Đang tải... (xem toàn văn)
tuyển tập đề thi kỹ sư tài năng môn toán
N KSTN- K55 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG 2011 Tuyển tập đề thi Kĩ Sư Tài Năng Môn Toán Hà Nội, 22-8-2011 N KSTN- K55 2 Thông báo về: Lớp Ôn kiến thức thi Kĩ Sư Tài Năng - Đại Học Bách Khoa Hà Nội Đầu tiên: Gsttvn xin chúc mừng tất cả các em HS đã đỗ vào Đại học Bách Khoa Hà Nội, nhất là những em đạt điểm cao và có giải HSG Quốc gia. Các em sẽ có cơ hội thi vào lớp Tài Năng – hệ đào tạo tốt nhất Đại học Bách Khoa Hà Nội Để giúp các em ôn luyện Toán Lý để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Tài Năng: Gsttvn group sẽ tổ chức lớp ôn luyện Toán Lý cho các em. Cụ thể: Đăng kí: Tên: Lương Văn A Quê: VD: Ninh Bình SĐT: 01 Email: fdgg@gmail.com Gửi : thienctnb@gmail.com or nhắn tin: SĐT 01663788126. Địa điểm: Số nhà 4, ngõ 93, Bùi Xương Trạch, p- Khương Đình, Thanh Xuân, HN Thời gian: Bắt đầu: Thứ 4 ngày 24/8 Sáng 9h - 11h: Vật Lý Chiều: 2h - 4h: Toán (Lịch tiếp sẽ update sau - qua email hoặc SĐT của các em) Tài liệu: (phục vụ quá trình học) Các em sẽ được cung cấp “Bộ tài liệu ôn thi Kĩ Sư Tài Năng – 2011” bao gồm: Đầy đủ các chuyên đề Toán Lý, các dạng bài tập hay thi Lời giải chi tiết đề thi Toán Lý tất cả các năm trước, Đề thi mới, đề thi thử + kèm lời giải. (Đây là bộ tài liệu tuyệt hay, tất cả đều vừa được sáng tác bởi các Anh(chị) trong nhóm Gsttvn). Giáo viên: Là các anh (chị) hiện đang là sinh viên lớp KSTN – K55 Môn Toán: 1. Trần Vũ Trung – KSTN – ĐKTĐ – K55 (Giảng viên Toán chính) 2. Nguyễn Tuấn Linh - KSTN – ĐTVT – K55 3. Phạm Văn Cường – KSTN – ĐTVT – K55 Môn Lý: 1. Trịnh Văn Sơn – KSTN – ĐTVT – K55 (Giảng viên Lý chính) 2. Kim Đình Sơn - CNTT – K55 3. Nguyễn Xuân Ngọc – KSTN – CĐT – K55 4. Nguyễn Tuấn Linh -– KSTN – ĐTVT – K55 5. Trần Đình Thiêm – KSTN – ĐKTĐ – K55 Mục tiêu: Hướng dẫn các em chuẩn bị kiến thức Toán Lý tốt nhất để vượt qua kì thi khó khăn này. Đồng thời truyền đạt kinh nghiệm ôn thi, làm bài thi của các anh chị đi trước, đặc biệt là kĩ năng làm bài sao cho hạn chế tối đa sai sót không đáng tiếc. Thực tế đã cho thất: rất nhiều bạn làm được nhưng chưa chắc đã có điểm. Nội dung: N KSTN- K55 3 Kiến thức Môn Toán: 1. Hàm liên tục + Giới hạn hàm số và tính liên tục + Các định lý về hàm liên tục trên đoạn (khoảng) đóng 2. Hàm khả vi + Giới hạn hàm số và tính khả vi + Đạo hàm của hàm hằng, hàm hằng hàm hợp + Cực trị hàm số + Các định lý về giá trị trung gian của hàm khả vi 3. Dãy số + Bài toán cần xác định công thức số hạng tổng quát + Bài toán cần xác định giới hạn dãy số truy hồi. Phương pháp ánh xạ co + Bài toán về dãy số xác định thông qua phép toán dãy số 4. Phương trình hàm + Phương pháp thế + Phương trình hàm dạng Cauchy 5. Tích phân + Các kĩ thuật tính toán, biến đổi: Đổi biến, tích phân từng phần + Bất đẳng thức tích phân 6. Các bài toán rời rạc khác: BĐT, hình học tổ hợp, tổ hợp, phương trình,…. Kiến thức Môn Lý: 1. Cơ học 2. Dao động cơ, sóng cơ 3. Quang hình 4. Điện học (dòng điện xoay chiều) 5. Sóng ánh sáng 6. Vật lý Hạt nhân Mọi thông tin thắc mắc xin gửi về: Anh: Lương Văn Thiện - KSTN-ĐTVT K55 mail: thienctnb@gmail.com SĐT:01663788126 Cuối cùng xin chúc tất cả các em có được sự ôn luyện tốt nhất và đạt kết quả như mong muốn trong kì thi này! N KSTN- K55 4 1999 Bài 1, Kho sát s bin thiên ca hàm s c cho: = + 1 + 1 0 0 = 0 Bài 2, Tìm các s thc , , thu kin 2+ 316 = 0 sao cho biu thc: = 2 2 + 2 2 + 2 2 444+ 15 t giá tr nh nht. Bài 3, Chng minh r cos + sin 2+ cos 3= Có nghin ; vi mi , , thuc . Bài 4, Tìm hàm s n [0; 1] bit rng: 0 1, [0; 1] và: 1 2 1 2 , 1 , 2 . N KSTN- K55 5 2000 Bài 1, Cho dãy s 1 , 2 , 3 . . . tha mãn: 1 > 0, = ln 1 + 1 , 1 Chng minh rng dãy s hi t n mt gii hn . Tìm . Bài 2, Chng minh rng nu hàm s () thu kin: 1 2 1 2 3 , 1 , 2 thì () là hàm hng. Bài 3, Cho () là hàm s nh và liên tc ti mi 0 , ly giá tr không âm th u kin: () , 0 0 Tro là mt hng s ng minh rng = 0, 0. Bài 4, Hàm s f(x) thu kin 0, . Chng minh rng: + 1 + 1 , , , 0; 1 . Bài 5, Cho các s thc 1 , 2 , , , khác nhau tmt. Chng minh rng: 1 1 + 2 2 + + = 0, Khi và ch khi: 1 = 2 = = = 0. N KSTN- K55 6 2001 Bài 1, Cho hàm s: = (+1) 2 . Chng minh rng dãy s nh bi: 0 = 1, +1 = , 0. 1. Chng minh rm duy nht 1 2 ; 1. 2. Chng minh rng 1 2 ; 1, 3. Chng minh r n 1 2 ; 1. Suy ra tn ti mt s (0; 1) sao cho +1 = vi mi 4. Chng minh rng lim = . Bài 2, Vi hai s , t , = 1+ . Chng minh rng vi ba s , , ta luôn có: , , + , . Bài 3, Cho hàm s <0 và a<b. Chng minh rng: 1. + 1 > + 1 , , , , 0,1 . 2. ( + 2 ). Bài 4, Cho < và hàm s có liên tc trên tha mãn: = = 0 và = . Chng minh rng: 2 , ; . N KSTN- K55 7 2002 Bài 1, Cho b 1+ 2 + (1) 1. Gii bi = 2. 2. Tìm ln nht sao cho (1) nghii . Bài 2, Cho dãy s { } = 1 = 1 3 +1 = 2 2 , 1 Chng minh rng dãy s { } có gii hn khi + và tìm gii h Bài 3, Cho các s thc 1 , 2 , , 2002 , tha mãn: 0 0 0 + 1 2 + 2 3 + + 2002 2003 = 0 Chng minh r 0 + 1 + 2 2 + + 2002 2002 = 0 có nghim trên 0; 1 . Bài 4, Cho hàm s = () o hàm cp hai () 0 trên toàn b và c nh. Tìm giá tr ln nht ca hàm s () = () + ()() trên . N KSTN- K55 8 2003 Bài 1, c () có bc bé nht ci ti = 1 vi (1) = 6 và t cc tiu ti = 3 và (3) = 2. Bài 2, Có tn ti hay không m c () thu kin: i) () () ii) () () Vi mi giá tr ca . Bài 3, 1. Cho hàm s nh và > 0, . Bit rng tn ti 0 sao cho 0 = 0 . Chng mihnh rng 0 = 0 . 2. Gii h = 3 + 22 = 3 + 22 = 3 + 22 = 3 + 22 Bài 4, Cho dãy s { } tha mãn: 1 = 2 1 + 2 + + = 2 Tìm gii hn: lim ( 2 ). N KSTN- K55 9 2004 Bài 1, Tìm s , , sao cho: lim ± 2 3 2 + 3 + 5 2 1 3 3 + 2 5 4 4 + 4 4 + 1 + 2 2 + 5 = 1 Bài 2, Chng minh rng vi mi tham s 3 9+ 2 1 = 0 Luôn có 3 nghim. Bài 3, Cho () là hàm s n [0; 1] và nhn giá tr n [0; 1] tha mãn: < , , [0; 1] Chng minh rng tn ti mm duy nht 0 0; 1 sao cho: 0 = 0 . Bài 4, 1. Chng minh rng nu hàm s () liên t n [; ] thì: 2. Chng minh rng nu hàm s () o hàm liên t n [; ] và thu kin () = () = 0 thì: () 2 4 . N KSTN- K55 10 2005 Bài 1, Cho dãy s 0 = 1, = 1 + 1 1 , 0. 1. Chng minh rng dãy s trên không dn t i mt gii hn hu hn khi + . 2. Chng minh rng lim + = +. Bài 2, Cho hàm s () liên tu gim trên [0; ] và [0; ]. Chng minh rng: 0 0 Bài 3, Cho () là mt hàm s liên t n [0; 2 ] tha mãn: > 0 và < 1 2 0 Chng minh r = có ít nht mt nghim trong khong: 0; 2 . Bài 4, Cho hàm s: = sin( 1 ) , 0 0 , = 0 (vi là hng s Vi giá tr nào ca thì hàm s ( ) o hàm ti mi . Bài 5, Tìm tt c hàm s () o hàm liên tc trên và tha mãn: [...]... lần luợt thuộc 𝑎 và 𝑏 sao cho 𝐼𝑀 + 𝐾𝑁 = 𝑀𝑁 Trong số các điểm cách đều các đường thẳng 𝑎, 𝑏 và 𝑀𝑁, hãy LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 tìm điểm có khoảng cách đến mỗi đường nói trên là ngắn nhất Kĩ Sư Tài Năng – 2009 Bài 1, Cho phương trình: 𝑥 4 + 𝑥 2 − 𝑚𝑥 + 4 = 0, (1) trong đó 𝑚 là tham số 1 Giải phương trình (1) khi 𝑚 = 6 2 Tìm m đề phương trình (1) có nghiệm Bài 2, 1 Chứng minh rằng với mọi 𝑎 cho... liên tục thỏa mãn: 𝑓 , 𝛼𝑥 + (1 − 𝛼 ) 𝑦- ≤ 𝛼𝑓( 𝑥 ) + (1 − 𝛼 ) 𝑓 ( 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 và ∀𝛼 ∈ (0; 1) 14 LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 Chứng minh rằng: 𝑏 𝑎 𝑓( 𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ ( 𝑏 − 𝑎) 𝑓( 𝑏+𝑎 2 ) 15 Kĩ Sư Tài Năng – 2010 Bài 1, 1) Tính 2𝜋 0 sin(sin 𝑥 + 𝑛𝑥 ) 𝑑𝑥 (𝑛 ∈ 𝑁) 2) Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định trên tập số thực thỏa mãn: 𝑓 ( 𝑥 ) − (𝑓(𝑦) ≤ 𝑥 − 𝑦 , ∀, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓 𝑓 ( 𝑓(0)) = 0 Chứng minh rằng: 𝑓 (0) = 0 Bài... thể ngồi quanh một bàn tròn sao cho mỗi người đều quen với 2 người ngồi cạnh mình Bài 5, Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là 3 góc của 1 tam giác nhọn Chứng minh rằng: LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝐴 + 𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝐵+𝑡𝑎𝑛 𝑛 𝐶 ≥ 𝑛 + 3 𝑛, (𝑛 ∈ 𝑁) 2 Các thành viên Gsttvn Group- chương trình tình nguyện tiếp sức mùa thi 2011- với bí kíp thi Đại học đạt điểm cao 16 LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 17 Buổi dạy học tình...LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 𝑓 ( 𝑥 + 𝑦) = 𝑓( 𝑥 ) + 𝑓 ( 𝑦) + 2𝑥𝑦, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 11 Kĩ Sư Tài Năng – 2006 Bài 1, Phương trình: 𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 + 4 = 0, (trong đó a là tham số), có bao nhiêu nghiệm Bài 2, Cho dãy số * 𝑢 𝑛 + xác định như sau: 𝑢0 ∈ 𝑅 và: 𝑢 𝑛+1... 5, Cho 𝑥, 𝑦 là hai đường thẳng chéo nhau 𝐴 , 𝐵 là 2 điểm cố định trên 𝑥 𝐶𝐷 là đoạn thẳng có chiều dài 𝑙 cho trước trượt trên 𝑦 Tìm vị trí của 𝐶𝐷 sao LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 cho diện tích toàn phần tứ diện 𝐴𝐵𝐶𝐷 là nhỏ nhất 12 Kĩ Sư Tài Năng – 2007 𝑥)3 − Bài 1, Cho phương trình: ( 1 − 𝑥 + 𝑥(1 − 𝑥) = 𝑚 (1) (𝑚 là tham số) 1 Giải phương trình (1) khi 𝑚 = 1 2 Tìm m để phương trình (1) có nghiệm... nhất Bài 5, Cho 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘 𝑛 là các số thực dương khác nhau từng đôi một Chứng minh rằng: 𝛼1 cos 𝑘1 𝑥 + 𝛼2 cos 𝑘2 𝑥 + … + 𝛼 𝑛 cos 𝑘 𝑛 𝑥 = 0, ∀𝑥 ∈ ℝ LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 Khi và chỉ khi: 𝛼1 = 𝛼2 = ⋯ = 𝛼 𝑛 = 0 13 Kĩ Sư Tài Năng – 2008 Bài 1, 𝑎1 = 2, Cho dãy số {𝑎 𝑛 } thỏa mãn: 𝑎1 + 𝑎2 + … +𝑎 𝑛 = 𝑛2 𝑎 𝑛 , ∀𝑛 > 1 Tìm lim 𝑛→∞ 𝑛2 𝑎 𝑛 𝜋 sin 𝑛𝑥 Bài 2, Tính tích phân: 𝐼 𝑛 = Bài 3, Cho hàm số... Với n là số nguyên dương đặt: 𝑈𝑛 = 𝜋 4 0 𝑥 2𝑛−1 2𝑛 (sin 𝑥) 𝑑𝑥 , 𝑉𝑛 = 𝜋 4 0 𝑥 2𝑛−1 (cos 2 𝑥)2𝑛−1 𝑑𝑥, Chứng minh rằng: 1 lim 𝑛→+∞ 𝑈 𝑛 = lim 𝑛→+∞ 𝑉𝑛 = 0 2 2𝑈 𝑛 + 𝑉𝑛 ≤ 𝜋2 32 , ∀𝑛 ≥ 1 Bài 3, Kí hiệu ℝ+ là tập các số thực dương Giả sử 𝑓: ℝ+ → ℝ+ là một hàm số liên tục thỏa mãn: 𝑓 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 (𝑥 + 1)5 + 1 Chứng minh rằng: 1 Nếu 𝑓 ( 𝑥1 ) = 𝑓 ( 𝑥2 ) thì 𝑥1 = 𝑥2 2 Hàm số 𝑓(𝑥) đơn điệu tăng và lim 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥+1)... trình tình nguyện tiếp sức mùa thi 2011- với bí kíp thi Đại học đạt điểm cao 16 LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 17 Buổi dạy học tình nguyện cho Sinh viên của các thành viên Gsttvn Group LƯƠNG VĂN THI N – KSTN- ĐTVT – K55 18 Buổi dạy học tình nguyện cho Sinh viên của các thành viên Gsttvn Group . TẠO TÀI NĂNG 2011 Tuyển tập đề thi Kĩ Sư Tài Năng Môn Toán Hà Nội, 22-8-2011 N KSTN- K55 2 Thông báo về: Lớp Ôn kiến thức thi Kĩ Sư Tài Năng. các chuyên đề Toán Lý, các dạng bài tập hay thi Lời giải chi tiết đề thi Toán Lý tất cả các năm trước, Đề thi mới, đề thi thử + kèm lời giải. (Đây là bộ tài liệu tuyệt hay, tất cả đều vừa được. hội thi vào lớp Tài Năng – hệ đào tạo tốt nhất Đại học Bách Khoa Hà Nội Để giúp các em ôn luyện Toán Lý để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi Tài Năng: Gsttvn group sẽ tổ chức lớp ôn luyện Toán