Cầu Hầm áP DụNG PHƯƠNG PHáP PHầN Tử HữU HạN TS. Lê HOàng Hà Công ty cổ phần T vấn thiết kế Đờng bộ 1. Sơ lợc về phơng pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) Các căn cứ toán học của phơng pháp PTTH đã xuất hiện cách đây hơn 100 năm, vào những thập niên cuối của thế kỷ 19. Lord Rayleigh (năm 1870) và Ritz (năm 1909) đã sáng tạo ra phơng pháp tính với việc lập ra các phơng trình xấp xỉ trong môi trờng cơ học chất rắn. Tiếp đó, vào năm 1915, V. Galerkin đã xây dựng đợc phơng pháp giải gần đúng theo các vùng riêng biệt của kết cấu, dựa trên việc giải các phơng trình vi phân. Lý thuyết này đợc áp dụng rộng rãi cho việc giải các bài toán hệ thanh và bản. Theo quan niệm của nhiều chuyên gia, phơng pháp của Galerkin có thể đợc coi là nền tảng lý thuyết cho phơng pháp PTHH sau này [1, 2]. Tiếp theo, năm 1943, R. Courant đã phát triển các ý tởng trên, sử dụng các phơng trình tuyến tính, kết hợp với việc chia kết cấu thành tập hợp của các phần tử tam giác và áp dụng phơng pháp này để giải các bài toán kết cấu chịu xoắn. Phơng pháp này về sau tiếp tục đợc phát triển lên và rất phổ biến về sau này, đó chính là phơng pháp PTHH. a) n = 2 n = 3 n = 4 b) n = 6 n = 8 n = 12 c) n = 8n = 6n = 4 d) n = 20n = 15n = 10 Hình 1. Các loại phần tử khác nhau đợc dùng trong phơng pháp PTHH Khái niệm chung của phần tử hữu hạn đợc R. Courant, M. Turner, H. Martin và L. Topp giới thiệu lần đầu tiên năm 1956. Tuy nhiên mãi đến năm 1960, khái niệm và nguyên lý tính toán theo phơng pháp TVTK * số 4 - 2007 48 www.cauduongonline.com.vn Cầu Hầm phần tử hữu hạn đợc R. Courant giới thiệu chính thức. Phơng pháp PTHH trong thời gian này dùng để áp dụng giải quyết các vấn đề trong việc giải các bài toán trong lĩnh vực cơ học chất rắn và cơ học ứng dụng. Đến cuối thập niên 60 của thê kỷ trớc, phơng pháp PTHH đợc mở rộng để tính toán trong lĩnh vực tấm bản chịu uốn, tấm vỏ chịu uốn Trong phơng pháp PTHH, có thể sử dụng các loại phần tử khác nhau: phần tử phẳng (hình 1 - a, b) và phần tử khối (hình 1 - c, d); phần tử có biên thẳng (hình 1 - a, c) hay phần tử có biên cong (hình 1 - b, d). Những loại phần tử này đợc dùng để tính toán các dạng kết cấu khác nhau nh tấm, vỏ, màng, bản, khối đối xứng và khối phi đối xứng Hiện nay, với sự giúp sức của các máy định điện tử có tốc độ cao và dung lợng bộ nhớ lớn, phơng pháp PTHH đợc áp dụng rất nhiều khi giải quyết các bài toán không gian xét đến sự làm việc trong các môi trờng khác nhau, với các giai đoạn làm việc khác nhau của vật liệu dới tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau 2. áp dụng phơng pháp PTHH khi tính toán các công trình cầu Việc tính toán với độ chính xác cao các kết cấu cầu, trong đó có cầu cong, cầu rẽ nhánh và các kết cấu cầu đặc biệt khác là một công việc khó khăn, thậm chí trong rất nhiều trờng hợp không thể đa ra kết quả tính toán chính xác đợc. Do vậy, khi tính toán thiết kế các công trình cầu, thờng áp dụng các phơng pháp tính toán và các phơng pháp tính gần đúng, với kết quả nhận đợc mô hình hóa gần đúng sự làm việc của kết cấu trong thực tế. Khi tính toán thiết kế, kết cầu cầu thờng đợc tính toán theo các phơng pháp sau: phơng pháp lực hoặc chuyển vị, các phơng pháp sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, tơng tự mạng dầm, bản gập khúc Trong các phơng pháp tính toán kể trên, ph ơng pháp phần tử hữu hạn đợc dùng rất phổ biến vì những u điểm riêng của nó. Nhiều nghiên cứu [3, 4, 5, 6] đã chỉ ra rằng, áp dụng phơng pháp phần tử hữu hạn cho phép tính toán các kết cấu cầu khi làm việc ở trạng thái ứng suất-biến dạng và góp phần tăng thêm độ tin cậy của các kết quả nhận đợc. Hiệu quả của phơng pháp PTHH đợc thể hiện rõ cùng với khả năng tính toán kết cấu khi làm việc với các điều kiện biên khác nhau, với các loại tải trọng khác nhau và với các dạng kết cấu khác nhau .v.v. Việc áp dụng phơng pháp PTHH cho phép tiến hành tính toán các kết cấu cầu phức tạp, các dạng cầu khác nhau khi xét đến giai đoạn làm việc của vật liệu khác nhau khi chịu các loại tải trọng khác nhau [3,6]. 3. ứng dụng phơng pháp PTHH khi tính toán các cầu có kết cấu phức tạp ứng dụng phơng pháp PTHH khi tính toán các dạng cầu có kết cấu phức tạp là một công việc không dễ dàng, khi giải các dạng kết cấu này cần phải kết hợp giữa các lý thuyết tính toán, các mô hình tính toán và rất nhiều các kết quả thí nghiệm trong thực tế. Hiện nay, khi tính toán các kết cấu phức tạp, có thể sử dạng 2 sau: - Mô hình dạng thanh phần tử; - Mô hình dạng khối phần tử. TVTK * số 4 - 2007 49 www.cauduongonline.com.vn Cầu Hầm Hình 2. Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu cong và cầu có kết cấu phức tạp bằng mô hình dạng thanh phần tử Khi áp dụng mô hình tính toán kết cấu dạng thanh phần tử, một đoạn kết cấu đợc coi nh một phần tử dạng thanh có độ cứng tơng đơng, do vậy việc giải bài toán tính toán kết cấu cầu dạng này sẽ áp dụng phơng pháp PTHH với mô hình tính toán hệ các phần tử thanh. Mô hình này đợc thể hiện dới dạng một tập hợp các điểm trong không gian, đợc liên kết với nhau bằng các đờng thẳng hoặc các đờng cong (hình 2). Các điểm trong không gian này có thể biểu diễn các điểm tùy ý hoặc điểm đặc biệt của kết cấu nh tại vị trí trên trụ, tại điểm rẽ nhánh hay tại vị trí thay đổi tiết diện. Còn các đờng thẳng (hoặc đờng cong) nối các điểm này, đợc thể hiện bằng cách nối với trọng tâm của tiết diện điểm này với trọng tâm tiết diện của điểm khác [3]. Trình tự tính toán kết cấu bằng mô hình dạng thanh phần tử có thể chia thành 3 bớc sau: - chuẩn bị số liệu: mô tả sơ đồ kết cấu cần tính toán, chia ra các phần tử, đánh số các điểm nút và các phần tử thanh, lựa chọn trục của hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ chung. Sau đó tiến hành lập các ma trận: ma trận độ cứng của phần tử trong hệ tọa độ địa phơng [k], ma trận chuyển hệ tọa độ địa phơng sang hệ tọa độ chung [c]. Tiếp theo lập các véctơ ngoại lực {P} tại các điểm nút của phần tử thanh dựa trên các điều kiện làm việc của kết cấu; - giai đoạn tính toán: tính toán ma trận độ cứng của phần tử theo hệ tọa độ chung [k] = [c] T [k] [c], sau đó tính ma trận độ cứng [R] cho toàn bộ hệ kết cấu. Theo công thức { } = [R] -1 {P} tính toán đợc véctơ chuyển vị của các điểm nút của kết cấu trong hệ tọa độ chung: - xử lý kết quả: sau khi có đợc véctơ chuyển vị của các điểm nút của phần tử, nhận đợc nội lực và ứng suất tại các điểm nút này dới dạng biểu đồ và số. A A A-A Hình 3. Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu rẽ nhánh bằng mô hình dạng khối phần tử trong không gian TVTK * số 4 - 2007 50 www.cauduongonline.com.vn Cầu Hầm Khi áp dụng phơng pháp PTHH để tính toán các kết cấu phức tạp, bên cạnh việc áp dụng mô hình tính toán bằng dạng thanh phần tử, còn áp dụng mô hình tính toán bằng dạng khối phần tử. Trong trờng hợp tồn tại một đoạn của kết cấu, nơi xuất hiện các ứng suất và biến dạng đáng kể, thì sẽ tách riêng đoạn kết cấu này và khi tính toán áp dụng mô hình dạng khối phần tử. Khi áp dụng mô hình tính toán dạng khối phần tử, đối với cầu thẳng và cầu cong, kết quả tính toán thờng tin cậy và có độ sai khác không nhiều so với áp dụng tính toán áp dụng mô hình dạng thanh phần tử [3]. Ưu điểm của việc áp dụng mô hình dạng khối phần tử chỉ đợc thể hiện rõ khi tính toán các kết cấu phức tạp nh phần cầu rẽ nhánh, phần khối dầm trên đỉnh trụ hoặc phần cục bộ neo đầu dầm .v.v. Khi áp dụng mô hình này, thông thờng sử dụng phần tử lăng trụ tam giác (4 mặt) hoặc lăng trụ tứ giác (6 mặt). Mô hình tính toán kết cấu đợc thể hiện dới dạng tập hợp các khối phần tử trong không gian, đợc liên kết với nhau tại các điểm nút của các khối phần tử này (hình 3). Trình tự tính toán kết cấu bằng mô hình dạng khối phần tử có thể chia thành 2 bớc sau: - mô tả sơ đồ kết cấu cần tính toán, chia ra các phần tử, đánh số các điểm nút và các khối phần tử, lựa chọn trục của hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ chung. Sau đó tiến hành tính toán chuyển vị của các khối phần tử theo hệ tọa độ cục bộ và hệ tọa độ chung; - tính toán nội lực, chuyển vị và ứng suất tại các điểm nút của các khối phần tử, thể hiện kết quả này dới dạng biểu đồ và số. 4. Ví dụ tính toán cầu cong áp dụng phơng pháp PTHH Trong ví dụ dới đây, xem xét 1 kết cầu dầm bản BTCT DƯL dầm cong liên tục mặt bằng, bán kính cong của dầm R = 60m. Dầm bản đợc bố trí trên các trụ cột với đờng kính D = 1,25m (hình 4). Trên hình này, sơ đồ tính toán của kết cấu nhịp cầu cong đợc mô hình dới dạng tập hợp các phần tử trong không gian. Kết cấu 5 nhịp dầm bản có sơ đồ 30+3x35+30m, chiều cao dầm h = 1,45m, chiều rộng cầu  = 12m. Kết cấu nhịp đợc liên kết ngàm với trụ P3 và P4, trên trụ trụ P2 và P5 đợc đặt 1 gối cầu tại giữa nhịp, còn tại mố A1 và A2 đặt 2 gối. Trên các trụ bố trí các khối dầm đặc, còn tại vị trí phía ngoài các trụ, dầm đợc khoét rỗng tạo lỗ để tiết kiệm vật liệu. a) b) Ts-int. Ts-out.Ts Bs Bs-int. Bs-out. 1234 5678 910 1112 Bs 910 1112 567 81234 Bs-out.Bs-int. Ts Ts-out.Ts-int. Hình 4. Mô hình tính toán kết cấu nhịp cầu cong TVTK * số 4 - 2007 51 www.cauduongonline.com.vn Cầu Hầm Kết cấu nhịp dầm bản và trụ cột đợc mô hình bằng các khối lăng trụ tam giác hoặc lăng trụ tứ giác, các khối này đợc liên kết với nhau tại các điểm nút (hình 4). Số lợng phần tử trên nhịp 1, 5 là 14x28 = 392, trên nhịp 2, 3, 4 là 13x28 = 364 phần tử. Trụ P2, P3, P4, P5 đợc mô hình bằng 8 x 4 = 32 phần tử tại trụ, và 8 phần tử gối. Tổng cộng toàn cầu là 2376 phần tử. Tính toán và thiết kế kết cấu nhịp dầm bản dới tác động của tải trọng bản thân của kết cấu và hoạt tải, phù hợp với tiêu chuẩn thiết kế cầu hiện hành 22TCN 272-05 [7]. Trên hình 5 thể hiện sơ đồ bố trí hoạt tải gồm xe 3 trục HL-93 với tải trọng mỗi trục là 145 kN và tải trong rải đều tơng đơng 9,3 N/mm 2 theo phơng ngang cầu. a) 145 145 145 4.3 4.3 9.0 9.3 / b) 500 55002600 3500 1800 500 500 e = 3250 HL - 93: P = 145 / 2 = 72,5 kN P (kN) q = 9,3 N/ mm P (kN) B = 12000 1800 P (kN) P (kN) 500 2600 3500 e = 250 Hình 5. Sơ đồ bố trí hoạt tải: a xe HL-93 và tải trọng rải đều tơng đơng, b - bố trí hoạt tải theo phơng ngang cầu a) b) Hình 6. Bố trí cốt thép CĐC trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp dầm bản cong: a - tại vị trí giữa nhịp, b tại vị trí trên gối Bê tông của kết cấu nhịp dùng loại C- 35, còn cáp cờng độ cao dùng loại 12 tao bó xoắn 7 sợi 15.2mm (6-12) với lực kéo F = 75% [Fp]. Sơ đồ bố trí cốt thép CĐC trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong đợc thể hiện trên hình 5: tại giữa nhịp 3 bố trí 24 bó cáp CĐC, tại nhịp 2 và 4 là bố trí 20 bó, còn tại nhịp 1 và 5 bố trí 16 bó cáp. a) b) Hình 6. Biểu đồ bao ứng suất tại thớ trên (a) và thớ dới (b) trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong (dạng duỗi thẳng) TVTK * số 4 - 2007 52 www.cauduongonline.com.vn Cầu Hầm a) b) Hình 7. Biểu đồ ứng suất chủ (a) và ứng suất tiếp (b) tại các điểm thớ trên và thớ dới của mặt cắt ngang kết cấu nhịp Trong phạm vi tiến hành nghiên cứu, tác giả sử dụng chơng trình tính toán kết cấu chuyên dụng, trong đó phơng pháp tính dựa trên phơng pháp phần tử hữu hạn, cho phép tính toán nội lực và ứng suất không những theo phơng dọc cầu, mà còn theo các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang kết cấu nhịp. Kết quả tính toán nội lực và ứng suất của kết cấu nhịp đợc thể hiện dới dạng số hoặc biểu đồ. Theo tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN 272-05 kết quả nhận đợc sẽ phải nhỏ hơn giới hạn cho phép (đợc quy định và tính toán theo quýy trình) [7]. Trên hình 6 thể hiện thể hiện biểu đồ bao ứng suất tại thớ trên và thớ dới trên mặt cắt ngang của kết cấu nhịp cầu cong (dạng duỗi thẳng), còn trên hình 7 biểu đồ ứng suất chủ và ứng suất tiếp tại các điểm trên thớ trên và thớ dới của kết cấu nhịp. 5. Kết luận Dựa vào việc áp dụng phơng pháp PTHH khi thiết kế tính toán các công trình cầu, đặc biệt là các cầu có kết cấu phức tạp, tác giả đa ra một vài kết luận sau: 1. Hiện nay, phơng pháp PTHH là phơng pháp rất hiệu quả, dùng để nghiên cứu và tính toán các kết cấu cầu phức tạp, trong đó có cầu cong, cầu rẽ nhánh, cũng nh các khu vực cục bộ của kết cấu cầu. 2. Khi áp dụng phơng pháp PTHH để tính toán các kết cấu cầu, hợp lý khi áp dụng mô hình dạng thanh phần tử và mô hình dạng khối phần tử trong không gian. Thông thờng, khi dùng để tính toán các kết cấu chung, tổng thể thì áp dụng mô hình dạng thanh phần tử, còn khi dùng để tính toán các kết cấu cục bộ thì áp dụng mô hình dạng khối phần tử. 3. Phơng pháp PTHH cho phép tính toán nội lực, ứng suất và chuyển vị không những theo phơng dọc cầu, mà còn theo các điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang kết cấu nhịp. Việc áp dụng phơng pháp còn cho phép tính toán các dạng kết cấu khác nhau khi xét đến giai đoạn làm việc khác nhau của vật liệu khi chịu các loại tải trọng khác nhau. Tài liệu tham khảo 1. Bathe K. L. Finite Element Procedure. New Jersey: Prentice-Hall, 1996, 1037 p. 2. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Elsevier. Finite Element Method Volume 1 - The Basis. McGraw-Hill, 2000, 665 p. 3. . ., . .: , 1992, 256 . 4. , . .: , 1988, 447 . 5. . ., . . . .: , 2002, 597 . 6. Barker R. M., Puckett J. A. Design of highway bridges. American: John Wiley & Son, 1997, 1169 pages. 7. Tiêu chuẩn thiết kế cầu 22TCN272-05. Việt Nam, 2005. TVTK * số 4 - 2007 53 www.cauduongonline.com.vn . và tính toán các kết cấu cầu phức tạp, trong đó có cầu cong, cầu rẽ nhánh, cũng nh các khu vực cục bộ của kết cấu cầu. 2. Khi áp dụng phơng pháp PTHH để tính toán các kết cấu cầu, hợp lý khi. dới tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau 2. áp dụng phơng pháp PTHH khi tính toán các công trình cầu Việc tính toán với độ chính xác cao các kết cấu cầu, trong đó có cầu cong, cầu rẽ. khối phần tử. Khi áp dụng mô hình tính toán dạng khối phần tử, đối với cầu thẳng và cầu cong, kết quả tính toán thờng tin cậy và có độ sai khác không nhiều so với áp dụng tính toán áp dụng mô