PHÂN TÍCH CÁC SỐ NGUN CĨ DẠNG n-1 RA THỪA SỐ NGUN TỐ ĐẶT VẤN ĐỀ • Bài tốn phân tích số nguyên thừa số nguyên tố đời từ lâu hút nhiều óc vĩ đại giới để giải vấn đề • Ngồi ý nghĩa lý thuyết thân tốn người ta cịn phát nhiều ý nghĩa thực tiễn đặc biệt mật mã ĐẶT VẤN ĐỀ • Nhiệm vụ đề án giải tốn: “Phân tích số nguyên có dạng 2n-1 thừa số nguyên tố (với n ≤ 200)” • Chương trình bầy số Mersenne Chương đề cập đến tốn phân tích số ngun thừa số ngun tố Chương phần đề án, trình bày tư tưởng thuật tốn phân tích thừa số nguyên tố số nguyên lớn CHƯƠNG I CÁC SỐ MERSENNE VÀ VIỆC PHÂN TÍCH • Các số có dạng Mq=2q-1 (với q nguyên tố ) gọi số Mersenne • Nếu q số nguyên tố đồng dư modulo 4(q≡3(mod 4)) Mq chia hết cho 2q+1 2q+1 nguyên tố; trường hợp này, q>3 Mq hợp số • Nếu Mq chia hết cho n n ≡ ±1 (mod 8) n ≡ (mod q) Phép thử nguyên tố cho số Mersenne • Mn=2n-1 nguyên tố Mn ước Sn-2 đó, dẫy (Sk)k>=1 định nghĩa sau: S0=4; Sk+1=Sk2-2 CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH SỐ • Thuật tốn sàng Eratosthenes • Phương pháp p-1: Thuật tốn Pollard thứ • Phương pháp ρ: Thuật tốn Pollard thứ hai Thuật toán sàng Eratosthenes (1) p = (2) p = p+1 (3) Tính r = N mod p — Nếu r > quay (2) — Ngược lại p ước N Dừng chương trình Phương pháp p-1: Thuật toán Pollard thứ N log N log q (1) Q= qk , i=1,j=0 (2) Lấy a ngẫu nhiên Z*N, tính b≡aQ mod N k (3) Xét đẳng thức b=1 Nếu chuyển sang (4) Ngược lại chuyển sang (6) (4) Xét j1 - Nếu đúng, ta có gcd((x2i- xi)mod N,N) Dừng chương trình - Ngược lại quay (2) CHƯƠNG III XÂY DỰNG PHẦN MỀM PHÂN TÍCH CÁC SỐ n-1 • • • • Sơ đồ xuất phát Phân tích hệ thống Cài đặt chương trình Sơ đồ khối modules chương trình Sơ đồ xuất phát Begin Nhập N (hợp số) Q=2 a=Random(N) a≡aQ mod N Q=Q+1 T F d=gcd(a-1, N)>1 T d ước N Q0 ∀N, tồn n0, n1, ,nk, với 0≤ni