Đang tải... (xem toàn văn)
bài tập chuổi số thường gặp
Chương 5: CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA Phần 1: CHUỖI SỐ ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số Sn = a1 + a2 + L + an , n ∈ N ∞ {Sn} gọi chuỗi số, ký hiệu: ∑ an n =1 ( Nếu {an} a0 số hạng đầu Sn a0 ) • Sn : tổng riêng thứ n • an : số hạng tổng quát ĐỊNH NGHĨA {Sn} có giới hạn hữu hạn n → ∞ ∞ ⇔ ∑ an hội tụ n =1 Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ Đặt: ∞ ∑ an = lim Sn : tổng chuỗi n =1 n →∞ VÍ DỤ Khảo sát hội tụ tính tổng có: ∞ 1/ ∑ n =1 n (n + 1) 1 Tổng riêng: Sn = + +L + 1.2 2.3 n (n + 1) 1 1 = 1− + − +L + − 2 n (n + 1) n→∞ = 1− → (n + 1) ∞ =1 ∑ Vậy chuỗi hội tụ n =1 n (n + 1) ∞ 1 Sn = + + +L + n n ≥ = n →∞ n Vậy chuỗi phân kỳ n +1 ∞ 1 (−1) n +1 Sn = − + − L + (−1) 3/ ∑ n n 2 2n n =1 −1 1− ÷ 1 2 → = 1− −1 ÷ 2 Vậy chuỗi hội tụ có tổng 1/3 2/ ∑ n =1 n TÍNH CHẤT ∞ ∞ n =1 n=p 1/ ∑ an ∑ an có chất (ht/pk) ∞ ∞ n =1 n =1 / ∑ α an , α≠0, ∑ an có chất TÍNH CHẤT ∞ ∞ n =1 n =1 / ∑ an = A, ∑ bn = B ∞ ⇒ ∑ (α an + β bn ) = α A + β B n =1 • Tổng chuỗi hội tụ hội tụ • Tổng chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ phân kỳ Điều kiện cần hội tụ ∞ Nếu chuỗi ∑ an hội tụ n =1 lim an = n →∞ Áp dụng: Nếu lim an ≠ ( khơng tồn ) ∞ n →∞ ∑ an khơng hội tụ n =1 Ví dụ ∞ 1/ ∑ n =1 ( −1) n n n −n lim an = lim n →∞ ∞ n →∞ ( −1) phân kỳ n n n n −n = −1 ≠ + 2 / ∑ (−1) ÷ 2n − n =1 n 3n n n →∞ 3n + an = →+∞ ÷ 2n − ⇒ an → ⇒ chuỗi phân kỳ / Ví dụ ∞ 3/ Ks hội tụ tính tổng có: ∑ x n n =1 n n x = 1: lim x = lim = ⇒ chuỗi pk n →∞ n →∞ x = – 1: lim x = lim ( −1) n n →∞ n n →∞ không tồn ⇒chuỗi pk Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn Leibnitz ∞ Chuỗi đan dấu có dạng ∑ (−1)n an với an ≥ n =1 Tiêu chuẩn Leibnitz: {an } giaûm Nếu lim a = n →∞ n ∞ n ∑ (−1) an hội tụ n =1 ∞ Đặt: S = ∑ (−1)n an ⇒ ≤ S ≤ a1 n =1 Chuỗi hội tụ theo tc gọi chuỗi Leibnitz Ví dụ: Khảo sát hội tụ ∞ n (−1) 1/ ∑ n =1 n an = đơn điệu giảm n ∞ (−1) ⇒∑ n =1 n n chuỗi Leibnitz (hội tụ) ∞ 2/ ∑ n=2 ( −1) n −1 ∞ =∑ ln n − n n=2 Xét hàm số: ( −1) n n − ln n an = ln n − n f ( x ) = x − ln x f ′ ( x ) = − > 0, ∀x ≥ x ⇒ f ( x) ↑ ⇒ an ↓ lim an = đồng thời n→∞ ⇒ Chuỗi ht theo tc Leibnitz ∞ n +1 n +1 an = / ∑ (−1) (n + 1) n + − (n + 1) n + − n =1 n f (x) = Xét hàm số: x x3 − , x≥2 − x − 2x f ′( x ) = < ⇒ f (x) ↓ ( x − 1) Vậy {an} đơn điệu giảm ⇒ Chuỗi ht theo tc Leibnitz lim an = n →∞ ∞ n (−1) Mẫu số thay đổi dấu 4/ ∑ (−1)n n + ⇒ chuỗi đan dấu n =2 ∞ n ∞ ( −1) = ∑ ∑ n n + n =2 n = ( −1) (−1)n (−1)n n − 1 ∞ = ∑ n=2 (−1) 2n n − (−1) n −1 n −1 n n ( −1)n = ∑ − n −1 n =2 n − ∞ ∞ n ∑ n =2 n − ∞ chuỗi dương pk ∞ chất với ∑ n=2 n n (−1) chuỗi đan dấu ht theo tc L ∑ n =2 n − n (−1)n ⇒ ∑ − n −1 n=2 n − ∞ phân kỳ (ht + pk = pk) CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý Sự hội tụ tuyệt đối ∞ ∞ n =1 n =1 Nếu ∑ an hội tụ ∑ an hội tụ ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ an ≤ ∑ an Chiều ngược lại không đúng: ∞ ∑ an n =1 ∞ phân kỳ ⇒ ∑ an phân kỳ / n =1 Tiêu chuẩn Cauchy D’Alembert ∞ Nếu ∑ an n =1 hội tụ hay phân kỳ theo tc ∞ Cauchy D’Alembert ∑ an n =1 Ghi nhớ: Nếu ∞ ∑ an n =1 phân kỳ theo tc so sánh khơng có kết luận cho ∞ ∑ an n =1 Ví dụ: Khảo sát hội tụ ∞ n 2n + ∑ (−1) ÷ 3n + n =1 1/ n n 2n + thay đổi dấu an = (−1) ÷ 3n + n n 2n + an = ÷ 3n + Cn = n 2n + an = → < ⇒chuỗi ht tuyệt đối 3n + nπ ∞ n sin 2/ n n =0 ∑ nπ n sin thay đổi dấu an = n nπ n sin n2 ≤ an = = bn n n 3 ∞ Áp dụng tc D’A cho ∑ bn n =1 ∞ ∞ n bn = 3n n =1 n =1 ∑ ∑ (n + 1) 1 Dn = × →