Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7
BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá Gmail: hadinhlien@gmail.com Điện thoại: 0977442256 Bài Nếu tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh 30◦ Lời giải Xét △ABC vuông A có AC = BC Trên tia đối tia AC lấy A điểm D cho AD = AC △ABD = △ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC 1 Do AC = BC, AC = DC nên BC = DC 2 Tam giác BDC có BD = BC = DC nên tam giác đều, Cb = 60◦ Suy d = 30◦ C D A ABC d Bài Tính góc tam giác ABC Biết đường cao AH trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc Lời giải Vẽ MK⊥AC △KAM = △HAM(cạnh huyền-góc nhọn) nên MK = MH MB MC = Do MK = 2 MC nên Cb = 30◦ △MKC vng có MK = d = 90◦ , Bb = 60◦ [ = 60◦ , BAC Suy HAC Bài Cho tam giác ABC, vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABE, ACF Gọi I trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABE Tính góc tam giác FIH Hướng dẫn Đối với tập cần xét ba trường hợp: d < 90◦ + Trường hợp 1: BAC Trên tia đối tia IH lấy điểm K cho IH = IK E △IBH = △ICK(c.g.c) A K B H C M A H ⇒ CK = BH = HA Chú ý rằng: d = 60◦ + 30◦ + A b < 180◦ FAH I d = HBI d = Bb + 30◦ Suy KCI B d + ACF d = 360◦ − 90◦ + Bb + ACB d = 90◦ + A b = FAH d [ = 360◦ − KCN [ + ACB FCK F C K AF = CF Do △AHF = △CKF(c.g.c) Suy FH = FK nên tam giác FHK cân đỉnh F d = 60◦ nên HFK [ = CFK, [ mà AFC [ = Mặt khác, hai tam giác AHF CKF nên AFH 60◦ d = 90◦ , IHF d = 60◦ , IFH d = 30◦ Vậy tam giác FHK Suy HIF Chú ý Ta vẽ điểm K cho I trung điểm KF △BIK = △CIF(c.g.c) ⇒ BK = CF = AF (1) Vì H trực tâm tam giác ABE nên AH = BH (2) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Lại có d + 60◦ d − ABC d − IBG d = 360◦ − 30◦ − ABC d − BCA [ = 360◦ − HBA HBK d + BCA d = 90◦ + BAC d = HAF [ = 270◦ − ABC (3) Từ (1), (2), (3) suy △BHK = △AHF(c.g.c) ⇒ HK = HF Tam giác HKF cân H, có HI đường trung tuyến F d = 90◦ đồng thời đường cao nên HI⊥KF Vậy HIF d = 90◦ Ta thấy H, A, F thẳng hàng; + Trường hợp 2: BAC E A E, H, I thẳng hàng EI//AC đồng thời IF//AB Do EI⊥IF suy H d = 90◦ , IHF d = 60◦ , IFH d = 30◦ HIF d > 90◦ chứng minh tương tự trường + Trường hợp 3: BAC d < 90◦ hợp BAC C I B Chú ý Trực tâm H tam giác ABE (giao ba đường cao) thay trọng tâm G giao ba đường phân giác (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE) giao ba đường trung trực (đường tròn qua ba điểm A, B, E) d = 45◦ , ACB d = 120◦ Trên tia Bài Cho tam giác ABC có ABC A đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính số đo góc d ADB ◦ ◦ c c c c Lời giải Vì C1 C2 hai góc kề bù, mà C1 = 120 nên C2 = 60 [ = 30◦ Vẽ DH⊥CA ta tam giác CDH vng H có CDH H 1 nên CH = CD, mà BC = CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH = 2 BC hay tam giác BCH cân H suy HB = HD (1) 2 c1 = 15◦ nên tam giác HAB cân H Do c1 = 15◦ A C B D Ta có B HB = HA (2) ◦ [ = 90 Suy tam giác AHD vuông cân H Từ (1) (2) suy tam giác HAD cân H, mà AHD d = 30◦ + 45◦ = 75◦ Từ tính ADB d tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn AHD [ = 45◦ Bài Cho tam giác ABC có BAC d Tính ADB Lời giải Cách Vẽ BK⊥AC Xét tam giác ABH có K x BD đường phân giác trong; HD đường A phân giác đỉnh H nên AD đường phân c1 = A c2 giác đỉnh A, suy A D c1 = KBH b nên A c1 = [ (cùng phụ với C) Mà A c1 [ K BD + B (1) c2 = D c1 + B c2 Mặt khác A (2) C H B c c c c Vì A1 = A2 ; B1 = B2 nên từ (1) (2) suy d = 45◦ c1 Do tam giác KBD vuông cân đỉnh K, suy K [ [ K BD = D BD = ADB [ = 135◦ , vẽ điểm A sau vẽ điểm C Cách Để vẽ hình xác, ta vẽ tam giác BHD có BHD Xét △ABH ta có: d = ABH c2 + 90◦ [ + 90◦ = 2B HAx BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC d = 2A c2 Do Ta lại có HAx Mặt khác, xét △ABD ta có c2 = 2B c2 = B c2 + 90◦ ⇒ A c2 + 45◦ 2A (1) c2 = B c2 + D c1 A (2) c1 = 45◦ Từ (1) (2) suy D Chú ý Trước làm tập này, ta giải toán phụ đây: Cho F C tam giác ABC Chứng minh hai tia phân giác ngồi hai góc hai đỉnh B C tia phân giác góc A cắt A điểm (xem số tập liên qua đến toán sau tập này) I D Lời giải Thật vậy, gọi I giao điểm hai tia phân giác ngồi góc B B C E Từ I kẻ IE⊥AB; IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE = IF ID = IF Điều chứng tỏ I nằm tia phân giác góc A Nói cách khác hai tia phân giác hai góc ngồi đỉnh B C tia phân giác góc A cắt điểm b = 120◦ , đường phân giác AD BE Tính số đo B [ Bài 5.1 Cho tam giác ABC có A ED d d Lời giải Kẻ tia Ax tia đối tia AB, ta có BAD = CAD = x d = 60◦ A 60◦ nên CAx Xét tam giác ABD có AE phân giác ngồi đỉnh A, BD phân giác đỉnh B Do DE phân giác ngồi đỉnh D Do ◦ d d d c1 − B c1 = ADC − ABC = BAD = 60 = 30◦ [ B ED = D 2 E B D C d A b tù Kẻ tia BD cắt tia đối tia CA D cho CBD d = ABC d Bài 5.2 Cho tam giác ABC có ACB [ Kẻ AH vng góc với BD H Tính CHD Lời giải Gọi tia đối tia AB tia Ax x Xét tam giác ABH, theo tính chất góc tam A d = 90◦ + 2B c1 (hình vẽ 5) giác ta có HAx 1 C Xét tam giác ABC có c2 = C c1 + B d c1 = 45◦ + B c1 = HAx A 2 d Suy AC tia phân giác HAx H D B [ suy Kết hợp với giả thiết BC tia phân giác ABH, [ Vậy CHD [ = 45◦ HC tia phân giác AHD Bài 5.3 Cho tam giác ABC, Bb = 120◦ , phân giác BD CE Đường thẳng chứa tia phân giác đỉnh A tam giác ABC cắt đường thẳng BC F Chứng minh [=B [ a) ADF DF b) Ba điểm D, E, F thẳng hàng Lời giải BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC d = ABF d = FBy d = 60◦ a) Vẽ tia đối tia phân giác BD By Khi dễ thấy ABD Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngồi góc A B cắt F suy DF tia phân giác [=B [ góc D Vậy ADF DF b) Xét tam giác BCD có tia phân giác góc C tia phân giác ngồi đỉnh B cắt E, suy d DE tia phân giác ADB d nên ba điểm D, E, F thẳng hàng Ta có DE, DF tia phân giác góc ADB d = 45◦ Chứng Bài 5.4 Cho tam giác ABC, Bb = 45◦ , phân giác BD, đường cao AH Cho biết BDA minh HD//AB d góc ngồi Lời giải Xét tam giác BCD có ADB d =B d − c2 + Cb suy Cb = ADB tam giác BCD nên ADB b c2 hay Cb = 45◦ − B B c1 góc ngồi đỉnh A nên Xét tam giác ABC có A b b c1 = Bb + Cb = Bb + 45◦ − B ⇒ A c1 = 45◦ + B A 2 (1) c2 = 90◦ − Cb = 45◦ + Xét tam giác AHC vng H có A x A 1 D B Bb H C (2) c1 = A c2 Từ (1), (2) suy A Xét tam giác ABH có D giao điểm tia phân giác với tia phân giác không [ = 45◦ , suy HD//AB (vì có cặp góc kề nên tia HD tia phân giác điểm H DHC đồng vị nhau) b = 120◦ , đường phân giác AD, BE,CF Bài 5.5 Cho tam giác ABC, A a) Chứng minh DE tia phân giác ngồi tam giác ADB [ b) Tính EDF d CAx Lời giải a) Vẽ Ax tia đối AB Khi BAC x d = CAD d = CAx d = 60◦ A hai góc kề bù nên BAD Xét tam giác ABD có AE tia phân giác ngồi đỉnh A; BE E F tia phân giác B nên DE tia phân giác đỉnh D tam giác ADB C B D b) Chứng minh tương tự DF tia phân giác đỉnh D tam giác ACD d ADB hai góc kề bù nên EDF [ = 90◦ Mặt khác, ADC Bài 5.6 Cho tam giác ABC có đường phân giác BD,CE cắt I ID = IE Chứng minh Bb = Cb Bb + Cb = 120◦ Lời giải d = IDK d Cách Kẻ IH⊥AB, IK⊥AC, ta có △HIE = △KID (cạnh huyền-cạnh góc vng) suy IEH (1) Xét bốn trường hợp sau: a) H thuộc BE; K thuộc CD b b b+ C = A b + B Do Cb = B b Từ (1) suy A 2 b) H thuộc AE; K thuộc AD b Chứng minh tương tự phần a) ta Bb = C c) H thuộc BE; K thuộc AD BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Từ (1) ta có b b b b b= B +C b + C = Cb + B ⇒ A A 2 2 b = Bb + Cb ⇒ 3A b=A b + Bb + Cb = 180◦ ⇒ A b = 60◦ , Bb + Cb = 120◦ ⇒2A d) H thuộc AE; K thuộc CD Chứng minh tương tự phần c), ta Bb + Cb = 120◦ Cách Khơng tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp: a) AD = AE A d d △ADI = △AEI(c.c.c) ⇒ ADI = AEI b chung, ADI d = AEI d nên A △ADB △AEC có A c1 Do Bb = C b c1 = C B F D b) AD > AE Lấy F AD cho AF = AE D E △AFI = △AEI(c.g.c) ⇒ IF = IE, E1 c1 Fb1 = E I I 1 b c 2 Do IE = ID nên IF = ID, F1 = D1 Suy B C C b B b b + B = Bb + C c1 = E c1 , tức A D 2 Biến đổi cách 1, ta Bb + Cb = 120◦ b 6= 90◦ , B C góc nhọn, đường trung trực AB AC cắt Bài 5.7 Tam giác ABC có A d O cắt BC thứ tự E F Chứng minh AO tia phân giác EAF Lời giải Ta xét hai trường hợp: b < 90◦ Trường hợp 1: A d Ta có EA = EB nên EO tia phân giác AEB d Chứng minh tương tự FO tia phân giác AFE Vì EO FO tia phân giác đỉnh E đỉnh F d tam giác AEF nên AO tia phân giác EAF ◦ b > 90 Trường hợp 2: A A O B F E Vì O giao điểm đường trung trực AB AC nên OA = OB = OC Điểm E nằm đường trung trực AB nên EA = EB Điểm F nằm đường trung trực AC nên FA = FB c1 = B c1 △AOE = △BOM(c.c.c) ⇒ A A c c Tương tự △AOF = △COF(c.c.c) ⇒ A1 = C1 c1 (vì △BOC cân O) c1 = C Mặt khác B 12 c1 = A c2 suy AO tia phân giác EAF d Suy A Chú ý 1E B F Từ toán ta thấy Bb > 90◦ AO tia phân giác O đỉnh A Thật vậy, xét △AEF, EO tia phân giác b FO tia phân giác ngồi đỉnh F Khi AO tia E, phân giác ngồi đỉnh A (hình vẽ bên) C Bài 5.8 Tam giác ABC có Bb = 60◦ , Cb = 30◦ Lấy điểm D cạnh AC, điểm E cạnh AB d = 20◦ , ACE d = 10◦ Gọi K giao điểm BD CE Tính góc tam giác KDE cho ABD d KCB d Khi KI tia phân giác BKC d Lời giải Gọi I giao điểm tia phân giác KBC d = 120◦ (vì KBC d = 40◦ , KCB d = 20◦ ), BKI d =B d = CKI [ Mặt khác, tam giác KBC có BKC KE = ◦ [ CKD = 60 (dễ dàng tính điều này) C BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC + Xét △BKI △BKE có c c B2 = B3 (giả thiết) BK (chung) d [ BKI = BKE = 60◦ Suy △BKI = △BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1) + Chứng minh tương tự KD = KI (2) Từ (1), (2) suy KE = KD hay △KED cân K d (đối đỉnh) [ = 120◦ = BKC Mặt khác, EKD 180◦ − 120◦ [ [ Do KED = KDE = = 30◦ 2 b 6= 90◦ , B, b Cb < 90◦ , kẻ AH vng góc với BC vẽ điểm D E Bài 5.9 Cho tam giác ABC A cho AB đường trung trực HD, AC đường trung trực HE Gọi I, K thứ tự giao điểm d AKB d DE với AB AC Tính AIC, Hướng dẫn Ta xét hai trường hợp: b < 90◦ a) Nếu A b > 90◦ b) Nếu A Chú ý 1) Ở tập ta sử dụng hai kết sau: + Hai tia phân giác hai góc đối đỉnh hai tia đối (ở kết ta cần dùng đến toán d + zOy d = 180◦ Ox sau: Nếu Ox, Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa tia Oz cho zOx Oy đối nhau) + Góc tạo hai tia phân giác hai góc kề bù góc vng 2) + Trong trường hợp Bb > 90◦ , tam giác HIK có IB KB tia phân giác trong, IC, KC tia phân giác + Trong trường hợp Cb > 90◦ , tam giác HIK có IB KB tia phân giác ngoài, IC, KC tia d = AKB d = 90◦ phân giác Các trường hợp ta có AIC d = 45◦ Bài 5.10 Cho tam giác ABC có Bb = 75◦ , Cb = 45◦ Trên cạnh BC lấy điểm D cho BAD d E Tính CBE d Đường vng góc với DC C cắt tia phân giác ADC d = Bài Cho tam giác ABC cân có Bb = Cb = 50◦ Gọi K điểm tam giác cho KBC d = 30◦ Chứng minh tam giác ABK cân tính BAK d 10◦ , KCB Hướng dẫn Cách Vẽ tam giác EBC cho E A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC Cách Vẽ tam giác ACE cho E A khác phía BC d Cách Vẽ tia phân giác ABK b = 20◦ Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính ACD d Bài Cho tam giác ABC cân có A Hướng dẫn Cách Vẽ tam giác BCE cho A E phía BC Cách Vẽ tam giác ADE cho C E nằm hai nửa mặt phẳng đối bờ AB Cách Vẽ tam giác ACE cho D E khác phía AC Cách Vẽ tam giác ABE cho C E phía AB Bài Cho tam giác ABC vuông cân A, điểm E nằm tam giác, tam giác EAC cân E d góc đáy 15◦ Tính AEB Hướng dẫn Cách Vẽ phía tam giác ABC cho tam giác AED Cách Về phía tam giác ABC lấy điểm D cho tam giác ABD cân D có góc đáy BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 15◦ Cách Vẽ tam giác ACD cho E D khác phía AC Cách Vẽ tam giác CDE cho E D khác phía BC Bài Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC Gọi M, N trung điểm AB AC Kẻ NH vng góc với CM H Kẻ HE vng góc với AB E Chứng minh tam giác ABH cân [ HM tia phân giác BHE Bài 10 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G điểm thuộc cạnh AB cho AG = AB, E chân đường vng góc hạ từ M xuống CG Các đường thẳng MG AC cắt D So sánh độ dài DE BC d = 80◦ Lấy điểm M nằm tam giác cho Bài 11 Cho tam giác ABC cân A với BAC [ = 20◦ MCA [ = 30◦ Tính MBC [ MAC Hướng dẫn Trên đường cao AH lấy điểm P cho AP = AB = AC d = 60◦ Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AB + Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A ABC [ BM = AC + CM Tính CAM d = 55◦ , ABC d = 115◦ Trên tia phân giác ACB d lấy điểm M Bài 13 Cho tam giác ABC có BAC [ = 25◦ Tính BMC cho MAC Bài 14 Cho tam giác ABC cân A Gọi E điểm tuỳ ý nằm B C Đường thẳng qua E vng góc với AB đường thẳng qua C vng góc với AC cắt D Gọi K trung điểm [ BE Tính độ lớn AKD Bài 15 Cho tam giác ABC cân A Trên đường thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng vng d góc với BC qua M cắt đường thẳng BC H Gọi I trung điểm BM Tính HAI d < 90◦ đường cao BD, AH Trên tia BD lấy điểm Bài 16 Cho tam giác ABC cân A với BAC [ K cho BK = BA Tính HAK ◦ d > 90 ta có kết HAK [ = 135◦ Chú ý Nếu BAC d = 15◦ Đặt BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh Bài 17 Cho tam giác ABC vuông A với ACB a2 = 4bc Hướng dẫn d = 15◦ Cách + Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD + Sử dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABD tam giác ABC ta có đpcm Cách Kẻ đường cao AH gọi M trung điểm BC để làm d ≥ 90◦ Lấy điểm M nằm A C, hạ AH CK Bài 18 Cho tam giác ABC cân A có BAC d vng góc với BM (H, K thuộc BM) cho BH = HK + KC Tính BAC d = 100◦ Điểm M thuộc tia CA cho CM = AB Tính Bài 19 Cho tam giác ABC cân C có ACB [ CMB Bài 20 Trong hình vng ABCD lấy hai điểm P, Q cho BP song song với DQ với BP2 + DQ2 = d PQ2 Tính PAQ d = 80◦ Lấy điểm I tam giác cho Bài 21 Cho tam giác ABC có AB = AC BAC d = 10◦ , ICA d = 20◦ Tính CBI d IAC d = 45◦ , AM trung tuyến, AD phân giác tam giác Bài 22 Cho tam giác ABC có BAC MAC, kẻ DK vng góc với AB (K ∈ AB) Gọi giao điểm AM DK I Chứng minh d BI tia phân giác ABD d AM tia phân giác BAD d = ABD d Bài 23 Cho tam giác ABC cân A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E cho DAE d = ECB d Chứng minh DAE BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC [ = MBA [ = MCB [ Bài 24 Cho tam giác ABC cân A Lấy điểm M nằm tam giác cho MAC Hãy so sánh diện tích hai tam giác ABM CBM Bài 25 Cho tam giác ABC vng A có Bb = 75◦ Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho [ BH = 2AC Tính BHC Hướng dẫn Cách Vẽ tam giác BCD cho A D phía BC, lấy E trung điểm BH Cách Vẽ tam giác HBD cho D B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ HC, sau gọi M trung điểm BD chứng minh cho C, M, H thẳng hàng từ suy đpcm d = 75◦ Gọi H ′ Cách Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy cho BCy giao điểm tia Cy BA, sau tìm cách chứng minh H ≡ H ′ Cách Gọi D giao điểm đường trung trực BC với AB, tam giác DBC cân D, cuối tìm cách chứng minh D ≡ H d = 20◦ Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ Bài 26 Cho tam giác ABC cân A có BAC d = 20◦ , CAy d = 130◦ Gọi D giao điểm hai tia Ax Cy Tính ABD d tia Ax,Cy cho CAx Hướng dẫn Trên nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác ADE d = 40◦ , đường cao AH Các điểm E, F thứ tự thuộc Bài 27 Cho tam giác ABC cân A có BAC d = FBC d = 30◦ Chứng minh AE = AF đoạn thẳng AH, AC cho EBA d = 30◦ Trên Bài 28 Cho tam giác ABC cân có Bb = Cb = 50◦ Trên cạnh BC lấy điểm D cho CAD d = 30◦ Gọi I giao điểm AD BE Chứng minh tam cạnh AC lấy điểm E cho ABE giác IDE cân tính góc tam giác Hướng dẫn Trên nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH cho A H thuộc hai nửa mặt phẳng bờ BC b = 40◦ Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx Bài 29 Cho tam giác ABC cân A có A d = 10◦ Trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA Tính BDC d cho CBx Hướng dẫn Cách Vẽ tam giác ABE cho E C phía AB Cách Vẽ tam giác ACM cho B M phía AC Cách Vẽ tam giác BCE cho E A phía BC [ Bài 30 Điểm M nằm tam giác ABC cho MA : MB : MC = : : Tính AMB Hướng dẫn Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a, sau ta chọn hai cách sau: Cách Vẽ tam giác MBK cho K C khác phía BM Cách Vẽ tam giác AME cho E C khác phía AM Bài 31 Điểm M nằm bên tam giác vuông cân B cho MA : MB : MC = : : Tính [ AMB SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TỐN Tính chất Trong tam giác cân ABC (AB = AC ) ! ◦ − BAC d b + Cb 180 B d = ACB d = ABC = 2 Sau số ví dụ minh họa Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC Gọi O giao điểm đường trung trực ba cạnh BC,CA, AB d = OAC d Kẻ AH vuông góc với BC H Chứng minh BAH BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Lời giải A O C B H Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác A ABC nên OA = OB = OC D ◦ − BOC d 180 E K d = Tam giác OBC cân O nên OBC ◦ d d = 180 − AOC Tam giác OAC cân O nên OAC I Tam giác ABC nhọn nên O nằm tam giác đó, suy B d = 90◦ − ABC d = 90◦ − OBC d + OBA d BAH ! ◦ ◦ d d 180 − BOC 180 − AOB + = 90◦ − 2 d d 180◦ − AOC AOC d = OCA d = = OAC = 90◦ − 2 C d d = BCF Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC với đường cao BE,CF Chứng minh BEF Lời giải A E F C B M [ [ Trên cạnh BC lấy điểm M cho MFB = MBF [ = 90◦ ; MBF [ = 90◦ nên MFC [ = MCF, [ [ + MFC [ + MCF Lại có MFB suy MC = MF = MB Tương tự ME = MB = MC BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Do tam giác MBF, MEF MCE cân M nên ◦ [ [ = 180 − BMF ; MBF ◦ [ [ = 180 − EMF ; MEF ◦ [ [ = 180 − CME MEC Vậy d + CEF [ = MBF [ + MEF [ + MEC [ CBF [ 180◦ − EMF [ [ 180◦ − CME 180◦ − BMF + + = 90◦ = 2 d d = BCF nên BEF Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D cho d = ACB d Chứng minh BAC d = BDC d ADB Lời giải Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác ABC O nằm tam giác ABC ◦ ◦ d d d = 180 − AOC d = 180 − BOC ; OCA OA = OB = OC Do tam giác OBC, OAC cân O nên OCB 2 Suy ◦ ◦ d d d d d = OCA d + OCB d = 180 − AOC + 180 − BOC = AOB ⇒ ADB d = AOB ACB (1) 2 2 D≡H A O B Trên tia OD lấy điểm H cho OH = OA Khi C ◦ ◦ d [ [ [ = AHO [ − BHO [ = 180 − AOH − 180 − BOH = AOB AHB 2 (2) d = AHB [ nên H ≡ D Từ OD = OA = OB = OC Từ (1) (2) suy ADB d d d = BOC ; BDC d = BOC ⇒ BAC d = BDC d Tương tự ta có BAC 2 d cắt BC Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O Tia phân giác góc BAC D, cắt đường tròn E khác A Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB Lời giải 10 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC A K O B C D E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB Trong tam giác KBD cân K ta có Lại có d [ 180◦ − B KD 180◦ − 2BAD d [ [ K BD = = ⇒K BD = 90◦ − BAD 2 ⌢ d = EBC d = EAC d ⇒⌢ d EAB EB = EC ⇒ EAB d = 90◦ − BAD d + BAD d = 90◦ hay BE⊥KB, [ [ ⇒K BE = K BD + EBC suy BE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB Ví dụ Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax, By.C điểm nằm A O.M điểm nằm nửa đường tròn (M khác A B) Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CP MA, E giao điểm CQ MB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MDP đường tròn ngoại tiếp tam giác MEQ tiếp xúc với Lời giải y K x M P I E D C O A B Gọi I, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDP MEQ Tam giác MKE cân K nên ◦ ◦ [ [ [ [ = 180 − MKE = 180 − 2MQE = 90◦ − MQE KME 2 11 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Tam giác MID cân I nên ◦ ◦ d [ d = 180 − MID = 180 − 2MPD = 90◦ − MPD [ IMD 2 ⌢ [ = MAP, [ mà MBC [ = MAP [ (cùng chắn cung MA) suy MCD [ = Tứ giác MPAC nội tiếp nên MCD [ ⇒ MCQ [ = MBQ [ MBC [ = MBC [ Từ Do tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến MQE d + DME [ [ + KME [ = 90◦ − MPD [ + 90◦ + 90◦ − MQE IMD d = 180◦ [ + MBC [ = 180◦ ⇒ IMK =270◦ − MAC Do ba điểm I, M, K thẳng hàng Vậy đường tròn tâm I đường tròn tâm K tiếp xúc M Bài tập d ACB d cắt AC, AB theo thứ tự Bài Cho tam giác ABC cân A Các tia phân giác ABC F, E Chứng minh EF //BC d + Bài Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lấy điểm D cho BFC ◦ d = 180 Chứng minh BCA d = BDA d BAC d d nhọn Vẽ tia Oz nằm góc xOy d cho xOz d = yOz Qua A tia Ox kẻ Bài Cho góc xOy AH vng góc với Ox H.AH cắt Oz B Trên tia Bz lấy điểm D cho BD = BA Chứng minh tam giác AOD cân Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, BC thứ tự lấy điểm E, F cho AE = EB, BF = FC AF cắt CE I.BI cắt EF H Chứng minh CH vuông góc với AB Bài Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC BD cắt O Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB OCD tiếp xúc BÀI TOÁN TÍNH GĨC TỔNG QT Bài tốn d = ABC d = α (30◦ < α < 60◦ ) M điểm tam giác cho MAB [ = Cho △ABC có BAC [ [ = 60◦ − α Tính số đo CMB 30◦ , MBA Lời giải (h.1a) D A D C C M B B A M b) a) 12 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Về phía với △ABC vẽ △ABD Khi d = 30◦ = MAB, d = 60◦ − α = MAB [ [ CBD CDB [ = 2α − 60◦ nên ta có △BAM = △BDC (g.c.g) suy BC = BM, mà CBM [ = (180◦ − 2α + 60◦ ) : = 120◦ − α nên suy CMB Hãy giải toán cho trường hợp α = 50◦ Bài toán d = ACB d = α > 60◦ M điểm nằm khác phía A so với BC cho BCM [ = Cho △ABC có ABC ◦ ◦ [ [ = α − 60 Tính số đo AMC 150 , CBM Lời giải (h.1b) Về phía △ABC, vẽ △BCD Khi ta có d = 150◦ = BCM, d = α − 60◦ = MBC [ ABD [ ADB nên △BDA = △BCM (g.c.g) ⇒ BA = BM, mà [ = α + (α − 60◦ ) = 2α − 60◦ ABM nên suy [ = [180◦ − (2α − 60◦ )] : = 120◦ − α AMB (1) Mặt khác [ = 180◦ − MBC [ − MCB [ = 180◦ − (α − 60◦ ) − 120◦ BMC = 90◦ − α (2) [ = (120◦ − α ) − (90◦ − α ) = 30◦ Từ (1), (2) có AMC Chú ý: [ không đổi 30◦ , mặt khác hai Với giá trị góc α > 60◦ giá trị AMC tốn có quan hệ với Bài toán d = α (30◦ < α < 60◦ ), ABC d = 60◦ + α Trên tia phân giác ACB d lấy điểm M Cho △ABC có BAC [ = 30◦ Tính số đo BMC [ cho BAM 13 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Lời giải (h.2a) B D D A A M C E C B E F b) a) D Khi ta có Kéo dài CM cắt AB ◦ ◦ d d = BAC d + ACB = α + 180 − α − 60 − α = 60◦ BDC 2 [ = 30◦ nên △DAM cân D Mà DAM Vẽ DE vng góc với AM (E ∈ AC ), suy [ = EDM [ = MDB [ = 60◦ ADE Do ta có △CDB = △CDE (g.c.g) ⇒ DB = DE Từ dễ thấy ba tam giác ADE, MDE, MDB theo trường hợp (c.g.c) d = α , hay BMC [ = 180◦ − α [ = BAC Vì BMD d = 100◦ Trong tam giác lấy điểm M Với α = 40◦ giải toán: Cho △ABC cân B, có ABC [ = 10◦ , MCA [ = 20◦ Tính số đo BMC [ cho MAC Bài toán d = α , ACB d = 60◦ + α (α < 60◦ ) Trên cạnh AB BC lấy điểm Cho △ABC có ABC d = 90◦ − 3α Tính số đo CDE d = 30◦ + α , CAE [ D E cho ACD Lời giải (h.2b) d = 120◦ − 2α Do Dễ thấy BAC d = 180◦ − BAC d − ACD d ADC = 180◦ − (120◦ − 2α ) − (30◦ + α ) d = 30◦ + α = ACD Vậy △ACD cân A Vẽ AF vng góc với CD (F ∈ BC ) Khi ta có d = AFD d − FAC d = 180◦ − (60◦ + α ) − (60◦ − α ) = 60◦ [ = 180◦ − FCA AFC [ = 60◦ Suy FE phân giác △AFD Do DFE Mặt khác có d FAB 3α α ◦ ◦ d d d = 30◦ − = EAB = BAC − CAE = 120 − 2α − 90 − 2 d nên AE phân giác FAD [ Từ (1), (2) suy DE phân giác F DB 14 (1) (2) (3) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC α d = 60◦ + α nên F [ = ACF [ [ Vì ADF DB = 120◦ − α , B DE = 60◦ − α α ◦ ◦ ◦ ◦ d [ [ = 90◦ − Vậy CDE = 180 − ADC − BDE = 180 − (30 + α ) − 60 − 2 Với α = 20◦ ta có tốn quen thuộc sau: d = 20◦ Trên cạnh BA BC lấy điểm D E cho Cho △ABC cân B, có ABC d = 50◦ , CAE d = 60◦ Tính số đo AED [ ACD Bài toán d = α , (60◦ < α < 120◦ ) Trong tam giác lấy điểm M cho MCB [= Cho △ABC cân A có BAC α [ = 90◦ − Tính số đo MAB [ 120◦ − α , MBC Lời giải (h.3) A M P N C tương ứng cân N P, Trong △ABC ta lấy điểm NBvà P cho tam giác ANB APC α có góc đáy − 30◦ Ta chứng minh P ≡ M α d d Thật vậy, ABC = ACB = 90◦ − , nên d = ACB d − ACP d = 90◦ − α − α − 30◦ = 120◦ − α = MCB [ BCP 2 tia CM trùng với tia CP Mặt khác d = BAC d − NAB d − PAC d = α − α − 30◦ − α − 30◦ = 60◦ NAP 2 có AN = AP, nên △ANP đều.Suy (1) AP = AN = NP = BN = CP d nên NM//BC, suy Dễ thấy MN BC có chung trục đối xứng tia phân giác BAC mà Vì d = NBP d = PBC d NPB α α ◦ ◦ d d d − 30 = 120◦ − α NBC = ABC − ABN = 90 − − 2 d d = NBC = 60◦ − α = MBC [ PBC 2 tia BP trùng với tia BM Từ (1), (2) suy P ≡ M d = 60◦ + α − 30◦ = 30◦ + α [ = PAB Vậy MAB 2 TÍNH SỐ ĐO GĨC 15 (2) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Tính số đo góc thơng qua việc phát tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền d thành ba Bài tốn Tính góc △ABC Biết đường cao AH trung tuyến AM chia ABC góc Lời giải (h.4a) F A A E K H B H M C B N a) C b) K Vẽ MK⊥AC △ABM cân đỉnh A (đường cao AH đồng thời đường phân giác) nên H trung điểm BM 1 HM = BM = BC Từ △AHM = △AKM suy HM = MK 1 Vậy MK = BC, hay MK = MC Ta có MKC tam giác vng có cạnh góc vuông nửa cạnh huyền nên Cb = 30◦ b = 90◦ , Bb = 60◦ Từ tính A b = 90◦ , Bb = 60◦ , Cb = 30◦ △ABC cho có ba góc A Bài tốn Cho △ABC có ba góc nhọn Về phía ngồi △ABC ta vẽ tam giác ABE [ ACF Gọi H trực tâm △ABE, N trung điểm BC Tính số đo FNH Lời giải (h.4b) Trên tia đối tia NH ta lấy điểm K cho NH = NK △NBH = △NCK (c.g.c) ⇒ CK = BH = HA Chú ý d = 60◦ + 30◦ + A b < 180◦ FAH [ = Bb + 30◦ Cb3 = HBN 16 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC Suy ◦ b b b [ FCK = 360 − C3 + C2 + C1 = 360◦ − 90◦ + Bb + Cb2 d = 90◦ + Ab = FAH; AF = CF Do △AHF = △CKF (c.g.c) ⇒ FH = FK nên △FHK cân đỉnh F d = 60◦ nên HFK [ = CFK, [ mà AFC [ = Mặt khác, hai tam giác AHF CKF nên AFH 60◦ [ = 90◦ , NHF [ = 60◦ , NFH [ = 30◦ Vậy △FHK Suy HNF Tính số đo góc thông qua việc phát tam giác vuông cân d = 45◦ , ACB d = 120◦ Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho Bài tốn Cho △ABC có ABC d CD = 2CB Tính số đo ADB Lời giải (h.5a) A K A 1 H B 2 C D D B H b) a) Cb1 Cb2 hai góc kề bù, mà Cb1 = 120◦ nên Cb2 = 60◦ [ = 30◦ nên CH = CD; mà BC = CD nên △CBH cân đỉnh Vẽ DH⊥AC ta △HCD có CDH 2 C Suy Bb2 = 30◦ Vậy △HBD cân đỉnh H b1 = 15◦ nên △HBA cân đỉnh H Vậy △HAD vuông cân H Ta có Bb1 = 15◦ A d = 45◦ + 30◦ = 75◦ Từ ta tính ADB d tù, đường cao AH, đường phân giác BD thỏa mãn AHD [ = 45◦ Tính Bài tốn Cho △ABC có BAC d số đo ADB Lời giải (h.5b) Vẽ BK⊥AC Xét △ABH có BD đường phân giác trong; HD đường phân giác góc b1 = A b2 ngồi đỉnh H nên AD đường phân giác đỉnh A, suy A b1 = KBH b1 = K [ (góc có cạnh tương ứng vng góc) nên A [ Mà A BD + Bb1 (1) b b b Mặt khác A2 = D1 + B2 (2) b b b b b [ Vì A1 = A2 , B1 = B2 nên từ (1), (2) suy K BD = D1 d = 45◦ [ Do △KBD vuông cân đỉnh K, suy K BD = ADB Tính số đo góc thơng qua việc phát tam giác d = 75◦ Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho Bài tốn Cho △ABC vng A BAC [ BH = 2AC Tính số đo BHC Lời giải (h.6a) 17 C BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC B H K E K A E B C A b) a) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ △EBC E miền △HBC ◦ ◦ ◦ d [ K BE = 75 − 60 = 15 = ACB C Gọi K trung điểm BH Ta có KB = AC EB = BC d = 90◦ [ Suy △ABC = △KEB (c.g.c) nên E KB = BAC Vì K trung điểm BH nên △EHB cân E [ = EBH [ = 15◦ nên BEH [ =150◦ Vì EHB EH chung [ = 150◦ [ = CEH Ta có △EHC = △EHB (c.g.c) BEH EB = EC [ = 15◦ hay BHC [ = 30◦ [ = CHE Suy BHE d = ECA d = 15◦ Bài tốn Cho △ABC vng cân đỉnh Điểm E nằm tam giác cho EAC d Tính số đo AEB Lời giải (h.6b) d = KAB d = 15◦ Trong △ABC lấy điểm K cho KBA △KAB = △EAC (c.g.c) ⇒ AK = AE [ = 90◦ − · 15◦ = 60◦ Lại có KAE d = 150◦ = E [ Vậy △KAE Suy KAB KB d = 15◦ Vậy BEA d = 75◦ [ Ta có △BAK = △BEK (c.g.c) nên BEK = BAK Tính số đo góc thơng qua việc phát tam giác cân có góc biết số đo d = 50◦ , ABC d = 20◦ Trên đường phân giác BE tam giác ta lấy Bài toán Cho △ABC có BAC d = 20◦ Gọi N trung điểm AF, EN cắt AB K Tính số đo KCB d điểm F cho FAB Lời giải (h.7a) 18 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC C M 2 1 N A K E A F O B B J N K H b) b1 + Bb1 = 30◦ (góc △FAB) Giả sử CK cắta) BE M Ta có Fb2 = A b2 = 30◦ ⇒ Fb2 = A b2 Suy △EAF cân đỉnh E nên AEF d = 120◦ Từ A ◦ ◦ b b b Trung tuyến EN đường phân giác của △EAF nên E1 = E2 = 60 từ E3 = 60 EB chung d = 20◦ Vậy Ta có △BEK = △BEC (g.c.g) Eb3 = Eb2 = 60◦ ⇒ △BCK cân đỉnh B mà CBK b B1 = Bb2 = 10◦ d = 80◦ CKB d = ACB d = 50◦ , N điểm thuộc miền tam giác thỏa mãn Bài toán Cho △ABC với ABC d = 10◦ , NCB d = 20◦ Tính số đo ANB d NBC Lời giải (h.7b) Đường cao AH △ABC cắt BN O; vẽ AK⊥BN AK cắt CN J [ = HAK [ = 10◦ (góc có cạnh tương ứng vng góc) OBH d = 30◦ , mà NCA d = 30◦ nên △JAC cân đỉnh J, suy JA = JC [ = 40◦ ⇒ KAC HAC (1) ◦ ◦ d d d d △OBC cân O OH đường trung trực, OCB = OBC = 10 suy OCA = OAC = 40 Vậy △OAC cân đỉnh O nên OA = OC (2) d d d Từ (1), (2) suy OJ đường trung trực AC phân giác AOC nên AOJ = JOC = 50◦ (3) d = 30◦ [ góc ngồi △OBC nên NOC [ = 20◦ Từ (3) có NOJ Vì NOC d góc ngồi △NBC nên BNJ d = 30◦ [ = 80◦ , mà BNJ Do AON Vậy △NOJ cân đỉnh J, mà JK đường cao nên JK đường trung trực ON, hay AK trung trực ON d = AON [ = 80◦ Do △AON cân đỉnh A ANB Bài tập Cho △ABC nhọn, miền tam giác ta vẽ tam giác ABC′ ACB′ Gọi K L theo thứ tự trung điểm C′ A B′C Điểm M thuộc cạnh BC cho BM = 3MC Tính số đo góc △KLM d = Cho △ABD △ CBD, hai điểm A C thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BD Biết BAC d = 60◦ , CBD d = 20◦ , CDB d = 30◦ Tính số đo góc DAC d ADB d 50◦ , ABD d = 20◦ Lấy điểm M, N theo thứ tự cạnh AB, AC Cho △ABC cân đỉnh A, BAC d = 60◦ Tính số đo góc MNA [ = 50◦ , CBN [ cho BCM 19 C