ĐỀ TÀI " BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRONG KHÔNG GIAN HOLDER " pdf

33 426 0
  • Loading ...
1/33 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 31/03/2014, 08:20

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTRẦN THỊ THÚY MAIBÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHOPHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNHCẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDERLUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌCThái Nguyên - Năm 20121Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vnĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMTRẦN THỊ THÚY MAIBÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNGTRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAITRONG KHÔNG GIAN HOLDERChuyên ngành: GIẢI TÍCHMã số: 60.46.01.02LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa họcPGS.TS HÀ TIẾN NGOẠNThái Nguyên - Năm 20122Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vniMục lụcMở đầu 11 Một số kiến thức chuẩn bị 31.1 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Công thức Green thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Công thức Green thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Công thức Green biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Lớp hàm Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton . . . . . . . . . . 71.7 Phương pháp liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Phương pháp làm trơn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tínhcấp hai 142.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich-let cho phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichletcho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . 192.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trìnhPoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình el-liptic cấp hai dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Kết luận 28TÀI LIỆU THAM KHẢO 293Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1Mở đầu1. Lý do chọn Luận vănPhương trình elliptic tuyến tính cấp hai có một đặc điểm quan trọng là:khi vế phải và các hệ số của phương trình là các hàm liên tục thì nghiệmcổ điển lớp C2của nó nói chung là không tồn tại. Nhà toán học Schauderđã có một phát hiện quan trọng là khi vế phải và các hệ số của phươngtrình thuộc lớp Holder Cαthì nghiệm luôn tồn tại trong lớp C2,α. Do đócần phải trình bày một cách hệ thống lý thuyết Schauder về tính giải đượccủa phương trình elliptic cấp hai trong không gian Holder.2. Phương pháp nghiên cứuCác phương pháp chính được sử dụng trong Luận văn là các đánh giátiên nghiệm đối với thế vị Newton và sử dụng phương pháp liên tục đểchuyển các kết quả cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổngquát.3. Mục đích của Luận vănTrình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình ellipticcấp hai dạng tổng quát.4. Nội dung của Luận vănLuận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luậnvà Tài liệu tham khảo.Chương 1. Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kếtquả chính của Luận văn. Trước hết trình bày công thức tích phân từngphần, sau đó trình bày các công thức Green thứ nhất, công thức Greenthứ hai và công thức tích phân từng phần. Tiếp theo giới thiệu về lớp hàmHolder, đánh giá của Schauder đối với thế vị Newton và hai phương phápquan trọngphương pháp liên tục và phương pháp làm trơn hàm số.Chương 2. Giới thiệu các đánh giá của Schauder đối với nghiệm của4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bàitoán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tiếp theotrình bày về tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trìnhPoisson và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình ellipticcấp hai dạng tổng quát.Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảocủa PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòngbiêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đếnBan Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đạihọc Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tậptại trường.Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôitrong suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn.Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạnnên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đónggóp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012Tác giảTrần Thị Thúy Mai5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn3Chương 1Một số kiến thức chuẩn bị1.1 Công thức tích phân từng phầnGiả sử Ω ⊂ Rdlà miền bị chặn trong Rdvới biên ∂Ω. Với x ∈ ∂Ω taký hiệu νx= (ν1, ν2, , νd) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x, dσ(x)là phần tử diện tích của ∂Ω.Với u(x), v(x) ∈ C1(Ω) ∩ C0(Ω) ta có công thức tích phân từng phầnsau đây:Ω∂u(x)∂xkv(x)dx = −Ωu(x)∂v(x)∂xkdx +∂Ωu(x)v(x)νkdσ(x). (1.1)1.2 Công thức Green thứ nhấtBổ đề 1.2.1. Giả sử u(x) ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), v(x) ∈ C1(Ω) ∩ C0(Ω),∆u =dk=1∂2u∂x2k. Khi đó ta có công thức Green thứ nhấtΩv(x)∆u(x)dx +Ω∇u(x).∇v(x)dx =∂Ωv(z)∂u∂νz(z)dσ(z), (1.2)trong đó ∇u = (∂u∂x1, ,∂u∂xd) ,∂u∂νz=dk=1∂u∂xkνk= (∇u, νz) là đạo hàm củau theo hướng νz.6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4Chứng minh. Ta có:Ωv(x)∆u(x)dx =Ωv(x)dk=1∂∂xk(∂u∂xk)dx= −Ωdk=1∂u∂xk∂v∂xkdx +∂Ωv(z)dk=1∂u(z)∂xkνkdσ(z)= −Ω∇u(x).∇v(x)dx +∂Ωv(z)∂u∂νz(z)dσ(z).Do đó ta có công thức (1.2).1.3 Công thức Green thứ haiBổ đề 1.3.1. Giả sử u(x), v(x) ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), ta có công thức Greenthứ hai:Ω{v(x)∆u(x) − u(x)∆v(x)}dx =∂Ωv(z)∂u∂νz− u(z)∂v∂νz(z)dσ(z).(1.3)Chứng minh. Theo công thức Green thứ nhất ta có:Ωv(x)∆u(x)dx +Ω∇u(x).∇v(x)dx =∂Ωv(z)∂u∂νz(z)dσ(z).Đổi vai trò hàm u(x) và v(x) ta có:Ωu(x)∆v(x)dx +Ω∇v(x).∇u(x)dx =∂Ωu(z)∂v∂νz(z)dσ(z).Trừ các vế của hai phương trình trên ta có (1.3).1.4 Công thức Green biểu diễn hàm sốĐịnh lý 1.4.1. Nếu u ∈ C2(Ω), ta có:u(y) =∂Ωu(x)∂Γ∂νx(x, y) − Γ(x, y)∂u∂νx(x)do(x) +ΩΓ(x, y)∆u(x)dx,(1.4)7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5trong đóΓ(x, y) = Γ(|x − y|) =12πlog |x − y| với d = 21d(2−d)ωd|x − y|2−dvới d > 2(1.5)và ωdlà thể tích của hình cầu đơn vị trong Rd.Chứng minh. Với  > 0 đủ nhỏ, tồn tại hình cầu tâm y bán kính B(y, ) ⊂ Ω(vì Ω mở ). Áp dụng (1.3) cho v(x) = Γ(x, y) và Ω \ B(y, ). Do Γ là hàmđiều hòa theo biến x trong Ω \ {y}, ta thu được:Ω\B(y,)Γ(x, y)∆u(x)dx =∂ΩΓ(x, y)∂u∂νx(x) − u(x)∂Γ(x, y)∂νxdσ(x)+∂B(y,)Γ(x, y)∂u∂νx(x) − u(x)∂Γ(x, y)∂νxdσ(x).(1.6)Trong tích phân thứ hai trên biên, ν là pháp tuyến ngoài của Ω \ B(y, ),do vậy là pháp tuyến trong của B(y, ).Ta lấy giới hạn từng tích phân trong công thức khi  → 0. Do u ∈ C2(Ω),∆u bị chặn. Do Γ là khả tích nên vế trái của (1.6) trở thành:ΩΓ(x, y)∆u(x)dx.Trên ∂B(y, ), ta có Γ(x, y) = Γ(). Vì vậy khi  → 0,∂B(y,)Γ(x, y)∂u∂νx(x)dσ(x)≤ dωdd−1Γ() supB(y,)|∇u| → 0.Ngoài ra,−∂B(y,)u(x)∂Γ(x, y)∂νxdσ(x) =∂∂Γ()∂B(y,)u(x)dσ(x)=1dωdd−1∂B(y,)u(x)dσ(x) → u(y).8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6(do ν là pháp tuyến trong của B(y, )).Do vậy, ta có (1.4).1.5 Lớp hàm HolderĐịnh nghĩa 1.5.1. Cho f : Ω → R, x0∈ Ω, 0 < α < 1. Hàm f được gọilà liên tục Holder tại x0với số mũ α nếusupx∈Ω|f(x) − f(x0)||x − x0|α< ∞. (1.7)Hơn nữa f được gọi là liên tục Holder trong Ω nếu nó liên tục tại mọix0∈ Ω (với số mũ α). Khi đó ta viết f ∈ Cα(Ω).Nếu f liên tục Holder tại x0thì f liên tục tại x0.Trong (1.7) nếu α = 1 thì f được gọi là liên tục Lipschitz tại x0.Ta định nghĩa chuẩn:|f|Cα(Ω)= supx,y∈Ω|f(x) − f(y)||x − y|α(1.8)fCα(Ω)= fC0(Ω)+ |f|Cα(Ω)(1.9)Không gian Cα(Ω) với chuẩn (1.9) là không gian Banach.Ví dụ 1.5.2. Hàm f trên B1(0) được cho bởi f(x) = |x|β, 0 < β < 1,liên tục Holder với số mũ β tại x = 0 và liên tục Lipschitz khi β = 1.Định nghĩa 1.5.3. Ck,α(Ω) là không gian các hàm f ∈ Ck(Ω) mà đạohàm cấp k liên tục Holder với số mũ α.Khi đófCk,α(Ω)= fCk(Ω)+|α|=k|Dαf|Cα(Ω). (1.10)Ta thường viết Cαthay cho C0,α.Không gian Ck,α(Ω) với chuẩn (1.10) là không gian Banach.Bổ đề 1.5.4. Nếu f1, f2∈ Cα(G) trên G ⊂ Rd. Khi đó f1f2∈ Cα(G) và:|f1f2|Cα(G)≤supG|f1||f2|Cα(G)+supG|f2||f1|Cα(G).9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7Chứng minh. Ta có:|f1(x)f2(x) − f1(y)f2(y)||x − y|α≤|f1(x) − f1(y)||x − y|α|f2(x)|+|f2(x) − f2(y)||x − y|α|f1(x)|.Suy ra điều phải chứng minh.1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị NewtonĐịnh nghĩa 1.6.1. Cho Ω ∈ Rdlà mở và bị chặn. Thế vị Newton của flà hàm số u trên Rnđược định nghĩa bởi:u(x) =ΩΓ(x, y)f (y)dy, (1.11)trong đó Γ(x, y) được xác định bởi (1.5).Định lý 1.6.2.a. Nếu f ∈ L∞(Ω) (tức supx∈Ω|f(x)| < ∞), thì u ∈ C1,α(Ω) và:uC1,α(Ω)≤ c1sup |f| với α ∈ (0; 1). (1.12)b. Nếu f ∈ Cα0(Ω), thì u ∈ C2,α(Ω) và:uC2,α(Ω)≤ c2fCα(Ω)với α ∈ (0; 1), (1.13)trong đó Cα0(Ω) gồm các hàm thuộc Cα(Ω) và bằng không trong lân cậncủa biên ∂Ω.Các hằng số trong (1.12) và (1.13) phụ thuộc vào α, d và |Ω|.Chứng minh. a. Đạo hàm cấp một vi=∂u∂xicủa u được cho bởi:vi(x) =Ωxi− yi|x − y|df(y)dy (i = 1, 2, , d).Trong công thức trên đã bỏ qua thừa số mà chỉ phụ thuộc vào d. Từ đóta có công thức:|vi(x1) − vi(x2)| ≤ supΩ|f|.Ωxi1− yi|x1− y|d−xi2− yi|x2− y|ddy. (1.14)10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn[...]... http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2. 1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson Xét phương trình Poisson sau trong miền Ω ⊂ Rd x ∈ Ω ∆u(x) = f (x), (2. 1) Ta ký hiệu H 1 (Ω) là không gian H 1 (Ω) = {u(x) ∈ L2 (Ω); ∂u ∈ L2 (Ω), ∀i = 1, 2, , d} ∂xi Không gian H 1 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô... nên fh − f Cα → 0 Cho h → 0, khi đó fh là dãy Cauchy trong C 0 (Ω) hoặc C α (Ω) Áp dụng (2. 3) và (2. 4) cho uh1 − uh2 , ta thu được: uh1 − uh2 C 1,α (Ω0 ) ≤ c27 fh1 − fh2 C 0 (Ω) + uh1 − uh2 L2 (Ω) , (2. 22) C 2, α (Ω0 ) ≤ c28 fh1 − fh2 C α (Ω) + uh1 − uh2 L2 (Ω) (2. 23) hoặc uh1 − uh2 Hàm giới hạn u được chứa trong C 1,α (Ω0 ) hoặc C 2, α (Ω0 ) và thỏa mãn (2. 3) và (2. 4) Định lý 2. 1 .2 Giả sử u là một... ε u (R2 − R1 )2 C 1,α (B(0,R2 )) 1 N (ε) u L2 (B(0,R2 )) (R2 − R1 )2 (R − R1 )3 ε ≤ c 22 A1 + c23 (R − R1 )3 ∆u 3 (R − R )2 (R − R2 ) 2 1 3 (R − R1 ) + c24 N (ε) u L2 (B(0,R2 )) (R2 − R1 )3 + C 0 (B(0,R2 )) Chọn R2 (R1 < R2 < R), và ε thích hợp, hệ số của A1 ở vế phải nhỏ hơn 1 2 Khi đó ta được: u|C 1,α (B(0,r)) ≤ 1 A1 (R − r)3 ≤ c25 ∆u C 0 (B(0,R)) + u L2 (B(0,R)) (2. 20) với một hằng số phụ thuộc... Định lý 2. 1.1, ta biết rằng nó là nghiệm yếu của ∂ ∂ ∆ i u = i f ∂x ∂x Từ Định lý 2. 1.1 kéo theo: ∂ u ∈ C 2, α (Ω) i ∂x (i ∈ {1, , d}), và vì vậy u ∈ C 3,α (Ω) 2. 2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Định nghĩa 2. 2.1 Ta xét phương trình d ∂ 2 u(x) Lu(x) = a (x) i j + ∂x ∂x i,j=1 d bi (x) ij i=1 ∂u(x) + c(x)u(x) = f (x) (2. 24) ∂xi trong. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày các vấn đề sau đây: 1 Lớp hàm Holder và các đánh giá Schauder đối với nghiệm yếu của các phương trình Poisson và phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát 2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong lớp hàm Holder đối với các phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát 32Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Tài. .. g trong C 2, α (Ω) và vì vậy un trở thành dãy Cauchy trong C 2, α (Ω) và do đó hội tụ tới u ∈ C 2, α (Ω) thỏa mãn: ∆u = f trong Ω, u = g trên ∂Ω, và đánh giá (2. 58) 2. 4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát Định lý 2. 4.1 Giả sử Ω là miền bị chặn của lớp C ∞ trong Rd Giả sử toán tử vi phân d 2 L= a (x) i j + ∂x ∂x i,j=1 d ij bi (x) i=1 ∂ + c(x) ∂xi (2. 60)... http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 Định lý 2. 2 .2 Giả sử f ∈ C α (Ω) và u ∈ C 2, α (Ω) thỏa mãn Lu = f (2. 25) trong miền Ω (0 < α < 1) Với bất kỳ Ω0 ⊂⊂ Ω Khi đó ta có: u C 2, α (Ω0 ) ≤ c1 f C α (Ω) + u L2 (Ω) , (2. 26) trong đó c1 là hằng số phụ thuộc vào Ω, Ω0 , α, d, λ, K Chứng minh Để chứng minh định lý trên ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2. 2.3 Giả sử có ma trận đối xứng (Aij )i,j=1, ,d thỏa mãn: d 2 Aij ξi ξj ≤ Λ|ξ |2 λ|ξ| ≤ (2. 27)... chuẩn 2 α -Holder của đạo hàm cấp hai ∂x∂∂xj u có thể được đánh giá như trong i chứng minh của Định lý 1.6 .2( b) Phương trình vi phân ∆u = f kéo theo: 2 u=f− (∂xd )2 d−1 i=1 2 u, (∂xi )2 (2. 49) 2 ∂ và vì vậy ta thu được đánh giá cho chuẩn α -Holder của (∂xd )2 u Vì vậy ta có thể đánh giá được tất cả đạo hàm cấp hai của u Như trong chứng minh của Định lý 2. 1.1, khi đó ta thu được đánh giá C 2, α trong. .. Bổ đề 1.5.4, ta có: ∆φ Cα ≤ c16 η ∆u C 2, α Cα + u C 1,α (2. 10) Ở đây tất cả các chuẩn được tính toán trên B(0, R2 ) Từ Định lý 1.6 .2 và (2. 9) và (2. 10), ta thu được: φ C 1,α ≤ c17 ∆u C0 + η C2 u , (2. 11) C 1,α (2. 12) C1 và φ C 2, α ≤ c18 η ∆u C 2, α Cα + u tương ứng Do u(x) = φ(x) với |x| ≤ R1 , và trở lại (2. 5), ta thu được: u C 1,α (B(0,R1 )) ≤ c19 ∆u C 0 (B(0,R2 )) + 1 u (R2 − R1 )2 C 1 (B(0,R2 ))... > 0 đủ nhỏ sao cho: 1 c7 sup |aij (x0 ) − aij (x)| ≤ 2 i,j,x∈B(x0 ,R) (2. 39) Với cùng phương pháp trong chứng minh của Định lý 2. 1.1, số hạng tương ứng có thể bị triệt tiêu trong vế trái Khi đó từ (2. 38) ta thu được: u C 2, α (B(x0 ,R)) ≤ 2c8 u C 2 (B(x0 ,R)) + 2c9 f C α (B(x0 ,R)) (2. 40) L2 (B(x0 ,R)) (2. 41) Do (2. 17), với mọi ε > 0, tồn tại N (ε) sao cho: u C 2 (B(x0 ,R)) ≤ε u C 2, α (B(x0 ,R)) . http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tiếp theo trình bày về tính giải được của bài toán. http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Chương 2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai 2. 1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich- let cho phương trình Poisson Xét phương trình Poisson. SƯ PHẠM TRẦN THỊ THÚY MAI BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG KHÔNG GIAN HOLDER LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 20 12 1Số hóa bởi Trung tâm Học
- Xem thêm -

Xem thêm: ĐỀ TÀI " BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRONG KHÔNG GIAN HOLDER " pdf, ĐỀ TÀI " BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRONG KHÔNG GIAN HOLDER " pdf, ĐỀ TÀI " BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP 2 TRONG KHÔNG GIAN HOLDER " pdf

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn