Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN I-ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Lịch sử số phức Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của − 1. Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "a + bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "i" để chỉ căn bậc hai của − 1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này 2. Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông của hầu hết các nước đều có phần kiến thức số phức. Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung số phức cuối cùng cũng đã được đưa vào chương trình Giải tích 12, tuy nhiên còn rất đơn giản. Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương trình bậc hai, tính một vài tổng đặc biệt, Việc sử dụng số phức và biến phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học (phẳng và không gian) tỏ ra có nhiều ưu việt, nhất là trong việc xem xét các vấn đề liên quan đến các phép biến hình, quỹ tích và các dạng miền bảo giác. Nhìn chung, hiện nay, chuyên đề số phức và biến phức (cho bậc trung học phổ thông và đại học) đã được trình bày ở dạng giáo trình, trình bày lý thuyết . Sau đây tôi xin trình bày một số ứng dụng cơ bản trong chương trình PTPH giúp học sinh hiểu sâu hơn về số phức. II- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa : Số phức là một biểu thức có dạng a bi + với ,a b là những số thực và i thỏa mãn 2 1i = − . Ta kí hiệu z a bi= + Như vậy { } | ,C a bi a b R= + ∈ i gọi là đơn vị ảo, a là phần thực, b gọi là phần ảo 2 .Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z = a – bi 3 .Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| = 2 2 a b+ 4.Các phép toán với số phức (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i 1 2 1 2 z z z z± = ± (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; 1 2 .z z = 1 z . 2 z ; z. z = |z| 2 = ; 1 2 z z = 1 .z 2 1 z 1 1 2 2 z z z z   =  ÷   5.Căn bậc hai của một số phức: Cho số phức z = a + bi *nếu b ≥ 0 thì = ± *nếu b < 0 thì = ± 6. Dạng lượng giác của số phức *Cho z = a + bi thì môđun r và argument ϕ được tính bởi công thức sau: r = 2 2a b+ ; cosϕ = a r ; sinϕ = b r * Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ) 7.Công thức MOAVRƠ Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 1 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Cho hai số phức z 1 = r 1 (cosϕ 1 + i.sinϕ 1 ) và z 2 = r 2 (cosϕ 2 + i.sinϕ 2 ) khi đó: z 1 .z 2 = r 1 .r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i.sin(ϕ 1 + ϕ 2 )] 1 z = 1 r [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)] 1 2 z z = 1 2 r r [cos(ϕ 1 – ϕ 2 ) + i.sin(ϕ 1 – ϕ 2 )] Công thức MOAVRƠ: Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì z n = r n (cosnϕ + i.sinnϕ) căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau: z k = n r (cos 2k n ϕ π + + i.sin 2k n ϕ π + ) với k = 0,1,….n – 1 B - CÁC CHUYÊN ĐỀ . I - CÁC TẬP HỢP ĐIỂM THƯỜNG GẶP. Trong bài này, để cho gọn, thay vì nói “ điểm M biểu diễn số phức z ” ta nói “ điểm M có tọa vị z ” và ký hiệu là ( ) M z , tương tự thay vì nói “ véctơ u r biểu diễn số phức w ” ta nói “ véctơ u r có tọa vị w ” và ký hiệu là ( ) u w r . 1.Tập hợp điểm là đường tròn hoặc hình tròn: Trong mặt phẳng phức cho điểm A có tọa vị a và số thực dương R. a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R− = là đường tròn tâm A, bán kính R. b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R− < là hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a R− > là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). Chứng minh: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ AM uuuur là z a− , suy ra AM AM z a= = − uuuur . a) Ta có z a R− = AM R⇔ = ⇔ M thuộc đường tròn tâm A bán kính R. b) Ta có z a R− < AM R⇔ < ⇔ M thuộc hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). c) Từ đó suy ra tập hợp điểm M có tọa vị z thỏa mãn z a R− > là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm A, bán kính R ( không kể đường tròn biên ). Ví dụ : Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức ( ) 1 3 2i z+ + trong đó 1 2z − ≤ . HD:Đặt ( ) 1 3 2w i z= + + thì 2 1 3 w z i − = + . Do đó theo giả thiết 1 2z − ≤ 2 1 2 1 3 w i − ⇔ − ≤ + ( ) 3 3 2 1 3w i i⇔ − + ≤ + ( ) 3 3 4w i⇔ − + ≤ . Vậy tập hợp cần tìm là hình tròn có tâm ( ) 3 3I i+ , bán kính 4R = kể cả đường tròn biên. Đó là hình tròn có phương trình ( ) ( ) 2 2 3 3 16x y− + − ≤ . { ( ) 3 3I i+ :nghĩa là điểm E có tọa độ (3; 3 )} 2) Tập hợp điểm là đường thẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và k là tham số thực. Nếu 1k ≠ thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − là đường thẳng AB, trừ điểm B. Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 2 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG HD : Giả sử M là điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − . Khi đó véctơ AM uuuur có tọa vị là z a− , véctơ BM uuuur có tọa vị là z b− . Nếu z b≠ và 1k ≠ thì z a k z b − = − ( ) z a k z b⇔ − = − AM k BM⇔ = uuuur uuuur MA kMB⇔ = uuur uuur ⇔ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số 1k ≠ ⇔ M thuộc đường thẳng AB, trừ điểm B ( vì z b ≠ ). 3. Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc nửa mặt phẳng: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A và B lần lượt có tọa vị a và b. a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z a z b − = − là đường trung trực của đoạn thẳng AB. b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z a z b − < − là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ). c) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z a z b − > − là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( không kể đường trung trực ). HD: Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z. Khi đó tọa vị của véctơ AM uuuur là z a− , tọa vị của véctơ BM uuuur là z b − , suy ra AM AM z a= = − uuuur và BM BM z b= = − uuuur . a) Ta có 1 z a z b − = − z a z b⇔ − = − AM BM ⇔ = ⇔ M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB. b) Ta có 1 z a z b − < − z a z b⇔ − < − AM BM⇔ < (1) Ta chứng minh tập hợp các điểm M thỏa mãn (1) là nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. + Thật vậy, giả sử điểm M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó hiển nhiên đoạn thẳng MB cắt đường trung trực tại điểm N nằm giữa M và B. Từ bất dẳng thức trong tam giác AMN ta có AM MN NA MN NB MB< + = + = ( vì N thuộc đường trung trực nên NA NB= ). Vậy (1) được thỏa mãn . + Ngược lại, giả sử điểm M thỏa mãn AM BM< (1). - Nếu M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì AM BM= ( mâu thuẩn với (1)). - Nếu M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Khiđó theo phần thuận ta có BM AM< ( cũng mâu thuẩn với (1)). Vậy M thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. c) Chứng minh tương tự cho trường hợp 1 z a z b − > − . Ví dụ : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) 1z i− = b) 1 z i z i − = + c) 3 4z z i= − + . HD:a) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1z i− = là đường tròn tâm ( ) E i bán kính 1R = , tức là đường tròn có phương trình ( ) 2 2 1 1x y+ − = . Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 3 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG b) Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z i z i − = + là đường trung trực của đoạn thẳng AB, với ( ) A i và ( ) B i− . Đường trung trực này đi qua trung điểm ( ) 0O của đoạn thẳng AB và nhận véctơ ( ) 2AB i− uuur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là ( ) 2 0 0y− − = 0y⇔ = . c) Vì z z= nên 3 4 3 4 3 4z i z i z i− + = − + = − − , suy ra 3 4z z i= − + 3 4z z i⇔ = − − 3 4 1 z i z − − ⇔ = Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn 3 4 1 z i z − − = là đường trung trực của đoạn thẳng OA, với ( ) 0O và ( ) 3 4A i+ . Đường trung trực này đi qua trung điểm 3 2 2 K i   +  ÷   của đoạn thẳng OA và nhận véctơ ( ) 3 4OA i+ uuur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là: ( ) 3 3 4 2 0 2 x y   − + − =  ÷   25 3 4 0 2 x y⇔ + − = 4.Tập hợp điểm là đường tròn đường kính AB: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B theo thứ tự có tọa vị a, b và λ là tham số thực. Nếu 0 λ ≠ thì tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a i z b λ − = − là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm 2 a b E +    ÷   là trung điểm của đoạn thẳng AB và có bán kính là 1 2 R a b= − . HD:Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn z a i z b λ − = − , với z b≠ . Khi đó ta có 1 a bi z i λ λ − = − . ⇒ z a≠ ( vì 0 λ ≠ ). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AB thì E có tọa vị là 2 a b e + = .Do đó tọa vị của véctơ EM uuuur : 1 2 a bi a b z e i λ λ − + − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 a bi i a b i λ λ λ − − − + = − ( ) ( ) 2 1 a b a b i i λ λ − − − = − ( ) ( ) ( ) 1 2 1 a b i i λ λ − − = − 2 a b− = . Suy ra 1 2 z e a b− = − ⇔ M thuộc đường tròn tâm 2 a b E +    ÷   bán kính 1 2 R a b= − , trừ hai điểm A và B ( vì z a≠ và z b≠ ). 5.Tập hợp điểm là đường tròn Appollonius: Trong mặt phẳng phức cho hai điểm phân biệt A, B lần lượt có tọa vị a, b và k là số thực dương khác 1. Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k. Đường tròn này có tâm 2 2 1 a k b E k   −  ÷ −   và bán kính 2 1 k a b R k − = − . HD:Giả sử M là điểm bất kỳ có tọa vị z thỏa mãn z a k z b − = − . Gọi P và Q lần lượt là điểm chia ngoài và điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k. Khi đó ta có .PA k PB= uuur uuur và .QA k QB= − uuur uuur . Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 4 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Suy ra tọa vị của các điểm P, Q lần lượt là: , 1 1 a kb a kb p q k k − + = = − + . Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì tọa vị của E là: ( ) 2 2 1 2 1 a k b e p q k − = + = − . Suy ra tọa vị của véctơ EM uuuur là: 2 2 1 a k b z e z k − − = − − ( ) 2 2 1 z a k z b k − − − = − (4) Từ giả thiết z a k z b − = − , suy ra 2 2 z a k z b − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 z a z a k z b z b − − ⇒ = − − (5) Thế (5) vào (4) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 z a z a z e z a z b k z b z b   − − − = − − −   − − −     ( ) ( ) ( ) 2 1 1 z a z a z a k z b   − − = − −   − −     ( ) ( ) 2 1 1 z a z a k z b   − − = −   − −     ( ) ( ) ( ) 2 1 z b z a z a k z b   − − − − =   − −     ( ) ( ) 2 . 1 a b z a k z b − − = − − ( ) ( ) ( ) 2 . 1 a b z a k z b − − = − − Suy ra z e− ( ) ( ) 2 . 1 a b z a k z b − − = − − 2 . 1 a b z a z b k − − = − − 2 2 . . 1 1 a b k a b k k k − − = = − − Vậy M thuộc đường tròn tâm 2 2 1 a k b E k   −  ÷ −   , bán kính 2 . 1 k a b R k − = − . Đường tròn này gọi là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k. Chú ý: Đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB cho trước theo tỷ số k cho trước là tập hợp các điểm M thỏa mãn MA k MB = , với k là số thực dương khác 1. Ví dụ : Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn z k z i = − ( k là số thực dương cho trước ). HD:Gọi O, A lần lượt là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 0, i . Khi đó ta có: + Nếu 1k = thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn 1 z z i = − là đường trung trực của đoạn thẳng OA. Phương trình đường trung trực này là 1 0 2 y − = . + Nếu 1k ≠ thì tập hợp các điểm có tọa vị z thỏa mãn z k z i = − là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng OA theo tỷ số 1k ≠ .Đường tròn này có tâm E có tọa vị là 2 2 0 1 k i e k − = − 2 2 1 k i k = − và có bán kính 2 2 0 1 1 k i k R k k − = = − − . Suy ra phương trình đường tròn Appollonius là ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 k k x y k k   + − =  ÷ −   − BÀI TẬP 1.Giải hệ phương trình trong tập hợp số phức: Ví dụ : Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số thực khác 0. Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 5 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 4 2 (1) 2 2 1 (2) 2 z i i z z z i λ − −  =  +   −  =  +  HD: + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 4 2i+ , 2− . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) là đường tròn đường kính AB, trừ hai điểm A và B. Đường tròn này có tâm E biểu diễn số phức 1 i+ và bán kính 1 6 2 2 R i= + 3 10i= + = nên có phương trình là ( ) ( ) 2 2 1 1 10x y− + − = (1’) + Gọi C, D theo thứ tự là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức 2, 2i− . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (2) là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Đường trung trực này đi qua trung điểm ( ) 1H i− của đoạn thẳng CD và nhận ( ) 2 2CD i− − uuur làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là ( ) ( ) 2 1 2 1 0x y− − − + = 0x y⇔ + = (2’). Suy ra giao điểm của đường tròn và đường trung trực là nghiệm của hệ đã cho. Đó là các điểm ( ) ;x y thỏa mãn (1’) và (2’), tức là nghiệm của hệ phương trình sau ( ) ( ) 2 2 0 1 1 10 x y x y + =    − + − =   ( ) ( ) 2 2 1 1 10 y x x x = −   ⇔  − + − − =   2 y x x = −  ⇔  = ±  2 2 x y =  ⇔  = −  hoặc 2 2 x y = −   =  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 2 2z i= − và 2 2z i= − + . Ví dụ :Giải hệ phương trình sau với z là ẩn số 1 4 3 (3) 3 2 2 (4) 3 2 z i z i z i  − − =    + + =   + −  HD: + Gọi E là điểm trong mặt phẳng phức có tọa vị là 1 4i+ . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (3) là đường tròn tâm E, bán kính 3R = . Phương trình đường tròn này là: ( ) ( ) 2 2 1 4 9x y− + − = (3’) + Gọi A, B theo thứ tự là các điểm có tọa vị là 3 3 2 , 2 i i− − − + . Khi đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn (4) là đường tròn Appollonius chia đoạn thẳng AB theo tỷ số 2k = . Đường tròn Appollonius có tâm F là điểm có tọa vị 2 2 1 a k b f k − = − 3 3 2 4 2 1 4 i i   − − − − +  ÷   = − 1 2i= − + Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 6 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG và có bán kính 2 1 k a b R k − = − 3 2 3 2 2 1 4 i i− − + − = − 1 2 5i= − − = . Phương trình đường tròn Appollonius là ( ) ( ) 2 2 1 2 5x y+ + − = (4’) Suy ra nghiệm của hệ đã cho là giao điểm của hai đường tròn (3’) và (4’), tức là các điểm ( ) ;x y thỏa mãn hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 9 1 2 5 x y x y  − + − =   + + − =   2 2 2 2 2 8 8 0 2 4 0 x y x y x y x y  + − − + =  ⇔  + + − =   2 2 2 0 2 4 0 x y x y x y + − =  ⇔  + + − =  ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 0 y x x x x x = −   ⇔  + − + − − =   2 2 2 0 y x x x = −  ⇔  + − =  1 1 x y =  ⇔  =  hoặc 2 4 x y = −   =  . Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là 1z i = + và 2 4z i = − + . 2. Giải hệ bất phương trình trong tập hợp số phức. Ví dụ : Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : 3 2 (5) 2 9 2 5 (6) z i z i  − − ≤   − − ≥   HD:Gọi ( ) ,z x yi x y= + Î ¡ là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (5) là hình tròn tâm ( ) 3A i+ , bán kính 2R = ( kể cả biên ). + Ta có 9 5 (6) 2 2 z i⇔ − − ≥ Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (6) là phần của mặt phẳng nằm bên ngoài hình tròn tâm 9 2 B i   +  ÷   , bán kính 5 2 R = ( kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là “ hình trăng lưỡi liềm ” không bị bôi đen trong hình vẽ. Ví dụ : Giải hệ bất phương trình sau với ẩn là số phức z : 3 2 1 (7) 1 1 2 2 (8) z i z z i  + − ≥  +   − − ≤  HD:Gọi ( ) ,z x yi x y IR= + ∈ là tọa vị của điểm M bất kỳ trong mặt phẳng phức. + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (7) là nửa mặt phẳng không chứa điểm A có bờ là đường trung trực của đoạn thẳng AB ( kể cả đường trung trực ), với ( ) 3 2A i− + và ( ) 1B − . Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 7 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG + Tập hợp các điểm M có tọa vị z thỏa mãn (8) là hình tròn tâm ( ) 1 2E i+ , bán kính 2R = ( kể cả biên ). Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là giao của hai tập hợp trên. Đó là phần hình tròn kể cả biên không bị bôi đen trong hình II- Ứng dụng số phức để tính tổng của các k n C 1.Khai triển nhị thức Newton: (1 + x) n = 0 1 2 2 n-1 n-1 n n C +xC +x C + +x C +x C n n n n n (Với * n IN∀ ∈ ) .2- Các tính chất của số phức dùng trong phần này: + Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d + Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì z n = r n (cosnϕ + i.sinnϕ) 3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các k C n ? Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh. Ta dùng số phức để tính tổng của các k n C khi tổng này có hai đặc điểm: * Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau . * k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư (trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2). 4- Các tổng của k C n được tính như thế nào ? Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là 6 π ± , 4 π ± , 3 π ± ). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị. Cộng vế theo vế các đẳng thức thu được. Suy ra giá trị của tổng cần tìm. Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một trong các cách trên. Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các k C n trong tổng. Để nói chi tiết được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 8 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì? MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ: Dạng 1:Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức Ví dụ :Tính tổng A = 0 2 4 6 2004 2006 2008 C -C +C -C + +C -C +C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 B = 1 3 5 7 2005 2007 2009 -C +C -C +C C +C -C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 HD : Xét khai triển: (1 + x) 2009 = 0 1 2 2 2008 2008 2009 2009 C xC x C x C x C 2009 2009 2009 2009 2009 + + + + + Cho x = - i ta có: (1 – i ) 2009 = 0 1 2 2 2008 2008 2009 2009 C iC i C i C i C 2009 2009 2009 2009 2009 + + + + + = ( 0 2 4 6 2004 2006 2008 C C C C C C C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 − + − + + − + ) + + ( 1 3 5 7 2005 2007 2009 C C C C C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C C− + − + − − + − )i Mặt khác: 2009 π π 2009π 2009π 2009 2009 2009 (1 - i) =( 2) cos - +isin - =( 2) cos -isin = 4 4 4 4          ÷  ÷  ÷  ÷         . = π π 2 2 2009 2009 1004 1004 ( 2) cos -isin =( 2) -i =2 -2 i 4 4 2 2      ÷  ÷  ÷     So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i ) 2009 trong hai cách tính trên ta được: A = 0 2 4 6 2004 2006 2008 C C C C C C C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 − + − + + − + = 2 1004 B = 1 3 5 7 2005 2007 2009 -C +C -C +C C +C -C 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 = - 2 1004 Ví dụ : Tính tổng: C = ( ) 1 0 2 2 4 23 46 24 48 25 50 C -3C +3 C 3 C +3 C -3 C 50 50 50 50 50 50 50 2 HD: Xét khai triển: ( ) 50 1 3 1 0 1 2 2 49 49 50 50 - + i = C -(i 3)C +(i 3) C + (i 3) C +(i 3) C = 50 50 50 50 50 50 2 2 2    ÷  ÷   ( ) 1 0 2 2 4 4 46 46 48 48 50 50 = C -( 3) C +( 3) C ( 3) C +( 3) C -( 3) C + 50 50 50 50 50 50 50 2 Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 9 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG + ( ) 1 1 3 3 5 5 47 47 49 49 3C ( 3) C ( 3) C ( 3) C ( 3) C i 50 50 50 50 50 50 2 − + − + + − Mặt khác: 50 50 2π 2π 100π 100π 1 3 1 3 i cos isin cos isin i 2 2 3 3 3 3 2 2             − + = + = + = − −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷             So sánh phần thực của 50 1 3 i 2 2   − +  ÷  ÷   trong hai cách tính trên ta được: C = ( ) 1 1 0 2 2 4 23 46 24 48 25 50 C 3C 3 C 3 C 3 C 3 C 50 50 50 50 50 50 50 2 2 − + − − + − = − Ví dụ : Tính tổng: D = 10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20 3 C -3 C +3 C -3 C + +3 C -3C +C 20 20 20 20 20 20 20 HD:Xét khai triển: ( ) 20 20 0 19 1 18 2 2 18 19 20 3 i ( 3) C i( 3) C ( 3) C ( 3) C i 3C C 20 20 20 20 20 20 + = + − − − − + = = ( 10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3C C 20 20 20 20 20 20 20 − + − + + − + ) + + 19 1 17 3 3 17 19 ( 3) C ( 3) C ( 3) C 3C 20 20 20 20 i   − + + −  ÷   Mặt khác: ( ) 20 20 20 3 1π π 20π 20π 20 20 20 3 i 2 i 2 cos isin 2 cos isin 2 2 6 6 6 6       + = + = + = + =  ÷  ÷  ÷  ÷       4π 4π 1 3 20 20 19 19 2 cos isin 2 i 2 2 3 i 3 3 2 2     = + = − − = − −  ÷  ÷  ÷     So sánh phần thực của ( ) 20 3 i+ trong hai cách tính trên ta có: D = 10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3C C 20 20 20 20 20 20 20 − + − + + − + = - 2 19 Dạng 2: Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp Ví dụ : Tính tổng: D = 1 3 5 7 25 27 29 C -3C +5C -7C + +25C -27C +29C 30 30 30 30 30 30 30 E = 2 4 6 8 26 28 30 2C -4C +6C -8C + +26C -28C +30C 30 30 30 30 30 30 30 HD:(1 + x) 30 = 0 1 2 2 3 3 28 28 29 29 30 30 C xC x C x C x C x C x C 30 30 30 30 30 30 30 + + + + + + + Đạo hàm hai vế ta có: 30(1 + x) 29 = 1 2 2 3 27 28 28 29 29 30 C +2xC +3x C + +28x C +29x C +30x C 30 30 30 30 30 30 Cho x = i ta có: Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 10 [...]... phương pháp giải toàn bằng số phức. tuy nhiên khi găp những bài toán này học sinh cần phân tích đặc điểm của bài?và học sinh cần củng cố cho mình những kiến thức về số phức các tính chất đại số và hình học…mà vận dụng linh hoạt các bài toán và điều kiện một cách linh hoạt ,sáng tạo không máy móc mới mang lại thành công Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song cũng còn nhiều vấn đề mà đề tài còn thiếu sót Vì vậy... 6.7C7 − 8.9C9 + + 22.23C 23 − 24.25C 25 2 25 25 25 25 25 25 25 Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 14 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG HD: Xét khai triển: (1 + x)25 Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i So sánh phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214) 3- Tính các tổng sau: C = C0 − 3C2 + 5C4 − 7C6 + + 17C16 − 19C18 + 21C20... 1 3) ε3k = 1 4) ε3k + 1 = ε 5) ε3k + 2 = ε 2 (k – nguyên) Sử dụng các tính chất trên của ε ta có thể tính được các tổng sau: Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 12 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 0 3 6 3k 15 18 Tính tổng: S = C20 +C20 +C20 + +C20 + +C20 +C20 Ví dụ HD: Xét khai triển: 0 1 2 2 3 3 18 18 19 19 20 20 (1 + x)20 = C20 + xC20 + x C20 + x C 20 + + x C20 + x C 20... = 1 20 Do vậy: 3T = 220 + 2 Hay: T = 2 + 2 3 0 3 6 3k 15 18 Ví dụ : Tính tổng: P = C20 +3C20 +6C20 + +3kC20 + +15C20 +18C20 Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 13 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG HD:Xét khai triển: (1 x) 20 + = C0 + xC1 + x 2C2 + x 3C3 + + x18C18 + x19C19 + x 20C 20 20 20 20 20 20 20 20 Đạo hàm hai vế ta có: 1 2 2 3 17 18 18 19 19 20 20(1 + x)19 = C20 +...Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1 3 5 7 25 27 29 30(1 + i) = ( C30 − 3C30 + 5C30 − 7C30 + + 25C30 − 27C30 + 29C30 ) + 29 2 4 6 8 26 28 30 + ( 2C30 − 4C30 + 6C30 − 8C30 + + 26C30 − 28C30 + 30C30 )i Mặt khác:30(1... (ba căn bậc ba của 1) Cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ĐS: 40.41(238 − 1) F = 1 3 F = 2 40(239 + 1) + 39.40(238 − 1) 3 Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 15 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 40(239 + 1) + 39.40(238 + 2) − 1 F = 3 3 7- Tính các tổng sau: G = C0 + 4C3 + 7C6 + 10C9 + + 34C33 + 37C36 + 40C39 1 40 40 40 40 40 40 40 G = 2C1 + 5C4 + 8C7 + 11C10 + + 35C34... : 1 S n = sin x + sin 2 x + + sin nx 2 S n = cos x + cos 2 x + + cos nx ⇔ 2(cos Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 16 Lại văn long 3 S n = sin x + sin 3 x + + sin(2n − 1) x CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 2 2 2 4 S n = cos x + cos 2 x + + cos nx HD: 1 và 2 đặt Z = cosx + isinx khi đó z ( z n − 1) (cos x + i sin x)(cos nx + i sin nx − 1) = S = z + z 2 + z 3 + + z n = = z −1 cos... 6.3 C20 − + 18.3 C20 − 20.3 C 20 = 30.219 Ví dụ : 0 2 4 6 12 14 Tính các tổng sau: M = C15 -3C15 +5C15 -7C15 + +13C15 -15C15 Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 11 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 1 3 5 7 13 15 N = 2C15 -4C15 +6C15 -8C15 + +14C15 -16C15 HD: Xét khai triển: (1 + x) 15 = C0 + xC1 + x 2C2 + x 3C3 + + x13C13 + x14C14 + x15C15 15 15 15 15 15 15 15 Nhân hai vế... 2) = 10.220 – 39 Suy ra P = 10.2 − 13 3 III- MỘT SỐ BÀI TẬP: 1- Tính các tổng sau: A = 3C1 − 3 1 30 ( 3) 3 3 C +5 30 ( 3) 5 5 C − − 27 30 ( 3) 27 27 C + 29 30 ( 3) 29 29 C 30 A = 2.3C2 − 4.32C4 + 6.33C6 − − 28.314C28 + 30.315C30 2 30 30 30 30 30 ( HD: Xét khai triển: 1 + 3x ) 30 Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực, phần ảo của hai số phức ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229 2- Tính các... 14C15 − 16C15 = -27 Dạng 3: Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài): Giải phương trình: x3 – 1 = 0 Ta được các nghiệm là x1 = 1; x = − 2 1 3 1 3 + i ;x = − − i 3 2 2 2 2 Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1 1 3 1 3 Đăt: ε = . long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN I-ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Lịch sử số phức Nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, . tập hợp số phức: Ví dụ : Giải hệ phương trình sau với ẩn là số phức z và λ là tham số thực khác 0. Giáo viên : lại văn long Trường THPT A Bình Lục Trang 5 Lại văn long CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ. là những số phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính. Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument