6.4 Phương pháp biến trạng thái 6.4.1 Giới thiệu . 6.4.2 Phương trình trạng thái của mạch . 6.4.3 Phân tích quá độ bằng PP biến trạng thái . 6.4.4 Hướng áp dụng . %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 1 6.4.1 Giới thiệu phương pháp  Quá trình điện từ trên mạch điện tại một thời điểm bất kỳ phụ thuộc vào năng lượng bên trong mạch , tức là dòng qua cuộn cảm và áp trên tụ điện. Hai đại lượng này được gọi là biến trạng thái của mạch.  Tất cả các đại lượng dòng áp khác trên mạch đều có thể biểu diễn thông qua các biến trạng thái.  Phương pháp biến trạng thái dựa trên việc xác đònh trước các biến trạng thái . Sau đó suy ra các đại lượng khác. %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2 6.4.2 Phương trình trạng thái của mạch  Trạng thái của mạch tại một thời điểm bất kỳ luôn thỏa mãn phương trình : x’(t) = A*x(t) + B*u(t) (1) Với x(t) là biến trạng thái và u(t) là tác động lên mạch.  Một tín hiệu y(t) bất kỳ luôn có thể biểu diễn bởi : y(t) = C*x(t) + D*u(t) (2)  Hệ phương trình gồm hai phương trình trên được gọi là hệ phương trình trạng thái của mạch .  A (ma trận trạng thái , n x n ); B (ma trận kích thích, n x m ), C ( ma trận đáp ứng , p x n ), D ( ma trận truyền đạt, p x m )  n : số biến trạng thái , m = số nguồn , p : số đáp ứng. %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 3 Giải phương trình trạng thái  Nghiệm của (1) theo TPKĐ có dạng : x(t) = x tn + x riêng  Phương pháp này chuyển về tìm e At : e At = D 0 [1] + D 1 A + D 2 A 2 + … + D (n-1) A (n-1) 0 () .(0) .() t At At A x tex eeBud W WW   ³ 1 () .(0)(1).() At At xt e x e A But   1 2 1 21 0 11 1 21 1 22 2 21 1 1 1 1 n t n n t n t n nn n e e e O O O D OO O D OO O D OO O      ª º ªº ªº «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» «» ¬¼ ¬¼ ¬¼  det .[1] 0A O  %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 4 6.4.3 Phân tích quá độ bằng PP biến trạng thái  Xác đònh sơ kiện : x(0 - )  Xác đònh A, B, C, D : Nhờ hệ phương trình Kirchhoff  Giải PTĐT : det( O .[1] – A) = 0 có n nghiệm .  Xác đònh [ D 0 D 1 D 2 … D (n-1) ] T  Xác đònh e At (đònh lý Cayley-Hamilton) : mtrận (n x n) e At = D 0 [1] + D 1 A + D 2 A 2 + … + D (n-1) A (n-1)  Xác đònh ma trận biến trạng thái :  Xác đònh ma trận y(t) cần tìm. 1 () .(0)(1).() At At xt e x e A But   %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 5  Đặc điểm của PP biến trạng thái  Xác đònh A, B, C, D từ hệ phương trình Kirchhoff đòi hỏi các kỹ năng biến đổi hệ phương trình vi tích phân.  Xác đònh hàm mũ ma trận e At có khối lượng tính toán lớn. Mặc dù phương pháp đã đưa ra phép tính gần đúng: e At = D 0 [1] + D 1 A + D 2 A 2 + … + D (n-1) A (n-1)  Nhận xét : Do quá trình tính toán khá chuẩn nên các phần mềm phân tích mạch đều có hỗ trợ các hàm giải phương trình trạng thái.  Phương pháp này dùng được cho mạch phi tuyến (hơn 2 PP trước). %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 6  PP biến trạng thái : Ví dụ 1  Tìm u(t) khi t > 0 ? Giải  Khi t < 0 : i L (0 - ) = 4 A ; u C (0 - ) = 2 V ;  Hệ pt mô tả mạch (t > 0): 1 3 0,5 1 20,5 3 C L L C C du ii dt di iE dt du ui dt   ° ° °  ® ° °  ° ¯ 22 L di iE dt   1 22 3 2 3 C L L C L C du di iE dt dt du di uE dt dt    ° ° ® °   ° ¯ 1 H + _ + _ 0,5 : 1/3 F 2 : 2 V 3 V t=0 i L (t) i C (t)i(t) + - u(t) E %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 7 Vớ duù 1 (tieỏp theo 1) Giaỷi ra : Vaứ: 1, 2 0, 6 0, 2 0, 4 C CL L CL du ui dt di uiE dt đ ' 1, 2 0, 6 0 0, 2 0, 4 1 ' CC LL uu E ii xAxBu ê ê êê ôằ ôằ ôằôằ ơẳơẳ ơẳ ơẳ l 1 0,5 0,5( ) 3 0, 2 0, 4 C L CL du ui i dt uu i >@ 0, 2 0, 4 0 C L u u i yCx D ê ôằ ơẳ l o (0 ) 2 (0) 4 (0 ) C L u x i ê ê ôằ ôằ ôằ ơẳ ơẳ %ơ,*,1*0é10&+,1% http://www.khvt.com &/r0LQK&QJ Trang 8 Vớ duù 1 (tieỏp theo 2) Giaỷi PTẹT: det( O .[1] A) = 0 01,20,6 det 0 00,20,4 O O Đ ã êê ăá ôằô ằ ơẳơ ẳ âạ 1, 2 0, 6 det 0 0, 2 0, 4 O O ê o ôằ ơẳ 2 1 2 1, 6 0, 6 0 1 0,6 OO O O đ %ơ,*,1*0é10&+,1% http://www.khvt.com &/r0LQK&QJ Trang 9  Ví duï 1 (tieáp theo 3)  Xaùc ñònh caùc giaù trò : D 0 D 1 … D n-1 1 2 1 1 0 1 0,6 2 1 1 11 1 10,6 t t tt ee e e O O D O O D     ªº ªº  ªº ªº ªº «» «» «» «» «»  ¬¼ ¬¼ ¬¼ ¬¼ ¬¼ 0,6 0 0,6 0,6 1 1, 5 2, 5 1, 5 2, 5 2,5 2,5 2,5 2,5 ttt ttt eee eee D D   ªºª º  ªº ªº «»« » «» «»   ¬¼ ¬¼ ¬¼¬ ¼ %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 10 [...]... lsim(A,B,C,D,u,t,x0); [y,x] = lsim(num,den,u,t); Trong đó ta qui ước : gọi n là số biến trạng thái , m là số tín hiệu tác động , p là số tín hiệu ra quan tâm Các hàng của x và y tương ứng các hàng của u , là giá trò các biến tại các thời điểm tương ứng của vecto thời gian t Để truy cập các biến trạng thái cũng như các biến ra chúng ta dùng phép toán lấy luôn giá trò một cột của ma trận : y(:,2) -> lấy... 6 0, 5e t 0,6 t 2, 5e t 2, 5e 0,6 t Xác đònh y = C.x + D.u : u u (t ) 0, 2 0, 4 u (t ) 3 0,5e http://www.khvt.com t 3 1,5e 6 0,5e 1,5e t 2,5e t 2,5e 0, 2 0, 4 uC iL 0,6 t 0,6 t 0,6 t Trang 13 PP biến trạng thái : Ví dụ 2 + K 100 Tìm i1 , i2 , i3 khi t > 0 ? t=0 i2(t) R1 Giải i1(t) 0,5 H Khi t < 0 : + J 400 F i2(0-) = 1 A ; uC(0-) = 200 V ; 1A uC(t) E Hệ pt mô tả mạch (t > 0): 100 200 V R2 i3(t) i1... 1,942.10 2 e http://www.khvt.com 0.[1] 61t 200 + 25 2 1 1.A 2500 200 1 1 0,3495e 164t 1,942.10 2 e 24, 27e 164t 61t 0,3495e 61t 24, 27e 164t 1,35e 164t Trang 18 Ví dụ 2 (tiếp theo 5) Xác đònh ma trận biến trạng thái x : x (t ) uC i2 uC i2 At e x (0) e At 200 1 (e At e http://www.khvt.com 1) A B u ( t ) At 150 79, 61e 1, 5 1,146 e 1 61t 61t 1 0 0 1 29, 61e 1, 646 e 150 1, 5 164 t 164 t Trang 19 Ví dụ 2... 0, 2 1 1, 2 0, 2 1 1, 5 e 0, 5 e http://www.khvt.com 0 1 0.[1] 0, 6 1 0, 4 0 0 ,6 t 0 ,6 t 0, 6 0, 4 1 1, 5 e 0, 5 e t t 1, 5 e 1, 5 e 0 ,6 t 0 ,6 t Trang 11 Ví dụ 1 (tiếp theo 5) Xác đònh ma trận biến trạng thái x : x (t ) uC iL uC iL At e x (0) e 2 4 At 3e e t (e e t 5e 5e At At 1) A B u ( t ) 1 0 2 0 1 1 0,6 t 3 3 1 2 0 E 1 0,6 t 1, 5e t 0, 5e 0,6 t 1 0, 5e t 0, 5e 0,6 t http://www.khvt.com 1 1, . là biến trạng thái của mạch.  Tất cả các đại lượng dòng áp khác trên mạch đều có thể biểu diễn thông qua các biến trạng thái.  Phương pháp biến trạng thái dựa trên việc xác đònh trước các biến. 6.4 Phương pháp biến trạng thái 6.4.1 Giới thiệu . 6.4.2 Phương trình trạng thái của mạch . 6.4.3 Phân tích quá độ bằng PP biến trạng thái . 6.4.4 Hướng áp dụng . %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com. các biến trạng thái . Sau đó suy ra các đại lượng khác. %¬,*,Ҧ1*0Ð10Ҥ&+Ĉ,ӊ1% http://www.khvt.com &/r0LQK&ѭӡQJ Trang 2 6.4.2 Phương trình trạng thái của mạch  Trạng thái của