Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng dụng lý thuyết đồ thị để khảo sát đặc trưng một số lớp ngôn ngữ và điều khiển tương tranh
Các thuật toán biến đổi trình thành trình tơng tranh đợc trình bày luận án chi tiết, đánh giá đợc độ phức tạp tính toán dễ dàng cài đặt máy tính 3) Tính toán cận độ phức tạp otomat đoán nhận ngôn ngữ sinh nguồn, biểu thức quy, sơ đồ sinh chùm đầu Những kết đạt đợc luận án phát triển cho mô hình biểu diễn khác hệ thống nh: hệ mạng theo thời gian, hệ thống công nghệ thông minh, otomat vào - ra, otomat sác xuất áp dụng vào thực tế nh: điều khiển tối u dây chuyền sản xuất công nghiệp, điều khiển giao tác tìm kiếm khai phá liệu sở liệu lớn Đó ý tởng mà tác giả dự định nghiên cứu thời gian tới 24 mở đầu Lý thuyết đồ thị ngành khoa học đời sớm có nhiều ứng dụng Nó đà trở thành công cụ đắc lực cho việc thiết kế thuật toán, mô hình hình học phân tích hệ thống, biểu diễn trình cđa hƯ thèng ViƯc tỉ chøc thùc hiƯn mét cách nhanh chóng trình xảy hệ thống phân tán nội dung toán điều khiển hệ thống Ngoài kỹ thuật đồng hoá kỹ thuật thực thi song song đà đợc xây dựng thành công I J Aalbersberg, G Rozenberg nhờ ngôn ngữ vết Hoàng Chí Thành nhờ phép đẩy trái Những kết gợi ý cho tác giả ứng dụng lý thuyết đồ thị để xây dựng thuật toán điều khiển tối u trình số hệ thống phân tán đợc biểu diễn hệ mạng điều kiện - biến cố hệ mạng vị trí - chuyển Từ hệ mạng đà cho xây dựng hành vi hệ Chúng ta xây dựng đồ thị có hớng gán nhÃn biểu diễn hành vi hệ mạng Trong trờng hợp hành vi có chứa trình vô hạn kỹ thuật phủ đỉnh giúp ta hữu hạn hoá đồ thị biểu diễn hành vi hệ Để điều khiển tơng tranh trình hệ mạng, xây dựng kỹ thuật ghép cạnh đồ thị biểu diễn hành vi hệ mạng Sau lần ghép cạnh ta nhận đợc trình với bớc tơng tranh có nhiều hành động số bớc trình giảm Đến ghép cạnh đợc bớc tơng tranh mà ta nhận đợc trở thành cực đại số bớc trình Khi đó, trình với bớc tơng tranh cực đại đợc thùc thi m«i tr−êng song song víi thêi gian Đó ý nghĩa điều khiển tối u mà mong muốn Ngôn ngữ sinh hệ mạng nói riêng ngôn ngữ hình thức nói chung có chế sinh ngôn ngữ Gần đây, đà xây dựng thêm đợc số công cụ khác để sinh ngôn ngữ quy nh: nguồn, biểu thức quy, sơ đồ sinh, chùm đầu Do vậy, việc nghiên cứu, khảo sát, tính toán độ phức tạp otomat số lớp ngôn ngữ đợc sinh từ công cụ đề tài đợc nhiều ngời quan tâm M Linna đà xác định độ phức tạp otomat cho thuật toán đoán nhận -ngôn ngữ phi ngữ cảnh Đô phức tạp otomat số ngôn ngữ đợc nghiên cứu Đặng Huy Ruận, Đỗ Long Vân Phan Trung Huy Việt Nam, việc nghiên cứu điều khiển hệ thống tơng tranh độ phức tạp ngôn ngữ hình thức đợc tập trung nghiên cứu Viện Toán học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Mục tiêu luận án sử dụng đồ thị định hớng gán nhÃn để xây dựng số thuật toán điều khiển tơng tranh trình xảy hệ mạng điều kiện - biến cố hệ mạng vị trí - chuyển Tác giả sử dụng đồ thị để biểu diễn số công cụ sinh ngôn ngữ nh: nguồn, biểu thức quy, đồ thị sinh, sơ đồ sinh chùm đầu nghiên cứu đánh giá cận độ phức tạp otomat công cụ Những kết đạt đợc ngôn ngữ sinh công cụ có ý nghĩa Trong luận án đà đóng góp đợc kết sau đây: 1) Mô tả toán điều khiển tơng tranh trình hệ thống 2) Xây dựng đồ thị trờng hợp ứng dụng để xây dựng thuật toán điều khiển tơng tranh trình hệ mạng điều kiện - biến cố 3) Cải tiến thuật toán xây dựng đồ thị phủ hệ mạng vị trí chuyển ứng dụng để xây dựng thuật toán điều khiển tơng tranh trình xảy hệ mạng vị trí chuyển 4) Tính toán cận độ phức tạp otomat đoán nhận ngôn ngữ sinh nguồn, biểu thức quy, sơ đồ sinh chùm đầu đỉnh tập q nhờ cung cốt yếu có nhÃn {a} Đặt f(q,a) = g(TIi(q,a)) Chơng khái niệm sở Trong chơng này, nhắc lại số khái niệm kết lý thuyết đồ thị, lý thuyết ngôn ngữ hình thức otomat khái niệm mạng Petri, hệ mạng điều kiện - biến cố hệ mạng vị trí chuyển 1.1 Đại cơng đồ thị 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1: Đồ thị cặp G = (V, E), đó: V tập hợp đỉnh E V ì V tập hợp cạnh Hai đỉnh nằm cạnh đợc gọi kề Do vậy, ta định nghĩa đồ thị ánh xạ kề nh sau Định nghĩa 1.2: Đồ thị cặp G = (V, F), đó: V tập hợp đỉnh F : V 2V , đợc gọi ánh xạ kề Ký hiệu số đỉnh đồ thị n số cạnh đồ thị m 1.1.2 Đờng chu trình Định nghĩa 1.4: Đờng đồ thị G dÃy đỉnh đồ thÞ: < x1, x2, , xi, xj+1, , xk-1 , xk > cho, đỉnh dÃy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trớc cạnh đó, nghĩa là: i = 2, 3, , k-1, k : (xi-1,xi) ∈ E Chu trình đờng khép kín 1.1.3 Một số cách biểu diễn đồ thị máy tính Phần KếT luận - Trạng thái kết thúc: trạng thái q q0 đợc xem trạng thái kết thúc otomat Ai nÕu tån t¹i Ýt nhÊt mét tõ p cho p L(Ii) gi(p) = q Trạng thái q0 đợc xem trạng thái kết thúc nÕu ε ∈ L(Ii) B−íc 3: Chøng minh sù t−¬ng đơng otomat với chùm đầu Ta chứng minh L(Ai) = L(Ii) Tổng kết lại, ta có định lý sau Định lý 3.18: Với chùm đầu I ta xây dựng otomat hữu hạn đơn định A tơng đơng với với số trạng thái không vợt 22 | D + ( I )| Vậy cận độ phức tạp otomat chùm đầu I 22 | D + ( I )| Bằng cách sử dụng công cụ lý thuyết đồ thị đà xây dựng đợc hai thuật toán điều khiển tơng tranh trình xảy hệ thống phân tán Đồng thời, kết hợp lý thuyết đồ thị với phơng pháp truyền thống otomat, đà xây dựng đợc otomat hữu hạn đoán nhận số lớp ngôn ngữ đánh giá cận độ phức tạp otomat cho ngôn ngữ Trong luận án này, đà đạt đợc đợc kết sau đây: 1) Bản luận án đà phát biểu toán điều khiển tơng tranh trình xảy hệ thống xây dựng đợc thuật toán đầy đủ hoá đồ thị trờng hợp hệ mạng điều kiện - biến cố Thuật toán cho đồ thị trờng hợp đầy đủ hệ mạng tơng ứng Khi đó, dÃy nhÃn đờng đồ thị trờng hợp đầy đủ trình tơng tranh xảy hệ mạng 2) Đồng thời luận án đà xây dựng thuật toán tìm bớc tơng tranh cực đại hệ mạng vị trí - chuyển nhờ đồ thị phủ Kết thuật toán chiến lợc điều khiển tối u hệ thống đợc biểu diễn hệ mạng vị trí - chuyển 23 Giả sử Ii chùm đầu Khi với từ p tuỳ ý chữ a thuộc ta xác định tập hợp sau đây: Xây dựng tập hỵp TIi(q,a) = {v ∈ D(Ii) ⎢∃s ∈ q : a LIi(s, v)}, D(Ii) tập đỉnh cốt yếu chùm đầu Ii Đây tập đỉnh kề với a) Biểu diễn đồ thị ma trận kề Ma trận vuông An x n đợc gọi ma trận kề đồ thị G nÕu: ∀i, j ∈ V : A[i,j] = d, với d số cạnh nối đỉnh i với ®Ønh j G b) BiĨu diƠn ®å thÞ b»ng danh sách kề Với đỉnh đồ thị ta xây dựng danh sách liên kết chứa đỉnh kề với đỉnh Một đồ thị đợc biểu diễn mảng danh sách kề 1.1.4 Bài toán tìm đờng đồ thị Bài toán: Cho đồ thị G hai đỉnh a, b thuộc G Có hay không đờng từ đỉnh a đến đỉnh b đồ thị G? Thuật toán 1.1 (Xác định đờng đi) Đầu vào: Đồ thị G = (V,E) đỉnh a, b thuộc V Đầu ra: Câu trả lời: có / không 1) Xây dựng ma trận kề A cho đồ thị G 2) Tính ma trận tỉng c¸c l thõa T = A1 + A2 + + An-1 3) NÕu T[a,b] ≥ th× kÕt luận có đờng từ đỉnh a đến đỉnh b, ngợc lại kết luận Hiển nhiên, thuật toán có độ phức tạp O(n4) 1.1.5 Đồ thị gán nhn Giả sử G = (V, E) đồ thị L tập hợp không rỗng Hàm n : E L đợc gọi hàm gán nhÃn cạnh đồ thị đà cho Khi đó, cạnh e E đợc gán nhÃn n(e) L 1.1.6 Các thuật toán duyệt đồ thị Phép duyệt đồ thị cách liệt kê tất đỉnh đồ thị thành danh sách tuyến tính 1) Duyệt đồ thị theo chiều sâu Sử dụng stack S để lu trữ đỉnh duyệt danh sách L chứa kết Thuật toán 1.4 (Duyệt đồ thị theo chiều sâu) Dữ liệu: Mảng danh sách kề DK đồ thị G Kết quả: Danh sách L tất đỉnh đồ thị G procedure D_SAU2 (v) ; begin S := ∅ ; Thăm_đỉnh (v) ; L := L v ; { thêm v vào danh sách L } Duyet [v] := true ; push v onto S ; {nạp v lên đỉnh S} while S ≠ ∅ begin 10 while ∃x ∈ DK[top(S)] 22 γ1(pa) = {β ⎜a ∈ LIi(sIi,β)} nÕu p = ε vµ = {β ⎜∃α ∈ ZIi(p) ∩ D+(Ii) a LIi(,)} ngợc lại 2(pa) = {β ⎜∃t , ≤ t ≤ s mµ pa ∈ NIi(ejt) vµ a ∈ LIi(K(ejt),β)}, γ3(pa) = {β ⎜∃t , ≤ t ≤ s mµ pa ∈ NIi(ejt) LIi(K(ejt),)} Bổ đề 3.12: Với từ p chữ a thì: Z Ii(pa) = γ1(pa) ∪ γ2(pa) ∪ γ3(pa) HƯ qu¶ 3.13: Với sơ đồ sinh đơn giản S, từ p chữ a ta cã: ZS(pa) = γ1(pa) HƯ qu¶ 3.14: Gi¶ sư S sơ đồ sinh đơn giản, p1, p2 từ chữ a Nếu ZS(p1) D+(S) ⊆ ZS(p2) ∩ D+(S) th× ZS(p1a) ∩ D+(S) ⊆ ZS(p2a) D+(S) Bổ đề 3.15: Giả sử p1 p2 từ tuỳ ý a chữ thuéc Σ NÕu gi(p1) ⊆ gi(p2) th× gi(p1a) ⊆ gi(p2a) Hệ 3.16: Nếu gi(p1a) gi(p2a) với từ q ta có: gi(p1q) gi(p2q) Hệ 3.17: Giả sử gi(p1) gi(p2) Khi với tõ q, nÕu p2q ∈ C(L(Ii)) th× p1q ∈ C(L(Ii)) Bớc 2: Xây dựng otomat Xây dựng otomat hữu hạn đơn định Ai tơng đơng với chùm đầu Ii nh sau: - Tập trạng thái Q(Ai) = {s0(Ii)} {gi(p) p } - Trạng thái khởi đầu Ai q0 = {s0(Ii)} - Hàm chuyển trạng thái f xác định nh sau: với chữ a , 1) f (q0, a) = gi(a) 2) Gi¶ sư q ∈ Q(Ai) , q ≠ q0 11 if NOT Duyet [x] then 12 begin 13 Thăm_đỉnh (x) ; 14 L := L x ; 15 Duyet [x] := true ; 16 push x onto S ; 17 end ; 18 pop(S) ; {loại bỏ phần tử đỉnh cña S} 19 end ; 20 end ; 21 BEGIN { Chơng trình } 22 for v V Duyet [v] := false ; 23 L := ∅ ; 24 for v ∈ V 25 if NOT Duyet [v] then D_SAU2 (v) ; 26 END §é phøc tạp thật toán duyệt theo chiều sâu là: O(n+m) 2) Duyệt đồ thị theo chiều rộng Sử dụng hàng đợi Q để lu trữ đỉnh đợc duyệt và danh sách L chứa kết Thuật toán 1.5 (Duyệt đồ thị theo chiều rộng) Dữ liệu: Mảng danh sách kề DK đồ thị G Kết quả: Danh sách L tất đỉnh đồ thÞ G procedure D_RONG (v) ; begin Q := ∅ ; enqueue v into Q ; {nạp v vào cuối hàng đợi Q} Duyet [v] := true ; while Q ≠ ∅ begin dequeue x from Q ; {lo¹i x khỏi đầu Q} Thăm_đỉnh (x) ; 10 L := L x ; 11 for u ∈ DK[x] 12 if NOT Duyet [u] then 13 begin 14 enqueue u into Q ; 15 Duyet [u] := true ; 16 end ; 17 end ; 18 end ; Định lý 3.9: Với sơ đồ sinh S, cận độ phức tạp otomat l ( S )1 3|S |.3 3.4 Độ phức tạp otomat chùm đầu 3.4.1 Khái niệm chùm đầu Giả sư I = (V, E, s0, F, Σ, n) lµ đồ thị sinh thuộc sơ đồ sinh S X từ bảng chữ Σ Ký hiÖu ZI(X) = {α ∈ V(I) ⎢X ∈ LI(sI,)} Đó tập đỉnh đồ thị sinh I đạt đợc nhờ từ X Định nghĩa 3.5: Đồ thị sinh I đợc gọi chùm đầu nếu: 1) Không có cung tới đỉnh vào s0 đồ thị sinh I 2) Mỗi cung bù cung giao đồ thị sinh I đồ thị sinh mà I phụ thuộc cung từ đỉnh vào đồ thị sinh chứa cung Ký hiệu D+(I) tập tất đỉnh cốt yếu đồ thị sinh I đồ thị sinh sơ đồ sinh S mà I phụ thuộc 3.4.2 Otomat hữu hạn đơn định đoán nhận ngôn ngữ sinh chùm đầu Để xây dựng otomat hữu hạn đơn định có trạng thái đoán nhận đợc ngôn ngữ sinh chùm đầu ta tiến hành ba bớc sau Bớc 1: Nghiên cứu cấu trúc trạng thái otomat Định nghĩa hàm gi : + 2D + (Ii ) cách đệ quy nh− sau: Víi tõ p ≠ ∅, gi¶ sư ej1, ej2, , ejs tất cung bù chùm đầu Ii với chùm đầu Ijt (1 t s) hàm gjt(p) đà đợc xác định Thế thì: s gi(p) = (ZIi(p) D+(Ii)) U (D t =1 + ( I jt ) \ g jt ( p)) Mét sè tÝnh chÊt cđa hµm gi: Bổ đề 3.10: Giả sử p1, p2 từ khác rỗng Nếu gi(p1) gi(p2) p1 L(Ii) p2 L(Ii) Hệ 3.11: Nếu gi(p1) gi(p2) p2 C(L(Ii)) p1 C(L(Ii)) 21 Độ sâu độ phụ thuộc đồ thị sinh I đợc lấy là: l(I) = max {l(e)} eE ( I ) Khi đó, độ sâu độ phụ thuộc l(S) sơ đồ sinh S đợc định nghĩa độ sâu độ phụ thuộc đồ thị sinh cuối cùng, nghĩa l(S) = l(In) Sơ đồ sinh S đợc gọi đơn giản đồ thị sinh Ii (1 i n) chứa cung rỗng cung cốt yếu 3.3.2 Độ phức tạp otomat sơ đồ sinh Để xác định độ phức tạp otomat sơ đồ sinh, ta xây dựng số phép biến đổi sơ đồ sinh nhận đợc kết hỗ trợ sau Bổ đề 3.3: Với sơ đồ sinh đơn giản S1, S2, , Sk xây dựng sơ k đồ sinh đơn gi¶n S, cho: L(S) = k I L(S ) vµ |D(S)| ≤ ∏| D(S ) | t t =1 t t =1 Bổ đề 3.4: Với sơ đồ sinh đơn giản S xây dựng đợc sơ đồ sinh đơn giản S' cho: |D(S')| ≤ |D(S)| vµ L(S') = {X ∈ Σ* ⎜∃Y ∈ L(S) , |X | = | Y|} Bỉ ®Ị 3.5: Với sơ đồ sinh S chứa cung lấy tiền tố, ta xây dựng đợc sơ đồ sinh đơn giản S', cho |D(S')| < |D(S)|3 vµ L(S') = {X ⎜X lµ tiỊn tè cđa tõ thuộc đồ thị sinh Ii thuộc S} Bổ đề 3.6: Với sơ đồ sinh S chứa cung lấy hậu tố ta xây dựng đợc sơ đồ sinh đơn giản S' mà |D(S')| < |D(S)|3 L(S') = {X ⎜X lµ hËu tè cđa tõ thc đồ thị sinh Ij thuộc S} Bổ đề 3.7: Giả sử I, 1, 2, , k đồ thị sinh đỉnh chung e1, e2 , , ek cung đồ thị sinh I mà MI(ei) = L(i) với i (1 i k), vµ I1 = , ,e [ I ]e11,,eΔ , ,k k kết phép thay cung e i k đồ thị sinh i Thế thì, L(I1) = L(I) |D(I1)| ≤ |D(I )| + ∑ | D(Δ ) | i =1 i Bổ đề 3.8: Với sơ đồ sinh S không chứa cung bù xây dựng đợc sơ đồ sinh đơn giản S' cho: L(S') = L(S) vµ |D(S')| ≤ |S |.3( l ( S )1) 19 BEGIN { Chơng trình } 20 for v ∈ V Duyet [v] := false ; 21 L := ∅ ; 22 for v ∈ V 23 if NOT Duyet [v] then D_RONG (v) ; 24 END Độ phức tạp thật toán duyệt theo chiều rộng Thuật toán duyệt đồ thị theo chiều rộng có độ phức tạp là: O(n+m) 1.2 Ngôn ngữ hình thức otomat 1.2.1 Bảng chữ cái, từ ngôn ngữ Một tập ký hiệu đợc gọi bảng chữ Từ dÃy chữ khác rỗng thuộc bảng chữ TÝch ghÐp cđa hai tõ α vµ β, ký hiƯu ., xâu đợc tạo thành cách ghép vào sau Ngôn ngữ tập hợp từ bảng chữ 1.2.2 Một số phép toán ngôn ngữ 1) Tích ghép hai ngôn ngữ 2) Hợp hai ngôn ngữ 3) Giao hai ngôn ngữ 4) Hiệu hai ngôn ngữ 5) Phần bù ngôn ngữ 6) Lặp ngôn ngữ 7) Lặp cắt ngôn ngữ 1.2.3 Một số công cụ sinh ngôn ngữ quy mối quan hệ chúng a) Văn phạm quy Định nghĩa 1.6: Văn phạm bốn G = (, V, P, S), đó: - bảng chữ chính, - V bảng chữ phụ, - S chữ phụ đợc gọi ký hiệu khởi đầu, - P tập hữu hạn quy tắc dẫn xuất có dạng β, víi α, β ∈ (Σ ∪ V)* vµ α , đồng thời từ phải chứa chữ phô Ta nãi r»ng tõ x dÉn trùc tiÕp tõ y, ký hiƯu x → y, nÕu tån t¹i c¸c tõ x1, x2, u, v ∈ (Σ ∪ V)* cho x = x1 u x2 , y = x1 v x2 vµ u → v lµ mét quy * Từ bổ đề ta có khẳng định sau 20 tắc dẫn xuất P Ta nãi r»ng tõ x dÉn tõ y, ký hiÖu x y, tồn dÃy từ x0, x1, , xk ∈ (Σ ∪ V)* víi k ≥ 0, cho x0 = x, xk = y vµ xi → xi+1, víi ≤ i ≤ k-1 Ngôn ngữ L(G) sinh văn phạm G đợc ®Þnh nghÜa nh− sau: * L(G) = { w ⎢ w * , S w} Văn phạm G đợc gọi văn phạm cảm ngữ cảnh quy tắc có dạng 1A → ξ θ ξ ®ã ξ 1, ξ ∈ (Σ ∪ V)*, A θ ∈ ( V)+ Quy tắc cảm ngữ cảnh mà = = đợc gọi quy tắc phi ngữ cảnh Văn phạm G với quy tắc quy tắc phi ngữ cảnh đợc gọi văn phạm phi ngữ cảnh Văn phạm phi ngữ cảnh mà quy tắc có dạng: A aB A a víi A, B ∈ V vµ a ∈ Σ đợc gọi văn phạm quy Ngôn ngữ sinh văn phạm quy đợc gọi ngôn ngữ quy N Chomsky đà phân văn phạm thành lớp nh sau: - Lớp văn phạm loại : bao gồm văn phạm tổng quát - Lớp văn phạm loại : bao gồm văn phạm cảm ngữ cảnh - Lớp văn phạm loại : bao gồm văn phạm phi ngữ cảnh - Lớp văn phạm loại : bao gồm văn phạm chÝnh quy Líp cã sè hiƯu bÐ chøa c¸c líp có số hiệu lớn b) Nguồn số thuật toán nguồn Nguồn công cụ sinh ngôn ngữ dựa lý thuyết đồ thị đợc định nghĩa nh sau Định nghĩa 1.7: Nguồn đa đồ thị có hớng gán nhÃn I = (V, E, s0, F, , n), gồm V tập đỉnh E tập cung Trên đồ thị có đỉnh đặc biệt s0 gọi đỉnh vào đặt ô tròn có mũi tên, tập F đỉnh đợc gọi đỉnh kết thúc đặt ô hình chữ nhật Hàm g¸n nh·n n : E → Σ ∪ {ε} g¸n cho cung đồ thị chữ thuộc tập {} Cung nguồn I mà gán ký hiệu rỗng đợc gọi cung rỗng Cung gán chữ thuộc bảng chữ đợc gọi cung cốt yếu Đỉnh có cung cốt yếu vào đợc gọi đỉnh cốt yếu Ký hiệu tập đỉnh cốt yếu nguồn I D(I) Ngôn ngữ sinh nguồn đợc xác định nh sau: Giả sử d = < x, s1, s2, , sn, y > đờng nguồn I Trên cung (x, s1) có nhÃn chữ a1, cung (s1, s2) có nhÃn chữ a2, cung cuối có nhÃn chữ an+1, víi ∈ (Σ ∪ {ε}) Khi ®ã, tõ w = a1 a2 an an+1 đợc gọi tõ sinh bëi ®−êng ®i d Ký hiƯu LI(x, y) tập tất từ đợc sinh ®−êng ®i tõ ®Ønh x tíi ®Ønh y TËp LI(x, y) đợc xác định đệ quy nh sau: 1) ∈ LI(x, y) ∈ V, a) NIi(e) = {ε} t đợc gọi cung rỗng b) NIi(e) = {a}, với a e đợc gọi cung cốt yếu c) NIi(e) = C(L(Ij)) ta nói cung e phụ thuộc vào đồ thị sinh Ij đợc gọi cung bù t d) NIi(e) = I L( I k =1 Ik ) , trờng hợp ta nói cung e phụ thuộc vào đồ thị sinh Ij1, Ij2, , Ijt e đợc gọi cung giao e) NIi(e) = {X ⎢∃Y ∈ L(Ip) vµ X lµ tiỊn tè cđa từ Y}, trờng hợp ta nói cung e phụ thuộc vào đồ thị sinh Ip gọi lµ cung lÊy tiỊn tè f) NIi(e) = {Z ⎢∃U ∈ L(Iq) vµ Z lµ hËu tè cđa tõ U} Khi ta nói cung e phụ thuộc vào đồ thị sinh Iq gọi cung lấy hậu tố Với đồ thị sinh Ii (1 i n-1) có cung đồ thị sinh In phụ thuộc vào Đồ thị sinh Ii phụ thuộc vào đồ thị sinh Ij sơ đồ sinh S Ii chứa cung phụ thuộc vào đồ thị sinh Ij phụ thuộc vào đồ thị có chứa cung phụ thuộc vào đồ thị Ij Sự phụ thuộc đồ thị sinh sơ đồ sinh mang tính bắc cầu lan truyền phía cuối dÃy Do vậy, ta định nghĩa: Định nghĩa 3.4: Ngôn ngữ sinh sơ đồ sinh S, ký hiệu L(S), ngôn ngữ sinh đồ thị sinh cuối In dÃy Nghĩa là, L(S) = L(In) Để xác định đợc độ phức tạp otomat sơ đồ sinh S, tính toán độ sâu độ phụ thuộc l(S) sơ đồ nh sau Giả sử e cung đồ thị sinh I thuộc sơ đồ sinh S Độ sâu độ phụ thuộc cung e, ký hiệu l(e) đợc xác định cách đệ quy nh sau: 1) Nếu e cung rỗng hay cung cốt yếu đặt l(e) = 2) Nếu e cung bù phụ thuộc vào đồ thị sinh I' l(I') đà xác định l(e) = l(I') +1 3) NÕu e lµ cung lÊy tiỊn tố hay lấy hậu tố phụ thuộc vào đồ thị I' l(I') đà xác định l(e) = l(I') +1 4) NÕu e lµ cung giao phơ thc vµo đồ thị sinh Ii1, Ii2, , Iik l(Iit) (1 t k) đà đợc xác định th×: l(e) = 19 max {l(Iit)} 1≤ t ≤ k (r)+ biểu thức quy biểu diễn ngôn ngữ R+ Tập hợp từ biểu thức quy biểu diễn đợc gọi ngôn ngữ sinh biểu thức quy Theo Định lý Kleene, lớp ngôn ngữ sinh biểu thức quy trùng với lớp ngôn ngữ quy 3.2.2 Xây dựng nguồn tơng đơng với biểu thức quy Biểu thức quy E nguồn I đợc gọi tơng đơng chúng sinh ngôn ngữ Tổng số vị trí chữ xuất biểu thức quy E đợc ký hiệu |E| §Þnh lý 3.2: Víi mäi biĨu thøc chÝnh quy E tồn nguồn I tơng đơng với A cho: |D(I)| |E| Theo định lý trên, cận độ phức tạp otomat biểu thức quy E không lớn 2|D(I)|, D(I) tập đỉnh cốt yếu nguồn I tơng đơng 3.3 Độ phức tạp otomat sơ đồ sinh 3.3.1 Khái niệm sơ đồ sinh Định nghĩa 3.2: Đồ thị sinh I = (V, E, s0, F, Σ, N) trªn bảng chữ đa đồ thị (V, E) hữu hạn có hớng có đỉnh nút Trên đồ thị có đỉnh đặc biệt s0 gọi đỉnh vào, tập không rỗng đỉnh F gọi tập đỉnh Hàm gán nhÃn N : E 2* gán cho cung đồ thị tập từ bảng chữ Khái niệm đồ thị sinh mở rộng thực khái niệm nguồn Giả sử d = e1, e2, , ek (k ≥ 1) lµ mét d·y cạnh đờng đồ thị sinh I ThÕ th×, tõ t = t1t2 tk víi ti NI(ei), i k, đợc sinh đờng d đồ thị sinh I Ký hiệu LI(,) tập tất từ sinh ®−êng ®i tõ ®Ønh α tíi ®Ønh β Ký hiƯu L(I) = U L (s , β ) lµ tËp tất từ sinh F ( I ) I I đờng đồ thị sinh I từ đỉnh vào sI Tập L(I) đợc gọi ngôn ngữ sinh đồ thị sinh I Định nghĩa 3.3: Sơ đồ sinh bảng chữ dÃy đồ thị sinh , S = (I1, I2, , In) tho¶ m·n ba tính chất sau đây: Các đồ thị sinh I1, I2, , In đôi đỉnh chung Với cung e đồ thị sinh Ii (1≤ i ≤ n) thuéc S th× mét đẳng thức sau đợc thoả mÃn: 18 2) Nếu từ w LI(x, z) từ đỉnh z sang đỉnh y có cung với nhÃn chữ a ∈ (Σ ∪ {ε}) th× tõ wa ∈ LI(x, y) §Þnh nghÜa 1.8: TËp L(I) = {w ∈ Σ* ⎢w LI(s0, s), s F} đợc gọi ngôn ngữ sinh nguồn I Hai nguồn đợc gọi tơng đơng chúng sinh ngôn ngữ Một số phép toán nguồn Xây dựng nguồn K đơn định, đầy đủ bảng chữ tơng đơng với nguồn I đà cho Thuật toán 1.6 (Đơn định đầy đủ hoá nguồn) Với chữ a đỉnh s V(I) ta xây dựng tập hợp: TI(s,a) = {u D(I) a LI(s,u)} Với tập đỉnh cốt yếu C D(I) a , ta xây dùng tËp: HI(C, a) = UT II ( s, a ) Tập sC tập đỉnh cốt yếu kề với đỉnh thuộc C nhờ cung có nhÃn a Bây ta xây dựng nguồn đơn định K nh sau: Đỉnh vào K ®Ønh {s0} víi s0 lµ ®Ønh vµo cđa ngn I Với đỉnh C D(I) ta xác định HI(C, a) vẽ cung từ đỉnh C sang đỉnh HI(C, a) với nhÃn chữ a Tập ®Ønh kÕt thóc F(K) = {C ⊆ V(I) ⎢ C F(I) } Với cách xây dựng nguồn K đơn định, đầy đủ tơng đơng với nguồn I đà cho Định nghĩa 1.9: Nguồn K bảng chữ sinh ngôn ngữ phần bù ngôn ngữ L(I) đợc gọi nguồn bù nguồn I Thuật toán 1.7 (Xây dựng nguồn bù) Ta đổi tất đỉnh không kết thúc thành đỉnh kết thúc ngợc lại đổi đỉnh kết thúc thành đỉnh không kết thúc nguồn nhận đợc sinh ngôn ngữ bù ngôn ngữ sinh nguồn ban đầu Giả sử có nguồn I1 I2 Ta cần xây dựng nguồn I sinh ngôn ngữ giao ngôn ngữ I1, I2 sinh Thuật toán 1.8 (Xây dựng nguồn giao) Để tìm nguồn giao I nguồn I1 I2 ta xây dựng đỉnh cung nh sau: 1) Đỉnh vào nguồn I là: s0(I) = ({s0(I1)}, {s0(I2)}) 2) Gi¶ sư B = (C1, C2), C1 D(I1), C2 D(I2) tập đỉnh cốt yếu a chữ thuộc Khi đó, ta xác định đỉnh C = (HI1(C1,a), HI2(C2,a)) thêm cung từ đỉnh B sang đỉnh C với nhÃn chữ a 3) Đỉnh (S, R) tập đỉnh nguồn I vừa xây dựng đợc xem đỉnh kÕt thóc vµ chØ khi: S ∩ F(I1) ≠ ∅ vµ R ∩ F( I2) ≠ ∅ Víi Đầu ra: Đồ thị phủ rút gọn hệ mạng vị trí - chuyển 1) Xây dựng đồ thị phủ cho hệ mạng vị trí - chuyển có nhÃn cạnh bớc đơn (Thuật toán 3.2) 2) Nếu (V1, U1, V2) (V1, U2, V3) cạnh đồ thị với U1 U2 = ∅ vµ ≤ V2 + U2 ≤ K, tập U = U1 U2 tách đợc ta bỏ bốn cạnh (V1, U1, V2), (V1, U2, V3), (V2, U2, V4) vµ (V3, U1, V4) víi V4 = V2 + U2, thêm vào cạnh (V1, U, V4) 3) Lặp lại bớc 2) chừng DÃy nhÃn đờng đồ thị rút gọn vừa nhận đợc cho ta trình tơng tranh mạng với bớc tơng tranh cực đại Độ phức tạp thuật toán: Độ phức tạp thuật toán O(n.|T|4), với n số đỉnh đồ thị phủ cách xây dựng nh trên, nguồn I sinh ngôn ngữ giao ngôn ngữ I1 I2 sinh Với hai nguồn I1 I2 đà cho, ta cần xây dựng nguồn I sinh ngôn ngữ tích ghép ngôn ngữ I1 I2 sinh Thuật toán 1.9 (Xây dựng nguồn tích ghép) Để xây dựng nguồn tích ghép I nguồn I1 I2 ta giữ nguyên cấu trúc I1, I2 Lấy đỉnh vào I1 đỉnh vào I, đỉnh kết thúc nguồn I2 đỉnh kết thúc nguồn I Đồng thời, từ đỉnh kết thúc nguồn I1 ta vẽ cung rỗng tới đỉnh vào nguồn I2 Với cách xây dựng nh trên, ngôn ngữ sinh nguồn I tích ghép ngôn ngữ đợc sinh nguồn I1 nguồn I2 c) Otomat hữu hạn ngôn ngữ đợc đoán nhận otomat hữu hạn Định nghĩa 1.10: Otomat hữu hạn đơn định bảng chữ năm: A = (Q, , q0, , F), đó: - Q tập hữu hạn trạng thái, - bảng chữ vào, - : Q ì Q , đợc gọi hàm chuyển trạng thái, - q0 Q , đợc gọi trạng thái khởi đầu, - F Q , đợc gọi tập trạng thái kết thúc otomat Mỗi lần chuyển trạng thái otomat hữu hạn đơn định ta nhận đợc trạng thái Ta mở rộng hàm chuyển thành ánh xạ : Q ì * Q nh sau: a) q Q đặt δ’(q, ε) = q ; b) ∀q ∈ Q, ∀a , x * đặt (q, xa) = ((q,x),a) Ngôn ngữ đợc đoán nhận otomat hữu hạn đơn định Định nghĩa 1.11: Tập tất từ bảng chữ vào mà từ đa otomat A từ trạng thái khởi đầu đến trạng thái kết thúc: L(A) = {x * (q0 ,x) F} đợc gọi ngôn ngữ đợc đoán nhận otomat hữu hạn đơn định A Sau lần chuyển trạng thái ta nhận đợc không trạng thái mà tập trạng thái Định nghĩa 1.12: Otomat hữu hạn không đơn định bảng chữ năm A = (Q, , q0 , , F), đó: - Q tập hữu hạn trạng thái, - bảng chữ vào, - : Q ì 2Q , đợc gọi hàm chuyển trạng thái, - q0 Q , đợc gọi trạng thái khởi đầu, - F Q , đợc gọi tập trạng thái kết thúc otomat Định nghĩa 1.13: Otomat hữu hạn A đợc gọi đầy đủ hàm chuyển trạng thái xác định khắp nơi tập Q ì Nghĩa là: 3.2 Độ phøc t¹p otomat cđa biĨu thøc chÝnh quy 3.2.1 BiĨu thức quy Giả sử bảng chữ không rỗng hữu hạn Định nghĩa 3.1: Biểu thức quy bảng chữ đợc định nghĩa đệ quy nh sau: 1) Tập rỗng biểu thức quy, biểu diễn ngôn ngữ rỗng 2) Với chữ a a biểu thức quy bảng chữ , biểu diễn ngôn ngữ {a} 3) Nếu r, s hai biểu thức quy biểu diễn hai ngôn ngữ R S tơng ứng thì: (r) + (s) biểu thức quy biểu diễn ngôn ngữ R S , (r) (s) biểu thức quy biểu diễn ngôn ngữ R S , 17 Chơng Độ phức tạp otomat thuật toán đoán nhận ngôn ngữ Số trạng thái otomat đơn định có trạng thái đoán nhận ngôn ngữ đợc gọi độ phức tạp otomat ngôn ngữ 3.1 Độ phức tạp otomat ngn Gi¶ sư Σ = {a1, a2, , am} bảng chữ hữu hạn I = (V, E, s0, F, , n) nguồn bảng chữ Khi đó, ta xây dựng đợc otomat hữu hạn đơn định A đoán nhận ngôn ngữ nguồn I sinh với độ phức tạp otomat nh sau Định lý 3.1: Với nguồn I = (V, E, s0, F, , n) cận độ phức tạp otomat nguồn I 2|D(I)|, D(I) tập đỉnh cốt yếu nguồn I Định lý 2.7 : Giả sử đồ thị phủ hệ mạng vị trí - chuyển Với dÃy hoạt động M0[t1 > M1[t2 > M2 Mk-1 [tk > Mk hệ mạng tồn đờng < V0 t1 V1 t2 Vk-1 tk Vk > Ω mµ M0 = V0 vµ Mi ≤ Vi , i = 1,2, , k 2.3.2 Các bớc tơng tranh hệ mạng vị trí - chuyển Định nghĩa 2.5: Tập chuyển U đợc gọi tách đợc nÕu: ∀t1, t2 ∈ U, t1 ≠ t2 : • t1 ∩ t1• = •t2 ∩ t2• = •t1 ∩ •t2 = •t1 ∩ t2• = t1• ∩ •t2 = t1ã t2ã = Định nghĩa 2.6: Giả sử hệ mạng vị trí - chuyển U tập chuyển Tập U đợc gọi bớc hệ mạng tập U tách đợc tồn đánh dấu M đạt đợc từ M0 cho: p ãU : M(p) ≥ ∑W ( p, t ) , vµ t∈U • ∀p ∈ U : M(p) ≤ K(p) - ∑W (t , p) tU Hiển nhiên, tập chun U lµ mét b−íc vµ chØ U tách đợc tồn đánh dấu M tho¶ m·n: ≤ M + U ≤ K 2.3.3 Tìm bớc tơng tranh cách rút gọn đồ thị phủ Các kết dới sở cho việc rút gọn đồ thị phủ Định lý 2.8 : Giả sử hệ mạng vị trí - chuyển, đánh dấu V2, V3 R(V1), hai tập chuyển U1, U2 không giao Nếu (V1, U1, V2) (V1, U2, V3) hai cạnh đồ thị phủ V2 + U2 ≤ K, ®ång thêi U = U1 ∪ U2 tách đợc hai cạnh (V2, U2, V4) (V3, U1, V4) víi V4 = V2 + U2, cịng thuộc đồ thị phủ V1 [ U > V4 Định lý 2.9 : Giả sử hệ mạng vị trí - chuyển, đánh dấu V2, V3 ∈ R(V1), hai tËp c¸c chun U1, U2 không giao Nếu (V1, U1, V2) (V2, U2, V3) hai cạnh đồ thị phủ , đồng thời U = U1 U2 tách đợc hai cạnh (V1, U2, V4) (V4, U1, V3) với V4 = V1 + U2, thuộc đồ thị phủ V1 [ U > V3 Các kết đợc minh hoạ qua hình vẽ dới đây: Dựa vào kết trên, xây dựng thuật toán nh sau Thuật toán 2.3 (Rút gọn đồ thị phủ) Đầu vào: Hệ mạng vị trí - chuyển Π = (P, T; F, K, M0, W) 16 ∀ q ∈ Q, ∀ a ∈ Σ ®Ịu cã δ(q,a) ≠ ∅ Gi¶ sư A = (Q, Σ, q0, δ, F) otomat hữu hạn không đơn định không đầy đủ Ta xây dựng otomat A hữu hạn, đơn định đầy đủ tơng đơng với A nh sau: i) Để xây dựng hàm chuyển cho otomat đơn định A ta xây dựng hàm hai biến TA : 2Q × Σ → 2Q nh− sau: - ∀q ∈ Q, ∀ a ∈ Σ : TA({q},a) = {q' ⎢ q' ∈ δ(q,a)} - ∀B ⊆ Q , ∀ a ∈ Σ, TA(B,a) = U TA (q, a ) q B ii) Đặt otomat A = (Q, , q0, f, P) víi: Q’ = 2Q, q0’ = {q0}, P = {q’ ∈ Q’ ⎜q’ ∩ F ≠ ∅} vµ hàm chuyển f đợc xác định nh sau: q Q’ , ∀a ∈ Σ, f(q’,a) = TA(q',a) Víi c¸ch xây dựng nh trên, dễ dàng otomat A otomat hữu hạn đơn định đầy đủ L(A) = L(A) d) Sự tơng đơng nguồn otomat hữu hạn Từ nguồn I ta xây dựng otomat hữu hạn A tơng đơng với ngợc lại Thuật toán 1.10 (Xây dựng otomat tơng đơng với nguồn) 1) Xây dựng hàm TI : 2D(I) × Σ → 2D(I) nh− sau: - ∀a ∈ Σ : TI( ∅ ,a) = ∅ , - ∀s ∈ (D(I) ∪ {s0}), ∀a ∈ Σ : TI({s},a) = {s' ∈ D(I) ⎢ a ∈ LI(s,s')}, - ∀q ⊆ D(I), ∀a ∈ Σ : TI(q,a) = U TI ({s}, a ) sq 2) Xác định trạng thái khởi đầu tập trạng thái kết thúc: - Tập {s0} trạng thái khởi đầu otomat A ký hiệu q0 - Tập trạng thái kết thúc F lµ tËp {q ⊆ D(I) ⎢q ∩ F(I) ≠ ∅} ∪ {q0} nÕu ε ∈ L(I) vµ lµ tËp {q ⊆ D(I) ⎢q ∩ F(I) ≠ ∅} nÕu ε ∉ L(I) 3) Otomat A = (Q, Σ, q0, δ, F) với Q = 2D(I) tập trạng thái hàm chuyển đợc xác định nh sau: q ∈ Q, ∀ a ∈ Σ : δ(q,a) = TI(q,a) Otomat A tơng đơng với nguồn I đà cho Bây ta thực điều ngợc lại Thuật toán 1.11 (Xây dựng nguồn tơng đơng với otomat) 1) Lấy điểm mặt phẳng tơng ứng với trạng thái otomat đặt tên cho điểm ký hiệu trạng thái otomat A Đỉnh vào nguồn I trạng thái khởi đầu otomat Đỉnh đợc xem đỉnh kết thúc nguồn trạng thái otomat A tơng ứng với trạng thái kết thúc 2) q, q' Q , ∀a ∈ Σ : cã cung nèi tõ đỉnh q sang đỉnh q' gán nhÃn ký hiệu a q' (q,a) Nguồn I nhận đợc tơng đơng với otomat A đà cho 1.3 Hệ Mạng Hệ mạng mô hình toán học thờng đợc dùng để biểu diễn hệ thống phân tán 1.3.1 Mạng Petri Định nghĩa 1.14: Bộ ba N = (S, T; F) đợc gọi mạng Petri nếu: 1) S T hai tập hợp không giao 2) F (S ì T) (T ì S) quan hệ nhị nguyên đợc gọi lu đồ mạng N Định nghĩa 1.15: Mạng N đợc gọi đơn giản hai phần tử khác mạng chung tập vµo vµ tËp ra, nghÜa lµ: ∀x, y ∈ N : (•x = •y) ∧ (x• = y•) ⇒ x = y BiÕn cè e cã thĨ x¶y trạng thái c điều kiện vào e thoả mÃn c điều kiện không Khi biến cố e xảy ra, điều kiện vào e không thoả mÃn điều kiện e bắt đầu thoả mÃn Định nghĩa 1.16: Giả sử N = (B, E; F) mạng Petri 1) Tập c B đợc gọi trờng hợp 2) Giả sử e ∈ E vµ c ⊆ B Ta nãi r»ng e kích hoạt đợc c (hay e c-kích hoạt) ãe c eã c = 3) Giả sử e E, c B e kích hoạt đợc c Khi đó, c = (c \ ãe) eã đợc gọi trờng hợp c Hay nói cách khác, c kết thùc hiÖn biÕn cè e Ta ký hiÖu: c [ e > c Không gian trạng thái hệ môi trờng để dÃy bớc xảy hệ, tạo nên trình hệ Định nghĩa 1.17: 1) Quan hệ rN 2B ì 2B đợc định nghĩa nh sau: (c1, c2) rN ⇔ ∃ e ∈ E : c1 [ e > c2 , gọi quan hệ đạt đợc tiến m¹ng N 2) Quan hƯ RN = (rN ∪ rN-1)* quan hệ tơng đơng tập 2B đợc gọi quan hệ đạt đợc mạng N Giả sử có dÃy biến cố đợc kích hoạt xuất mạng N nh sau: c0 [ e1 > c1 [ e2 > c2 [ e3 > c3 [ em > cm Khi đó, trờng hợp c1, c2, c3, , cm phải thuộc lớp tơng đơng quan hệ đạt đợc RN chứa c0 Các biến cố e1, e2, e3, , em xuất cách lớp tơng đơng 10 2) Nếu (c1, G1, c2) (c1, G2, c3) cạnh đồ thị G1 G2 = , G = G1 G2 tách đợc ta thêm cạnh míi (c1, G, c4) víi c4 = (c1 \ •G) Gã 3) Nếu (c1, G1, c2) (c2, G2, c3) cạnh đồ thị G = G1 G2 tách đợc ta thêm vào cạnh (c1, G, c3) 4) Lặp lại bớc 2) 3) chừng Theo thuật toán trên, sau lần ghép cạnh có nhÃn G1 G2 bớc 2) 3) ta bổ sung thêm cạnh với bớc tơng tranh G = G1 G2 có nhiều hành động Khi ghép cạnh đợc bớc tơng tranh mà ta nhận đợc trở thành lớn Khi đó, trình với bớc tơng tranh cực đại đợc thực thi môi trờng song song với thời gian Đó ý nghĩa điều khiển tối u mà mong muốn Độ phức tạp thuật toán: Độ phức tạp thuật toán O((|C |2.|E |)3 ) Thuật toán có độ phức tạp nhỏ nhiều so với thuật toán sử dụng Định lý 2.4 2.3 Thuật toán điều khiển tơng tranh hệ mạng vị trí chuyển 2.3.1 Đồ thị phủ hệ mạng vị trí - chuyển Một hệ mạng vị trí - chuyÓn Π = (P, T; F, K, M0, W) có nhiều vô hạn đánh dấu đạt đợc khác Bởi vậy, ta phải tìm cách xây dựng đợc đồ thị hữu hạn biểu diễn trình xảy mạng mà đánh dấu đạt đợc đợc biểu diễn tờng minh đỉnh đồ thị đợc phủ đỉnh Thuật toán 2.2 (Xây dựng đồ thị phủ) Đầu vào: Hệ mạng vị trí - chuyển = (P, T; F, K, M0, W) Đầu ra: Đồ thị phủ hệ mạng vị trí - chuyển 1) Xây dựng đồ thị ban đầu gồm đỉnh V0 = M0, cung 2) Giả sử V đỉnh đồ thị nhng cha có cung từ thì: Nếu V kích hoạt chuyển t V[ t > V ta bổ sung đỉnh V cung (V, t, V) vào đồ thị Trên ®−êng tõ ®Ønh V0 tíi ®Ønh V, nÕu tån t¹i đỉnh V mà V' < V với vị trí p mà V(p) < V(p) toạ độ tơng ứng V đợc thay đỉnh V đợc gọi -đỉnh Trên đờng từ đỉnh V0 tới đỉnh V, tồn đỉnh V mà V' = V V đỉnh treo đồ thị Nếu chuyển đợc V kích hoạt V đỉnh treo 3) Lặp lại bớc 2) chừng 15 Định lý 2.4: Giả sử tập biến cố G hệ mạng điều kiện - biến cố tách đợc c, c' trờng hợp hệ Khi ®ã th×: c [ G > c' ⇔ (c \ c' = • G) ∧ (c' \ c = G ã) Định lý cho thuật toán để tìm bớc tơng tranh hệ mạng điều kiện - biến cố Song độ phức tạp thuật toán O(|E|2.22.|B|+|E|) Vả lại, thuật toán cha xác định đợc bớc tơng tranh mét d·y nh− thÕ nµo Më réng quan hệ đạt đợc hệ mạng điều kiện - biến cố: Định nghĩa 2.3: Giả sử = (B, E; F, C) hệ mạng điều kiện - biÕn cè 1) Quan hƯ rN ⊆ 2B × 2B đợc định nghĩa nh sau: (c1, c2) rN ∃G ⊆ E : c1 [ G > c2 2) Quan hÖ RN = ( rN ∪ rN -1)* quan hệ tơng đơng tập 2B đợc gọi quan hệ đạt đợc đồng thời hệ mạng Dễ dàng chứng minh rằng, quan hệ đạt đợc quan hệ đạt đợc đồng thời Nh vậy, ẩn chứa tơng tranh 2.2.3 Đầy đủ hoá đồ thị trờng hợp Định nghĩa 2.4: Giả sử = (B, E; F, C) hệ mạng điều kiện - biến cố Ta đặt: P = { (c, G , c') ∈ C × 2E × C ⏐ c [ G > c' } Đa đồ thị định hớng gán nhÃn = (C, P) đợc gọi đồ thị trờng hợp đầy đủ hệ mạng điều kiện - biến cố Các kết dới sở cho việc làm đầy đủ đồ thị trờng hợp Định lý 2.5: Giả sử hệ mạng điều kiện - biến cố c1, c2, c3 ∈ C ; G1, G2 ⊆ E Gi¶ sư c1 [ G1 > c2 vµ c1 [ G2 > c3 NÕu G1 ∩ G2 = ∅ vµ G = G1 G2 tách đợc c2 [ G2 > c4 , c3 [ G1 > c4 vµ c1 [ G > c4 víi c4 = (c1 \ •G) ∪ Gã Định lý 2.6: Giả sử hệ mạng điều kiện - biến cố c1, c2, c3 ∈ C ; G1, G2 ⊆ E NÕu c1 [ G1 > c2 c2 [ G2 > c3 G1 ∩ G2 = ∅ vµ nÕu G = G1 G2 tách đợc c1 [ G > c3 Dựa vào Định lý 2.5 Định lý 2.6, đa thuật toán làm đầy đủ đồ thị trờng hợp nh sau Thuật toán 2.1 (Đầy đủ đồ thị trờng hợp) Đầu vào: Hệ mạng ®iỊu kiƯn - biÕn cè Π = (B, E; F, C) Đầu ra: Đồ thị trờng hợp đầy đủ hệ 1) Xây dựng đồ thị trờng hợp = (C, P) với nhÃn cạnh bớc đơn 14 1.3.2 Hệ mạng điều kiện - biến cố Định nghĩa hệ mạng điều kiện - biến cố Định nghĩa 1.18: Bộ bốn = (B, E; F, C) đợc gọi hệ mạng ®iỊu kiƯn - biÕn cè nÕu: 1) Bé ba N = (B, E; F) mạng Petri đơn giản, phần tử cô lập B E ≠ ∅ 2) TËp C ⊆ 2B lµ mét líp tơng đơng quan hệ đạt đợc RN đợc gọi không gian trờng hợp 3) e E, c C để e đợc kích hoạt c Ngôn ngữ sinh hệ mạng ®iỊu kiƯn - biÕn cè lµ tËp: L(Π) = { e1e2 e3 em ⎜∃e1, e2, e3, , em ∈ E, ⎜∃c1, c2, c3, , cm ∈ C : c0 [ e1 > c1 [ e2 > c2 [ e3 > c3 [ em > cm } Lớp ngôn ngữ sinh hệ mạng điều kiện - biến cố tập lớp ngôn ngữ quy Một số tính chất hệ mạng điều kiện - biến cố Định nghĩa 1.19: Hệ mạng điều kiện - biến cố đợc gọi chu trình vµ chØ nÕu: ∀c1, c2 ∈ C , (c1, c2) rN* Định nghĩa 1.20: Hệ mạng điều kiện - biến cố đợc gọi sống nÕu: ∀c ∈ C , ∀e ∈ E : ∃c'∈ C cho (c, c') ∈ rN* vµ e lµ c'-kích hoạt 1.3.3 Hệ mạng vị trí - chuyển Định nghÜa 1.21: Bé s¸u Π = (P, T; F, K, M0, W) đợc gọi hệ mạng vị trí - chuyÓn (P/T - net) nÕu: - Bé ba (P, T; F) mạng Petri đơn giản, - K : P → {0, 1, 2, 3, , ω}, hàm cho dung lợng vị trí, với ký hiệu đại lợng lớn (có thể v« cïng) - W : F → {1, 2, 3, , }, hàm gắn trọng số dơng vào cung mạng - M0 : P {0, 1, 2, 3, , }, đánh dấu mạng phù hợp với dung lợng, có nghÜa lµ: ∀p ∈ P : M0(p) ≤ K(p) Quy luật hoạt động hệ mạng vị trí - chuyển đợc mô tả nh sau: Định nghĩa 1.22: 1) ánh x¹ M : P → {0, 1, 2, 3, , } đợc gọi đánh dấu m¹ng Π nÕu: ∀p ∈ P : M(p) ≤ K(p) 2) Giả sử M đánh dấu - Chuyển t T đợc gọi M-kích hoạt nếu: p ãt : M(p) W(p, t) p ∈ t• : M(p) ≤ K(p) - W(t, p) - Một chuyển M-kích hoạt t hoạt động cho ta đánh dấu M M đợc xác ®Þnh nh− sau: 11 ⎧M ( p ) − W ( p, t ) ⎪M ( p ) + W (t , p ) ⎪ M’(p) = ⎨ ⎪M ( p ) − W ( p, t ) + W (t , p) ⎪M ( p ) ⎩ , nÕu p ∈ •t \ t• , nÕu p ∈ t• \ •t , nÕu p ∈ •t ∩ t• , trờng hợp lại Ta nói chuyển t hoạt động dẫn M tới M ký hiệu: M [ t > M 3) Giả sử R(M) tập nhỏ đánh dấu thoả mÃn: M R(M) vµ nÕu M1∈ R(M) vµ víi chun t nµo mà M1[ t > M2 M2 R(M) R(M) đợc gọi tập đánh dấu đạt đợc từ M Quy luật hoạt động hệ mạng vị trí - chuyển biểu diễn đơn giản nhờ đại số tuyến tính nh sau: i) Với chuyển t T, ta xây dựng vectơ t : P → Z ⎧− W ( p , t ) ⎪W (t , p ) ⎪ t(p) = ⎨ ⎪W (t , p ) − W ( p, t ) ⎪0 ⎩ • • , nÕu p ∈ t \ t , nÕu p ∈ t• \ •t , p ãt tã , trờng hợp lại ii) Xây dựng ma trận N : P × T → Z víi: N(p,t) = t(p) C«ng thøc ngắn gọn cho quy luật hoạt động hệ mạng nh− sau: M [ t > M’ ⇔ ( ≤ M + t ≤ K ) ∧ ( M’ = M + t ) Ngôn ngữ sinh hệ mạng vị trí - chuyển tập: L() = { t1t2 t3 tn ⎜∃M1, M2, M3, , Mn ∈ R(M0), ⎜∃t1, t2, t3, , tn ∈ T : M0 [ t1 > M1 [ t2 > M2 [ t3 > M3 [ tn > Mn } Lớp ngôn ngữ sinh hệ mạng vị trí - chuyển tập lớp ngôn ngữ cảm ngữ cảnh chứa lớp ngôn ngữ phi ngữ cảnh Chơng Các thuật toán điều khiển hệ mạng độ phức tạp chúng 2.1 Bài toán điều khiển tơng tranh trình Với hệ thống hành vi mô tả mà hệ thống thực đợc Hành vi hệ thống bao gồm trình xảy hệ Các trình đợc phân thành hai loại sau đây: 1) Quá trình tuần tự: trình mà hành động đợc thực 2) Quá trình tơng tranh: trình mà có nhiều hành động đợc thực song song với nhau, 12 Quá trình tơng tranh bao gồm dÃy bớc tơng tranh môi trờng để thực chúng Quá trình với bớc tơng tranh cực đại đợc gọi trình tối u Bài toán điều khiển tơng tranh trình Với hệ thống đà cho, hÃy xây dựng thuật toán để biến đổi trình hệ thống thành trình tơng tranh tối u tơng ứng Sơ đồ biến đổi tơng tranh đợc thể nh hình vẽ dới đây: Việc giải toán điều khiển cho cách thực tối u trình xảy hệ thống mà giúp tìm hành vi tơng tranh hệ 2.2 Thuật toán điều khiển tơng tranh hệ mạng điều kiện - biến cố 2.2.1 Đồ thị trờng hợp Để có nhìn tổng quát tất trình xảy hệ mạng điều kiện - biến cố, ta xây dựng đồ thị trờng hợp hệ Định nghĩa 2.1: Đa đồ thị định hớng, gán nhÃn = (C, P), với tập đỉnh tập trờng hợp C hệ mạng tập cạnh P = {(c, e , c') ∈ C × E × C ⏐c [ e > c'} đợc gọi đồ thị trờng hợp hệ mạng Định lý 2.1: Mọi đồ thị trờng hợp hệ mạng điều kiện - biến cố liên thông đỉnh nút Định lý 2.2: Hệ mạng điều kiện - biến cố chu trình đồ thị trờng hợp liên thông mạnh Định lý 2.3: Hệ mạng điều kiện - biến cố sống với trờng hợp c C với biến cố e E ®Ịu cã ®−êng ®i c l1 c1 lm cm đồ thị mà nhÃn lm = e 2.2.2 Các bớc tơng tranh hệ mạng điều kiện - biến cố Trong tình nhiều biến cố hệ mạng xuất cách đồng thời Định nghĩa 2.2: Giả sử = (B, E; F, C) hệ mạng điều kiện - biÕn cè 1) TËp c¸c biÕn cè G ⊆ E đợc gọi tách đợc nếu: e1, e2 G : e1 ≠ e2 ⇒ •e1 ∩ •e2 = e1• ∩ e2• = e1• ∩ •e2 = •e1 ∩ e2ã = 2) Giả sử c c' trờng hợp hệ mạng điều kiện - biến cố tập biến cố G tách đợc G đợc gọi bớc tơng tranh từ c tới c' biến cố e G c-kích hoạt c' = (c \ ãG) Gã Ta ký hiệu là: c [ G > c' 13 ... vào sau Ngôn ngữ tập hợp từ bảng chữ 1.2.2 Một số phép toán ngôn ngữ 1) Tích ghép hai ngôn ngữ 2) Hợp hai ngôn ngữ 3) Giao hai ngôn ngữ 4) Hiệu hai ngôn ngữ 5) Phần bù ngôn ngữ 6) Lặp ngôn ngữ. .. có cung đồ thị sinh In phụ thuộc vào Đồ thị sinh Ii phụ thuộc vào đồ thị sinh Ij sơ đồ sinh S Ii chứa cung phụ thuộc vào đồ thị sinh Ij phụ thuộc vào đồ thị có chứa cung phụ thuộc vào đồ thị Ij... thuyết đồ thị, lý thuyết ngôn ngữ hình thức otomat khái niệm mạng Petri, hệ mạng điều kiện - biến cố hệ mạng vị trí chuyển 1.1 Đại cơng đồ thị 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1: Đồ thị cặp