CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp ma trận A ∈ Mmxn(K) phép biến đổi có dạng sau: a/ hi ↔ hj (Ci ↔ Cj) (Đổi chỗ hàng hay cột với nhau) b/ hi → α.hj (Ci → α.hi), α ≠ (Nhân hàng hay cột với 01 số khác không) c/ hi → hi + βhj (Ci → Ci + βCj) (Thêm vào hàng hay cột bội số hàng khác cột khác) Toán Chương 4: MA TRẬN Slide CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để ma trận B nhận từ ma trận A sau số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp A Ví dụ:  3  3 1    h2 ↔ h3   h3 → 2.h3   A =     →   →   7 9  6  10 12        Toán Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A ∈ Mmxn(K) Ma trận A gọi có dạng bậc thang như: a/ Các hàng khác khơng (có phần tử nằm hàng khác không) nằm hàng không b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không hàng nằm bên phải cột chứa phần tử khác khơng hàng Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ:  3   A =  0 4 0 0 1   1  0 B=  0  5  6 0 3  0 0  Là ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đưa dạng bậc thang nhờ phép biến đổi sơ cấp Ta minh họa ví dụ sau: Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) 1  2 A=  3  4 4 1  h2 → h2 − h1   −1  h4 → h4 −3h1  0 − −       → −1 −5 −1 − 5    0 −1 − −1  − 11    4 4 1 1     −  h4 → h4 + h2  − − 5 h2 ↔ h3  −1  →       → 0 − −  0 −3 −6   0 −1 − −1  0 − − 6      4 1   − 5 h4 → h4 − h3  −1   →  0 − − 6   0 0 0   Toán Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A ∈ Mmxn(K) Ta nói ma trận A có hạng p (ký hiệu r(A) = p) A chứa ma trận cấp p có định thức khác khơng, cịn định thức cấp p+1 khơng Nói cách khác, hạng ma trận A cấp cao định thức khác khơng * Ta quy ước ma trận có hạng Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng ma trận có tính chất sau: r(A) = r(AT) r(Amxn) ≤ min{m,n} r(A+B) ≤ r(A) + r(B) r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)} Cho ma trận A ∈ Mmxn(K) X ∈ Mn(K), detX ≠ Y ∈ Mm(K), detY ≠ Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A) Toán Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng ma trận có tính chất sau (tt): Nếu A → B (Ma trận B nhận từ A qua số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp) Khi đó: r(A) = r(B) Nếu A ∈ Mn(K) thì: + r(A) = n ⇔ detA ≠ + r(A) < n ⇔ detA = Toán Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) c/ Định lý: Cho A ∈ Mmxn(K) ma trận bậc thang có p hàng khác khơng Khi đó: r(A) = p Nhận xét: Từ định lý ta thấy, để tìm hạng ma trận, ta biến đổi sơ cấp ma trận cho để đưa dạng bậc thang Khi ta dễ dàng suy hạng ma trận Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 10 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)  − − 2   Vậy A -1 = PA =  − −  detA  − − 4   e/ Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp hàng Ta cịn có thuật tốn khác để tìm A–1 qua phép biến đổi sơ cấp hàng sau: PBĐBĐ hàng (A | I)   →(I | A −1 )  Chú ý: Phương pháp tiện cho việc tính A–1 mà ma trận A có cấp cao Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide 19 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) − 3 1   −  Tìm A–1 Ví dụ 3: Cho A =   −1 0   −3 Ta viết   −4 3  −1  0 0 0  0 1  −3 1     → −  0 −  h2 → h2 − 3h1 h3 → h3 − h1 Toán Chương 4: MA TRẬN −3 −2 0  0 1  Slide 20 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ (tt): 1  h2 → h2 − h3    →  0 −  1 h1 → h1 − h2  h3 → h3 + h2   → 0  Toán −3 −1 −1 −2 −1 −2 −1 −1 1 −7 Chương 4: MA TRẬN 0  − 1 1  2  −1 − 4  Slide 21 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) Ví dụ (tt): 1     →  0  h1 → h1 + h3 h2 → h2 + h3 ⇒ A −1 −4 −8 −7 −  = −8 −  Toán Chương 4: MA TRẬN − 2  − 5 − 4  − 2  − 5  − 4 Slide 22 BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng ma trận 1  0 a/ A = 3  0 2  1 −1  2 c/ A =  −4  5 −  Toán  − 5    − 4   b/ A =    −1 − 10  −   0   5 −2 −1 −8 −3 −2 −6 1  −1 1  1 −1  − 2  4  7 10   18   Chương 4: MA TRẬN Slide 23 BÀI TẬP CHƯƠNG (tt)   −1   Bài 2: Cho ma trận A =  − m + m + 1  −1 m −1    Tìm điều kiện m để r(A) = 1 0 0   0 1 0 Bài 3: Cho ma trận A =  1    1 0 0 a 0   Hãy biện luận r(A) theo tham số a Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 24 BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) 1   −1  Bài 4: Cho ma trận A =  −1   2  Tìm điều kiện m để A khả nghịch 1  Bài 5: Cho ma trận A =   −1  1 1   2 ×  4    1  4 2  m  −1   m  m + 1  Tìm điều kiện m để A khả nghịch Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 25 BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) 1  Bài 6: Cho ma trận A =   −1  Tìm A–1 − 3  − 4 0  Bài 7: Giải phương trình ma trận 1 − 3  −3    A =  −  X = 10  −1 10 0    0  7 8  Bài 8: Cho A ∈ Mn(K), detA = Hãy tính detA–1, det(A.AT) Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide 26 BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) Bài 9: Tìm A–1 phép biến đổi sơ cấp theo hàng 1  a / A = 0 0  b/ Toán 1 1  1 1  1 1    A =  1 − 1 1 − 1    Chương 4: MA TRẬN Slide 27 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Tìm hạng ma trận a/ r(A) = b/ r(A) = c/ r(A) = Bài 2: Để r(A) = điều kiện m ≠ m ≠ – Bài 3: r(A) = 5, ∀a Hướng dẫn: Do detA ≠ không phụ thuộc vào a 13 Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện m ≠ 13 Hướng dẫn: A khả nghịch ⇔ detA ≠ ⇔ m ≠ Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 28 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) Bài 5: Không tồn m để ma trận A khả nghịch Hướng dẫn: Đặt 1  B = 2 3  −1 1  2 4  1  C = 2 3  −1   m  m + 1  Ta có: A = B.C ⇒ detA = detB.detC Mà detB = (Do ma trận B có hàng tỷ lệ) Vậy detA = 0, ∀m Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 29 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) − Bài 6: −1  A = −8 −  − 2  − 5 − 4  Hướng dẫn: detA = ≠ 0, tồn A-1 Ta có: Mà −  PA =  − −  − 2  − 5 − 4  − −1  −1 A = PA ⇒ A =  − det A −  Toán Chương 4: MA TRẬN −2  −5  −4  Slide 30 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) 6 5   X =  2  3 3   Hướng dẫn: Ta có A.X = B ⇒ A-1.A.X = A-1.B ⇒ X = A-1.B  − − 2 Mà  -1  A =  − −  (Đã làm 6) 6 5  − − 4     −1 ⇒ X = A B =  2   3 3   Bài 7: Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 31 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) Bài 8: detA = , det(A.AT) = 16 -1 Hướng dẫn: Ta có: A.A-1 = In ⇒ det(A.A-1) = detIn = ⇒ detA.detA-1 = 1 -1 = ⇒ detA = det A Ta có: det(A.AT) = detA.detAT Mà detAT = detA Do det(A.AT) = 16 Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide 32 ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG (tt) Bài 9: Tìm A-1 phép biến đổi sơ cấp theo hàng Hướng dẫn: a/ 0 1 −1  −1  A = 0 − 1 b / 0 1   Toán 0   −1  A = 2 1  2 Chương 4: MA TRẬN − 2 −         Slide 33 ...     Toán Chương 4: MA TRẬN Slide 14 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo Cho ma trận A ∈ Mn(K) * A gọi ma trận không suy biến det(A ) ≠ * A gọi ma trận khả nghịch tồn B... khơng Nói cách khác, hạng ma trận A cấp cao định thức khác khơng * Ta quy ước ma trận có hạng Tốn Chương 4: MA TRẬN Slide ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng ma trận có tính chất sau: r(A)... MA TRẬN − 2  − 5 − 4? ??  − 2  − 5  − 4? ?? Slide 22 BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng ma trận 1  0 a/ A = 3  0 2  1 −1  2 c/ A =  ? ?4 