Đang tải... (xem toàn văn)
Xử Lý tín hiệu số_Là Thế Vĩnh
BÀI GIẢNG MƠN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ Số tiết lý thuyết: 45 Số tiết thực hành: 15 Người soạn: Lã Thế Vinh Đề cương giảng: Chương 0: Mở đầu (2 tiết): Giới thiệu tổng quan môn học xử lý tín hiệu số Ứng dụng thực tế u cầu mơn học Chương 1: Tín hiệu hệ rời rạc (16 tiết): Tìm hiểu khái niệm mơn học: tín hiệu, hệ xử lý tín hiệu, tính chất hệ, đại lượng đặc trưng hệ xử lý tín hiệu… Chương 2: Biến đổi Z (15 tiết): Giới thiệu phép biến đổi Z Z ngược dùng phân tích tổng hợp hệ xử lý tín hiệu số Chương 3: Biểu diễn hệ XLTH tín hiệu miền tần số liên tục (9 tiết): Phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc, đáp ứng tần số lọc… Chương 4: Phép biến đổi Fourier rời rạc(DFT) phép biến đổi Fourier nhanh(FFT) (3 tiết) MỤC LỤC CHƯƠNG O - MỞ ĐẦU - CHƯƠNG TÍN HIỆU VÀ CÁC HỆ RỜI RẠC - 1.1 Định nghĩa phân loại tín hiệu, hệ xử lý tín hiệu 1.1.1 Định nghĩa tín hiệu 1.1.2 Phân loại tín hiệu 1.1.3 Hệ xử lý tín hiệu 1.2 Tín hiệu rời rạc - 10 1.2.1 Định nghĩa - 10 1.2.2 Một vài tín hiệu rời rạc quan trọng - 12 1.2.3 Các phép tốn tín hiệu rời rạc 14 1.2.4 Năng lượng tín hiệu rời rạc - 15 1.3 Các hệ xử lý tín hiệu rời rạc 15 1.3.1 Phân loại hệ theo tính chất 15 1.4 Các hệ tuyến tính bất biến 18 1.4.1 Tính chất tổng chập 18 1.4.2 Tính nhân - 20 1.4.3 Tính ổn định - 22 1.5 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số (PT-SP-TT-HSH) - 23 1.5.1 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số 24 1.5.2 Đáp ứng xung hệ TTBB từ PT-SP-TT-HSH - 26 1.5.3 Biểu diễn PT-SP-TT-HSH sử dụng sơ đồ - 28 CHƯƠNG - 31 BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ - 31 HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU TRÊN MIỀN Z 31 2.1 Định nghĩa phép biến đổi Z - 32 2.2 Miền hội tụ phép biến đổi Z - 32 2.2.1 Định nghĩa - 32 2.2.2 Xác định miền hội tụ với tín hiệu rời rạc x(n) cho trước 32 2.3 Điểm cực điểm không 35 2.4 Phép biến đổi Z ngược - 35 2.5 Các tính chất phép biến đổi Z 40 2.5.1 Tính tuyến tính 40 2.5.2 Tính dịch thời gian - 40 2.5.3 Tính chất thay đổi thang tỷ lệ - 40 2.5.4 Tính đảo trục thời gian - 40 2.5.5 Tính chất vi phân miền Z - 40 2.5.6 Phép biến đổi Z tổng chập 41 2.5.7 Định lý giá trị đầu 41 2.6 Sử dụng phép biến đổi Z phía để giải PTSP - 41 2.6.1 Biến đổi Z phía 41 2.6.2 Giải PTSP 42 2.7 Biểu diễn hệ miền Z 42 2.7.1 Hàm truyền đạt hệ tuyến tính bất biến (TTBB) 42 2.8 Thực hệ rời rạc 46 2.8.1 Mở đầu - 46 2.8.2 Dạng chuNn (Dạng trực tiếp 1) 47 2.8.3 Dạng chuNn (Dạng trực tiếp 2) 48 2.8.4 Một số tên gọi hệ thường gặp 49 2.9 Tính ổn định nhân hệ TTBB - 50 2.9.1 Tính ổn định hệ TTBB 50 2.9.2 Tính ổn định hệ TTBB NQ - 50 CHƯƠNG - 52 BIỂU DIỄN HỆ RỜI RẠC 52 TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 52 3.1 Phép biến đổi Fourier với tín hiệu liên tục 52 3.1.1 Tín hiệu liên tục tuần hồn 52 3.2 Phép biến đổi Fourier tín hiệu liên tục khơng tuần hồn -57 3.3 Phép biến đổi Fourier với tín hiệu rời rạc - 62 3.3.1 Định nghĩa - 62 3.3.2 Các phương pháp biểu diễn X(ejω) - 62 3.3.3 Sự tồn phép biến đổi Fourier - 64 3.4 Phép biến đổi Fourier ngược 65 3.5 Các tính chất phép biến đổi Fourier - 65 3.5.1 Tính tuyến tính 65 3.5.2 Tính chất trễ - 65 3.5.3 Tính đối xứng - 66 3.5.4 Tính đảo trục thời gian - 66 3.3.5 Biến đổi Fourier tổng chập - 66 3.3.6 Biến đổi Fourier tích - 66 3.3.7 Vi phân miền tần số - 66 3.3.8 Quan hệ Parseval - 67 3.6 So sánh phép biến đổi Fourier với phép biến đổi Z 67 3.6.1 Quan hệ biến đổi Fourier với biến đổi Z - 67 3.6.2 Đánh giá X(ejω) sử dụng X(z) - 67 3.7 Biểu diễn hệ rời rạc miền tần số liên tục - 69 3.7.1 Đáp ứng tần số 69 3.7.2 Quan hệ vào miền tần số 71 3.7.3 Các lọc số lý tưởng - 62 CHƯƠNG - 75 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ 75 GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH 75 4.1 Phép biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hồn 75 4.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn 76 4.3 Giải thuật FFT 78 4.4 Hàm cửa sổ 68 CHƯƠNG O MỞ ĐẦU (Tổng thời lượng: tiết) Tóm tắt giảng (1): Thời lượng tiết • Giới thiệu cho sinh viên XLTHS ứng dụng thực tế • So sánh tín hiệu số tín hiệu tương tự để rút ưu điểm bật phương pháp xử lý tín hiệu số • Giới thiệu nhiệm vụ môn học Ứng dụng XLTHS thực tế • Khái niệm tín hiêu: Tín hiệu biểu vật lý thơng tin • Xử lý tín hiệu số: xử lý máy tính sử dụng cơng cụ tốn học, giải thuật kỹ thuật để can thiệp vào tín hiệu dạng số nhằm mục đích o Khai thác thông tin cần thiết o Cải thiện chất lượng o Nén số liệu o Xử lý tín hiệu số ứng dụng nhiều thực tế, đặc biệt lĩnh vực: - Công nghiệp giải trí: âm nhạc(số) Mp3, Mp4, Nhạc trực tuyến - Xử lý ảnh: Nhận dạng ảnh, cải thiện chất lượng ảnh, nén liệu ảnh(ChuNn JPG) - Xử lý tiếng nói: Nhận dạng tổng hợp tiếng nói, mã hố tiếng nói - Truyền thơng: Nén số liệu Ưu điểm tín hiệu số • Độ xác cao • Sao chép trung thực nhiều lần • Không bị ảnh hưởng môi trường • Cho phép giảm dung lượng lưu trữ , tăng tốc độ truyền • Linh hoạt mềm dẻo xử lý máy tính Nhiệm vụ mơn học Giới thiệu tảng chung áp dụng cho tất lĩnh vực có ứng dụng xử lý tín hiệu số CHƯƠNG TÍN HIỆU VÀ CÁC HỆ THỐNG RỜI RẠC (Tổng thời lượng: 19 Tiết) Tóm tắt giảng(2): Thời lượng tiết • Định nghĩa phân loại tín hiệu hệ xử lý tín hiệu • Giới thiệu mơ hình chung xử lý tín hiệu số • Lấy ví dụ thực tế cho mơ hình đưa • Định nghĩa tín hiệu rời rạc số tín hiệu rời rạc quan trọng 1.1 Định nghĩa phân loại tín hiệu, hệ xử lý tín hiệu 1.1.1 Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu biểu vật lý thơng tin Về mặt tốn học tín hiệu coi hàm hay nhiều biến độc lập Ví dụ: Tín hiệu âm biến thiên áp suất theo thời gian P(t) coi tín hiệu âm biến thiên áp suất theo không gian P(x,y,z) Quy ước: Trong môn học XLTHS chủ yếu coi tín hiệu hàm biến độc lập thời gian 1.1.2 Phân loại tín hiệu 1.1.2.1 Phân loại theo biến độc lập • Tín hiệu liên tục theo thời gian: tín hiệu có biến thời gian liên tục (nhận giá trị khoảng giá trị đó) • Tín hiệu rời rạc: tín hiệu có biến độc lập thời gian nhận số giá trị(Ví dụ: Các số thị trường chứng khoán, số liệu khí tượng…) Nghĩa tín hiệu biểu diễn dãy số, hàm tín hiệu có giá trị xác định thời điểm định Tín hiệu rời rạc (cịn gọi tín hiệu lấy mẫu) thu cách lấy mẫu tín hiệu liên tục 1.1.2.2 Phân loại theo biên độ • Tín hiệu liên tục theo biên độ: tín hiệu mà hàm biên độ nhận giá trị Ví dụ: Hàm x(t) = sin(t) nhận giá trị khoảng [-1,1] • Tín hiệu rời rạc theo biên độ hay cịn gọi tín hiệu lượng tử hố: tín hiệu mà hàm biên độ nhận giá trị định Ví dụ: x(t) = với t < x(t) = với t ≥ • Tín hiệu tương tự tín hiệu có biên độ thời gian liên tục • Tín hiệu số tín hiệu có biến độ thời gian rời rạc x(t) t H1.1 – Tín hiệu tương tự x(t) t H1.3 – Tín hiệu lượng tử hố x(n) n H1.2 – Tín hiệu rời rạc x(n) n H1.4 – Tín hiệu số 1.1.3 Hệ xử lý tín hiệu • Một hệ thơng xử lý tín hiệu xác lập mối quan hệ tín hiệu vào tín hiệu ra: y = T[x] x(n) T y(n) H1.5 – Mơ hình hệ xử lý • Phân loại hệ xử lý theo tín hiệu vào tín hiệu ra: o Hệ rời rạc: hệ xử lý tín hiệu rời rạc o Hệ tương tự: hệ xử lý tín hiệu tương tự Tín hiệu số Tín hiệu tương tự Tín hiệu vào LPF S&H ADC DSP Tín hiệu tương tự Tín hiệu LPF DAC Tín hiệu tương tự Tín hiệu số H1.6 – Mơ hình xử lý tín hiệu số thực tế • LPF(Low Pass Filter): Bộ lọc thông thấp để loại bỏ nhiễu đảm bảo định lý Shannon • S&H(Sampling and Hold): Mạch trích giữ mẫu giữ cho tín hiệu ổn định q trình chuyển đổi sang tín hiệu số • ADC(Analog to Digital Converter): Bộ chuyển đổi tương tự thành số • DAC(Digiatal to Analog Converter): Bộ chuyển đổi số thành tương tự • DSP(Digital Signal Processing) Xử lý tín hiệu số Cho sinh viên quan sát hình vẽ giải thích khối chức Ví dụ hệ xử lý tín hiệu thực tế: Hãy quan sát phần mềm hát máy tính (Herosoft): Tín hiệu vào: Tín hiệu âm (tiếng hát) LPF+S&H+ADC: Sound card máy tính DSP: Phần mềm Herosoft DAC + LPF: Sound card máy tính Tín hiệu ra: Âm (phát từ loa) Những thao tác xử lý thực với Herosoft? 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Định nghĩa • Là tín hiệu biểu diễn dãy giá trị (thực phức) với phần tử thứ n ký hiệu x(n) x = { x(n) } n = -∞ +∞ • Thơng thường tín hiệu rời rạc có cách lấy mẫu tín hiệu liên tục thực tế Phương pháp lẫy mẫu thường gặp lấy mẫu tức thời điểm lấy mẫu cách khoảng Ts gọi chu kỳ lấy mẫu Ví dụ: Tín hiệu nhiệt đọ tín hiệu liên tục Tại trạm khí tượng 15 phút người ta ghi lại nhiệt độ lần Như tức thực Khi đáp ứng ta hệ tính sau: = +∞ m =−∞ y ( n) +∞ m =−∞ ∑ h ( m) x ( n − m) = ∑ h ( m)e ω j ( n−m) +∞ = ∑ h(m)e − jω m e jω n m =−∞ jω Đặt H (e ) = +∞ ∑ h ( m)e − jω m jω jω n ta có: y (n) = H (e )e m =−∞ H(ejω) gọi đáp ứng tần số hệ TTBB Nhận xét: Đáp ứng tần số hệ TTBB biến đổi Fourier đáp ứng xung Từ ta có cặp cơng thức: jω H (e ) = +∞ ∑ h ( n )e − jω n n =−∞ h ( n) = 2π +π ∫π e − jω n H (e jω )d ω 3.7.2 Quan hệ vào miền tần số Theo tính chất biến đổi Fourier tổng chập mà ta xét ta có: Trên miền thời gian: y(n) = x(n)*h(n) Trên miền tần số: Y(ejω) = X(ejω)H(ejω) Ý nghĩa: Phổ tín hiệu cho ta biết thành phần tần số tín hiệu cịn đáp ứng tần số hệ TTBB cho ta biết ứng xử hệ TTBB với thành phần tần số tín hiệu vào 3.7.3 Các lọc lý tưởng • Bộ lọc thông thấp lý tưởng Đáp ứng biên độ lọc số thông thấp lý tưởng định nghĩa sau: −ωc < ω < ωc 1 | H (e jω ) |= | ω |> ωc > 0 Hình minh hoạ đáp ứng biên độ lọc thông thấp lý tưởng |H(ejω)| -ωc ωc ω H3.6 – Đáp ứng biên độ lọc thơng thấp lý tưởng Ví dụ: Xét lọc thơng thấp lý tưởng có đáp ứng xung cho −ωc < ω < ωc 1 H (e jω ) = | ω |> ωc > 0 Sử dụng công thức biến đổi Fourier ngược ta tính đáp ứng xung lọc thông thấp lý tưởng sau: h(n) = 2π = 2π = π ∫π H ( e jω ) e jω n d ω − π ∫π e − jω n e jω n π dω = 2π jn −π j sin(π n ) sin(π n ) = 2π jn πn Nhận xét: - Đáp ứng xung h(n) đối xứng - Đáp ứng xung h(n) không nhân - Bộ lọc thông thấp lý tưởng khơng thực mặt vật lý • Bộ lọc thông cao lý tưởng Bộ lọc thông cao lý tưởng có đáp ứng biên độ cho −ωc < ω < ωc 0 | H (e jω ) |= | ω |> ωc > 1 |H(ejω)| -π -ωc ωc π ω H3.7 – Đáp ứng biên độ lọc thông cao lý tưởng • Bộ lọc thông dải lý tưởng Bộ lọc thông dải lý tưởng có đáp ứng biên độ cho ωc1 ωc ,| ω |< ωc1 0 |H(ejω)| -π -ωc2 -ωc1 ωc1 ωc2 π ω H3.8 – Đáp ứng biên độ lọc thơng dải lý tưởng Tóm tắt giảng(13): Thời lượng tiết • Ơn tập chương • Làm tập chương CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ GIẢI THUẬT TÍNH BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH Tóm tắt giảng(14): Thời lượng tiết • Nhắc lại nhanh phép biến đổi Fourier liên tục • Phép biến đổi Fourier thuận nghịch • Lấy ví dụ tính trực tiếp DFT • Giải thuật FFT • Lấy ví dụ tính theo giải thuật FFT so sánh với cách tính trực tiếp • Giao tập thực hành lập trình FFT • Hàm cửa sổ 4.1 Phép biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hoàn Trong chương số biết đến phép biến đổi Fourier liên tục jω tín hiệu rời rạc x(n): X (e ) = +∞ ∑ x ( n )e − jω n Chúng ta thấy n =−∞ công thức X(ejω) hàm số phức liên tục theo ω, phổ biên độ phổ pha tương ứng hàm thực liên tục theo biên số ω tương ứng Mặt khác để cài đặt thực tế lưu trữ số lượng hữu hạn giá trị rời rạc, phần xem xét biểu diễn rời rạc công thức biến đổi Fourier nói Trước hết ta rời rạc hố miền giá trị ω từ đến 2π thành N điểm với khoảng cách 2π/N Ωk = 2π k N k = 0,1, N Khi giá trị X(ejω) điểm rời rạc Ω k tính bằng: X (k ) = +∞ ∑ x ( n )e −j 2π kn N n =−∞ Trong khoảng [-∞,+∞] chu kỳ tín hiệu tín hiệu khơng tuần hồn Do với tín hiệu x(n) tuần hồn với chu kỳ N ta có cơng thức sau: N −1 X ( k ) = ∑ x ( n )e −j 2π kn N k = 0,1, N n =0 Công thức gọi phép biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hồn Nhận xét: Các giá trị X(k) mẫu rời rạc X(ejω) 4.2 Phép biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn Trong thực tế thường thu tín hiệu rời rạc có số lượng mẫu hữu hạn (chiều dài hữu hạn) để áp dụng phép biến đổi Fourier rời rạc nói với tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn, ta xem tín hiệu có chiều dài hữu hạn chu kỳ tín hiệu rời rạc tuần hồn Giả sử ta xét tín hiệu x(n) có N mẫu, ta xem x(n) +∞ % chu kỳ tín hiệu rời rạc tuần hồn x ( n) = ∑ x(n + kN ) Áp k =−∞ % dụng phép biến đổi Fourier rời rạc với tín hiệu x(n) ta có: N −1 % % X ( k ) = ∑ x ( n )e −j 2π nk N n =0 % Mặt khác ta thấy X (k ) tín hiệu rời rạc tuần hoàn với chu % kỳ N X(k) chu kỳ X (k ) từ ta có cơng thức biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu x(n): N −1 X (k ) = ∑ x ( n)e n =0 −j 2π nk N k = 0,1, N − Từ công thức ta tinh x(n) cơng thức biến đổi Fourier rời rạc ngược sau: x ( n) = N N −1 ∑ X ( k )e j 2π nk N k =0 Ví dụ: Cho tín hiệu x(n) có độ dài x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính giá trị X(k) với k=0,1,2,3 4.3 Giải thuật FFT Trong phần 4.2 xây dựng công thức biến đổi Fourier rời rạc nhiên thấy qua ví dụ số lượng phép tính cần thực lớn tỷ lệ thuận với N2, hay nói cách khác cơng thức có độ phức tạp O(N2) với giá trị N lớn phương pháp tính trực tiếp tốn nhiều thời gian, sau ta xem xét giải thuật để tính biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu rời rạc có chiều dài N x(n) với độ phức tạp nhỏ N −1 X ( k ) = ∑ x ( n)e −j 2π nk N n =0 N −1 = ∑ x ( n )e −j 2π nk N N −1 + r =0 n=2 r N −1 = ∑ x(2r )e = ∑ x(2r )e r =0 x ( n)e 2π nk N l =0 n = l +1 −j 2π rk N /2 r =0 N −1 ∑ −j N −1 + ∑ x(2l + 1)e −j 2π (2 l +1) k N l =0 2π −j rk N /2 +e N 2π −1 −j k N ∑ x(2l + 1)e −j 2π lk N /2 l =0 Đến thấy gặp lại tốn tính biến đổi Fourier rời rạc dãy x(2r) x(2l+1) với chiều dài N/2 Sử dụng kỹ thuật đệ quy toán biến đổi Fourier rời rạc giải với độ phức tạp O(NlogN) nhỏ nhiều so với việc ta tính tốn trực tiếp cơng thức ban đầu độ phức tạp lên tới O(N2) Ví dụ: Cho x(n) = {-1,1,2,3} Hãy tính X(k) với k=0,1,2,3 sử dụng cách tính trực tiếp giải thuật FFT, So sánh số lượng phép tính cần thực phương pháp 4.4 Hàm cửa sổ Chúng ta biết công thức biến đổi Fourier liên tục +∞ X(f ) = ∑ x ( n)e − j 2π fn tín hiệu giả định tồn toàn trực thời n =−∞ gian từ -∞ đến +∞, thực tế ta ln sử dụng đoạn có chiều dài hữu hạn (N) tín hiệu x(n) (tín hiệu quan sát được) thu cách nhân x(n) với hàm cửa sổ: x’(n) = x(n)W(n) W(n) – hàm cửa sổ, để giới hạn chiều dài quan sát x(n),Ví dụ: W(n) = RECTN(n) Thực phép biến đổi Fourier với tín hiệu x’(n) ta có: X’(f) = X(f)*W(f) Trong X(f) phổ tín hiệu x(n) cịn W(f) phổ hàm cửa sổ w(n) Như để phổ tín hiệu quan sát tín hiệu gốc sai khác ta thấy hàm W(f) cần có dạng xung đơn vị Dưới vài hàm cửa sổ quan trọng phổ tương ứng: • Cửa sổ Hamming • Cửa sổ Blackman Tóm tắt giảng(15): Thời lượng tiết • Trả lời câu hỏi, thắc mắc sinh viên BÀI TẬP MƠN XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ −3n Bài 1.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = 2n 0 −2 ≤ n ≤ 3≤ n≤5 n khac Hãy vẽ tín hiệu x(n), x(2n), x(n/2), x(n2), x(-n) Bài 1.2 Hãy xem xét tính tuyến tính bất biến hệ sau: a T(x(n)) = x2(n) b T(x(n)) = nx(n) Bài 1.3 Hãy tính tổng chập x(n)*h(n) biết rằng: a x(n) = u(n), h(n) = RECT3(n+1) b x(n) = RECT4(n-2), h(n) = u(n) – u(n-3) c x(n) = u(-n), h(n) = δ(n+3)+δ(n-2) Bài 1.4 Cho hệ TTBB sau: Hệ S1: y(n) = 2x(n) + x(n-2) Hệ S2: y(n) = x(n+1)-x(n-1) a Ghép nối tiếp hệ b Ghép song song hệ Hãy tìm quan hệ vào-ra hệ tương đương Bài 1.5 Cho hệ TTBB có đáp ứng xung tương ứng là: h1(n) = 3nu(n) h2(n) = 2-n Ghép nối tiếp hệ TTBB trên, tìm đáp ứng xung hệ tương đương Bài 1.6 Cho hệ TTBB có PTSP: k 1 y (n) = x(n) + x(n − 1) + + x(n − k ) + 2 Hỏi hệ có ổn định khơng? Bài 1.7 Giải PTST sau: y(n) – 3y(n-1) – 4y(n-2) = x(n)+2x(n-1) Với y(-1)=y(-2)=0 x(n) = 4nu(n) Bài 1.8 Cho hệ TTBB có PTSP sau: y(n) + 2y(n-2) = 2x(n)-3x(n-1)+x(n-3) Hãy sơ đồ chuNn I chuNn II Bài 2.1 Cho tín hiệu rời rạc x(n) = u(n) Hãy tính X(z) miền hội tụ X(z) Bài 2.2 Hãy tính tổng chập x1(n)*x2(n)*x3(n) sử dụng phép biến đổi Z x1(n) = RECT3(n), x2(n) = u(n) – u(n-4), x3(n) = δ(n) Bài 2.3 Dùng phương pháp thặng dư tìm x(n) biết X ( z) = 1 − z −1 Bài 2.4 Hãy tính biến đổi Z ngược X ( z) = 1+ z với |z|>2 z − 3z + 2 Bài 2.5 Sử dụng phép biến đổi Z phía để giải PTST: y(n) +2y(n-2)=2x(n)-3x(n-1)+x(n-3) Biết y(n)=0 với n