KHÔNG GIAN EUCLIDE Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56 Công của lực −→ F A = −→ F . −→ s = F .s. cos α TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56 −→ a = (a 1 , a 2 ), −→ b = (b 1 , b 2 ). < −→ a , −→ b >= a 1 .b 1 + a 2 .b 2 ; || −→ a || =  a 2 1 + a 2 2 cos α = < −→ a , −→ b > || −→ a ||.|| −→ b || ; d( −→ a , −→ b ) = || −→ a − −→ b || TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56 Nội dung 1 Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2 véc-tơ 2 Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở trực giao, quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − gọi là tích vô hướng của 2 véctơ. Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề 1 < x, y >=< y, x >, ∀x, y ∈ E 2 < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, ∀x, y , z ∈ E 3 < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R. 4 < x, x >> 0, x = 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv R 3 là không gian Euclide với tích vô hướng (x, y ) −→< x, y >= x 1 .y 1 + x 2 .y 2 + x 3 .y 3 = x.y T với x = (x 1 , x 2 , x 3 ), y = (y 1 , y 2 , y 3 ). Ví dụ R−kgv R n là không gian Euclide với tích vô hướng < ·, · >: R n × R n → R (x, y ) −→< x, y >= n  i=1 x i y i = x.y T với x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ), y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R 2 có thể xác định tích vô hướng khác (x, y ) −→< x, y >= x 1 .y 1 + 2x 2 .y 2 với x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). < x, y >= x 1 .y 1 + 2x 2 .y 2 = y 1 .x 1 + 2y 2 .x 2 =< y, x > < x + y, z >= (x 1 + y 1 )z 1 + 2(x 2 + y 2 )z 2 = (x 1 z 1 + 2x 2 z 2 ) + (y 1 z 1 + 2y 2 z 2 ) =< x, z > + < y, z > < αx, y >= α.x 1 .y 1 + 2α.x 2 .y 2 = α(x 1 y 1 + 2x 2 y 2 ) = α. < x, y > < x, x >= x 1 .x 1 + 2x 2 .x 2 = x 2 1 + 2x 2 2  0. Dấu "=" ⇔ x 1 = x 2 = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R 2 hàm số sau không là một tích vô hướng (x, y ) −→< x, y >= x 1 .y 1 − 3x 2 .y 2 với x = (x 1 , x 2 ), y = (y 1 , y 2 ). Cho x = (1, 2). Khi đó < x, x >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0. Không thỏa mãn tiên đề 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C [a,b] các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng < ·, · >: C [a,b] × C [a,b] → R (f , g) −→< f , g >= b  a f (x)g(x)dx TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh. < f , g >= b  a f (x)g(x)dx = b  a g(x)f (x)dx = < g, f >, ∀f , g ∈ C [a,b] < f + g , h >= b  a (f (x) + g(x))h(x)dx = b  a f (x)h(x)dx + b  a g(x)h(x)dx = < f , h > + < g , h >, ∀f , g, h ∈ C [a,b] TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 10 / 56 [...]... q(x) = x + 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 12 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Tích vô hướng của p(x) và q(x) là 1 < p, q >= p(x)q(x)dx = 0 1 (x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx = = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 19 4 TP HCM — 2013 13 / 56 Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ) Định nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của... Tìm độ dài của véctơ u TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 14 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Độ dài của véctơ u là ||u|| = √ < u, u > < u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 √ ⇒ ||u|| = 11 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 15 / 56 Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ Định nghĩa Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là độ dài... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 16 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là √ d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v > Ta có u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >= = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58 √ √ Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 17 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ.. .Không gian Euclide Ví dụ b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = 0 và a b < f , f >= (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0 a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 11 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng 1 < p, q >= p(x)q(x)dx,... || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 22 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3 √ √ ||u|| = < u, u > = 1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1 √ = 10 √ √ ||v || = < v , v > = 1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0 =1 3 3 Vậy cos α = √ ⇒ α = arccos √ 10 10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 23 / 56 Sự trực giao Định nghĩa Sự trực giao TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN. .. ||x||2.||y ||2 ||x||.||y || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 19 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Nếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆ = 0 khi đó ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2 Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0 hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc tuyến tính Bất đẳng thức BCS trong R2 |x1.y1 + x2.y2| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 2 2 x1 + x2 KHÔNG GIAN EUCLIDE 2 2 y1 + y2... Đại (BK TPHCM) 2 2 x1 + x2 KHÔNG GIAN EUCLIDE 2 2 y1 + y2 TP HCM — 2013 20 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định nghĩa Ta gọi góc giữa 2 véctơ x, y ∈ E là góc α sao cho < x, y > , (0 α π) cos α = ||x||.||y || < x, y >= ||x||.||y || cos α TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 21 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng < x, y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 +... gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski Định lý Trong không gian Euclide E , ta có | < x, y > | ||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính Chứng minh ∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có < x − λy , x − λy > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 0 TP HCM — 2013 18 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ ⇔< x, x > −2λ < x, y > +λ2 < y , y > ⇔ ||x||2 − 2λ... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 33 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian Euclide R3 với tích vô hướng chính tắc, 3 véctơ x = (1, 1, 0), y = (−1, 1, 4), z = (2, −2, 1) tạo thành 1 cơ sở trực giao của R3 < x, y >= 1.(−1) + 1.1 + 0.4 = 0 < x, z >= 1.2 + 1.(−2) + 0.1 = 0 < y , z >= (−1).2 + 1.(−2) + 4.1 = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 34... KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 30 / 56 Sự trực giao Ví dụ < (1, −2), (2, 1) >= 1.2 + (−2).1 = 0 ⇒ M là hệ trực giao N là hệ trực chuẩn vì 2 1 1 2 √ , −√ , √ , √ = 5 5 5 5 1 2 (−2) 1 √ √ + √ √ = 0 5 5 5 5 1 2 1 4 √ , −√ = √ 2+√ 2 =1 5 5 5 5 2 1 √ ,√ 5 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = 4 1 +√ 2 =1 √ 2 5 5 KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2013 31 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không . 1 véc-tơ đến 1 không gian con TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian Euclide (thực) nếu <. x, x >= 0 ⇔ x = 0 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv R 3 là không gian Euclide với tích vô hướng (x, y ) −→< x, y. >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0. Không thỏa mãn tiên đề 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C [a,b] các hàm số