CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TS. Lê Xuân Đại Trường Đại họ c Bách Khoa T P HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TP. HCM — 2011. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 1 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (a ij ) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : M n (K ) → K A → detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (a ij ) là một số, được ký hiệu là detA hoặc |A|. Vậy det : M n (K ) → K A → detA. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M ij là định thức con phụ của phần tử a ij . Định thức M ij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| =                 a 11 . . . a 1(j−1) a 1j a 1(j+1) . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (i−1)1 . . . a (i−1)(j−1) a (i−1)j a (i−1)(j+1) . . . a (i−1)n a i1 . . . a i(j−1) a ij a i(j+1) . . . a in a (i+1)1 . . . a (i+1)(j−1) a (i+1)j a (i+1)(j+1) . . . a (i+1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a n)(j−1) a nj a n(j+1) . . . a nn                 n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M ij là định thức con phụ của phần tử a ij . Định thức M ij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| =                 a 11 . . . a 1(j−1) a 1j a 1(j+1) . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (i−1)1 . . . a (i−1)(j−1) a (i−1)j a (i−1)(j+1) . . . a (i−1)n a i1 . . . a i(j−1) a ij a i(j+1) . . . a in a (i+1)1 . . . a (i+1)(j−1) a (i+1)j a (i+1)(j+1) . . . a (i+1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a n)(j−1) a nj a n(j+1) . . . a nn                 n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M ij là định thức con phụ của phần tử a ij . Định thức M ij là định thức cấp (n − 1) thu được bằng cách gạch bỏ hàng thứ i và cột thứ j của định thức |A| |A| =                 a 11 . . . a 1(j−1) a 1j a 1(j+1) . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (i−1)1 . . . a (i−1)(j−1) a (i−1)j a (i−1)(j+1) . . . a (i−1)n a i1 . . . a i(j−1) a ij a i(j+1) . . . a in a (i+1)1 . . . a (i+1)(j−1) a (i+1)j a (i+1)(j+1) . . . a (i+1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a n)(j−1) a nj a n(j+1) . . . a nn                 n×n TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 3 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức M ij =               a 11 . . . a 1(j−1) a 1(j+1) . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a (i−1)1 . . . a (i−1)(j−1) a (i−1)(j+1) . . . a (i−1)n a (i+1)1 . . . a (i+1)(j−1) a (i+1)(j+1) . . . a (i+1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a n(j−1) a n(j+1) . . . a nn               (n−1)×(n−1) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 4 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi A ij = (−1) i+j M ij là phần bù đại số của phần tử a ij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (a ij ) là một số bằng n  j=1 a 1j A 1j = a 11 A 11 + a 12 A 12 + . . . + a 1n A 1n . detA =             a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a nj . . . a nn             = n  j=1 a 1j A 1j = n  j=1 (−1) 1+j a 1j M 1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi A ij = (−1) i+j M ij là phần bù đại số của phần tử a ij . Định nghĩa (Khai triển theo hàng.) Định thức của ma trận vuông cấp n A = (a ij ) là một số bằng n  j=1 a 1j A 1j = a 11 A 11 + a 12 A 12 + . . . + a 1n A 1n . detA =             a 11 . . . a 1j . . . a 1n . . . . . . . . . . . . . . . a i1 . . . a ij . . . a in . . . . . . . . . . . . . . . a n1 . . . a nj . . . a nn             = n  j=1 a 1j A 1j = n  j=1 (−1) 1+j a 1j M 1j . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 5 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức 1 n = 1, A = (a 11 ) ⇒ |A| = a 11 . 2 n = 2, A =  a 11 a 12 a 21 a 22  ⇒ |A| = (−1) 1+1 a 11 M 11 + (−1) 1+2 a 12 M 12 = a 11 a 22 − a 12 a 21 . 3 n = 3, A =   a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33   ⇒ |A| = (−1) 1+1 a 11 M 11 + (−1) 1+2 a 12 M 12 + (−1) 1+3 a 13 M 13 = (−1) 1+1 a 11     a 22 a 23 a 32 a 33     + (−1) 1+2 a 12     a 21 a 23 a 31 a 33     + (−1) 1+3 a 13     a 21 a 22 a 31 a 32     . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 6 / 44 [...]... THỨC TP HCM — 2011 6 / 44 Khái niệm định thức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Định nghĩa định thức CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 7 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ   1 2 3 Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 7 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Ví dụ   1 2 3 Tính định thức detA với A =  4 2 1  3 1 5... 2: ĐỊNH THỨC = = = = TP HCM — 2011 10 / 44 Khái niệm định thức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tính chất của định thức CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 11 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 11 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định. .. niệm định thức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tính chất của định thức CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý Để việc tính toán định thức. .. 2: ĐỊNH THỨC = 3(2.1 − 1.3) = −3 TP HCM — 2011 9 / 44 Khái niệm định thức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Tính chất của định thức CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 10 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Định lý Định thức của ma trận tam giác trên và tam giác dưới bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 10 / 44 Khái niệm định. .. Vậy |A| = 1.9 + 2.(−17) + 3.(−2) = −31 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 7 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ detA = TS Lê Xuân Đại... niệm định thức 1 Định nghĩa định thức n = 1, A = (a11 ) ⇒ |A| = a11 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 6 / 44 Khái niệm định thức 1 2 Định nghĩa định thức n = 1, A = (a11 ) ⇒ |A| = a11 a11 a12 n = 2, A = ⇒ |A| = a21 a22 (−1)1+1 a11 M11 + (−1)1+2 a12 M12 = a11 a22 − a12 a21 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 6 / 44 Khái niệm định thức 1 2 3 Định nghĩa... 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức 1 hi ↔hj (ci ↔cj ) Nếu A − − − − → B thì detB = −detA −−−− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 12 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức. .. của định thức Định lý Định thức của ma trận chuyển vị của ma trận A bằng định thức của ma trận A: detAT = detA Ví dụ     1 3 5 1 2 2 Cho A =  2 4 6  ⇒ AT =  3 4 1  Khi đó 2 1 8 5 6 8 T = detA = −16 detA TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 11 / 44 Khái niệm định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức TS... 2: ĐỊNH THỨC n = aij Aij j=1 TP HCM — 2011 8 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Tính chất của định thức Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ detA = detA = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a11 a1j ai1 aij an1 anj a1n ain ann a11 a1j ai1 aij an1 anj a1n ain ann CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC... hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt Ví dụ   1 2 3 Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP HCM — 2011 9 / 44 Khái niệm định thức Tính chất của định thức Chú ý Để việc tính toán định thức đơn giản thì ta nên khai triển theo hàng hoặc cột có càng nhiều số 0 càng tốt Ví dụ   1 2 3 Tính định thức detA với A =  0 2 0  3 1 5 Giải Khai triển theo hàng . TPHCM) CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A. THỨC TP. HCM — 2011. 1 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của ma trận A = (a ij ) là một. 2: ĐỊNH THỨC TP. HCM — 2011. 2 / 44 Khái niệm định thức Định nghĩa định thức Định nghĩa Cho A = (a ij ) ∈ M n (K ) là ma trận vuông cấp n. Ta gọi M ij là định thức con phụ của phần tử a ij . Định