Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng số phức
SỐ PHỨC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 1 / 33 Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 2 / 33 Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2 = −1. Định nghĩa Dạng đại số của số phức là z = a + bi; (a, b) ∈ R 2 . a gọi là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re (z), b gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im (z). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 3 / 33 Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Tập hợp số phức ta ký hiệu là C. Tập số thực là tập con của tập số phức vì với mọi a ∈ R ta luôn có a = a + 0i. Vậy R ⊂ C. Ví dụ Số phức −1 + i, 2 + 3i, Định nghĩa Tất cả các số phức có dạng 0 + bi, b = 0 được gọi là số thuần ảo. Số phức i, 3i, −i, là những số thuần ảo. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 4 / 33 Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng xOy. Định nghĩa Khoảng cách từ z đến O gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là |z| hoặc mod(z). |z| = √ a 2 + b 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 5 / 33 Dạng đại số của số phức Những khái niệm cơ bản Ví dụ Môđun của số phức 1 + i √ 3 là |z| = 1 2 + √ 3 2 = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 6 / 33 Dạng đại số của số phức Các phép toán Định nghĩa số phức bằng nhau Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau. z 1 = a 1 + b 1 i = z 2 = a 2 + b 2 i ⇐⇒ a 1 = a 2 và b 1 = b 2 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 7 / 33 Dạng đại số của số phức Các phép toán Ví dụ Tìm các số thực x, y thỏa (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 5 − i Giải. (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = 1 − 3i ⇔ (x + 3y) + (2x − 5y)i = 5 − i ⇔ x + 3y = 5 2x − 5y = −1 ⇔ x = 2 y = 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 8 / 33 Dạng đại số của số phức Các phép toán Định nghĩa phép cộng và phép trừ của 2 số phức Cho z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i là 2 số phức. Khi đó z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i, z 1 − z 2 = (a 1 − a 2 ) + (b 1 − b 2 )i. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 9 / 33 Dạng đại số của số phức Các phép toán Ví dụ Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 + 3i) + (−3 + 4i) − (6 − 5i) Giải. z = (2 − 3 − 6) + (3 + 4 − 5)i = −7 + 2i ⇒ Re (z) = −7, Im (z) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 10 / 33 [...]... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 12 / 33 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 13 / 33 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Tính chất của số phức liên hợp z + z = 2.Re (z), z − z = 2i.Im (z) z.z = |z|2 z = z khi và chỉ khi z là một số thực z1 ± z2 = z1 ±... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 22 / 33 Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức là z = re iϕ Ví dụ √ Tìm dạng mũ của số phức z = Giải √ −1 + i 3 1−i 2π √ i 2π −i −π −1 + i 3 2e i 3 z= = √ −π = 2e 3 4 = 1−i 2e i 4 √ 11π = 2e i 12 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 23 / 33 Dạng mũ của số phức Dạng mũ của số phức Ví dụ Biểu diễn các số phức có dạng z = e 2+iy... 4 5 6 7 8 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 14 / 33 Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức Định nghĩa phép chia 2 số phức z1 a1 + b1i (a1 + b1i)(a2 − b2i) = = z2 a2 + b2i (a2 + b2i)(a2 − b2i) z1 a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2 = + 2 2 2 2 i z2 a2 + b2 a2 + b2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 15 / 33 Dạng đại số của số phức Phép chia 2 số phức Ví dụ Tính z = 2 + 3i 1 + 2i Giải... Thực hành MatLab Thực hành MatLab 1 2 3 4 5 Lấy phần thực của số phức z : real (z) Lấy phần ảo của số phức z : imag (z) Lấy modul của số phức z : abs(z) Lấy góc ϕ của số phức z : angle(z) Số phức liên hợp của số phức z : conj(z) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 34 / 33 Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 35 / 33 ...Dạng đại số của số phức Các phép toán Định nghĩa phép nhân của 2 số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i là 2 số phức Khi đó z1.z2 = (a1.a2 − b1.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 11 / 33 Dạng đại số của số phức Các phép toán Ví dụ Cho z1 = 1 + 2i, z2 = 2 + bi Tìm tất cả b sao cho z1.z2 là số thực Giải z1.z2 = (1.2−2.b)+(1.b+2.2)i = (2−2b)+(b+4)i Để z1.z2 là số thực... sử n là 1 số tự nhiên, khi đó i n = i r , với r là số dư khi chia n cho 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 25 / 33 Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i Ví dụ Tính i 2011 Giải Ta có 2011 = 4.502 + 3 Vậy i 2011 = i 3 = −i TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 26 / 33 Nâng số phức lên lũy thừa Công thức Moivre Công thức Moivre Định lý Cho r > 0 và n là 1 số tự nhiên... 6 6 2 5 Số k nhỏ nhất để 3 + 6k chia hết cho 5 là k = 2 ⇒ n = 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 28 / 33 Khai căn số phức Định nghĩa Căn bậc n của số phức z là số phức w sao cho w n = z, trong đó n là 1 số tự nhiên Định lý Cho z = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ) Khi đó √ n z = wk = √ n r (cos ϕ + k2π ϕ + k2π + i sin ) n n với k = 0, 1, 2, , n − 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP... các số phức có dạng z = e 2+iy , y ∈ R lên mặt phẳng phức Giải z = e 2+iy = e 2.e iy = e 2(cos y + i sin y ) Vì y là 1 số thực bất kỳ nên tập hợp tất cả những số phức có dạng z = e 2+iy , y ∈ R là đường tròn tâm O bán kính r = e 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 24 / 33 Nâng số phức lên lũy thừa Lũy thừa của số phức i Lũy thừa của số phức i i 1 = i, i 2 = −1, i 3 = i 2.i = −i, i 4 = (i... của số phức z Ở đây r = |z| chính là môđun của số phức z, ϕ gọi là acgumen của số phức z và ký hiệu là Arg z Chú ý Góc ϕ được giới hạn trong khoảng 0 ϕ < 2π hoặc −π < ϕ π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 18 / 33 Dạng lượng giác của số phức Các phép toán Cho z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2) Sự bằng nhau r1 = r2 z1 = z2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 + k2π, k ∈ Z Phép nhân hai số phức z1.z2... SỐ PHỨC TP HCM — 2013 16 / 33 Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản Cho số phức z = a + bi, z = 0 Gọi r là khoảng cách từ z tới gốc O và ϕ là góc giữa hướng dương của trục thực và bán kính véctơ của điểm z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 17 / 33 Dạng lượng giác của số phức Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Biểu thức z = r (r cos ϕ + i sin ϕ) gọi là dạng lượng giác của số . z 1 .z 2 là số thực thì b + 4 = 0 ⇒ b = −4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 12 / 33 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên. nghĩa Tất cả các số phức có dạng 0 + bi, b = 0 được gọi là số thuần ảo. Số phức i, 3i, −i, là những số thuần ảo. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 4 / 33 Dạng đại số của số phức Những. gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP. HCM — 2013. 13 / 33 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Tính chất của số phức liên hợp 1 z + z = 2.Re