Bài giảng tín hiệu và hệ thống Đại Học Bách Khoa Hà Nội

97 9.1K 264
Bài giảng tín hiệu và hệ thống Đại Học Bách Khoa Hà Nội

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tín hiệu và hệ thống Viện điện tử viễn thông Đại học bách khoa hà nội

ET 2060 Khái niệm tín hiệu hệ thống TS Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Tín hiệu hàm mũ thực x(t) = Ce at , x[n] = Ce an , 80 x(t) = 3e −2t C, a ∈ R x(t) = e t 60 40 20 3 −n/10 x[n] = 3e 80 x[n] = 60 30 40 e n/10 40 20 0 10 20 30 40 0 10 20 Ví dụ: Xét mạch điện có tụ C điện trở R mắc nối tiếp Vẽ điện áp v (t) tụ C , ban đầu (t = 0) tụ nạp điện V0 Tín hiệu hình sin x(t) = sin(ω0 t + φ) Tuần hoàn với chu kỳ T = → Tín hiệu rời rạc? 2π ω0 x(t) 1 t -1 Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C cuộn cảm L mắc nối tiếp Vẽ điện áp v (t) tụ C , ban đầu (t = 0) tụ nạp điện V0 Tín hiệu hàm mũ phức (liên tục) Với C a số phức: C = |C |e jθ a = r + jω0 , ta có: x(t) = |C |e rt e j(ω0 t+θ) = |C |e rt cos(ω0 t + θ) + j|C |e rt sin(ω0 t + θ) Re{x(t)} đường bao |C |e rt 1 -1 Ví dụ mạch điện? t Tín hiệu hàm mũ phức (rời rạc) Với C a số phức: C = |C |e jθ a = r + jω0 , ta có: x[n] = |C |e rn e j(ω0 n+θ) = |C |e rn cos(ω0 n + θ) + j|C |e rn sin(ω0 n + θ) Nhận xét e j(ω0 n+θ) : ◮ Khơng phải lúc tuần hồn (tùy theo giá trị ω0 ), chu kỳ? ◮ Chỉ cần xét ω0 đoạn [0, 2π], tần số thấp / cao? Minh họa x[n] = e j(ω0 n) Im{x[n]} ω0 = 0.8π 10 20 30 40 50 n 40 50 n -1 Im{x[n]} ω0 = 1.8π 10 -1 20 30 Hàm nhảy đơn vị u(t) = 1, t ≥ 0, t lại 1, n ≥ 0, n lại u[n] = u(t) t u[n] n Ví dụ mạch điện? Hàm xung đơn vị (rời rạc) 1, n = 0, n lại δ[n] = δ[n] n Quan hệ với hàm nhảy đơn vị? δ[n] = u[n] − u[n − 1] ∞ u[n] = k=0 δ[n − k] Với tín hiệu x[n] bất kỳ? x[n] = ∞ k=−∞ x[k]δ[n − k] Hàm delta Dirac (liên tục) δ(t) = 0, ∞ δ(t)dt ∀t = = −∞ x(t) δ(t) t t Một số tính chất: δ(t) = d u(t), dt ∞ x(t0 ) = δ(at) = −∞ t δ(τ )dτ u(t) = −∞ x(t)δ(t − t0 )dt δ(t) a Hàm dốc đơn vị (ramp) r (t) = t, t ≥ 0, t lại u(t) r [n] = n, n ≥ 0, n lại u[n] t n Hệ thống T x[n] − y [n] → x(t) y (t) hệ thống liên tục x[n] y [n] hệ thống rời rạc Ghép nối hệ thống đầu vào hệ thống hệ thống đầu hệ thống đầu vào + đầu hệ thống đầu vào + hệ thống hệ thống đầu Tính ổn định hệ thống Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) đầu bị chặn |y (t)| < ∞, ∀t |x(t)| < ∞, ∀t đầu vào bị chặn Ví dụ: Xét tính ổn định hệ thống y [n] = r n x[n] với |r | > Thuộc tính nhớ ◮ Hệ thống gọi khơng có nhớ (memoryless) đầu phụ thuộc vào đầu vào thời điểm ◮ Hệ thống gọi có nhớ đầu phụ thuộc vào đầu vào thời điểm khứ tương lai Ví dụ: Xét thuộc tính nhớ hệ thống (a) y [n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n + 2] (b) i (t) = R v (t) Tính nhân Hệ thống gọi nhân (causal) đầu (thời điểm tại) phụ thuộc đầu vào thời điểm khứ Ví dụ: Xét tính nhân hệ thống (a) y [n] = x[n] − x[n − 1] + 2x[n + 2] (b) i (t) = L t −∞ v (τ )dτ Tính bất biến theo thời gian Hệ thống gọi bất biến theo thời gian (time invariant) đầu vào dịch khoảng thời gian đầu bị dịch thời gian giống hệt T x[n] − y [n] → T x[n − n0 ] − y [n − n0 ] ∀n, n0 → Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian khơng? y [n] = nx[n] Tính tuyến tính Hệ thống T gọi tuyến tính (linear) với cặp đầu vào / đầu ra: x1 (t), y1 (t) x2 (t), y2 (t) ta có cặp đầu vào / đầu sau T ax1 (t) + bx2 (t) − ay1 (t) + by2 (t), → ∀a, b const Ví dụ: Các hệ thống sau có tuyến tính khơng? (a) y (t) = tx(t) (b) y (t) = x (t) Tính khả nghịch Một hệ thống gọi khả nghịch (invertible) khơi phục đầu vào từ đầu (các đầu vào phân biệt có đầu phân biệt) x(t) y (t) T x(t) T −1 Ví dụ: Các hệ thống sau có khả nghịch khơng, có, tìm hệ thống nghịch đảo (a) y [n] = n k=−∞ x[k] (b) y (t) = x (t) Bài tập nhà ◮ Làm tập cuối chương ◮ Viết chương trình Matlab để vẽ dạng tín hiệu Năng lượng cơng suất tín hiệu (2) Tín hiệu rời rạc x[n]: ◮ Năng lượng ∞ Ex = x [n] n=−∞ ◮ Cơng suất trung bình Px = lim N→∞ 2N + ◮ ◮ N x [n] n=−N Khi Ex < ∞ → x(t), x[n] - tín hiệu lượng Khi Px < ∞ → x(t), x[n] - tín hiệu cơng suất Các phép tốn thực biến thời gian (1) ◮ ◮ ◮ Dịch (shift) x(t) → x(t − T ) Lấy đối xứng x(t) → x(−t) Co dãn (scale) x(t) → x(kt) x(t − T ) x(t) t x(−t) t x(kt) t t Các phép toán thực biến thời gian (2) ◮ Vẽ dạng x(kt + T )? Phân biệt với x(k(t + T ))? ◮ Trường hợp tín hiệu rời rạc? Ví dụ: Cho tín hiệu x(t) x[n] hình vẽ (a) Hãy vẽ dạng x(2t + 1) x(2(t + 1)) (b) Hãy vẽ dạng x[2n + 1] x[2(n + 1)] x(t) x[n] 1 t -1 Tín hiệu tuần hồn ◮ Tín hiệu liên tục x(t) = x(t + T ), x[n] = x[n + N], ◮ ∀t ∀n Tín hiệu rời rạc với N số nguyên dương ◮ Giá trị T , N nhỏ gọi chu kỳ (fundamental period) Ví dụ: Xác định xem tín hiệu có phải tuần hồn khơng? Nếu tuần hồn tính chu kỳ (a) cos2 (2πt + π/4) (b) sin(2n) n Tín hiệu chẵn / lẻ Tín hiệu xác định / ngẫu nhiên ◮ Chẵn: x(t) = x(−t); x[n] = x[−n] ◮ Lẻ: x(t) = −x(−t); x[n] = −x[−n] ◮ ◮ Tín hiệu xác định (deterministic signal): Giá trị xác định, biểu diễn hàm biến thời gian Tín hiệu ngẫu nhiên (random signal): Giá trị ngẫu nhiên → biến ngẫu nhiên, hàm mật độ xác xuất (pdf) trình ngẫu nhiên Bài tập: Một tín hiệu x(t) phân tích thành thành phần chẵn, lẻ: x(t) = xe (t) + xo (t) Hãy tìm xe (t) xo (t) theo x(t) Bài tập nhà ◮ Download tài liệu môn học (sách Oppenheim) ◮ Cài đặt phần mềm Matlab ◮ Đọc giới thiệu chung Matlab: http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/21d-s99/matlab-primer.html ET 2060 Biến đổi Laplace TS Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Giới thiệu biến đổi Laplace Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t) đầu vào x(t) = e st , ta có: y (t) = H(s)e st H(s) = ∞ h(t)e −st dt −∞ ◮ Có thể coi biến đổi Fourier trường hợp riêng biến đổi Laplace (với s = jΩ) ◮ Phân tích hệ thống LTI, đặc biệt tính ổn định ◮ Ứng dụng lý thuyết mạch, lý thuyết điều khiển, v.v Định nghĩa L s t L−1 Biến đổi Laplace L x(t) ←−→ X (s) − s biến số phức: s = σ + jΩ ∞ X (s) x(t)e −st dt −∞ Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace x(t) = e at u(t) Liên hệ với biến đổi Fourier ◮ Biến đổi Fourier biến đổi Laplace xét trục ảo s = jΩ X (jΩ) = X (s)|s=jΩ ◮ Biến đổi Laplace biến đổi Fourier x(t)e −σt X (s) = ∞ −∞ ◮ x(t)e −(σ+jΩ)t dt = FT{x(t)e −σt } Miền hội tụ (ROC) giá trị s mặt phẳng phức cho X (s) < ∞ (tức tồn biến đổi Fourier x(t)e −σt ) Điều kiện hội tụ: ∞ −∞ |x(t)e −σt |dt < ∞ Ví dụ Tìm biến đổi Laplace vẽ miền hội tụ cho trường hợp sau: (a) x(t) = δ(t) (b) x(t) = −e at u(−t) (c) x(t) = e 2t u(t) + e 3t u(−t) (d) x(t) = cos(Ω0 t)u(t) Điểm cực điểm không ◮ ◮ ◮ Điểm cực: s = spk X (spk ) = ∞ Điểm không: s = s0k X (s0r ) = Nếu X (s) biểu diễn hàm hữu tỉ: X (s) = N(s) D(s) spk nghiệm đa thức D(s) s0r nghiệm đa thức N(s) Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace vẽ điểm cực, điểm không x(t) = δ(t) − 3e −2t u(t) + 2e t u(t) Các tính chất ROC (i) ROC chứa dải song song với trục ảo mặt phẳng s (ii) ROC không chứa điểm cực (iii) Nếu x(t) có chiều dài hữu hạn mặt phẳng phức ∞ −∞ |x(t)|dt < ∞ ROC (iv) Nếu x(t) dãy phía (trái phải) ROC? (v) Nếu x(t) dãy hai phía ROC? Biến đổi Laplace ngược Áp dụng biến đổi Fourier ngược: x(t)e Ta có: −σt = 2π ∞ X (σ + jΩ)e jΩt dΩ −∞ x(t) = 2πj σ+j∞ X (s)e st ds σ−j∞ ◮ Nếu X (s) hàm hữu tỷ biến đổi ngược cách khai triển thành phân thức tối giản ◮ Lưu ý ROC Ví dụ: Tìm biến đổi ngược X (s) = −5s − , (s + 1)(s − 1)(s + 2) ROC : −1 < Re{s} < Các tính chất ◮ Tuyến tính ◮ Dịch thời gian: x(t − t0 ) ←−→ e −st0 X (s) − ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ ◮ L L Dịch miền s: e s0 t x(t) ←−→ X (s − s0 ) − L Co dãn: x(at) ←−→ − |a| X (s/a) L ∗ Liên hợp phức: x ∗ (t) ←−→ X (s ∗ ) − L Chập: x1 (t) ∗ x2 (t) ←−→ X1 (s)X2 (s) − dx(t) dt Đạo hàm miền t: L ←−→ sX (s) − L Đạo hàm miền s: −tx(t) ←−→ − Tích phân miền t: t −∞ x(τ )dτ dX (s) ds = X (s) s Định lý giá trị đầu cuối: Nếu tín hiệu nhân (x(t) = 0, ∀t < 0) x(0+ ) = lim sX (s), lim x(t) = lim sX (s) s→∞ t→∞ s→0 Hàm truyền đạt H(s) hệ thống LTI x(t) h(t) y (t) y (t) = x(t) ∗ h(t) Biến đổi Laplace hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có: H(s) = Y (s) X (s) H(s) ◮ Hệ thống nghịch đảo: Hinv (s) = ◮ Hệ thống pha tối thiểu: H(s) Hinv (s) nhân quả, ổn định Hệ thống LTI nhân ổn định ◮ Nhân quả: ROC H(s) nửa bên phải mặt phẳng phức ◮ Nhân quả, với H(s) hàm hữu tỷ: ROC phần mặt phẳng bên phải điểm cực ◮ Ổn định: ROC chứa trục ảo (s = jΩ) ◮ Nhân quả, ổn định, H(s) hữu tỷ: Tất điểm cực H(s) nằm bên trái trục ảo mặt phẳng phức ◮ Hệ thống pha tối thiểu: Tất điểm cực điểm không H(s) nằm bên trái trục ảo Tìm đáp ứng xung hệ thống LTI Cho hệ thống LTI biểu diễn phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: d3 d2 d2 d y (t) + y (t) − 4y (t) = x(t) + 15 x(t) + 8x(t) dt dt dt dt Hãy tìm đáp ứng xung h(t) trường hợp hệ thống nhân quả, ổn định Biến đổi Laplace phía ∞ X (s) x(t)e −st dt Ký hiệu: L u x(t) ←−→ X (s) − Các tính chất tương tự biến đổi Laplace hai phía, ngoại trừ: dx(t) Lu ←−→ sX (s) − x(0− ) − dt Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số Cho hệ thống LTI biểu diễn phương trình vi phân tuyến tính hệ số d2 d d y (t) + y (t) + 6y (t) = x(t) + 6x(t) dt dt dt Hãy tìm đầu y (t) hệ thống có đầu vào x(t) = u(t) ,với điều kiện đầu: y (0− ) = y ′ (0− ) = Bài tập Sử dụng hàm roots để tìm điểm cực điểm không hàm truyền đạt H(s) Sử dụng hàm residue để phân tích H(s) hữu tỷ thành phân thức tối giản Tìm hiểu cách sử dụng hàm tf, zpk, ss, pzmap, tzero, pole, bode freqresp để biểu diễn phân tích hệ thống ET 2060 Định lý lấy mẫu TS Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Định lý lấy mẫu lấy mẫu chuẩn hóa −−−− x(t) − − − → x(nTs ) − − − − → x[n] −−− Ts x(nTs ) x(t) t “Nếu tín hiệu x(t) khơng có thành phần tần số lớn B hertz hồn tồn xác định mẫu cách 2B giây.” – Claude Shannon nTs Chứng minh định lý lấy mẫu (1) X (jΩ) Ω −2πB 2πB Gọi X (jΩ) phổ x(t) Khi đó: x(t) = 2π Nếu thay t = n 2B ∞ X (jΩ)e jΩt −∞ 2πB dΩ = 2π X (jΩ)e jΩt dΩ −2πB với n ∈ Z, ta có: x(n/2B) = 2π 2πB n X (jΩ)e jΩ 2B dΩ −2πB Chứng minh định lý lấy mẫu (2) ˜ X (jΩ) Ω −6πB −2πB ˜ X (jΩ) = ∞ cn e 2πB 2π j 4πB nΩ = n=−∞ cn = 4πB 2πB −2πB x(n/2B) → cn = 2π ˜ X (jΩ)e −j 4πB nΩ dΩ = 6πB ∞ n cn e jΩ 2B n=−∞ 4πB 2πB n X (jΩ)e −jΩ 2B dΩ −2πB ˜ x(−n/2B) → X (jΩ) → X (jΩ) → x(t) QED!!! 2B Cách tiếp cận khác Coi lấy mẫu phép nhân x(t) với hàm xung đơn vị tuần hoàn với chu kỳ Ts xs (t) = x(t)p(t) x(t) p(t) t t xs (t) t Phổ tín hiệu sau lấy mẫu [X (jΩ)∗P(jΩ)], Xs (jΩ) = 2π =⇒ Xs (jΩ) = Ts với ∞ k=−∞ 2π P(jΩ) = Ts ∞ k=−∞ X (j(Ω − kΩs )), Ωs = X (jΩ) 2π ) Ts 2π Ts P(jΩ) 2π Ts Ω −Ωs Xs (jΩ) Ωs Ts Ω −2Ωs δ(Ω−k −Ωs Ωs 2Ωs Ω Khôi phục lại tín hiệu Cho tín hiệu xs (t) qua lọc thông thấp lý tưởng với Ωc = Ωs /2 > B H(jΩ) = h(t) = Ts , |Ω| ≤ Ωc 0, |Ω| > Ωc Ts sin(Ωc t) πt Ta có: x(t) = xs (t) ∗ h(t) = = ∞ n=−∞ x(nTs ) ∞ n=−∞ x(nTs )h(t − nTs ) Ωc Ts sin(Ωc (t − nTs )) π Ωc (t − nTs ) ... thống rời rạc Ghép nối hệ thống đầu vào hệ thống hệ thống đầu hệ thống đầu vào + đầu hệ thống đầu vào + hệ thống hệ thống đầu Tính ổn định hệ thống Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) đầu bị chặn... http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Outline Phép chập Các tính chất phép chập hệ thống LTI Biểu diễn hệ thống LTI Phép chập (1) Xét hệ thống LTI rời rạc... ∞, ∀t đầu vào bị chặn Ví dụ: Xét tính ổn định hệ thống y [n] = r n x[n] với |r | > Thuộc tính nhớ ◮ Hệ thống gọi khơng có nhớ (memoryless) đầu phụ thuộc vào đầu vào thời điểm ◮ Hệ thống gọi có

Ngày đăng: 27/03/2014, 12:56

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan