì điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng quát tơng đơng với điều kiện mọi R-môđun phải 2-sinh đợc phân tích thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi (Mệnh đề 2.3.2). Kết quả này là một mở rộng của Định lý 32.3, trang 347 trong cuốn sách "Vành và phạm trù môđun" (Anderson và Fuller, 1992). Vì trong đó vành R đợc giả thiết là Artin trái, và điều kiện để R là vành Artin chuỗi tổng quát tơng đơng với điều kiện mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đợc phân tích thành tổng trực tiếp các môđun chuỗi. Chơng 2 đợc viết chủ yếu dựa trên các bài báo 5, 6, 7. 2.1 Đặc trng vành co-H qua môđun tự do hữu hạn sinh thỏa mãn điều kiện C1 Trớc hết, chúng ta xét ví dụ chứng tỏ lớp các vành co-H là một mở rộng thực sự của lớp các vành QF. Ví dụ 2.1.1. Xét vành QF địa phơng [ ] ( ) 22 ,,QKxy xy= , trong đó K là một trờng. Đặt () ( ) ( ) ( ) ,, QQ J J Q S Soc Q Soc Q== = { } |,QQS aaaS aQ== =+. Định nghĩa T, W, V nh sau: ,, , abc Q QQ ab T dJ JQ dc == 5 ,, , Q Q a b abc Q V JQ dc dJ == ,, . Q Q a b abc Q W dJ JQ dc == Khi đó ta có những khẳng định sau: (i) T là vành QF. (ii) V là vành H và co-H (phải và trái). (iii) W là vành H trái và co-H phải. Tuy nhiên, W không là vành H phải cũng không là vành co-H trái. (iv) V, W không là vành PF phải (trái) hay QF. Nhằm đặc trng điều kiện trên vành hoàn chỉnh trái, chúng ta xét các Bổ đề sau. * (*) Bổ đề 2.1.2. Cho R là một vành nửa hoàn chỉnh. Khi đó, với mọi môđun địa phơng M R ta có M eR U , trong đó e là một lũy đẳng nguyên thủy của R và U là môđun con nào đó của eR. Hơn nữa, nếu R là vành QF-2 phải thì mọi R-môđun phải địa phơng là xạ ảnh hoặc suy biến. Bổ đề 2.1.3. Cho R là một vành CS phải, nửa hoàn chỉnh và thỏa mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy biến. Khi đó, với mọi R-môđun phải đều U ta có: (i) Với bất kỳ môđun con N U , hoặc là ( ) N ZU hoặc ( ) Z UN và (ii) () UZU là một môđun chuỗi. Bổ đề 2.1.4. Cho R là một vành hoàn chỉnh trái, CS phải và thỏa mãn mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy biến. Khi đó R là vành QF-3 phải. Hơn nữa, R thỏa mãn điều kiện . * (*) 6 Mệnh đề 2.1.5. Cho vành hoàn chỉnh trái R. Khi đó các phát biểu sau đây là tơng đơng: (i) R thỏa mãn điều kiện . * (*) (ii) R R R R là một môđun CS. (ii)' Mọi R-môđun phải 2-sinh là một tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến. (iii) ()k R R là một môđun CS với mỗi k N . (iii)' Mọi R-môđun phải hữu hạn sinh là một tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun suy biến. (iv) R là vành CS phải và mọi R-môđun phải 2-sinh đều (uniform) là xạ ảnh hoặc suy biến. Việc đặc trng điều kiện trên vành hoàn chỉnh trái (Mệnh đề 2.1.5) có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu và đặc trng vành co-H phải. * (*) Trớc đây (1989), tác giả Phan Dân đã đặc trng điều kiện trên vành hoàn chỉnh phải với những điều kiện tơng tự nh trong Mệnh đề 2.1.5 (ngoại trừ điều kiện (iv)). Tuy nhiên, trong lý thuyết vành kết hợp, những tính chất có ở phía phải của một vành R không nhất thiết có ở phía trái của R. Trong một lớp vành cụ thể, việc chứng minh những tính chất có ở phía phải của vành cũng có ở phía trái của vành, cũng nh việc tìm phản ví dụ chứng tỏ rằng tính chất đó có bên phải nhng không có bên trái là không đơn giản. * (*) Sau đây là đặc trng vành co-H phải trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái: Định lý 2.1.6. Cho vành R. Những phát biểu sau đây là tơng đơng: (i) R là vành co-H phải. (ii) R là vành hoàn chỉnh trái hoặc phải, thỏa mãn ACC trên các linh hóa tử phải, đồng thời thỏa mãn một trong các điều kiện tơng đơng trong Mệnh đề 2.1.5. 7 [...]... phải R: (i) R là vành Artin chuỗi tổng quát (ii) R là vành co-H (trái và phải) (iii) R là vành H (trái và phải) (iv) R là một vành hoàn chỉnh trái thỏa mãn mọi mở rộng cốt yếu của RR đều xạ ảnh 13 (v) Vành R tơng đơng Morita với tổng trực tiếp hữu hạn vành các ma trận tam giác trên mà các phần tử của nó đợc lấy trên một thể Chơng 3: Về các mở rộng của vành tự nội xạ và vành PF, QF Vành tự nội xạ đơn,... niệm vành QF- 3 phải theo Thrall (1948) và Harada (1978), đó là vành R thỏa mãn bao nội xạ E ( RR ) là một môđun xạ ảnh Nh vậy các vành PF phải, co-H phải đều là vành nửa hoàn chỉnh QF- 3 phải Trong mục này, chúng tôi mô tả cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnh QF- 3 phải Trớc hết ta xét các ví dụ sau đây, để chứng tỏ lớp vành nửa hoàn chỉnh QF- 3 là một mở rộng thực sự của cả hai lớp vành co-H và PF... Nicholson và Yousif (2003)) Mệnh đề 3.1.3 Cho R là vành nửa địa phơng, tự nội xạ đơn (phải và trái) thỏa mãn Soc( RR ) RR Nếu R thỏa mãn ACC trên các linh hóa tử phải thì R là vành QF Hệ quả 3.1.4 Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành tự nội xạ đơn (phải và trái) và Artin phải (hoặc trái) 15 b Vành GP-nội xạ và vành QF Để thuận tiện chúng tôi định nghĩa vành SGPE nh sau Định nghĩa 3.1.5 Một vành R... thì R là QF- 3 phải nếu và chỉ nếu eR nội xạ với mọi lũy đẳng nguyên thủy không bé e R Lớp vành "hoàn chỉnh phải, QF- 3 phải" là một mở rộng thực sự của lớp vành co-H phải, nhng không là mở rộng của lớp vành PF phải Định lý 2.2.3 gợi cho chúng ta xuất phát từ một lớp vành rộng hơn cả co-H phải và PF phải, để từ đó đặc trng ngợc trở lại vành co-H phải và PF phải Đây là một mở rộng có ý nghĩa trong việc... trong đó V là một C-song đại số với dim ( CV ) = dim (VC ) = 1 và V 2 = 0 Khi đó ta có R là vành Artin (hai phía), RR RR và R R R R là các môđun CS áp dụng Định lý 2.1.6 ta có R là vành co-H (phải và trái) Tuy nhiên R không là vành QF áp dụng cho vành co-H, vành H (hai phía) ta đợc: R là vành co-H khi và chỉ khi R là vành H khi và chỉ khi R là vành Artin phải (hoặc trái) thỏa mãn RR RR và R R R R... kiểm chứng điều kiện (*)* khi vành R đã cho thỏa mãn RR RR là một môđun CS Điều này rất có ý nghĩa trong việc nghiên cứu lớp vành co-H phải 2.3 Vành Artin chuỗi và vành co-H Lớp các vành Artin chuỗi tổng quát là một lớp con của lớp các vành co-H phải Để đặc trng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái, chúng ta xét cấu trúc của môđun chuỗi trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái... vành FSG trái và không cần điều kiện J(R) là iđêan linh Hệ quả 3.2.2 Một vành PF phải R là PF trái (PF hai phía) khi và chỉ khi R là vành FSG trái Đối với vành hoàn chỉnh phải (hoặc trái) R thì: R là vành QF khi và chỉ khi R là vành FSG (phải và trái) (Hệ quả 3.2.3) Sau đây là một đặc trng của vành PF phải qua vành nửa hoàn chỉnh, FSG phải, P-nội xạ trái và Kasch trái Mệnh đề 3.2.4 Cho vành R Những... đợc các đặc trng vành QF qua vành FSG phải, GP-nội xạ phải và thỏa mãn R Soc( RR ) là vành Goldie phải hoặc trái Hệ quả 3.1.12 Cho vành R Những phát biểu sau đây là tơng đơng: (i) R là vành QF (ii) R là vành GP-nội xạ phải, FSG phải và thỏa mãn ACC trên các linh hóa tử phải (iii) R là vành nửa hoàn chỉnh FSG phải, GP-nội xạ phải và thỏa mãn R Soc( RR ) là vành Goldie phải (iv) R là vành nửa hoàn chỉnh... nhng không là vành FSG phải hoặc trái Thật vậy, xét vành R đợc xây dựng nh trong Ví dụ 3.1.9 Khi đó, R không là vành FSG phải hoặc trái Vì nếu R là vành FSG phải hoặc trái, thì theo Hệ quả 3.3.3 ta có R là vành QF và điều này dẫn đến mâu thuẫn với khẳng định "R không là vành tự nội xạ đơn trái" Vậy R không là vành FSG phải hoặc trái 22 Ngoài ra ta có: Một vành R là QF khi và chỉ khi R là vành FSG phải,... 2.1.6 và Định lý 2.3.6) 2 Mô tả cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnh, QF- 3 phải (Định lý 2.2.3) 3 Đa ra điều kiện tơng đơng với điều kiện (*)* trên vành nửa hoàn chỉnh R thỏa mãn RR RR là một môđun CS (Định lý 2.2.7) 4 Đặc trng vành Artin chuỗi tổng quát trên vành hoàn chỉnh phải hoặc trái (Mệnh đề 2.3.2) 5 Đặc trng vành QF qua vành GP-nội xạ phải (Định lý 3.1.8) 6 Đặc trng vành PF phải qua vành . Về các mở rộng của vành tự nội xạ và vành PF, QF Vành tự nội xạ đơn, GP-nội xạ, FSG là các mở rộng thực sự của vành tự nội xạ. Trong chơng này, chúng tôi đặc trng vành QF qua các vành tự. lớp vành co-H phải (đây là một trong hai lớp vành mang tên vành Harada (vành H và vành co- H)) và các lớp vành liên quan. Cụ thể, nội dung gồm những vấn đề sau: Đặc trng vành co-H phải qua vành. chúng tôi nghiên cứu cấu trúc nội tại của vành nửa hoàn chỉnh QF- 3 phải, đó là lớp vành mở rộng thực sự của cả hai lớp vành co-H phải và PF phải. Đây là một mở rộng có ý nghĩa và cần thiết vì nó