Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY 1 Giải hệ phương trình:    x 3 − y 3 = 35 2x 2 + 3y 2 = 4x − 9y Lời giải Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải quan sát các hạng tử của 2 phương trình. Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó ta lien tưởng đến hằng đẳng thức (a + b) 3 , vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình 1 hoặc phương trình 2 để khi cộng hoặc trừ 2 vế ta sẽ ra hằng đẳng thức đó. Giải: Ta nhân phương trình (2) cho 3. Khi đó ta có hệ mới là:  x 3 − y 3 = 35 6x 2 + 9y 2 = 12x − 27y Ta lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2), ta được: x 3 − y 3 − 35 − 6x 2 − 9y 2 + 12x − 27y = 0 ⇔ (x 3 − 6x 2 + 12x − 8) − (y 3 + 9y 2 + 27y + 3) = 0 ⇔ (x − 2) 3 = (y + 3) 3 ⇔ x = y + 5 Thay x = y + 5 vào một trong 2 phương trình ban đầu ta sẽ tìm được nghiệm Đáp số: (x; y) = (3; −2); (2; −3) Vậy ý tưởng giải quyết bài dạng này là tìm 1 hệ số α nhân vào phương trình chứa bậc 2 và bậc 1 để khi cộng trừ 2 vế phương trình ta sẽ thu được hằng đẳng thức (a + b) 3 . (1) + (2).α ⇔ (x + a) 3 = (y + b) 3 Sau đây là một số bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm: 1)  x 3 + y 3 = 91 4x 2 + 3y 2 = 16x + 9y Đáp số: (x; y) = (3; 4); (4; 3) 2)  x 3 + y 3 = 9 x 2 + 2y 2 = x + 4y Đáp số: (x; y) = (2; 1); (1; 2) 3)  x 3 + 3xy 2 = −49 x 2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x Đáp số: (x; y) = (−1; −4); (−1; 4) 2 Giải hệ phương trình:    −x 3 + 3x + 4 = y 2y 3 − 6y − 2 = x Lời giải Phân tích: Thoạt nhìn bài này, có nhiều bạn sẽ cố gắng dùng các phương pháp thế hoặc tìm hệ số nhân cho 1 phương trình nào đó để biến đổi, nhưng các cách đó sẽ rất phức tạp hoặc khó khăn trong việc xoay sở và tìm kiếm. Vì thế ta liên tưởng đến việc dùng phương pháp đánh giá để tìm nghiệm hệ phương trình. (nếu bạn nào nhanh mắt có thể đoán nghiệm của phương trình rồi cố gắng tách để so sánh với nghiệm đó để biện luận nghiệm duy nhất) Giải: Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với: Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 1 Lê Nhất Duy - Lớp 11A8  −(x 3 − 3x − 2) = y − 2 2(y 3 − 3y − 2) = x − 2 ⇔  −(x + 1) 2 (x − 2) = y − 2 (1) 2(y + 1) 2 (y − 2) = x − 2 (2) Từ đó, ta xét: Nếu x > 2 thì từ phương trình (1) ta suy ra y < 2, nhưng y < 2 thì sẽ không thỏa phương trình (2) vì thế ta loại. Tương tự nếu x < 2 ta cũng loại. Vậy x = 2 ,suy ra y = 2. Thử lại ta thấy đó là nghiệm của hệ. Đáp số: (x; y) = (2; 2). 3 Giải hệ phương trình:    x 4 + y 2 = 698 81 x 2 + y 2 + xy − 3x − 4y + 4 = 0 Lời giải Phân tích: Các bạn sẽ rất khó giải nếu cứ chú ý tới phương trình 1, vì nó là một cái bậc 4 và 1 cái bậc 2 không liên quan gì nhau. Hãy quan sát phương trình 2 ta thấy đó là phương trình bậc cao nhất là bậc 2 đối với các hạng tử.Vì thế ta sẽ phân tích tích nghiệm của phương trình 2 theo ẩn x và theo ẩn y. Một là nếu ∆ là số chính phương thì ta có thể phân tích thành nhân tử rồi kết hợp với phương trình 1 tìm nghiệm,hai là ta có thể tìm điều kiện của x và y để biện luận phương trình. Giải: Từ phương trình (2) ta có: x 2 + (y − 3)x + (y −2) 2 = 0 Để phương trình có nghiệm thì: ∆ = (y − 3) 2 − 4(y − 2) 2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤ 7 3 Tương tự ta viết phương trình (2) thành: y 2 + (x − 4)y + x 2 − 3x + 4 = 0 Để phương trình có nghiệm thì: ∆ = (x − 4) 2 − 4(x 2 − 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 3 Từ đó ta suy ra: x 4 + y 2 ≤ 256 81 + 49 9 = 687 81 < 698 81 Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 4 Giải hệ phương trình:        4  y 2 x 3 − 6x 2 y 2 + 81 + 3 + 2012  x 2 y 2 − 9y 2 x + 18x 2 y 2 = y 2 x(x 4 + y 4 ) = y 6 (1 + y 4 ) Lời giải Xét y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình, ta chia 2 vế của phương trình (2) cho y 5 Từ phương trìnnh thứ 2, ta có: x 5 y 5 + x y = y 5 + y Xét hàm f(t) = t 5 + t, f  (t) = 5t 4 + 1 > 0∀t. ⇔ x = y 2 Thay vào phương trình (1) ta được: 4 √ x 4 − 6x 3 + 81 + 2012 √ x 3 − 9x 2 + 18x = x − 3 Đặt 4 √ x 4 − 6x 3 + 81 = a, 2012 √ x 3 − 9x 2 + 18x = b (a, b > 0). Ta có: 2 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp Lê Nhất Duy - Lớp 11A8  a + b = x − 3 a 4 − 6b 2012 = (x − 3) 4 ⇒ (a + b) 4 = a 4 − 6b 2012 ⇒ b = 0 ⇒ x = 6 hoặc x = 3 (nghiệm x = 0 loại) Đáp số: (x; y) =  3; ± √ 3  ;  6; ± √ 6  5 Giải hệ phương trình:      x + 6 √ xy − y = 6 (1) x + 6(x 3 + y 3 ) x 2 + xy + y 2 −  2(x 2 + y 2 ) = 3 (2) Lời giải Phân tích: Dùng bất đẳng thức đề đánh giá nghiệm. Giải: Điều kiện:  xy ≥ 0 x 2 + xy + y 2 = 0 Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm Nếu x ≤ 0, y ≤ 0(x, y không đồng thời bằng 0) thì VT của (2) âm, PT (2) không thỏa mãn. Do đó x > 0, y > 0. Vì 2 √ xy ≤ x + y nên PT (1) suy ra: 6 = x + √ xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ 3 (3). Mặt khác, ta có: xy ≤ x 2 + y 2 2 ⇒ x 2 + xy + y 2 ≤ 3(x 2 + y 2 ) 2 ⇒ 3(x 3 + y 3 ) x 2 + xy + y 2 ≥ 2(x 3 + y 3 ) x 2 + y 2 (4) Ta chứng minh rằng: 2(x 3 + y 3 ) x 2 + y 2 ≥  2(x 2 + y 2 ) (5) Thật vậy BDT (5) tương đương với: 2(x 3 + y 3 ) 2 ≥ (x 2 + y 2 ) 3 ⇔ x 6 + y 6 + 4x 3 y 3 ≥ 3x 4 y 2 + 3x 2 y 4 (6) Áp dụng BDT Cauchy ta có: x 6 + x 3 y 3 + x 3 y 3 ≥ 3 3  x 1 2y 6 = 3x 4 y 2 y 6 + x 3 y 3 + x 3 y 3 geq 3  x 6 y 1 2 = 3x 2 y 4 Cộng vế theo vế ta được BDT (6) , suy ra BDT (5) đúng. Từ (4) và (5) suy ra 3(x 3 + y 3 ) x 2 + xy + y 2 ≥  2(x 2 + y 2 ) Kết hợp với PT (2) và lưu ý rằng:  2(x 2 + y 2 ) ≥ x + y , ta được : 3 = x + 6(x 3 + y 3 ) x 2 + xy + y 2 −  2(x 2 + y 2 ) ≥ x +  2(x 2 + y 2 ) ≥ x + (x + y) = 2x + y (7) Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y. Ta được x = y = 1 ( thỏa mản điều kiện). Đáp số: (x; y) = (1; 1). 6 Giải hệ phương trình:      x + y 1 + xy = 1 − 2y 2 − y x − y 1 − xy = 1 − 3x 3 − x Lời giải Phân tích: Bài này nhìn vào rất phức tạp, không biết định hướng đi từ đâu, vì thế phãi cố gắng tìm cách đặt ẩn đề đưa về một phương trình đơn giản hơn. Giải: Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 3 Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 Đặt: x = u − 1 u + 1 , y = v − 1 v + 1 ,      u − v u + v = 2 − u u + 2 (1) uv − 1 uv + 1 = 3 − v 3 + v (2) Từ phương trình (1) ta có u − v u + v = 2 − u u + 2 = 2 − v 2 + v + 2u = 2 + v − 2u 2 − v ⇒ (2 − v) 2 = (2 + v) 2 − 4u 2 ⇒ u 2 = 2v Từ phương trình (2) ta có : uv − 1 uv + 1 = 3 − v 3 + v = 3u − uv 3u + uv = 3u − 1 3u + 1 + 2uv = 3u + 1 − 2uv 3u − 1 ⇒ (3u − 1) 2 = (3u + 1) 2 − 4u 2 v 2 ⇔ u 2 v 2 = 3u Vậy ta có hệ:  u 2 = 2v u 2 v 2 = 3u (3) Xét u = 0 ⇒ v = 0 ⇒ x = y = −1 ⇒ xy = 1 (loại do 1 −xy = 0) Như vậy (3) tương đương:  u 2 = 2v uv 2 = 3 Từ hệ trên suy ra u > 0 ⇒ u 2 v 4 = 9 ⇒ 2v.v 4 = 9 ⇒ v = 5  9 2 ⇒ u 2 = 5 √ 144 ⇒ u = 5 √ 12 (do u > 0) Đáp số: (x; y) =   5 √ 12 − 1 5 √ 12 + 1 ; 5  9 2 − 1 5  9 2 + 1   7 Giải hệ phương trình:     xy + (x − y)( √ xy − 2) + √ x = y + √ y (x + 1)  y + √ xy + x(1 − x)  = 4 Lời giải Phân tích: Ta thử và dự đoán hệ phương trình sẽ có nghiệm x = y. Vì thế ta sẽ tìm cách để phân tích thành phương trình tích xuất hiện (x −y)(. . . ). Từ đó ta quan sát và thấy phương trình (1) là khả thi nhất. Giải: Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0 Phương trình (1) tương đương: ⇔  xy + (x − y)( √ xy − 2) − y + ( √ x − √ y) = 0 ⇔ y(x − y) + (x − y)( √ xy − 2)  xy + (x − y)( √ xy − 2) + y + x − y √ x + √ y = 0 ⇔ (x − y)  y + √ xy − 2  xy + (x − y)( √ xy − 2) + y + 1 √ x + √ y  = 0 Từ PT (2) suy ra : y + √ xy = 4 x + 1 − x(1 − x) = 4 x + 1 + (x + 1) + (x − 1) 2 − 2 ≥ 2.  4 x + 1 .(x + 1) + (x − 1) 2 − 2 ≥ 2 Từ đó ta suy ra x = y. Thay x = y vào phương trình (2). Ta có: x 3 − 2x 2 − 3x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x 2 − x − 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x 2 − x − 1 = 0 Xét x = 1 ⇔ y = 1 Xét x 2 − x − 1 = 0. x = 1 + √ 5 2 ⇔ y = 1 + √ 5 2 , x = 1 − √ 5 2 (loại vì x ≥ 0) Đáp số: (x; y) = (1; 1),  1 + √ 5 2 ; 1 + √ 5 2  4 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 8 Giải hệ phương trình:     x 2 − y 2 = xy (x + 3) x 2 (1 − 4xy 2 ) = y 2 (1 + 8x 2 ) Lời giải Phân tích: Ta chú ý rằng: Phương trình (2) biến đổi một chút ta được : x 2 − 4x 3 y 4 = y 2 + 8x 2 y 2 ⇐⇒ x 2 − y 2 = 4x 3 y 4 + 8x 2 y 2 Phương trình (1) sau khi điều kiện ta bình phương hai vế cũng thu được : x 2 − y 2 = x 2 y 2 (x + 3) 2 Tới đây ta sẽ nghỉ đến phép thế và bắt nhân tử chung ngay nên việc còn lại chỉ là giải các phương trình cơ bản. Giải: Từ phương trình (1) ta biến đổi :  x 2 − y 2 = xy(x + 3) ⇐⇒    xy(x + 3) ≥ 0 x 2 − y 2 = x 2 y 2 (x + 3) 2 (3) Ta lại có phương trình (2) ta biến đổi thành : x 2 − 4x 3 y 4 = y 2 + 8x 2 y 2 ⇐⇒ x 2 − y 2 = 4x 3 y 4 + 8x 2 y 2 Thế vào (3) ta được hệ phương trình :    xy(x + 3) ≥ 0 4x 3 y 4 + 8x 2 y 2 = x 2 y 2 (x + 3) 2 ⇐⇒    xy(x + 3) ≥ 0 x 2 y 2 (x + 1) 2 = 0 ⇐⇒                xy(x + 3) ≥ 0      x = 0 y = 0 x = −1 (4) Với : ) x = 0 =⇒ y = 0 ) y = 0 =⇒ x = 0 ) x = −1 =⇒ y = ± √ 5 5 Đáp số: (x; y) = (0; 0),  −1; ± √ 5 5  9 Giải hệ phương trình:    x 3 − 8x = y 3 + 2y x 2 − 3 = 3(1 + y 2 ) Lời giải Phân tích: Nếu bài này ta làm như bình thường là thế thì sẽ là rất khó khăn trong việc xử lý. Nên ta sẽ tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương trình bằng 1 phương trình trong hệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình. Giải: Hệ đã cho tương đương với:    x 3 − y 3 = 2(4x + y) x 2 − 3y 2 = 6 ⇐⇒    3(x 3 − y 3 ) = 6(4x + y) x 2 − 3y 2 = 6 Thế x 2 − 3y 2 = 6 vào phương trình (1) khi đã nhân 3, ta được: 3(x 3 − y 3 ) = (x 2 − 3y 2 )(4x + y) ⇐⇒ x 3 + x 2 y − 12xy 2 = 0 (∗) Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 5 Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 Xét y = 0 không là nghiệm của hệ, ta chia y 2 cho 2 vế của phương trình (∗), ta được: (∗) ⇐⇒ x 3 y 3 + x 2 y 2 − 12x y = 0 Đặt t = x y , suy ra: (∗) ⇐⇒ t 3 + t 2 − 12t = 0 ⇐⇒ t(t 2 + t − 12) = 0 Xétt = 0 ⇐⇒ x = 0 ( không là nghiệm) Xét t = 3 ⇐⇒ x = 3y Xét t = −4 ⇐⇒ x = −4y Thay lần lượt vào 1 trong hai phương trình ban đầu ta giải ra nghiệm. Đáp số: (x; y) = (3; 1), (−3; −1),  −4  6 13 ;  6 13  ,  4  6 13 , −  6 13  Sau đây là một bài tương tự để các bạn rèn luyện thêm: 1) Giải hệ phương trình:    x 3 + 4y = y 3 + 16x 1 + y 2 = 5(1 + x 2 ) Đáp số: (x; y) = (−1; 3), (1; −3), (0; 2), (0; −2) 10 Giải hệ phương trình:    (x − 3y) (6x + 18y + 5) = 4x (x 2 + 2xy + 4y 2 ) (8x − 16y − 9) + 9x 2 + 4x = 78y − 18xy + 26 Lời giải Phân tích: Do 2 phương trình của hệ đều có phương trình tích nên ta sẽ phân phối và rút gọn cho bớt cồng kềnh. Sau đó sẽ dùng các biện pháp để giải. Giải: Ta có: (x − 3y)(6x + 18y + 5) = 4x ⇐⇒ 6x 2 + x = 54y 2 + 15y (x 2 + 2xy + 4y 2 )(8x − 16y − 9) + 9x 2 + 4x = 78y − 18xy + 26 ⇐⇒ 8x 3 + 4x = 64y 3 + 36y 2 + 78y + 26 Như vậy ta viết hệ thành:    6x 2 + x = 54y 2 + 15y 8y 3 + 4x = 64y 3 + 36y 2 + 78y + 26 Ta nhân phương trình thứ nhất với 2 rồi cộng với phương trình thứ hai thì thu được: (2x + 1) 3 = (4y + 3) 3 . Từ đây ta có: x = 2y + 1. Tới đây các bạn thế vào (1) hoặc (2) giải sẽ ra nghiệm. Đáp số: (x; y) =  12 5 ; 7 10  ,  1 3 ; − 1 3  11 Giải hệ phương trình:    (x + √ x 2 + 1)(y +  y 2 + 1) = 1 y + 1 √ 5x 2 − 1 + −3 2 = 0 Lời giải Phân tích: Ta biến đổi bằng cách dùng biểu thức liên hợp từ phương trình đầu . Giải: Từ phương trình đầu ta có : (x + √ x 2 + 1)(x − √ x 2 + 1)(y +  y 2 + 1) = x − √ x 2 + 1 ⇐⇒ y +  y 2 + 1 = √ x 2 + 1 − x Tương tự ta cũng có: x + √ x 2 + 1 =  y 2 + 1 − y 6 Trường THPT Thành Phố Cao Lãnh - tỉnh Đồng Tháp Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 Cộng vế theo vế ta được x + y = 0 Thay vào phương trình 2 ta được : y + 1  5y 2 − 1 − 3 2 = 0 Ta chuyển vế sau đó bình phương , ta được: (y − 1)(2y + 1)(10y 2 − 25y + 13) = 0 Ta chỉ nhận các nghiệm : y = 1, y = − 1 2 , y = 5 −  21 5 4 , Từ đó ta suy ra nghiệm của hệ. Đáp số: (x; y) = (−1; 1),  1 2 ; − 1 2  ,   −5 +  21 5 4 ; 5 −  21 5 4   . Lê Nhất Duy - Lớp 11A8 7 . Duy - Lớp 11A8 11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY 1 Giải hệ phương trình:    x 3 − y 3 = 35 2x 2 + 3y 2 = 4x − 9y Lời giải Phân tích: Đây có lẽ là bài quen thuộc đối với nhiều bạn, để giải hệ này ta phải. tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp thế vào một hệ số nào đó của 1 phương trình bằng 1 phương trình trong hệ để tạo sự đồng bậc giữa 2 phương trình. Giải: Hệ đã cho tương đương với:    x 3 −. của 2 phương trình. Phương trình ban đầu là bậc 3, phương trình 2 là bậc 2 và bậc một, từ đó ta lien tưởng đến hằng đẳng thức (a + b) 3 , vậy ta phải cố gắng tìm 1 hệ số nhân vào phương trình