∑ ∞ =1n n u Ru n ∈ ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u ∑∑ ∞ = ∞ = ≤ 11 n n n n uu , trong đó Nếu chuỗi hội tụ thì cũng hội tụ và I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI III. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ a.Định lý Cho chuỗi số Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy mà biết được chuỗi b. Định nghĩa được gọi là hội tụ tuyệt đối. cũng hội tụ hay phân kỳ. ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u hội tụ thì chuỗi ∗ Nếu chuỗi ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u hội tụ mà phân kỳ thì chuỗi ∗ Nếu chuỗi Chú ý: ∑ ∞ =1n n u được gọi là bán hội tụ. hội tụ hay phân kỳ thì lúc ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u này chuỗi ∑ ∞ =1 2 2 sin n n n 22 2 1sin nn n ≤ ∑ ∞ =1 2 1 n n ∑ ∞ =1 2 2 sin n n n ∑ ∞ =1 2 2 sin n n n VD1: Xét chuỗi Ta có: Mà chuỗi hội tụ nên Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) hội tụ. 3 1 3 .)1( n n n n ∑ ∞ = − 3 3 )1( n u n n n ⋅−= 3 1 3 3 1 →       + ⋅= + n n u u n n ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u VD2: Xét chuỗi Đặt Ta có: Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi phân kỳ nên chuỗi cũng phân kỳ. I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) n n n n n       + − − ∑ ∞ = 23 12 .)1( 1 n n n n n u       + − ⋅−= 23 12 )1( 3 2 23 12 →       + − = n n u n n ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u VD3: Xét chuỗi Đặt Ta có: Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi hội tụ nên chuỗi cũng hội tụ. I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) n n n n 1 sin. 1 tg.)1( 1 ∑ ∞ = − n n u n n 1 sin 1 tg)1( ⋅⋅−= 2 3 111 ~ n n n u n =⋅ ∑ ∞ =1 2 3 1 n n ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u VD4: Xét chuỗi Đặt Ta có: Mà hội tụ nên Vậy hội tụ tuyệt đối. I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) hội tụ ))1( ( 1 4321 +−++−+−± + n n uuuuu 0> n u 0,)1( 1 >− ∑ ∞ = n n n n uu với được gọi là chuỗi đan dấu. II. CHUỖI ĐAN DẤU a. Định nghĩa Chuỗi có dạng Xét chuỗi đan dấu b. Tiêu chuẩn Leibnitz ∗ Nếu dãy u n đơn điệu giảm và 0lim = ∞→ n n u ∗ Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Leibnitz được gọi là chuỗi Leibnitz. đan dấu trên hội tụ. thì chuỗi ∑ ∞ = ⋅− 2 ln 1 )1( n n nn nn u n ln 1 = 0lim = ∞→ n n u ∑ ∞ = − 1 )1( n n n u VD1: Xét chuỗi Nhận xét đơn điệu giảm và Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz hội tụ và còn được gọi là chuỗi Leibnitz II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt) Đây là chuỗi đan dấu với dương và ∑ ∞ = ++ ⋅− 1 2 1 )1( n n nn n 1 )( 2 ++ = xx x xf 1;0 )1( 1 )( 22 2 >∀< ++ +− = ′ x xx x xf 1 2 ++ = nn n u n ∑ ∞ = ⋅− 1 )1( n n n u VD2: Xét chuỗi Nhận xét: Đây là chuỗi đan dấu Ta có: Vậy là dãy số dương giảm và hội tụ. II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt) Xét hàm u n →0 nên chuỗi đan dấu . gọi là chuỗi đan dấu. II. CHUỖI ĐAN DẤU a. Định nghĩa Chuỗi có dạng Xét chuỗi đan dấu b. Tiêu chuẩn Leibnitz ∗ Nếu dãy u n đơn điệu giảm và 0lim = ∞→ n n u ∗ Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu. trong đó Nếu chuỗi hội tụ thì cũng hội tụ và I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI III. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ a.Định lý Cho chuỗi số Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy mà biết được chuỗi b. Định. và ∑ ∞ = ++ ⋅− 1 2 1 )1( n n nn n 1 )( 2 ++ = xx x xf 1;0 )1( 1 )( 22 2 >∀< ++ +− = ′ x xx x xf 1 2 ++ = nn n u n ∑ ∞ = ⋅− 1 )1( n n n u VD2: Xét chuỗi Nhận xét: Đây là chuỗi đan dấu Ta có: Vậy là dãy số dương giảm và hội tụ. II. CHUỖI ĐAN DẤU (tt) Xét hàm u n →0 nên chuỗi đan dấu