Vuihoc24h Kờnh hc tp Online Page 1 CHUYấN : MT S BIN PHP SO SNH PHN S A. Đặt vấn đề: Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh "hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số tr-ờng hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số ph-ơng pháp khác. Tính chất bắc cầu của thứ tự th-ờng đ-ợc sử dụng, trong đó phát hiện ra phân số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng. B. Nội dung cần truyền đạt. I. Kiến thức cơ bản. 1. Dùng số 1 làm trung gian. a) Nếu b a > 1 và d c < 1 thì b a > d c b) Nếu b a = 1 + M ; d c = 1 +N mà M>N thì d c b a M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho. * Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có "phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ: 198 199 = 1 + 198 1 ; 199 200 = 1 + 199 1 Vì 198 1 > 199 1 nên 198 199 > 199 200 c) Nếu b a = 1- M ; d c = 1 + N nếu M > N thì b a < d c M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân số đã cho. * Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có "phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn. Ví dụ: 2006 2005 = 1 - 2006 1 ; 2007 2006 = 1 + 2007 1 Vì 2006 1 > 2007 1 nên 2006 2005 < 2007 2006 2. Dùng một số phân số làm trung gian. Ví dụ : So sánh 31 18 và 37 15 Giải: Xét phân số trung gian 37 18 ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2). Ta thấy: 31 18 > 37 18 và 37 18 > 31 15 suy ra 31 18 > 37 15 ( tính chất bắc cầu) Vuihoc24h Kờnh hc tp Online Page 2 (Ta cũng có thể lấy phân số 31 15 làm phân số trung gian). b) Ví dụ : So sánh 47 12 và 17 19 Giải: cả hai phân số 47 12 và 77 19 đều xấp xỉ 4 1 nên ta dùng phân số 4 1 làm trung gian. Ta có: 47 12 > 48 12 = 4 1 77 19 < 76 19 = 4 1 Suy ra 47 12 > 77 19 II. Bài tập áp dụng: Bài 1: So sánh a) 85 64 và 81 73 b) 2 1 n n và 3n n ( n N*) H-ớng dẫn: b) Dùng phân số 81 64 (hoặc 85 73 ) làm phân số trung gian. b) dùng phân số 3 1 n n (hoặc 2n n ) làm phân số trung gian. Bài 2: So sánh a) 77 67 và 83 73 b) 461 456 và 128 123 c) 2004.2003 12004.2003 và 2005.2004 12005.2004 H-ớng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị . Bài 3: So sánh: a) 12 11 và 49 16 b) 89 58 và 53 36 H-ớng dẫn: a) Hai phân số 32 11 và 49 16 đều xấp xỉ 3 1 nên ta dùng phân số 3 1 làm trung gian . b) Hai phân số 89 58 và 53 36 đều xấp xỉ 3 2 nên ta dùng phân số 3 2 làm phân số trung gian . Baì 4: So sánh các phân số . A = 2323.353535 232323.2535 ; B = 3534 3535 ; C = 2322 2323 H-ớng dẫn : Rút gọn A = = 1 B = 1 + 3534 1 C = 1 + 2322 1 Từ đó suy ra : A < B < C. Bài 5: So sánh : Vuihoc24h Kờnh hc tp Online Page 3 A = 52.4426.22 )26.2213.11.(5 và B = 548137 690138 2 2 H-ớng dẫn : Rút gọn A = = 4 5 = 1 + 4 1 B = = 137 138 = 1 + 137 1 Vì 4 1 > 137 1 nên A > B Bài 6: So sánh . a) 57 53 và 571 531 ; b) 26 25 và 26261 25251 H-ớng dẫn : a) 57 53 = 570 530 = 1 - 570 40 ; 571 531 = 1 - 571 40 b) 26 25 = 1 + 26 1 = 1 + 26260 1010 ; 26261 25251 = 1 + 26261 1010 Bài 7: Cho a , b , m N* Hãy so sánh mb ma với b a . H-ớng dẫn : Ta xét ba tr-ờng hợp b a =1 ; b a < 1 ; b a > 1. a) Tr-ờng hợp : b a = 1 a = b thì mb ma = b a = 1 b) Tr-ờng hợp : b a < 1 a < b a + m = b + m mb ma = 1 - mb ab ; b a = 1 - b ab c) Tr-ờng hợp : b a > 1 a > b a+m > b + m Bài 8: Cho A = 110 110 ; 110 110 11 10 12 11 B . Hãy so sánh A với B. H-ớng dẫn: Dễ thấy A<1. áp dụng kết quả bài trên nếu 1 b a thì b a mb ma với m>o. Bài 9:So sánh các phân số sau mà không cần thực hiện các phép tính ở mẫu. A = 54107.53 53107.54 . B = 135269.134 133269.135 . H-ớng dẫn: Tử của phân số A 54.107-53 = (53 +1).107 - 53 = Tử của phân số B 135.269-133= (134+1).269 - 133= Bài 10: So sánh: Vuihoc24h Kờnh hc tp Online Page 4 a, ( 80 1 ) 7 với ( 243 1 ) 6 . b, ( 8 3 ) 5 với ( 243 5 ) 3 . H-ớng dẫn: a =( 28 77 3 1 ) 81 1 () 80 1 ( 30 6 3 1 ) 243 1 . b, 15 5 2 243 ) 8 3 ( 15 3 3 243 ) 243 5 ( . Chọn phân số 15 3 243 làm phân số trung gian để so sánh. Bài 11: Chứng tỏ rằng: 44 1 43 1 17 1 16 1 15 1 6 5 . H-ớng dẫn: Từ 45 15 30 15 6 2 6 3 6 5 . = ) 45 1 45 1 () 30 1 30 1 ( . Từ đó ta thấy: ( 30 1 30 1 30 1 29 1 16 1 15 1 Có 15 phân số). 45 1 45 1 45 1 44 1 31 1 30 1 (Có 15 phân số). Từ đó suy ra điều phải chứng minh. . 2. Dùng một số phân số làm trung gian. Ví dụ : So sánh 31 18 và 37 15 Giải: Xét phân số trung gian 37 18 ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ. 3 1 nên ta dùng phân số 3 1 làm trung gian . b) Hai phân số 89 58 và 53 36 đều xấp xỉ 3 2 nên ta dùng phân số 3 2 làm phân số trung gian . Baì 4: So sánh các phân số . A = 2323.353535 232323.2535 . (Ta cũng có thể lấy phân số 31 15 làm phân số trung gian). b) Ví dụ : So sánh 47 12 và 17 19 Giải: cả hai phân số 47 12 và 77 19 đều xấp xỉ 4 1 nên ta dùng phân số 4 1 làm trung