LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 1 DẠNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC  Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox. Kí hiệu k = tanα.  Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.  Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi − = − M N d M N y y k x x  Đường thẳng d đi qua điểm M(x 1 ; y 1 ) và có hệ số góc k thì có phương trình ( ) 1 1 : . = − + d y k x x y Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.  Cho hai đường thẳng 1 1 1 2 2 2 : : d y k x m d y k x m = +   = +  + d 1 và d 2 song song v ớ i nhau thì có cùng h ệ s ố góc : 1 2 1 2 d d k k m m =    ≠   + d 1 và d 2 vuông góc v ớ i nhau thì có tích h ệ s ố góc b ằ ng − 1 : 1 2 2 1 1 . 1 . = − ⇔ = − d d d d k k k k  Đạo hàm tại một điểm x o thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Tức là ( ) . ′ = tt o k y x Ví dụ 1: Xác đị nh h ệ s ố góc k c ủ a các đườ ng cho d ướ i đ ây ? a) 2 1 2 2 3 1 0 3 2 1 . 3 3 3 − + − = ←→ = − + ⇔ = + → = − x y y x y x k b) 1 3 1 5 3 0 5 3 . 5 5 5 − + + = ←→ = − ⇔ = − → = x y y x y x k c) 2 3 0 2 3 2. + + = ←→ = − → = x y y x k Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2 ( 1) 2 3 y x m x mx = + − + + Tìm m để ti ế p tuy ế n a) t ạ i đ i ể m có hoành độ x = –3 song song v ớ i đườ ng th ẳ ng d : 5x – y + 3 = 0 b) t ạ i đ i ể m có hoành độ x = 1 vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d’ : x – 2y + 3 = 0 Ví dụ 3: Cho hàm s ố 4 2 2( 1) 8 2 y x m x m = + − − − Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i các đ i ể m c ố đị nh c ủ a đồ th ị hàm s ố vuông góc v ớ i nhau. Ví dụ 4: Cho hàm s ố 3 x m y x m + = − Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị và tr ụ c Oy vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng d : x – 2y + 1 = 0 Ví dụ 5: Cho hàm s ố 3 2 1 y x x x = + − + G ọ i d là đườ ng th ẳ ng đ i qua đ i ể m A(1 ; 2) và có h ệ s ố góc k. Tìm k để d c ắ t đồ th ị (C) t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t A, B, C sao cho ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i B, C vuông góc v ớ i nhau. Ví dụ 6: Cho hàm s ố 3 2 3 3. y x x x = − + + M ộ t đườ ng th ẳ ng d đ i qua A(2 ; 1) và có h ệ s ố góc k. Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 2 Tìm k để đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho a) cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt. c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương. Hướng dẫn giải : Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị : 3 2 3 2 3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2) − + + = − + ⇔ − + + = − x x x k x x x x k x 2 2 2 ( 2)( 1) ( 2) ( ) 1 0, (1) =  ⇔ − − − = − ⇔  = − − − =  x x x x k x g x x x k a) Hai đồ th ị c ắ t nhau t ạ i duy nh ấ t m ộ t đ i ể m khi (1) vô nghi ệ m 5 0 1 4(1 ) 0 . 4 ⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < − k k Vậy với 4 5 < − k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm. b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2. Điều đó xảy ra khi 5 0 1 4(1 ) 0 4 (2) 0 (2) 1 0 1  ∆ > + + > > −    ⇔ ⇔    ≠ = − ≠    ≠  k k g g k k V ậ y v ớ i 4 5 1  > −    ≠  k k thì hai đồ th ị đ ã cho c ắ t nhau t ạ i ba đ i ể m phân bi ệ t. c) Do nghi ệ m x = 2 > 0 nên để ba giao đ i ể m có hoành đ ô d ươ ng thì (1) ph ả i có hai nghi ệ m d ươ ng phân bi ệ t và khác 2. G ọ i hai nghi ệ m đ ó là x 1 ; x 2 . Khi đ ó ta có 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 + > >   ⇔ ⇔ < −   > − − >   x x k x x k K ế t h ợ p v ớ i di ề u ki ệ n t ồ n t ạ i ba giao đ i ể m ở câu b ta d ượ c 4 1 5 − < < − k là giá tr ị c ầ n tim. Ví dụ 7: Cho hàm s ố 3 2 2 3 1. y x mx mx = − + + a) Tìm m để ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i đ i ể m u ố n song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆: 4x + y + 1= 0. b) Tìm m để ti ế p tuy ế n v ớ i đồ th ị t ạ i đ i ể m x = −2 vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0. H ướ ng d ẫ n gi ả i : a) Ta có 2 3 2 6 6 2 3 1 12 6 0 2  ′ = − +  = − + + →  ′′ ′′ = − → = ⇔ =   y x mx m y x mx mx m y x m y x Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n có h ệ s ố góc là 2 2 3 6. 6 . 2 4 2 2   ′ = = − + = − +     u m m m m k y m m m Đườ ng th ẳ ng ∆ có h ệ s ố góc xác đị nh b ở i :4 1 0 4 1 4. ∆ ∆ + + = ⇔ = − − → = − x y y x k Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n song song v ớ i ∆ nên 2 2 2 3 4 3 2 8 0 4 2 3 ∆ =   = ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔  = −   u m m k k m m m m V ậ y, v ớ i 4 2; 3 = = − m m thì ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m u ố n c ủ a đồ th ị song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ∆. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 3 b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là ( ) 2 24 12 13 24 ′ = − = + + = + tt k y m m m Đườ ng th ẳ ng ∆′ có h ệ s ố góc xác đị nh b ở i 2 2 2 :2 3 2 0 3 2 2 . 3 3 3 ′ ∆ ′ ∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = − x y y x y x k Ti ế p tuy ế n t ạ i đ i ể m x = −2 vuông góc v ớ i ∆′ nên ( ) 2 45 . 1 13 24 1 26 48 3 3 26 ′ ∆ = − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = − tt k k m m m Vậy, với 45 26 = −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hàm số 3 2 ( 2) 3. = − − + + y x m x mx a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1. b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0. Bài 2. đồ thị hàm số y = –x 4 + 2mx 2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau. Bài 3. Cho hàm số 3 2 3 2, y x x x = + + + có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k. a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm. b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau. Bài 4. Cho hàm số y = x 4 + mx 2 – m – 1. Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số. Bài 5. Cho hàm số ( ) 3 1 . + − = + m x m y x m Tìm m để ti ế p tuy ế n t ạ i giao đ i ể m c ủ a đồ th ị hàm s ố v ớ i tr ụ c Ox song song v ớ i đườ ng th ẳ ng (d): y = –x –5. . b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0. Bài 2. đồ thị hàm số y = –x 4 + 2mx 2 – 2m + 1 Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;. góc k. Tài liệu bài giảng: 01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3 Thầy Đặng Việt Hùng LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831. 1 2 2 1 1 . 1 . = − ⇔ = − d d d d k k k k  Đạo hàm tại một điểm x o thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó. Tức là ( ) . ′ = tt o k y x Ví