ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: 27-6-2013 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5 điểm) 1. Rút gọn biểu thức 2 2 2 1 1 1 x x x x x x x x x − + + + + + + − + với x ≠ 0. 2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng (m−1)x + (2m+1)y = 4m + 5 luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. Bài 2: (1,5 điểm) 1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số. 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 3 1x xy y x y + + = + − Bài 3: (2,5 điểm) 1. Tìm các giá trị của m để phương trình ( ) 2 2 1 0x m x m + + − + = có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn hệ thức 1 2 1 1 3 10x x − = 2. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 1 2 1 2 x x y y y x  + =   + =   3. Giải phương trình ( ) ( ) 2 3 3 6 8 1 3x x − = − − Bài 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB<AC) nội tiếp(O;R). Tiếp tuyến tại A của(O) cắt đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng BC=2R.sin · BAC 2. Điểm N chuyển động trên BC ( N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của N lên AB, ẠC Xác định vị trí của N để độ dài EF ngắn nhất. 3. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Tính MA theo a, b, c. 4. Các tiếp tuyến tại B và C của(O) cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc · PHQ Bài 5:(1 điểm) Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá 3 . 3 HẾT Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 1 ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 Bài 1: 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + + + = − + + + + = + + = + = + + + − + Vì x ≥ 0 2) M(x 0 ,y 0 ) là điểm cố định nếu có mà đường thẳng đi qua: (m−1)x 0 + (2m+1)y 0 = 4m + 5 => ( x 0 + 2y 0 - 4) )m = x 0 - y 0 - 5 Xảy ra với mọi m. => 0 0 0 0 0 0 16 2 4 0 3 5 0 1 3 x x y x y y  =  + − =   ⇒   − − =   =   Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định có tọa độ là 16 1 ; 3 3    ÷   Bài 2: 1) Gọi số chính phương cần tìm là x 2 = abcd =1000a+100b+10c+d ; x ∈ N * và 1000 < x 2 < 9999 => 31 < x < 100. Sauk hi giảm đi 1 đơn vị ở ở tất cả các chữ số ta được số y 2 = 1, 1, 1, 1a b c d − − − − = 1000(a-1)+100(b- 1)+10(c-1)+(d-1)=1000a+100b+10c+d -1111= x 2 - 111 x 2 - 1111 = y 2 => x 2 - y 2 = 1111 => (x-y)(x+y)=101.11=1111.1 101 56 11 45 x y x x y y + = =   ⇒   − = =   (nhận) 1111 556 1 555 x y x x y y + = =   ⇒   − = =   (loại) Vậy số chính phương cần tìm là x 2 = 56 2 = 3136 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 3 1x xy y x y + + = + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 2 6 2 2 3 1 8 0 2 2x xy y x y x xy y x y x y x y + + = + − ⇒ + + = + − ⇒ + + − + − = = + + (*) x+y =0 => x=-y thay vào (*) ta có ( ) ( ) 2 2 3 1 8 1, 1.y y y x − − + − = ⇒ = − = x-3 = 0 => x = 3 thay vào (*) ta có ( ) ( ) 2 2 3 1 8 1y y y + + − = ⇒ = − y -1 = 0 => y = 1 thay vào (*) ta có ( ) ( ) 2 2 1 3 8 1x x x + + − = ⇒ = Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: (1;-1),(3;-1),(1;1) Bài 3: 1. Tìm các giá trị của m để phương trình ( ) 2 2 1 0x m x m + + − + = có 2 nghiệm x 1 ,x 2 thỏa mãn hệ thức 1 2 1 1 3 10x x − = ∆ = (m+2) 2 - 4(-m+1) = m 2 + 8m. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m<-8; m>0 (1) Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 2 ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 9 9 2 10 10 100 100 2 4 1 9 1 91 818 9 0 ; 9.(2) 100 91 1 x x x x x x x x x x x x x x m m m m m m m   − + −   − = ⇒ − = ⇒ = ⇒ =  ÷  ÷  ÷     + + − ⇒ = ⇒ + − = ⇒ = = − (1),(2)suy ra m = 1/91 hoặc m = 9. 2. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 1 2 1 2 x x y y y x  + =   + =   ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 0 3 0x x y y y x x x y y x y x y x xy y ⇒ + − + = − ⇒ − + − = ⇒ − + + + = Vì x≥0;y≥0 nên x = y Thay vào một trong hai phương trình tìm được hai nghiệm cuay hệ là (0;0),(1;1) 3. Giải phương trình ( ) ( ) 2 3 3 6 8 1 3x x − = − − 2 3 2 3 3 18 8 1 24 3 6 8 1x x x x − = − − ⇒ + = − Bình phương hai vế ta có : Phương trình vô nghiệm Bài 4: 1) BC=2R.sin · BAC Tia Bo cắt (O) tại G => · · BGC BAC= Mà BC = BG.sin · BGC =2R. sin · BAC . 2) AENF là tứ giác nội tiếp  · · · ' 2. 2.EO F EAF BAC= = ; ' 2 AN O E = Gọi I là trung điểm của EF  · · · ' ' 2 EO F EO I BAC = =  EF = 2EI = 2.O’E.sin · 'EO I Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 3 4 3 2 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 9 36 36 64 64 9 64 36 100 0 (9 8 10 ) (72 64 80 ) (90 80 100) 0 9 8 10 8 9 8 10 10 9 8 10 0 9 8 10 8 10 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + = − ⇒ − + + = ⇒ + + − + + + + + = ⇒ + + − + + + + + = ⇒ + + − + = 2 9 8 10 ' 16 90 74 0 x x + + ∆ = − = − < 2 1 2 8 10 0 ' 16 10 6 4 6; 4 6 x x x x − + = ∆ = − = ⇒ = + = − I O' F E G H M O A B C N ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 = · 2. .sin 2 AN BAC = AN sin · BAC Mà BAC không đổi nên EF nhỏ nhất khi AN nhỏ nhất => N trùng H 3) Tính MA theo a, b, c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 2 ( . ) 1 . 2 . ( ) . MAB MAB MAB MCA MCA MAB ABC MB AH S S S AB c c c c c MAB MCA g g k AC b S b S S b c S b c b c BC AH MB c ac MB a b c b c ac ac MA MB MC MB MB BC a b c b c ∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − − − ⇒ = ⇒ = − −  = = + = +  − −  : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . ac ab abc abc MA b c b c b c b c    = = ⇒ = ÷  ÷ − − − −    4) Kẻ PJ và QK vuông góc với đường thẳng BC. Ta có ( . ) ,(PA=PB,QA=QC) PJ//AH//QK ( . . ) PJ PB PA PBJ QCK g g QK QC QA PA JH QA KH PJ JH QK KH JPH KQH c g c ∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ ∆ ∆ : : · · · · PHJ QHK PHA QHA ⇒ = ⇒ = Hay HA là tia phân giác của góc PHQ. Bài 5: Chia mỗi cạnh của tam giác thành 8 đoạn thẳng bằng nhau. Nối các điểm chia đó bằng các đoạn thẳng song song với các cạnh của tam giác. (hình vẽ) Ta được các tam giác đều có cạnh bằng 1 Số tam giác đều là 1+3+…+15= 8 2 = 64 Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 4 15 13 11 9 7 5 3 1 K J Q P H M O A B C ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014 Đặt ngẫu nhiên 193 điểm vào 64 tam giác này (193 :64=3 dư 1) Theo nguyên lí dirichlet thì sẽ có ít nhất 1 tam giác đều có ít nhất 4 điểm. Xét tam giác đều này,Gọi G là trọng tâm của tam giác, Từ G vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các cạnh, tạo thành 3 tứ giác bằng nhau(hình 2) Đặt ngẫu nhiên 4 điểm vào tam giác này theo nguyên lí dirichlet sẽ có một tứ giác chứa ít nhất 2 điểm. Mà tứ giác này nội tiếp trong đường tròn đường kính GA nên khoảng cách của chúng d≤ GA Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 5 O G H I K C A B 3 2 2 3 3 . . 2 3 3 2 3 AB AB AH GA AH = ⇒ = = = . ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 201 3-2 014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ KHIẾT QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 201 3-2 014 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: . b c d − − − − = 100 0(a-1) +100 (b- 1) +10( c-1)+(d-1) =100 0a +100 b+10c+d -1 111= x 2 - 111 x 2 - 1111 = y 2 => x 2 - y 2 = 1111 => (x-y)(x+y) =101 .11=1111.1 101 56 11 45 x y x x y y + = = . nghiệm phân biệt thì m< ;-8 ; m>0 (1) Nguyễn Văn Hân – Trường THCS Tịnh Kỳ, Sơn tịnh, Quảng Ngãi Trang 2 ĐỀ+BÀI GIẢI MÔN TOÁN THI VÀO 10 THPT TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 201 3-2 014 ( ) ( ) ( ) ( ) (