BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Góc và cung lượng giác: *. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 360 0 . *. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài bằng 180 R π và có số đo 1 0 . *. Cung tròn bán kính R có số đo a 0 (0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng 180 aR π . *. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn. *. Cung có số đo bằng a 0 ứng với α radian công thức đổi đơn vị là: π α = 0 0 180 a . *. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α. y *. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z Ox đến Oy. *.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một chiều làm chiều dương (+). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ. *. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C. *. Số đo của góc và cung lượng giác: sđ(Ox, Oy) = a 0 + k360 0 hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π. sđAM = a 0 + k360 0 hoặc sđAM = α + k2π. y B S M P T A’ O Q A x B’ *. Hệ thức Sa-lơ: + Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có: sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz). + Với M, N, K tùy ý trên đường tròn lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK. 2. Các công thức lượng giác cơ bản: Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z). Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 1 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. Ta có: .cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ====== αααα Nhận xét: - 1 ≤ cosα ≤ 1, - 1 ≤ cosα ≤ 1. cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α. tanα = α α cos sin xác định khi α ≠ , 2 π π k+ cotα = α α sin cos xác định khi α ≠ α ≠ kπ sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin 2 α + cos 2 α + 1. . sin 1 cot1, cos 1 tan1 2 2 2 2 α α α α =+=+ *. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt: Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 TS . 0 6 π 4 π 3 π 2 π 3 2 π 4 3 π 6 5 π π sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 − 2 2 − 2 3 − -1 tan 0 3 3 1 3  3− -1 3 3 − 0 cot  3 1 3 3 0 3 3 − -1 3−  3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt: *. Cung đối nhau: - α và α: cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα. *. Cung bù nhau: π - α và α: sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα. *. Cung hơn kém π: π + α và α: sin(π + α) = - sinα, cos(π α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα. *. Cung phụ nhau: 2 π - α và α: sin       − α π 2 = cosα, cos       − α π 2 = sinα, tan       − α π 2 = cotα, cot       − α π 2 = tanα. *. Cung hơn kém 2 π : 2 π + α và α: sin       + α π 2 = cosα, cos       + α π 2 = - sinα, tan       + α π 2 = - cotα, cot       + α π 2 = - tanα. Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 2 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. 4. Các công thứ lượng giác khác: *. Công thức cộng: cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ. cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ. tan(α + β) = βα βα tantan1 tantan − + , tan(α– β) = βα βα tantan1 tantan + − . *. Công thức nhân đôi: cos2α = cos 2 α - sin 2 α = 2cos 2 α - 1 = 1 – 2sin 2 α; sin2α = 2sinαcosα; tan2α = . tan1 tan2 2 α α − *. Công thức hạ bậc: sinαcosα = . 2 2cos1 sin; 2 2cos1 cos;2sin 2 1 22 α α α αα − = + = *. Công thức biến đổi tích thành tổng: cosαcosβ = [ ] [ ] ;)sin()sin( 2 1 cossin;)cos()cos( 2 1 βαβαβαβαβα −++=−++ sinαsinβ = - [ ] .)cos()cos( 2 1 βαβα −−+ *. Công thức biến đổi tổng thành tích: cosα + cosβ = ; 2 cos 2 cos2 βαβα −+ cosα – cosβ = ; 2 sin 2 sin2 βαβα −+ − sinα + sinβ = ; 2 cos 2 sin2 βαβα −+ sinα – sinβ = . 2 sin 2 cos2 βαβα −+ B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số do sau: - 45 0 , 1200 0 , - 830 0 . b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho cung AM có số đo bằng: .45; 46 ; 23 0 π ππππ kkk ++−+ c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b). 2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5. Tìm miền giá trị của sinα, tanα và cotα. 3. Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x; b) sin 6 x + cos 6 x = 1 – 3sin 2 xcos 2 x; x; tan tanx)-2x tanx)(sin-(tan2x d) ; cosx 1 sinx sinx cosx - 1 c) 2 = + = ; cos4x - 1 2cos4x 6 x cot x tang) x; tan xsin x sin -x cos xcos x cos xsin e) 224 422 422 + =+= + +− Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 3 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. h) tan 2 x – sin 2 x = tan 2 xsin 2 x; i) cosx. x 3 2 cos 3 2x cos - 6 x cos 3 2x sin =       −       +       −       + ππππ 4. Rút gọn các biểu thức sau: ; 1 -cosx x 2cos 1 cosx cos2x cos3x C ; tanx) x(1cos cotx) x(1sin B ; sinx 1 -x 2cos A 2 22 2 + +++ =+++== ; cosx - 1 cosx 1 cosx - 1 cosx 1 E ; xsin cosx) - (1 1 sinx cosx 1 D 2 2 −+ ++ =       + + = ; cos4a cos3a cos2a acos sin4a sin3a sin2a sina F +++ +++ = ; cosb cosa ) - )sin(a sin(a G + + = ; cos98 2cos638 )cos(-1882520sin2 tan368 1 H 00 00 0 + += . 2 x tan cosx - 1 cosx 1 I 2 + = 5. Tính tổng: S 1 = sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna; S 2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna. 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y: A = cos 2 x + cos 2 (x + a) – 2cosxcosacos(x + a); B = cos 6 x + 2sin 4 xcos 2 x + 3sin 2 xcos 4 x + sin 4 x; 3 3 x cos 6 x cos 4 x cos 3 -x cos C       +       ++       +       = ππππ ( )( ) ; cossin21xcos -x sin xcos -x sin E ; x- 3 2 cos 3 2 x cos x cos D 2222 88 222 xx− =       +       ++= ππ F = 3(sin 8 x – cos 8 x) + 4(cos 6 x – 2sin 6 x) + 6sin 4 x; yxcotcot - yxsinsin ysin -x cos G 22 22 22 = 7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = .8sin 8 1 x Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức: A = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 ; . 7 5 .cos 7 3 .cos 7 cos B πππ = 8. a) Cho cosx = - .270 x 108 và 5 3 00 << Tính sinx, tanx và cotx. b) Biết tan . 2 a m= Tính ; sina tana sina - tana + c) Biết tana + cota = m, , 2 a 0 π << tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m. d) Cho sina + cosa = m với .2 m 2 - ≤≤ Tính sin2a, sina, cosa. 9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính: . 24 11 .sin 24 7 .sin 24 5 .sin 24 sin B ; 12 5 .cos 12 11 sin A ππππππ == C = cos10 0 .cos50 0 .cos70 0 ; D = cos20 0 .cos40 0 .cos80 0 . E = sin160 0 .cos110 0 + sin250 0 .cos340 0 + tan110 0 .tan340 0 . Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 4 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. F = sin10 0 .sin50 0 .sin70 0 ; . 12 5 tan 12 tanG 22 ππ += H = tan5 0 tan55 0 tan65 0 . H = tan9 0 – tan27 0 – tan63 0 + tan81 0 ; I = cos10 0 cos20 0 cos30 0 . . . cos80 0 . ; 7 3 cos 7 2 cos - 7 cos K πππ += . 24 sin 24 5 sin 12 7 sin 12 5 cos M ππππ = 10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC: . 2 A C tan 2 A - C tan a c a - c ; 2 C B tan 2 C - B tan c b c - b ; 2 B A tan 2 B -A tan b a b - a + = + + = + + = + 11. Chứng minh các đẳng thức sau: a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ; cosccosa.cosb. c) b sin(a ++ b) a; tana.tan3 a2a.tan tan- 1 a tan- 2atan 22 22 = . bacoscos b) - b)sin(a sin(a b tan- a tanc) 22 22 + = cos4x 4 1 4 3 x cos x sin f) ; sina cosa sina - cosa sin2a 1 cos2a e) 0; 2 3 -cos4x 2 1 -2cos2x -x4cos d) 444 +=+ + = + = . 8 3 .sin80.sin40sin20 h) 0; 9 7 cos 9 5 cos 9 cos g) 000 ==++ πππ 12) Chứng minh rằng: a) Nếu 2 1 y) -cos(x y) cos(x = + thì tanxtany = . 3 1 b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin 2 x + 2sin 2 y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì . 2 2y x π =+ 13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina; b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana. 14. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có: a) sinA + sinB + sinC = ; 2 C cos 2 B cos 2 A 4cos ; 2 C sin 2 B sin 2 A 4sin 1 cosC cosB cosA b) +=++ c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC; d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 – 2cosAcosBcosC; e) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 + 2cosAcosBcosC; f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C) h) ; 2 C .cot 2 B .cot 2 A cot 2 C cot 2 B cot 2 A cot =++ i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1; 0; 2 B cot a) - (c 2 A cot c) - (b 2 C cot b) - (a k) =++ l) S = 2R 2 sinAsinBsinC; ; 2 C sin 2 B sin 2 A 4Rsin r m) = 1; 2 A .tan 2 C tan 2 C .tan 2 B tan 2 B .tan 2 A tann) =++ Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 5 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. ; 2 C .cos 2 B cos 2 A p.sin a o) = ; sinC B) -sin(A c b - a p) 2 22 = ; 2 C .tan 2 B .tan 2 A p.tan r q) = ; 2 A sin 2 C .sin 2 B asin r r) = ; 2 C .cos 2 B .cos 2 A 4cos p R s) = ; 2 C sin 2 B sin 2 A sin 4R r )t = cosC; cosB cosA R r 1 u) ++=+ ccosC; bcosB acosA R 2pr v) ++= ; 2 C tan 2 B tan 2 A tan p r 4R w) ++= + 0; )cotCb - (a )cotBa - (c )cotA c - (b x) 222222 =++ ; B) -2sin(A )sinAsinBb - (a S y) 22 = ( ) . A2sinb sin2Ba 4 1 S z) 22 += 15. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có: ( ) 3p; c - p b - p a - p p b) ; abc Rc b a cotC cotB cotA a) 222 ≤++< ++ =++ ; c 1 b 1 a 1 2 c - p 1 b - p 1 a - p 1 c)       ++≥++ d) Nếu a 4 = b 4 + c 4 thì 2sin 2 A = tanB.tanC 16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: . c - b - a c - b a a 4 3 sinBsinC c) ; 1 3cosB C) A cos( a a - c b a - c b b) 2; sinBcosC sinA a) 333 2 2 333        + = =      =++ = + + = ; c - b a c - b - a a 4 1 cosBcosC e) ; a a - c b a - c b a 2bcosC d) 333 2 2 333        − = =      = + + = ( ) Csin Bsin A sinR 3 2 S f) 3332 ++= ; 8 1 sCcosAcosBco i) ; 2 C 2cot tanB tanA h) ; cosC cosB sinC sinB sinA g) ==+ + + = k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; .3 cosC cosB cosA sinC sinB sinA l) = ++ ++ 17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là: a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0; c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC. 18. Chứng minh ∆ABC vuông khi: tanA. cosA sinB cosB sinA c); b c a 2 B cot b) ; sinBsinC a cosC c cosB b a) = + ++ ==+ . 2 C sin 2 B sin22p h f) sin2B;a 4 1 S e) ; a 2bc C) - cos(B d) a 2 2 === 19. Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi: . a c - b C) - sin(B b) ; 2 B - C tan b c b - c a) 2 22 =       = + Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 6 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. 20. Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi: BtanC; tan tanC 2tanB b) ; 2 B A b)tan (a b.tanB a.tanA a) 2 =+ + +=+ B);cot A cot( 2 1 Bsin A sin Bcos A cos d) B); tan(A 2 1 cosB cosA sinB sinA c) 22 22 22 += + + += + + ; sinC 2sinAsinB 2 C cot f) ; 2 C sinB)cot (sinA cos Bsin cosA Asin e) 22 =+= ; 2 B ptan 2 C cot b)- (p h) ; 2 A cos 2 B sin 2 B cos 2 A sin g) 33 == 0 A) - bsin(C C) - asin(B l) btanB); (atanA 2 C tan b a k) ; c - 4a c 2a sinB cosB 1 i) 22 =++=+ + = + 21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau: a) (b 2 + c 2 )sin(C - B) = c 2 – b 2 )sin(C + B); ; tanC tanB Csin Bsin b) 2 2 = . cos2B - 1 C) - cos(B - 1 2. b c) - (b d) ; sinA sinB cosC 2cosB cosC 2cosA c) 2 2 =+ + + 22. CMR: ∆ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C; b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0; c) 2(a 3 + b 3 + c 3 ) = a( 2 + c 2 ) + b(c 2 + a 2 ) + c(a 2 + b 2 ); .3h 2 a c b d) a +=+ 23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0; c) a 3 = 3 + c 3 ; d) sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B 2; cotB) cotA)(1 (1 f) =++ g) sin 2 A + sin 2 B = 5sin 2 C; h) A, B, C là nghiệm của phương trình: . 3 32 2 x tan-tanx = 24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: .sinxcosx cosxsinx y += (ĐH An ninh 1998) 25. CMR: nếu ba góc A, B, C của ∆ABC thỏa điều kiện: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998) 26. Cho ∆ABC có các góc thỏa 1 2 B tan 2 A tan =+ . CMR: 1. 2 C tan 4 3 <≤ (ĐH Bách khoa Hà nội 1998) 27. Cho ∆ABC. CMR: 2b = a + c ⇔ 3. 2 C cot 2 A cot =+ (ĐH Cần thơ 1998) Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 7 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. 29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998) 30. Cho ∆ABC. CMR: . 4S c b a cotC cotB cotA 222 ++ =++ (ĐH Dược hà nội 1998) 31. Cho ∆ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội 1998) 32. Cho ∆ABC. CMR: . c b - a sinC B) -sin(A 2 22 = (ĐH Ngoại ngữ 1998) 33. CMR: trong mọi ∆AC ta đều có: . 2 C .cot 2 B .cot 2 A cot 2 C tan 2 B tan 2 A tan 2 1 sinC 1 sinB 1 sinA 1       +++=++ (ĐH Ngoại thương 1998) 34. Cho ∆ABC sao cho: 2 sinC sinB sinA a c b 222      +=++ ≤+ . Tính các góc của ∆ABC. (ĐH Ngoại thương 1998) 35. CMR: trong mọi ∆ABC ta luôn có: . 3 C cos 3 B cos 3 A cos 4 3 8 3 3 C cos 3 B cos 3 A cos 333       +++≤++ (ĐH Quốc gia Hà nội 1998) 36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức: . 2 C sin 1 2 B sin 1 2 A sin 1 cosC 1 cosB 1 cosA 1 ++=++ CMR: ∆ABC đều. b) ∆ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA sinC sinB = . (ĐH An ninh 1999) 37. CMR: điều kiện cần và đủ để ∆ABC đều là có hệ thức: ( ) .3 cotC cotB cotA - sinC 1 sinB 1 sinA 1 =++++ (ĐH Bách khoa Hà nội 1999). 38. CMR: Điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là: 1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999). 39. ∆ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC). CMR: ∆ABC là tam giác đều. (ĐH Dược Hà nội 1999). 40. CMR: nếu ∆ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b) 2 BA tan + thì ∆ABC cân. (ĐH Hàng hải 1999). Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 8 BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO. 41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot 4 a + cot 4 b + 2tan 2 a.tan 2 b + 2. (ĐH Giao thông vận tải 1999). Giáo viên biên soạn: Nguyễn Tiến Long 9