Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi và đáp án chi tiết học sinh giỏi môn toán lớp 12
đề thi hsg môn toán 12 (thời gian :180 phút) Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau S n = nn x tg x tg x tg 22 1 22 1 22 1 22 +++ Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau + 2 0 2222 sincos sin dx xbxa xcox (Với a )0;0 b Câu 3 (2.0 đ) Cho hệ phơng trình =+ =+ xyx mmyx 22 1/ Biện luận số nghiệm của hệ phơng trình theo m 2/ Khi hệ có hai nghiệm (x 1 ;y 1 );(x 2 ;y 2 ) tìm m để S = (x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2 đạt giá trị lớn nhất Câu 4 (2.0 đ) Giải phơng trình 12831()112(3 22 +++=+ xxxx Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phơng trình sau đây có nghiệm xxx m 222 sincossin 332 + Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau 3 2 )sin1)(sin1)(sin1( sin1 xxx x LimL pnm pnm x = ++ (với m ,n ,p là ba số nguyên dơng cho trớc ) Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phơng trình sau + m x x x 2sin sin1 2 2 3cos51 log 4 4 cos Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau. Vẽ đờng cao OH của tứ diện . Đặt COHBOHAOH BCACABCBCABA === === ;; ;; Chứng minh rằng CBA 2sin sin 2sin sin 2sin sin 222 == Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán kính R ( O nằm trên đờng cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp. 1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều. 2/ Cho SC =R 3 . Tính chiều cao hình chóp. đáp án (đề thi hsg môn toán 12) Câu 1 Ap dụng : ( ) nn x tg x co u u u 2 2 1 ) 2 cos(lnln / / / == Do đó nếu đặt / 2 )(ln 2 cos 2 cos. 2 cos nn n n PS xxx P == có x x xxxx x P n n nnn n n sin 2 1 . 2 sin 1 2 cos 2 cos. 2 cos 2 sin 2 sin 1 1 === do đó nnn n n x ggxx x S 2 cot 2 1 cotsin 2 1 . 2 sin 1 ln / += = Câu 2 Đặt I là tích phân đã cho.Xét 2 trờng hợp sau: : baTH a xxd a IbaTH === : 2 1 )(sinsin. 1 : 2 2 0 1 Với [ ] ( ) ab t ab t dt ab I xdxxabdxxxbxxadtxbxat b a b a + = = = =+=+= 11 2 1 cossin)(2cossin2sincos2sincos / 2 2 2 2 2222 22222222 Kl : ba I + = 1 Câu 3 Hệ pt ( ) ( ) =+ =+ 2 4 1 ) 2 1 ( 10. 22 yx mymx Nhận xét : (1) là pt dờng thẳng D m : x+(y-1).m =0 đi qua điểm cố định A (0;1) (2) là pt đờng tròn ( C) có tâm I (1/2;0) , bán kính R=1/2 do đó số nghiệm của pt chính là số giao điểm của D m và (C) Tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A chính là OA, (x=0) và dờng thẳng AB Đặt ( ) 1 3 4 1 .2 .2. _ 2 _________ == === tgdo tg tg OAtgOAOBOAI Mặt khác , ___ OB là hoành độ giao điểm của D m và Ox nên ___ OB =m Biện luận ./ m=0 hoặc m=4/3 ,hpt có nghiệm duy nhất. ./ o<m<4/3 ,hpt có hai nghiệm phân biệt . ./ m<0 hoặc m>4/3, hpt vô nghiệm . 2/ S =M 1 M 2 2 do đó diện tích S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M 1 M 2 đi qua I 2 1 2 1 _____ === mOIOB Câu 4 Đặt 112 2 += xt thay vào pt đợc t =x/3 hoặc t= 1-3x Giải ra đợc x=0 KL : Pt có nghiệm x = 0 Câu 5 )1(3 3 2 3.32 22 2 222 sincos sin sincossin mm xx x xxx + + Xét hàm số ( ) )(,3 3 2 22 2 sincos sin Rxf xx x x + = Vì 3312cossincos 1 3 2 0sin 22 2 sincos22 sin 2 = xx x xxx xx do đó ( ) Rxf x 4 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = k )( Zk Kết luận :Bpt có nghiệm với m 4 . Câu 6 Đặt y= sin x ( khi )1 2 yx . Ta có ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = +++++++++ ++++ = = ++ ++ 3 111 12 1 3 1 1 1) 1(1 1)1( 111 1 pnm pnm y pnm pnm y yyyyyyy yyyy Lim yyy y LimL ( ) ( )( ) ( ) 3 3 111 12 1 1 1) 1( 1 pnm pnm yyyyyy yyy Lim pnm pnm y ++ = +++++++++ ++++ = ++ Câu 7 Điều kiện : ( ) 1 02sin 03cos51 4 x x Bpt đầu của hệ tơng đơng với : 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3cos51 Log x Log )( 36 03cos03cos 2 1 2 3cos51 4 4 Zkkxxx x +== Do đ/k (1) chỉ cần xét += += 2 6 5 2 6 kx kx Xét bất pt thứ hai của hệ, đặt ( ) x x f x 2sin sin1+ = do ( ) x f có chu kỳ 2 nên ta chỉ cần tính 3 3 ;3; 3 3 ;3 6 5 6 5 62 ==== ffff Kl : 2 6 5 ;2 6 3/ 2 6 5 ;2 6 3 3 3 /. 2 6 ;2 6 5 3 3 3 3 /. 2 6 5 3 3 3/. 3/. kxkxm kxkxm kxkxm kxm xm +=+= +=+= +=+= += Câu 8 Dễ thấy H là trực tâm ABC và ABC là tam giác nhọn,AH kéo dài cắt BC tại A 1 ,do đó AA 1 BC. Vì OA (OBC) nên theo đ/l ba đờng vuông góc ,có OA 1 BC. Ta có ( ) 1sin 2 2 2 OA AH = Xét tam giác vuông OAA 1 đỉnh O, có OA 2 = AH. AA 1 , từ (1) có 1 2 sin AA AH = Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,gọi I là tâm của nó ,gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó H, G, I thẳng hàng (đờng thẳng Ơle) và HG =2 .IG suy ra AH = 2 .IM và Â= ( ) 2 . .2 . .2 .2 2cos.sin.22sin 2 R AHBC IB AH IB BC IB IM IB BM AAABIMCAB ===== ( với R là bán kính đờng tròn ngọài tiếp tam giác ABC) Từ (1) và (2) ta có : ABC S R AABC R A == 2 1 22 2 2sin sin C/m tơng tự cũng có ABC S R CB == 222 2sin sin 2sin sin Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Câu 9 Gọi M,N, P là các tiếp điểm của hình cầu với các cạnh AB, BC , CA.Gọi SH là đờng cao hình chóp ,O là tâm hình cầu đã cho, khi đó O thuộc SH.Theo định lý ba đờng vuông góc , có HM AB(vì OM AB,do hình cầu tiếp xúc AB tại M) Tơng tự HN BC, HP AC. Vì OM =ON =OP =R nên HM =HN =HP do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. Gọi K, E là tiếp điểm hình càu Với SA và SC .Ta có SK SE (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm),do đó KSO= SOE SCSASCHSAHOSEKSO === Lập luận tơng tự đợc SA=SB hay SA=SB=SC do đó H là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,suy ra tam giác ABC đều,vậy hình chóp SABC đều. 2/ Đặt AHAS AS AH R R OS OK ASH .3 3 3 3 sin ====== Đặt SH=h ;HN=x do đó AH =x Xét tam giác vuông SAH, có : SA 2 =SH 2 + AH 2 nên h 2 = 8 x 2 từ đó R 2 = h 2 2.h .R ( ) 133 22 xR ++ Thay h 2 =8.x 2 vào (1) đợc : 9.h 2 16 ( ) 20.16 3 2 =+ RRh Từ (2) 3 .34 R h = hoặc 9 .34 R h = (loại, vì h=SH >SO 9 .34 3. R R = ) Vậy SH= 3 .34 R Hớng dẫn chấm môn toán 12 Câu 1 (2,0đ) ./ HS biết sử dụng công thức (lnu) / =u /u (1,0 đ) . / Viết đợc P n = x x n n sin. 2 1 . 2 sin 1 (0,5đ) . / Kl : nn n x ggxS 2 cot. 2 1 cot += (0,5 đ) Câu 2 ( 2,0 đ) Th 1 : a I 2 1 = (0.5 đ) Th 2 : Đặt ba I xxabdtxbxat + = =+= 1 cos.sin) (2sin.cos. 222222 (1.5 đ) Câu 3 (2,0 đ) 1/ . / Nhận xét đợc số nghiệm của pt là số giao điểm của D m và (C) (1.0 đ) . / Kl đúng (0.5 đ) 2 / m = 1 / 2 (0.5 đ) Câu 4 (2.0 đ) ./ Đặt t= = = + xt x t x 31 3 12 2 (1.0 đ) . / Giải đợc x = 0 (1.0 đ) Câu 5 (2.0 đ) . / Đa đợc ( ) mf xx x x + = 22 2 sincos sin 3 3 2 (1.0 đ) . / Nx : 33;1 3 2 22 2 sincos sin xx x (0.5 đ) . / Kl : m 4 (0.5 đ) Câu 6 (2.0 đ) . / Đặt y = sinx ; )1 2 ( yx (0.5 đ) . / l = 3 ( ) 1 pnm yy Lim ++ +++ (1.0 ®) . / Kl : (0.5 ®) C©u 7 (2.0 ®) . / ® / k (0.5 ®) . / Bpt (1 ) 3 . 6 ππ kx +=⇔ (0.5 ®) . / Tõ ® / k +±= +±= ⇒ π π π π 2. 6 5 2. 6 kx kx (0.5 ®) . / Kl ®óng (0.5 ®) C©u 8 ( 4,0 ®) C©u 9 (2.0 ®) . / Nx : O SH∈ ( 0,5 ® ) . / H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ( 0.5 ®) ./ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp (0,5 ®) . / Kl (0,5 ®) . chiều cao hình chóp. đáp án (đề thi hsg môn toán 12) Câu 1 Ap dụng : ( ) nn x tg x co u u u 2 2 1 ) 2 cos(lnln / / / == Do đó nếu đặt / 2 )(ln 2 cos 2 cos. 2 cos nn n n PS xxx P == có x x xxxx x P n n nnn n n sin 2 1 . 2 sin 1 . đề thi hsg môn toán 12 (thời gian :180 phút) Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau S n = nn x tg x tg x tg 22 1 22 1 22 1 22 +++ Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau + 2 0 2222 sincos sin dx xbxa xcox . 2 cos. 2 cos nn n n PS xxx P == có x x xxxx x P n n nnn n n sin 2 1 . 2 sin 1 2 cos 2 cos. 2 cos 2 sin 2 sin 1 1 === do đó nnn n n x ggxx x S 2 cot 2 1 cotsin 2 1 . 2 sin 1 ln / += = Câu 2 Đặt I